高级微观经济学生产理论

1、单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版文本样式第二级第三级第四级第五级*任何企业都希望最大化自己的利润而非最小，这是经济学的又一个先验命题，从古至今的经济学流派无不接受、继承和发展这一命题，利润最大化问题得到了深入研究。本讲首先从技术层面对生产活动进行分析，然后从收益与成本的经济角度，分析企业如何安排产品的生产，揭示生产活动的基本规律，建立生产最优化理论。同前面假定消费者是价格的接受者一样，本讲也假定企业是价格的接受者，即所考虑的企业属于竞争性企业。我们将依然在商品空间 中讨论，不过它已成为一种“n + 1”框架： = n + 1，即 n 种要素加上 1 种产品。 第11讲 生产理论企业组织

2、生产，技术是基础。这里的技术含义是广泛的，包括生产所需的一切软、硬技术和企业管理水平。在技术水平既定的情况下，企业投入一定数量的若干种生产要素，便可以生产出一定数量的产品。这样，在要素投入与产品产量之间便产生了一种对应关系，它就是生产函数。不同的技术水平决定了不同的生产函数，高技术水平表现为同样多的投入可以生产出更多的产品，或者同样多的产品可以用更少的投入来生产出来。这种以投入为开端，产出为终端的过程，叫做生产过程。 企业的生产技术条件、人员素质、组织管理水平及企业家才能等，都在生产过程中得到了充分反映，并且完全体现在生产函数中。 一、技术水平与生产函数(一) 生产要素产品不会无中生有。企业要

3、生产，就必须投入一定的人力、物力和财力。我们把组织生产所必需的一切人力、物力和财力叫做生产要素，简称为要素。人力要素：投入的各种劳动与智慧。比如体力与脑力劳动、熟练与非熟练劳动、简单与复杂劳动、知识、技能与才智等。 物力要素：投入的各种自然资源与物质资本。自然资源包括原材料、土地、矿藏、海藏等，物质资本包括生产者拥有的厂房、设施、设备、装备、硬件技术等。财力要素：生产者拥有的货币资本、生产者的资金来源以及筹资手段(如贷款、发行证券)的有效程度等。这些财力可用于满足流动资金需要，可用于购买生产所需物品，可用于人力资源储备等。 以上所有这些生产要素又可以概括为四大类：资源、资本、劳动、企业家才能。

4、还可以更一般地把生产要素区分为 n 种，从而 代表要素投入空间，简称为要素空间，向量 叫做要素向量或 要素组合或 投入向量或 投入方案。我们将采用这种一般性的表示方式。 (二) 生产函数 在企业生产技术水平既定的情况下，企业投入一定数量的若干种要素，生产出一定数量的产品。这样，在产品产量与要素投入之间就产生了一种对应关系，称为生产函数(production funtion)。 生产函数由企业的生产技术水平所确定，是企业技术水平的反映。务必注意，与要素投入相对应的产量必须是在既定的技术水平下按照这种投入所能生产出来的最大产量。 一般来说，企业的生产函数可以表示为 。这个函数 f也就代表着企业的技

5、术水平，技术进步正是指 f 的提升性变动。 假设PF 生产函数 满足如下四个通常的条件：(1) 无投入无产出： f (0) = 0 ；(2) 非负性： ；(3) 连续性：f (x)是连续函数，即投入变动不大时，产量变动不大；(4) 光滑性：f (x) 在要素空间 内部连续可微，且对任何 ，都 有 。这就是说，企业可 以比较精确地测定投入变动引起的产量变动。 1. 生产要素的贡献与作用 利用生产函数，可以测定任何投入方案处每种生产要素的贡献(即要素在生产中发挥的作用或者要素的重要性)大小。 边际产出： ，即增加要素 h 的投入量一个单位所能带来的产量增加量。 边际贡献： ，即要素 h 对生产的贡

6、献 h是指按照边际产出计算的要素 h 的产出占全部产出的比例。 要素的边际贡献不但表明了要素在生产中发挥的作用大小，而且表明了要素对于生产的重要性程度。要素的贡献、作用与重要性三者之间是相辅相成的一致关系。 边际贡献 h(x) 还有另一层含义：它是产出对要素 h 的弹性，即 h(x)等于产量变化幅度与要素 h 的投入量变化幅度之比。 全部要素(边际)贡献：(x) 1：各种要素投入增加一倍时，产量增加高于一倍。 (x) 0 使得 对一切 成立。 可见，各种生产要素的作用都固定不变的生产技术正是Cobb-Douglas技术(即CD生产函数)。另外，CD生产函数 f (x)是阶齐次函数：对任何 及任

7、何实数 t 0，都有 。 对于齐次生产函数，又有如下的欧拉定理： 欧拉定理 设 是可微的 阶齐次生产函数，则全部要素贡献 在任何投入方案 处都为 ，即 (x) = ，也即(三) 技术有效性 同一产量可在不同要素组合下得到，这就需要从技术角度对投入进行有效性分析。因此，这里提出技术有效性概念。 定义 投入方案 称为是技术有效的，是指没有一种投入方案 能够满足条件“y x 且 f ( y) f (x)”。今后，我们把技术有效的投入方案简称为有效投入，并用EI 表示有效投入的全体，称为生产者的有效投入区。有效投入区的边界，叫做脊面或脊线。 生产函数在有效投入区内单调递增： 投入越大，产出越多。 一种

