第十章第二节典型一阶微分方程

1、 第二节第二节 一阶微分方程一阶微分方程 含有未知函数的导数或微分的方程称为含有未知函数的导数或微分的方程称为微分方程微分方程. . 微分方程中未知函数的的导数的最高阶数称为微分方程中未知函数的的导数的最高阶数称为微分微分方程的阶。方程的阶。、微分方程、微分方程、 微分方程的阶微分方程的阶2 2、线性微分方程与非线性微分方程、线性微分方程与非线性微分方程如果微分方程中所含的未知函数及未知函数的如果微分方程中所含的未知函数及未知函数的各阶导数都是各阶导数都是一次一次的，称为的，称为线性微分方程线性微分方程。不是线性方程的微分方程，称为不是线性方程的微分方程，称为非线性微分方程非线性微分方程。一、

2、微分方程的基本概念一、微分方程的基本概念复习3 3、微分方程的解、通解、特解、微分方程的解、通解、特解如果把一个函数代入微分方程后，如果把一个函数代入微分方程后，使微分使微分方程成为恒等式，方程成为恒等式， 则称此函数为则称此函数为微分方程的解微分方程的解. . 若微分方程的解中含有若微分方程的解中含有独立独立的任意常数的任意常数, ,通解通解: :且任意常数的且任意常数的个数个数与微分方程的与微分方程的阶数相同，阶数相同， 则称这样则称这样的解为微分方程的通解。的解为微分方程的通解。或确定了通解中任意常数以后的解或确定了通解中任意常数以后的解. .特解特解: :把微分方程中不含任意常数的解，

3、把微分方程中不含任意常数的解， 称为微分称为微分方程的特解。方程的特解。复习解解: : 第二节第二节 一阶微分方程一阶微分方程 根据微分方程本身的特点，一阶微分方程可分为以根据微分方程本身的特点，一阶微分方程可分为以下几种下几种基本类型基本类型：1. 可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程2. 齐次微分方程齐次微分方程4. 一阶线性微分方程一阶线性微分方程5. 贝努利微分方程贝努利微分方程 一阶微分方程的基本类型要熟练掌握，一阶微分方程的基本类型要熟练掌握，其它其它类型的类型的一阶方程往往可以一阶方程往往可以通过变量代换通过变量代换或或交换交换x、y的位置的位置化为化为基本类型解决。基本类型

4、解决。主主要要研研究究 第二节第二节 一阶微分方程一阶微分方程 3. 可化为齐次方程的方程可化为齐次方程的方程6. 全微分方程全微分方程一阶微分方程的一阶微分方程的初值问题初值问题为为 000),(yyyyxFxx一阶微分方程的基本形式为一阶微分方程的基本形式为 0)( x,y,yF ),(yxfy 或或 第二节第二节 一阶微分方程一阶微分方程 )()( dxxNdyyM 或或微分方程的初等解法微分方程的初等解法: :求解微分方程求积分(通解可用通解可用初等函数初等函数或或积分积分表示表示) )初等积分法 第二节第二节 一阶微分方程一阶微分方程 dxxfdyyg)()( 例例dxxdyy254

5、2 1、定义：、定义：形如形如的一阶微分方程，的一阶微分方程， 称为称为已分离变量的微分方程已分离变量的微分方程. .形如形如)()(ygxfy 的一阶微分方程，的一阶微分方程， 称为称为可可分离变量的微分方程分离变量的微分方程. .（1）（2）5422yxdxdy 一、可分离变量的微分方程一、可分离变量的微分方程 )( )(dd ygxfxy 或或 方程的主要特征：方程的主要特征：可分解成可分解成变量变量 x 的函数与变量的函数与变量 y 的函数之积的函数之积.等式左端为一阶导数，等式左端为一阶导数，等式右端等式右端 第二节第二节 一阶微分方程一阶微分方程 2、解法、解法 dxxfdyyg)