8、投入方案是否有效, 可通过等产量曲线来判断。产量 Q 的等产量曲线是指集合 。集合L( f (x)就叫做投入方案 x 处的等产量曲线，简记为Lf (x)，即 Lf (x) = L( f (x)。 定理 对于生产函数 ，我们有：(1) (x, yEI )(x y)( f (x) 0)；(3) 若 f 满足“无投入无产出、非负、连续”，则 对任何 ，x 是有效投入当且仅当没有 一种投入方案 yLf (x) 能够满足 y 1)性完全替代弹替代弹性的变化无替代弹性(EShk =0)弱替代弹性(EShk 1：在边际产出高于平均产出的地方，要素的边际贡献大于 1 ，说明该要素发挥的作用较大，重要程度较高。

9、此时，若增加该要素的投入，则必可使平均产出上升。1. MP和AP决定要素边际贡献 xhQMPh APhMPh APhoMPh = APhMPh APh h f (x)。当企业规模比较小时，生产具有“规模扩大一倍，产出增加多于一倍”的趋势。 规模报酬不变阶段：RS(x) = f (x)。当企业规模较大时，生产的趋势变成为“规模扩大一倍，产出增加仅仅一倍”。 规模报酬递减阶段：RS(x) 1: 规模报酬递增； (x)=1: 规模报酬不变； (x) 0 表明：投资收益递增。 1. 投资的收益与边际收益企业投入一定数额的资金去购买可变要素以进行生产，得到的产品就是对企业投资的回报，称为投资收益。注意，

10、这里的收益依然是指实物形态的收益。假如投资额为 C ，那么企业能够得到多少产品回报呢？显然，这是一个既定投资额下的产量最大化问题：x1x2owx=C应用拉格朗日乘数法求解后，可知存在唯一的 及唯一的拉氏乘数 满足下述边际方程：由此得到的 Q* = f (x*) 就是投资额为C 时的投资收益，记作 ，即是， 且 。从 可知 ，故 。于2. 投资的边际收益递减规律计算 (C)的导数，可得：结合二阶导数矩阵 负定这一事实，即可知：即投资的边际收益递减： 。可见，虽然投资收益随着投资额的增加而增加，但增加速度却越来越慢。 四、成本分析成本是企业支付给生产要素的报酬，也即组织生产所必需的支出。产品生产需

11、要要素投入，而要素投入需要资金。缺乏资金，生产无从进行。因此，组织生产不应只看产量收益，还应考虑成本因素。企业的生产安排是权衡收益与成本的结果。前面从生产收益方面分析了生产活动，现在就从生产成本方面再对生产活动的特点与规律进行研究。要研究成本，必然涉及要素价格。这里假定要素价格既定，暂不考虑要素价格如何确定的问题，也即在既定的要素价格下研究成本的变化规律。我们将主要回答以下四个方面的问题： 如何理解成本概念？ 如何确定成本函数？ 如何看待短期成本与长期成本？ 要素价格变动对成本会产生怎样的影响？(一) 正确理解成本概念经济学中的成本与人们通常所说的成本在含义上有所不同。 经济学中的成本既包括显

12、性成本，又包括隐性成本。通常所说的成本是显性成本，即以货币形式支付给要素的报酬或按契约按期支付的报酬，醒目记录在账，也即会计成本。但还有一部分要素不需立即支付报酬，也没有支付契约。比如，企业家才能、企业自有资源等都投入到了生产中，应该得到报酬，但这部分报酬没有记录在账，属于隐性成本(也叫做正常利润)。经济学中的成本不但包括显性成本，而且包括隐性成本。 经济学中的成本是要素在各种用途中的最高报酬。生产要素有多种用途，当用于一种用途时，所放弃的在其它各种用途中的最高报酬，叫做要素在这种用途上的机会成本。要素的使用必须让要素的机会成本达到最小，也就是要把要素用在最佳用途上，以促使资源配置优化。因此，

13、考虑到机会成本因素，经济学中的成本应该是要素在各种用途中的最高报酬。 要素价格wh 是要素h 在各种用途中的最高价格( h =1, 2, n)。(二) 成本函数企业投入 x ，生产出 Q (= f (x) 个单位的产品，这一生产过程的成本为wx，称之为投入方案 x 的成本。然而，wx 未必是生产Q个单位的产品的成本，因为可能存在另外的投入方案z，在这个方案下，不但产量仍为Q(= f (z)，而且成本wz比wx小。假如这个z存在，那么企业不会根据x来生产，wx也就不是生产Q单位产品的成本。x1由此可见，企业的生产成本应该依据产量而定，而不应该依据投入方案来确定。一个产量只能有一个成本水平，从而成

14、本是产量的函数，这就是成本函数的概念。现在的关键问题是：与产量相对应的成本水平如何确定？x2owx和wy都不是Q的成本w由此确定的 x*= x*(w,Q) 叫做成本最小化投入方案，相应的 = (w,Q)叫做成本最小化拉氏乘数。当价格w和产量Q变动时，x*跟着变动，从而形成了映射 x* = x*(w, Q)，叫做生产者的条件要素需求映射。显然，1. 成本函数的确定：成本最小化 在要素价格体系 w 下，生产 Q 单位产品的成本应该是各种可能的生产过程(x, Q)的成本wx中的最小者：如此确定的函数C(Q)或C( p,Q)，就叫做生产者的成本函数。 根据拉格朗日乘数法，存在唯一的投入方案x*= x*

15、(w,Q)和唯一的拉氏乘数 = (w,Q)0，满足下述成本最小化边际方程： 从边际方程可知，在既定的产量目标 Q 下，x* 是成本最小化投入方案的充要条件是 。wx1x2o2. 产出与成本的对偶关系既定产量下的成本最小化 min wx s.t. f (x) = Q 与既定成本下的产量最大化 max f (x) s.t. wx = C 是互为对偶的两个问题，这就是产出与成本的对偶关系，类似于消费者行为理论中效用与支出的对偶。 这种对偶关系的存在使得成本函数 C = C(Q) 与投资收益函数互为反函数：成本最小化产量最大化即x2x1o产出与成本的对偶3. 生产扩展线 产出与成本的对偶关系使得等产量