6、()(1CxFyG )()(则则为微分方程（为微分方程（2 2）的通解）的通解分离变量分离变量（分离变量法）（分离变量法）, 0)( yg且且)()(ygxfdxdy 方方程程对对于于可可分分离离变变量量的的微微分分（2）则由（则由（2 2）可得，）可得，dxxfdyyg)()(1 两端积分得，两端积分得，,0)(0 yg若若.)2(0)(0的的解解也也是是方方程程的的根根则则yyyg ,)()(1的的原原函函数数和和xfyg(隐式通解隐式通解）.一、可分离变量的微分方程一、可分离变量的微分方程分分离离变变量量法法两边积分两边积分分离变量分离变量 )( )(dd ygxfxy dxxfdyyg

7、)()(1 dxxfdyyg)()(1积分得通解积分得通解CxFyG )()(一、可分离变量的微分方程一、可分离变量的微分方程.2dd的的通通解解求求微微分分方方程程xyxy 两两端端同同时时积积分分，得得12|ln Cxy 原原方方程程分分离离变变量量得得解解,ee 21xCy 即即2e xCy 则则有有通通解解1eCC 若记若记，xxyyd2d ， xxyyd2d，即即2112eee| xCCxy 在上述求解过程中，为了书写方便，在上述求解过程中，为了书写方便，,|ln12中中Cxy 可以忽略绝对值，可以忽略绝对值，用用并并且且将将1C 在在等等式式代替。代替。Cxylnln2 Cxyln

8、2e .0 的的讨讨论论有有时时也也可可忽忽略略对对 y可通过扩大任意可通过扩大任意,C 的的取取值值范范围围常常数数则失去的解仍包含通解中。则失去的解仍包含通解中。（C为任意常数）为任意常数）.Cln例例1一、可分离变量的微分方程一、可分离变量的微分方程得得的的各各项项及及先先合合并并,dydxdxydyxy)1()1(2 dxxdyyy1112 12ln)1ln()1ln(21Cxy 则原方程的通解为则原方程的通解为解解分离变量得分离变量得于是于是2212)1(1 xCy,21CC 记记22) 1(1 xCy两端积分两端积分dxxdyyy 1112.2通通解解的的求求方方程程ydydxyx

9、ydydx （C为任意常数）为任意常数）.例例2一、可分离变量的微分方程一、可分离变量的微分方程 .0d)1(d)1( 22的的通通解解求求微微分分方方程程 yyxxyx例例3xxxyyyd1d122 解解两两端端积积分分， 积积分分后后得得 化化简简得得将方程变形分离变量得将方程变形分离变量得，有有 xxxyyyd1d1 22，Cxyln21)1ln(21)1ln(21 22 )1(122xCy （C为任意常数）为任意常数）.一、可分离变量的微分方程一、可分离变量的微分方程例例4 求解微分方程求解微分方程 .3122yyxy dxxdyyy22311 Solution: 分离变量得分离变量得

10、两边积分两边积分 dxxdyyy22311从而从而Cxy 3112).C( 是任意常数是任意常数.60dcos)1(dsin2 12的的特特解解初初值值条条件件满满足足求求微微分分方方程程 xyyyxxyx例例5一、可分离变量的微分方程一、可分离变量的微分方程.60dcos)1(dsin2 12的的特特解解初初值值条条件件满满足足求求微微分分方方程程 xyyyxxyx例例5 由由原原方方程程分分离离变变量量得得解解两两端端积积分分， 积积分分得得 方程的通解为方程的通解为,61代代入入通通解解中中把把初初值值条条件件 xy. 1sin)1( 2 yx，xxxyyyd12dsincos 2 xx

11、xyyyd12dsincos 2有有) 0( ln) 1ln(sinln2 CCxy).( sin)1(2是任意常数是任意常数CCyx ，得得1 C 为为于于是是，所所求求方方程程的的特特解解一、可分离变量的微分方程一、可分离变量的微分方程由题设条件由题设条件ddMtM dd ,MtM ,00MMt 代代入入,lnlnCtM ,tCeM 即即00CeM 得得,C teMM 0衰变规律衰变规律,dMdt衰变速度衰变速度),0(衰变系数衰变系数 M,dtdM解解一、可分离变量的微分方程一、可分离变量的微分方程二、齐次微分方程二、齐次微分方程形如形如 xyfdxdy微分方程的右端为齐次函数微分方程的