16、曲线与等成本线的切点变得非常重要，这些切点既代表着既定产量下的成本最小化点，又代表着既定成本下的产量最大化点，因而代表着企业的最优生产选择。 企业进行生产扩展，其投入点必须在等产量曲线与等成本直线相切的地方。鉴于此，我们把等产量曲线与等成本直线的切点随产量增加(或随成本上升)而移动所形成的轨迹，叫做企业的生产扩展线，并用 EP(w) 表示之(即表示与要素价格体系w有关)。EP(w)既可由 来确定：EP(w)x1x2oEP(w)也可由 来确定：4. 成本最小化拉氏乘数 的意义 利用生产扩展线，可对成本最小化拉氏乘数给出一个解释。 假定产量Q发生了微小变动dQ，引起成本C(Q)发生变动dC。则dC

17、 = C(Q+dQ)-C(Q)，成本最小化投入方案 x* = x*(w, Q) = x*(Q) 相应地发生变动 dx* = x*(Q+dQ) x*(Q)。于是，可作如下计算：可见， ，即成本最小化拉氏乘数 就是边际成本最后增加一单位产出所需增加的成本。EP(w)(三) 短期与长期成本分析生产有短期和长期之分，成本分析也就有短期和长期之别。短期内，要素投入有固定与可变之区别，相应地便有固定成本FC与可变成本VC之分，二者之和 STC = FC+VC 即为短期总成本。固定成本是支付给固定要素的报酬，不随产量变化而变化；可变成本是支付给可变要素的报酬，随产量变化而变化。为了表述上的方便，用K、L分别

18、表示固定、可变要素的全体：K L = 1,2,n。用xK、xL 分别表示固定、可变投入向量，wK、wL 分别表示固定、可变要素价格体系，则 x = (xK, xL ) 及 w = (wK, wL )。长期内，一切生产要素的投入量都是可以变动的。因此，长期成本只有可变成本，没有固定成本。用LTC 表示长期成本，它是长期内企业支付给所有生产要素的报酬，也叫做长期总成本。由于成本理论主要关心成本如何随产量变化而变化，因此不论是作短期考察还是作长期分析，可变成本都是研究的重点对象。1. 短期成本分析各种短期成本之间的关系VCQ拐点oQoCCFCAVCACAFC拐点SMC生产三阶段与边际报酬递减决定了短

19、期边际成本递增，即从生产的第二阶段开始， 。2. 长期成本分析 长期成本只有可变成本。这样，前面给出的成本函数C(Q)实际上就是长期成本函数： 。进而又有长期平均成本LAC和长期边际成本LMC：当用短期的眼光把要素分为固定要素 K 与可变要素 L 后，长期与短期成本之间就产生了内在关系。具体来说，对 及Q 0，记FC|xK = wK xK，VC|xK (Q) = minwL xL : (xL 0)( f (xK, xL) = Q)及STC|xK = STC|xK (Q) = FC|xK +VC|xK (Q) = wK xK +VC|xK (Q)，再记 正代表生产长期产量Q的短期最优规模。则必存

20、在固定要素投入方案 使得下述公式成立：(1) 长期与短期成本曲线之间的关系长期总成本曲线LTC是各个短期总成本曲线 STC|xK (xK 0) 的包络线。即LMCQQCQCLTCLACQQe长期平均成本曲线LAC是短期平均成本曲线 STC|xK (xK 0) 的包络线。即长期边际成本曲线LMC由各个短期最优规模边际成本构成：(2) 长期边际(与平均)成本递增规律 假定生产函数 f (x) 二阶可微且严格凹，即 为负定矩阵。设 x* = x*(w, Q) = x*(Q) 为条件要素需求映射， = (Q) 为成本最小化拉氏乘数。则经过计算和推导，可以证明： 这样，矩阵 的负定性便保证了 。由此可见

21、，生产的边际报酬递减意味着企业的长期边际成本递增，即 长期边际成本递增的结果是长期平均成本递增。从规模经济的角度看，这一现象也是必然的。当产量规模较小时，企业存在规模经济，从而长期平均成本会随产量上升而下降。但好景不长，当产量规模达到较大以后，企业规模经济消失，从此开始，长期平均成本将永远随着产量的上升而上升。因此，LAC曲线呈现倒U形状。(3) 长期规模弹性 对于任何产量目标Q，企业必然把生产安排在成本最小化投入LMCQ1oLACQoCQeQe方案x* = x*(w, Q) = x*(Q)处，相应的拉氏乘数为 = (Q)：计算 x* = x*(Q)处的规模弹性 (x*)，可得： 注意， (x

22、*)由 Q 决定，是产量规模 Q 上的规模弹性，可明确记作 ，即 我们把 叫做产量水平 Q 上的长期规模弹性。上述计算表明：其中 Qe 为LAC曲线最低点处的产量水平：LAC(Qe) = LMC(Qe)。长期规模弹性的变化(四) 要素价格变动对成本的影响 成本与要素价格有关，要素价格决定着成本曲线的位置。成本函数C(w, Q)是要素价格w的一阶齐次函数。成本函数C(w, Q)是要素价格w的凹函数。因此，C(w, Q)的二阶导数矩阵 是半负定的对称矩阵。C(w, Q)对要素价格w的偏导数恰是条件要素需求x* = x*(w, Q)，即条件要素需求 x* = x*(w, Q)是要素价格w的零阶齐次映

23、射。条件要素需求 x* = x*(w, Q)的价格交叉效应具有对称性：条件要素需求 x* = x*(w, Q)与要素价格w 之间呈反向变动关系：五、生产最优化 以上分别从技术、收益、成本的角度单独考察了生产活动，但这种分析的不足之处在于：既缺乏综合性，又没有考虑产品价格因素。现在，我们就来把技术、收益、成本、要素与产品价格因素全面综合起来，建立生产最优化理论。企业从事生产活动的驱动力量是利润。利润是生产活动的货币形态净受益，等于生产活动的总收入减去生产活动的总成本。如果另一项活动能比这一项活动让企业获得更大的利润，那么企业必然选择另一项活动。因此，企业的行为目标是追求利润最大化。利润最大化并不

24、意味着企业必赚不亏，而是说：如能获利，就要获得最大的利润；如果亏损，就要做到让损失最小。可见，利润最大的生产安排才是企业的最佳安排，生产最优化就是指企业要实现利润最大化。下面，我们将分别从要素视角和产品视角，考察利润最大化的意义及其实现条件。假定生产函数为 f (x)，产品价格为q, 要素价格体系为 w = (w1,w2,wn)。于是，全部商品的价格向量为 p = (w, q)。(一) 利润最大化：要素视角 从要素投入角度看，企业生产活动可用要素投入向量 来代表。生产活动 x的总收入TR(x)、总成本TC(x)及利润 (x)分别为：TR = TR(x) = q f (x)，TC = TC(x)

25、 = w x， (x) = TR TC = q f (x) w x。 利润最大化可表述为max (x)，即企业要选择投入方案 使得 。显然，这个方案 x* 取决于价格体系 (w, q)：x* = x*(w, q)，称为价格(w, q)下的利润最大化投入方案。 既然企业是按照x*来组织生产的，价格体系(w, q)便决定了企业的利润水平 。 显然，利润 与 具有不同的意义。要素利润函数：间接利润函数：xQoqQ wx = (w, q)投入产出空间还可从投入产出角度表述利润最大化问题 max (x) (如右图所示，其中Q* = f (x*)：等利润线即(x*,Q*) 是生产函数曲线与等利润线的切点。

26、1. 利润最大化的实现条件 在利润最大化投入方案 x*处, 必有 (x*)/xh = 0( h =1,2, n), 即此式叫做要素边际方程，由此可得到利润最大化的实现条件。边际成本均等条件：企业实现利润最大化当且仅当不论通过增加哪种要素投入来增加产出，增加单位产出所增加的成本都是一样的，并且都等于产品价格，即当且仅当下式成立：边际替代率条件：企业实现利润最大化当且仅当任何两种要素之间的边际替代率都等于相应的价格比，即当且仅当下式成立： 边际产出均等条件：企业实现利润最大化当且仅当把一单位资金不论用于增加哪种要素投入，所增加的产量都是一样的，并且都等于一单位销售收入所卖出的产品数量，即当且仅当下

27、式成立：MR=MC原理：企业实现利润最大化当且仅当任何要素投入的边际收益(边际产值 )都等于该要素投入的边际成本(即wh)。2. 利润最大化与规模报酬 在利润最大化投入方案 x* 处，企业的规模弹性 (x*)如下：利润最大化时，企业的规模弹性等于总成本与总收入之比。定理 假定生产函数满足假设PF且企业实现了利润最大化。如果规模报酬递增，那么企业处于亏损状态；如果规模报酬不变，那么企业处于不盈不亏损状态；如果规模报酬递减，那么企业处于盈利状态。 一般来说，企业在发展的初期阶段，存在着规模经济，规模报酬递增，但企业还处于亏损状态。随着生产规模的逐渐扩大，各种要素的潜力越来越得到充分发挥，规模经济随

28、之消失，企业进入规模报酬不变或递减的发展阶段，从而开始盈利。因此，企业要想扭亏为盈，就必须以利润最大化为目标，逐渐扩大规模，充分享受规模经济的好处，直至最后到达规模报酬不变或递减的水平。(二) 利润最大化：产品视角可见，不论是产品视角还是要素视角，间接利润函数 都是一样的。 还可用产出成本空间表述利润最大化问题max (Q) (如左图所示, 其中C*=TC(Q*)：CQ*qQ C =TCQC*(q, 1)产出成本空间o等利润线 从产出角度看，企业的生产活动可用产量 Q 表示。活动 Q 的总收入TR = TR(Q) = qQ，总成本TC = TC(Q) = C(w, Q)，利润 = (Q) =

29、TR(Q) TC(Q) = qQ C(w, Q)。函数 = (Q) 就叫做产品利润函数。 利润最大化可表述为max (Q)，即企业要选择产量Q*使得利润达到最大： (Q*) = max (Q): Q 0。显然，该产量Q*取决于价格体系(w, q)：Q* = Q*(w, q)，称为(w, q)下的利润最大化产量。既然企业是按照Q*来组织生产的，因此(w, q)决定着企业的利润水平 ：注意，(Q*,C*) 是总成本曲线与等利润线的切点。1. 实现利润最大化的条件 在利润最大化产量 Q*处，必有d (Q*)/dQ = 0，即此式叫做产品边际方程，由此可得到利润最大化的实现条件。利润最大化的产品视角与

30、要素视角之间的关系：若x* = x*(w, q)是利润最大化投入方案，则Q* = f (x*)是价格体系(w, q)下的利润最大化产量，并且 x* 也是产量水平Q* 上的成本最小化投入方案 ；若Q* = Q*(w, q)是利润最大化产量，则产量水平Q*上的成本最小化投入方案 x* 就是价格体系(w, q)下的利润最大化投入方案；若x* = x*(w, q)是利润最大化投入方案，Q* = Q*(w, q)是利润最大化产量，则 Q* = f (x*) 且 w x* = C(w, Q*)。MR=MC原理：在生产函数为凹函数的情况下，企业实现利润最大化的充分必要条件是产品的边际收益(即产品价格 q)等