12、右端为齐次函数. .若若 这里这里t为任意为任意),(),(yxFttytxFn 则称则称 为齐次函数）为齐次函数） ),(yxF例例 下列方程为齐次微分方程下列方程为齐次微分方程.,22xxyydxdy ,tan3xyxydxdy 定义定义称为称为齐次微分方程齐次微分方程. .实数，实数，（齐次函数齐次函数是指：是指：齐次微分方程的齐次微分方程的特点特点：)(yxy 或或的的微分方程，微分方程， . 03)(233 dyxydxyx 第二节第二节 一阶微分方程一阶微分方程 ),(ufdxduxu xuufdxdu )(可分离变量的方程可分离变量的方程(化为化为可分离变量的微分方程可分离变量的

13、微分方程)（4）齐次微分方程的解法对齐次微分方程对齐次微分方程,xyu ,xuy 即即作变量代作变量代换换, xyfdxdy两边求导得两边求导得dxduxudxdy 将其代入原方程，将其代入原方程，得得(变量替换法),)( xdxuufdu积积分分得得,回回代代再再将将xyu ,)(xdxuufdu 则则求出积分后，求出积分后，即得原方程的解。即得原方程的解。分离变量得分离变量得它的通解为它的通解为 Cxuufduln)(二、齐次方程二、齐次方程1 1、可分离变量的微分方程、可分离变量的微分方程: :小结分离变量法分离变量法作业作业 P384 1(1)(4) ，4（1）)()(ygxfdxdy

14、 微分方程的解、微分方程的解、 通解、通解、 特解特解一、微分方程的基本概念一、微分方程的基本概念二、一阶微分方程的求解二、一阶微分方程的求解变量替换法变量替换法2 2、齐次方程、齐次方程: : xyfdxdy第二节 一阶微分方程1. 1. 可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程2. 2. 齐次微分方程齐次微分方程3. 3. 一阶线性微分方程一阶线性微分方程1 1、可分离变量的微分方程、可分离变量的微分方程: :复习分离变量法分离变量法)()(ygxfdxdy 一阶微分方程的求解一阶微分方程的求解变量替换法变量替换法2 2、齐次方程、齐次方程: : xyfdxdy,xyu )(yxy 或或第

15、二节 一阶微分方程1. 1. 可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程2. 2. 齐次微分方程齐次微分方程3. 3. 一阶线性微分方程一阶线性微分方程例例1 1 求微分方程求微分方程 的通解的通解xyxydxdytan3 作变量代换作变量代换,xyu ,tan3uuudxdux ,tan3xudxdu 即即分离变量取积分，得分离变量取积分，得 ,3tan xdxudu求不定积分，得求不定积分，得 ,lnln3sinlnCxu 即即,sin3Cxu 将将 回代，回代，xyu .sin3Cxxy 解解,xuy 即即则则得到原方程的通解为得到原方程的通解为二、齐次方程二、齐次方程例例2 2 求微分方

16、程求微分方程 的通解的通解. .解解即即分离变量取积分，得分离变量取积分，得 求不定积分，得求不定积分，得 即即将将 回代，回代，xyu 22xxyydxdy ,12 uuudxdux,)1( uxudxdu,1 xdxduuu,lnln1Cxuu , 1uCuCeexu .xyCey ,xyu 作变量代换作变量代换,xuy 即即则则得到原方程的通解为得到原方程的通解为 原方程可写为原方程可写为dxdy12 xyxy二、齐次方程二、齐次方程.)(222的的通通解解求求微微分分方方程程dxxxyydyx 解解 原方程可改写成原方程可改写成dxdy122 xyxy有有设设,xyu ,uxy dxd

17、uxudxdy 代入原方程得代入原方程得dxduxu , 12 uudxdux即即, 122 uu分离变量得分离变量得xdxudu 2)1(两边积分得两边积分得cxuln11 ,回回代代将将xyu 则原方程的通解为则原方程的通解为.lncxyxx 例例3二、齐次方程二、齐次方程例例4 4 求解微分方程求解微分方程(cos)dcosd0.yyxyxxyxx ，令令xyu (cos )dcos ( dd )0,xuxuxxu u xx u dcos d,xu ux ,lnsinCxu .lnsinCxxy 微分方程的通解为微分方程的通解为解解，则则xduudxdy 二、齐次方程二、齐次方程例例5.