31、于产品的边际成本(即 )。2. 利润最大的长期规模弹性第9次作业 在利润最大化产量 Q* 处，企业的长期规模弹性 如下：利润最大化时，长期规模弹性等于总成本与总收入之比。 设生产函数 f (x) 满足假设PF且 二阶可微，要素价格向量 w 0 既定， 为条件要素需求映射， = (w, Q) = (Q)为相应的成本最小化拉氏乘数，C = C(Q)为成本函数。证明：第12讲 供给理论供给理论主要研究产品供给与要素需求随价格变化而变动的规律。之所以把要素需求纳入供给理论，是因为企业对要素的需求可以视为对要素的负供给。竞争性企业依据既定的价格，遵循利润最大化准则，选择要素投入与产品供给方案。那么价格变

32、动如何影响企业的选择？又有多大的影响？各个企业的产品供给共同构成了社会的产品总供给，那么总供给又有何特点？这些都是供给理论中的重要问题。本讲回答这些问题。为此，本讲安排了以下三个内容。单一产品的供给多种产品的供给总供给 1 单一产品的供给假定生产函数 满足假设PF且二阶可微，其二阶导数矩阵 叫做海森矩阵。生产的边际报酬递减规律可表述为：海森矩阵 负定，并可用 表示之。企业在利润最大化的行为准则下，依据既定的要素价格体系 w = (w1,w2,wn) 和产品价格 q，把要素投入 x* 和产品产量 Q* 同时确定下来，从而形成了企业的要素需求与产品供给：我们关注的问题是价格变动会给企业的要素需求与

33、产品供给带来怎样的变化。这个问题之所以重要，是因为我们考虑的企业属于竞争性企业，其行动完全依据价格而定。又之所以不考虑影响企业决策的其他因素，是因为这些非价格因素对于我们的分析来说是非本质性的，何况引入这些因素还会使分析复杂化，有失简明。一、要素需求 从要素视角看待企业的利润最大化行为，各种要素的最优投入量便得以确定，即得到利润最大化投入方案 x* = x*(w, q)，这就形成了企业对要素的需求。鉴于此，我们把利润最大化投入向量 x*叫做企业的要素需求向量，简称要素需求(demand of factors)。 根据生产理论的有关知识，要素需求 x*由下述边际方程确定：其中 为要素h的边际收益

34、(边际产值)，价格wh为要素h的边际成本。由此可见，利润最大化的行为准则道明了企业的要素使用原则：要求要素的边际收益(边际产值)等于要素的边际成本(价格)。 如果要素的边际收益高于要素价格，那么该要素的投入量还应该增加以提高利润；如果要素的边际收益低于要素价格，那么该要素的投入量应该减少以提高利润。只有当要素的边际收益等于要素价格的时候，利润上升空间才会消失，即利润达到最大，从而要素的投入量才会确定下来，这就是要素需求。(一) 要素需求函数的确定 要素需求向量 x*随价格的变动而变动，这样便形成要素需求与价格之间的一种对应关系 x* = x*(w, q)，称为要素需求映射。 定理 设海森矩阵

35、f (x)负定： 。则要素需求映射 x* = x*(w, q) 由边际方程 q f (x*) = w 唯一确定，并且连续可微。 的各个分量函数就是要素需求函数，即 是要素h 的需求函数。 上述定理表明：要素需求函数 是由边际方程组 唯一确定的隐函数，并且连续可微。 因此，在产品价格q 既定的情况下，从要素投入 x 到要素价格w的映射w = q f (x) 正是要素需求映射 x* = x*(w, q) = x*(w) 的逆映射。(二) 要素需求函数的性质要素需求函数 是零阶齐次函数，即证明：这是因为对任何实数 t 0，函数 t q f (x) t w x 在 中的最大值点与函数 q f (x)

36、w x 在 中的最大值点是相同的。要素需求函数的零阶齐次性表明，要素与产品价格的同比例变动对要素需求(从而对产品供给)没有影响。据此，假如想要知道企业是否实现了利润最大化，那么可做这样的观察：让产品价格和所有要素价格都加倍，而其他条件不变。如果发现企业对某些要素的投入发生了变化，那么就不得不说该企业没有做到利润最大化。 当要素需求 时，必有f (x*) 0，从而在产品价格 q 既定条件下，要素需求x*与要素价格w 之间呈反向变动关系。证明：这是从 (x) = q f (x) w x 达最大值的二阶必要条件 (x)0及 (x) = q f (x) (q 0)得出的结论。二、产品供给 从产品视角看

37、待企业的利润最大化行为，产品的的最优产量便得以确定，即得到利润最大化产量 Q* = Q*(w, q)，这就形成了企业对产品的供给。鉴于这个原因, 我们把利润最大化产量Q*叫做企业的产品供给(supply of product)。 根据生产理论有关知识，产品供给 Q* 由下述边际方程确定：其中价格 q 为产品的边际收益(边际收入)，C(w, Q*)Q为产品的边际成本。由此可见，利润最大化行为准则道明了企业的产品供给原则：要求产品的边际收益(产品价格)等于产品的边际成本。 如果产品价格高于产品的边际成本，那么应该提高产量以提高利润；如果产品价格低于产品的边际成本，那么应该降低产量以提高利润。只有当

38、产品价格等于产品的边际成本的时候，企业的利润上升空间才会消失，即利润达到了最大，从而产品的产量才会确定下来，这就是产品供给。(一) 产品供给函数的确定 产品供给Q*随价格的变动而变动, 这就形成了产品供给与价格之间的一种对应关系 Q* = Q*(w, q)，称为产品供给函数。 定理 设海森矩阵 f (x)负定： 。则产品供给函数 Q* = Q*(w, q) 由方程 C(w, Q*)Q = q 唯一确定且连续可微。 在要素价格体系 w 既定不变的条件下，产品供给Q*仅仅是产品价格 q 的函数，生产成本C 仅仅是产量Q的函数： 与产品价格q 之间呈现出关系“q = MC(Q) = C (Q)”。可

39、见，从产品供应量 Q 到产品价格 q 的函数 q = MC(Q) 是产品供给函数 Q* = Q*(w) 的反函数，即边际成本曲线 MC 与产品供给曲线 S 重合。QqoMCSQ*qMCQ*=Q*(q)q= MC=C (Q*)供给曲线与边际成本曲线重合 于是，从上述定理知，产品供应量Q(二) 产品供给函数的性质产品供给函数 Q*=Q*(w, q) 是零阶齐次函数，即 证明：这是因为要素需求 x* 与产品供给 Q* 之间存在着这样的关系：Q*(w, q) = f (x*(w, q)，而要素需求映射 x* = x*(w, q) 又是零阶齐次的，因此产品供给函数 Q* = Q*(w, q)也具有零阶齐

40、次性。产品供给函数的零阶齐次性表明，要素与产品价格的同比例变动对产品供给没有影响。据此，假如想知道企业是否实现了利润最大化，那么可让产品价格和所有要素价格都加倍，让其他条件保持不变。若发现企业改变了产品供应量，那么就可以肯定地说，企业没有实现利润最大化。 当产品供给 Q* = Q*(w, q) 0 时，必有 C (Q*) 0，从而在要素价格w 既定的条件下，产品供给 Q* 与产品价格 q 同向变动。证明：C (Q*) 0主要源于 f (x*) 0，其中 x* 是产量 Q* 上的成本最小化投入方案(也是(w, q)下的利润最大化投入方案)。三、价格变动对要素需求与产品供给的影响 为了分析价格变动

41、对要素需求和产品供给究竟会带来多大的影响，假定海森矩阵 f (x)负定： ，并假定要素价格在w的基础上发生了微小变动 ，产品价格在 q 的基础上发生了微小变动d q，从而引起要素需求 x*发生了微小变动 ，产品供给 Q*发生了微小变动 dQ*。 既然要素需求函数是由边际方程 q f (x) = w 唯一确定的隐函数关系，因此这些变动dw, dq, dx*, dQ*之间的关系可通过 dQ*= f (x*)dx* 以及在边际方程 q f (x) = w 两边求微分加以表达：写成矩阵形式： ， 移项后即得：注意，矩阵 q f (x) 可逆 (q 0)，可用 S = (shk)nn 表示其逆矩阵，即令

42、(12-1)(一) 要素需求与产品供给的变动公式 用 S 改写公式(12-1)，再结合 dQ*= f (x*)dx*，即可得到要素需求与产品供给变动的微分公式：这就准确地表达了价格变动对要素需求和产品供给的影响大小。进而可得到要素需求与产品供给变动的导数公式：(12-2)(12-3)(二) 替代效应系数 导数公式(12-3)解释了矩阵 S = (shk)的经济含义： 表示要素k的价格上涨一单位所引起的要素h的需求增加量。因此，反映了要素k的价格变化对要素h的需求的影响，反映了要素h与k之间的替代关系。鉴于这个原因，元素shk被称为要素h对要素k的替代效应系数，矩阵 S 就叫做生产要素的替代矩阵

43、。 海森矩阵 f (x)的对称性和负定性以及 q 0保证了替代矩阵 S 也是负定的对称矩阵，再结合(12-3)，便意味着下述四个事实成立：要素h 对k 的替代效应系数等于要素k 对h 的替代效应系数，即任何要素对自身的替代效应系数都为负，因而任何要素的需求曲线都向右下方倾斜： 。产品供应量与产品价格之间呈同向变动关系，产品供给曲线向右上方倾斜： 。对任何要素来说，产品价格上涨一单位所引起的对该要素的需求增加量等于该要素价格上涨一单位所引起的产品供给减少量，即(三) 要素需求与产品供给公理 至此，我们看到了要素需求与产品供给的一般性特征，这些特征常被用作要素需求与产品供给的判别准则。具体来说，下

44、面四个命题通常被认为是要素需求与产品供给应该服从的公理： 齐次性公理 要素需求函数 与产品供给函数 都是价格 (w, q) 的零阶齐次函数。可微性公理 要素需求函数 与产品供给函数 都是价格 (w, q) 0 的连续可微函数。对称性公理 对任何价格体系 (w, q) 0，都有下式成立：负定性公理 对任何价格体系 (w, q) 0，替代矩阵 都是负定的。间接利润函数反映了最大利润水平 与价格体系 (w, q) 之间的关系： ，类似于间接效用函数。利用间接利润函数，可进一步揭示要素需求与产品供给的深层次特点。 四、间接利润函数的性质通过间接利润函数 ，可以确定要素需求x*和产品供给Q*：道理：企业

45、投入 单位的要素h，生产Q*单位的产品，获得 个单位的利润。在这个过程中，如果要素 h 的价格上涨一单位，那么企业利润当然减少 个单位，即 ；如果产品价格上涨一单位，那么企业利润当然增加Q*个单位，即 。间接利润函数 是要素价格 w 的递减函数，是产品价格 q 的递增函数。(一) 间接利润函数的一阶齐次性间接利润函数 是价格 (w, q) 的一阶齐次函数。 此条性质的经济意义：假定要素价格与产品价格以同样的倍数上涨。企业的要素需求量和产品供给量都不发生变化，因此要素报酬和产品销售收入要随之上涨了同样的倍数，这就导致企业的经济利润跟着上涨了同样的倍数。可见，这个社会中所有的人（要素所有者和要素雇

46、佣者）的收入都上升了与物价上涨同样的倍数。 结合消费者理论可知，每个人的需求函数都是零阶齐次的。由于要素价格、产品价格及所有人的收入保持了同比例增长，因此每个人的消费需求都不会改变。如此一来，让所有商品(要素和产品)的价格同比例增长，这种通货膨胀方式不但保持了大家的消费需求不变、人们的生活水平不变、产品供给不变、要素需求不变，而且让企业的利润得到了同比例增长，从而鼓励着企业进行生产。从这个意义上讲，通货膨胀对社会及生产发展都是有益的。 (二) 间接利润函数的凸性 间接利润函数 是价格 (w, q) 的凸函数。 第一种经济意义：平均利润高于平均价格下的利润。 情形 A：前期，产品价格高，要素价格

47、低，利润丰，生产安排多；后期，产品价格低，要素价格高，利润薄，生产安排少。前期与后期的利润确定了每期的平均利润 A。 情形 B：按照前期与后期价格的平均水平安排每期的生产，这样，各期都获得了同样的利润 B。 间接利润函数的凸性表明： A B。所以，还是根据各期的不同价格水平来相应地安排各期的生产为好，不可“一刀切”。 第二种经济意义：企业在价格冒险中是风险爱好者。 企业面对的既定价格为c, 但可以选择参加一个公平赌博以改变价格。赢：可获得有利的价格 a，概率为t；输：将得到不利的价格b，概率为1 t。要是不赌，则只能接受既定价格 c = t a +(1 t) b(此等式来自于公平赌博)。 间接

48、利润函数的凸性表明： 赌博的预期利润高于不赌的利润，即 。因此，企业的选择是参加这个赌博。可见，在价格冒险中，企业是一个风险爱好者。企业一般都要开展多种经营，而不只生产一种产品。因此，更普遍、更符合实际的情况是多种产品的生产。现在，我们就来讨论多种产品情况下企业生产活动的特点，建立多种产品的供给理论。我们的目标是建立一种通用的分析框架。为此，假定所涉及的商品共有 种，其中有些是要素，有些是产品，还有一些属于中间商品(即为生产所必需但不耗损的商品)。这样，商品空间为 。多种产品情况下，生产活动是用“净产出向量”来表达的。任何生产活动都表现为投入若干种要素和中间商品，得到若干种产品和中间商品的“投

49、入产出”过程。用产出端“减去”投入端，便得到净产出向量：负分量表示该商品是要素，投入端为一个正值，产出端为零；正分量表示该商品是产品，投入端为零，产出端为正值；零分量表示该商品要么不参与生产过程，要么是中间商品(比如投入到生产中的土地)，投入端与产出端同数值。2 多种产品的供给一、多种产品的生产技术投入一定数量的若干种要素，生产一定数量的若干种产品，这种生产活动必然受到企业生产技术水平的制约。比如，那种投入太少而产出企图太多的生产，为现有技术所做不到。因此，企业的生产技术水平划定了一道界限：不超越界限的生产活动，从技术上看是可行的，可以安排；超出界限，为技术所不允许，不可安排。可见，这道界限是

50、对企业生产技术水平的准确描述，称为技术界限。现在，生产活动用净产出向量 来表示，技术界限便圈定了商品空间 中的一个范围 Y ：该范围中的生产活动都是技术可行的，可以安排；超出该范围的生产活动都不可行，不可安排。这个范围 Y 叫做企业的生产集合(production set)。生产集合是对技术界限的准确表达，是生产技术水平的完全反映，代表企业生产技术。生产活动 y 必须服从限制 yY ，这被称为是企业组织生产活动所受到的技术约束(technical constraint) 。(一) 生产集合的事例 例1. 单一产品情形的生产集合 企业用 n 种要素生产一种产品，生产函数为 。投入 x，得到产量

51、y 的生产过程的净产出向量为 (x, y)。 这样，企业的生产集合Y 便为： 例2. 两种产品情形的生产集合 企业用1种要素生产2种产品。若只生产第一种产品，生产函数为 ；若只生产第二种产品，生产函数为 ；若同时生产两种产品，则产品之间按照下述方程转换： 。生产集合为：ox yY x y1 y2Y (二) 生产集合的特点 作为对生产技术水平的表述，生产集合具有一些普遍特点。当然，技术越高超，生产集合的特点就越突出。 特点1(前沿性)：生产集合 Y 是商品空间 的闭子集。 意义：允许对任何技术可行的生产过程进行不断改进，直至达到极限前沿：任何一系列技术可行生产活动的极限依然是技术可行的。因此，生

52、产集合的闭性反映了生产活动可追求技术前沿。 特点2(包容性)： 意义：如果技术上允许开展一种生产活动，那么技术上也就允许开展比这种活动的投入更多或者产出更少的生产活动。 特点3(不免费)： (其中0 代表零向量) 特点4(不可逆)：Y (-Y ) = 0 (其中-Y =-y : yY ) 意义：产品不能无中生有；一种技术把要素变成了产品，那么这种技术就不能把产品又变回成要素。(三) 技术有效性 对y, zY，若 y z，则称 y 被 z 包容 或 z包容 y，且易见 y 无效率( y 比 z 的投入更多些，而比 z 的产出更少些)，因而可说活动 y 是技术无效的。由此可引出技术有效性概念。 生

53、产可能性前沿位于生产集合边界上：Fr(Y ) Y 。但生产集合边界 Y 并非全是生产可能性前沿。在单一产品情形，生产可能性前沿 Fr(Y ) 对应于有效投入区。若企业生产能力有限，则对任何 y Y ，Y( y)Fr(Y ) 。不生产(不投入、不产出)也是技术有效的，即 0Fr(Y ) 。生产活动 y 称为是技术有效的，是指 y Y 且没有 z Y 能够满足“ y 0)。(五) 边际转换率 商品 h 到 k 的边际转换率 MRThk ( y)，是指在技术有效生产活动 y处，若商品 h 的数量减少一单位，为保证生产依然技术有效，所需增加的商品 k 的数量(这里，其他商品的数量保持不变)。 利用广义

54、生产函数 f ，可给出边际转换率公式。假定在生产活动 yFr(Y )处，h 的数量减少了d yh个单位且 k 的数量减少了d yk 单位以后，生产活动依然技术有效。则依定义， MRThk( y) = d yk /d yh。注意， 0 = d f ( y) = f hd yh fkd yk (其他商品数量未变)。于是，我们有： 单一产品情形的边际产出和边际替代率统一在边际转换率下。 单一产品时，广义生产函数 ，其中 为单一产品生产函数。根据边际转换率公式，可知： 边际转换率公式可见，边际替代率和边际产出在边际转换率下得到了统一。规模报酬不变齐次技术齐次技术(规模报酬不变技术)：(yY )(t 0

55、)( t yY )规模报酬不减技术：(yY )(t 1)( t yY )规模报酬不增技术：(yY )(0 t 1)( t yY )(六) 几种特点鲜明的技术 凸技术：(x, yY )(0 t 0。(一) 净供给的决定 企业的目标函数：价格体系 p 决定的利润函数 : Y R(yY )( ( y) = p y) 利润最大化：max ( y) : yY 净供给：y* = ( p) Y s.t. p y* = max ( y) : yY 净供给向量必在生产可能性前沿上，即 ( p) Fr(Y )。净供给向量 y*正是等利润线与生产可能性前沿 Fr(Y ) 的切点。 利润为 的等利润线L( ) ：L(

56、 ) = y Y : p y = 。 确定 y* = ( p) 的边际方程：p = f (y*)，其中 0 为拉氏乘数。 企业的目标是要选择一种生产活动 y* Y 以使企业利润达到最大，即使得 p y* = max ( y) : yY 。这个向量 y*就叫做企业在价格体系 p 下的均衡(向量)，或叫做净供给向量，简称净供给，记作 ( p)，即 y* = ( p) 。Fr(Y )L( )(等利润线) y* p Q x o净供给凸技术并不是对生产技术提出的苛刻要求，通常都能达到这一要求。因此，净供给 y* = ( p) 一般都能通过边际方程来确定。当价格变动时，y* = ( p) 便成为映射，称为

57、净供给映射。这样，净供 给映射 y* = ( p) 是由边际方程 确定的隐函数关系。1. 利润最大化的一阶条件 这个条件能否充分呢？下述定理回答了这一问题。 定理 在凸技术 Y 下，对任何 yFr(Y )及价格向量 p 0，若存在实数 0 使得 p = f (y)，则 y = ( p)，即 y 使企业利润达到最大。 可见，在凸技术下，利润最大化的一阶必要条件还是充分的：凸技术下，企业生产实现利润最大化 当且仅当 生产活动技术有效并且任何两种商品之间的边际转换率都等于相应的价格比。边际方程 p = f (y*)给出了实现利润最大化的一阶必要条件：任何两种商品之间的边际转率都等于相应的价格比，即

58、f ( y*) 在 ( y*) 上半正定，是指 。对于 y*Fr(Y ) ，若存在实数 使得 p = f (y)，且 f ( y*) 在( y*)上正定，即 ，则 y* = ( p)。2. 利润最大化的二阶条件 在研究净供给时，利润最大化的二阶条件往往很有用。根据微积分知识，函数达到极大值的二阶必要条件是海森矩阵半负定。由此可得利润最大化(也即确定净供给)的二阶必要条件： 二阶必要条件的几何意义：在利润最大化点 y*附近，生产可能性前沿Fr(Y ) 位于该点处的切线(切平面)T(y*)的下方。 进一步，还可以得到利润最大化的二阶充分条件： 对任何 y*Y ，若 y* = ( p)，则 f (

59、y*) 在切空间( y*)上半正定。这里，切空间 ( y*) 是指 ； 定义(强拟凸性) 如果对任何 yFr(Y )，f ( y)都在切空间( y) 上正定，则称 f 是强拟凸的广义生产函数。在强拟凸技术下，利润最大化的一阶必要条件也是充分的。(二) 价格变动对净供给的影响净供给 ( p)随价格 p 变化而变化的一般规律如下：零阶齐次性：同向变动性： 为了分析价格变动对净供给会带来多大的影响，假定广义生产函数 f 强拟凸，并假定价格 p 发生了变动 ，引起净供给 y* =( p)发生了变动 。通过在边际方程两边求全微分，即可表达清楚 d p 与 d y* 之间的关系： 写成矩阵形式，即 。我们

60、把这个 方程叫做净供给基本矩阵方程。1. 净供给映射的可微性 定理 对于强拟凸的广义生产函数 f 来说，对任何 yFr(Y )及任何实数 0，雅克比矩阵 J = J ( y, ) 都是可逆的对称矩阵。 根据此定理及隐函数存在定理，即知存在唯一的映射y* = ( p)满足边际方程并且连续可微，这个映射就是净供给映射。 可以看出，净供给基本矩阵方程中的 正是边际方程 的雅克比矩阵 J = J ( y*, )：净供给映射的存在性与可微性：在强拟凸的广义生产函数下，净供给映射 y* = ( p) 不但唯一存在，而且连续可微。 既然 J = J ( y*, ) 可逆，那么可把其逆矩阵 写成如下形式：2.