18、)yx(2edx )2e(1yxyx的的特特解解满满足足条条件件求求1 10 01 10 0 xydySolution. 分分离离变变量量并并积积分分得得：原原方方程程可可化化为为齐齐次次方方程程yxyxeeyxdydx/21)1/(2 ，令令yxu ,uyx 则则dyduyudydx 且且原原方方程程变变为为uueeudyduyu21) 1( 2 uueeudyduy212 即即：C)2e(u u y即即：Cylnln2eulnu 二、齐次方程二、齐次方程：代代入入，得得所所求求通通解解将将 yxu , 1 10 0 yx时时又又当当：所所求求特特解解为为 .2ye2 2 yxxC)2e(u

19、 u y即即：.2yeCxyx 二、齐次方程二、齐次方程例例5.10)yx1(2edx )2e(10yxyx的的特特解解满满足足条条件件求求 xydy. 2 2 C则则得得三、一阶线性微分方程三、一阶线性微分方程形如形如一阶线性微分方程一阶线性微分方程. 的微分方程的微分方程, 0)( yxPy方方程程)()(xQyxPy 也称为与方程也称为与方程相对应相对应的一阶齐次线性微分方程。的一阶齐次线性微分方程。定义定义或称齐次线性方程或称齐次线性方程为非齐次线性方程的为非齐次线性方程的特殊情况特殊情况。称为称为, 0)( xQ当当上方程称为上方程称为一阶一阶齐次线性方程齐次线性方程.上方程称为上方

20、程称为一阶一阶非齐次线性方程非齐次线性方程., 0)( xQ当当特点特点“一阶一阶”：未知函数的导数为一阶未知函数的导数为一阶.“线性线性”：未知函数及其导数都是一次：未知函数及其导数都是一次.)()(xQyxPy 例例,ydxdy ,sin txdtdx , 12 yy一阶一阶齐次齐次线性方程线性方程一阶一阶非齐次非齐次线性方程线性方程非非齐齐次次线线性性微微分分方方程程齐齐次次线线性性微微分分方方程程 0)( yxPy)()(xQyxPy , 1sincos xyxy三、一阶线性微分方程三、一阶线性微分方程（一）一阶（一）一阶齐次齐次线性微分方程的求解线性微分方程的求解齐齐次次线线性性微微

21、分分方方程程 0)( yxPy（一）一阶一）一阶齐次齐次线性微分方程的求解线性微分方程的求解求齐次线性方程求齐次线性方程 的通解的通解. 0)( yxPyyxPy)( xxPyyd)(d ，CxxPylnd)(ln xxPCyd)(e（C为任意常数）为任意常数）( (使用分离变量法使用分离变量法) )（通解公式通解公式）三、一阶线性微分方程三、一阶线性微分方程.0的的通通解解求求解解微微分分方方程程 yyx解解2将方程两边同除以将方程两边同除以x x，得，得01 yxy这是一个齐次线性方程，这是一个齐次线性方程，,1)(xxP 其其中中代入通解公式得代入通解公式得 dxxPCey)( dxxC

22、e1xCeln 例例1.xC （用分离变量法）（用分离变量法）解解1（公式法）（公式法） xxPCyd)(e（通解公式）（通解公式） 0)( yxPy.02dd的的通通解解求求微微分分方方程程 xyxy例例2三、一阶线性微分方程三、一阶线性微分方程.02dd的的通通解解求求微微分分方方程程 xyxy例例2解解,2)(xxP 其其中中这是一个齐次线性方程，这是一个齐次线性方程，代入通解公式得代入通解公式得 dxxPCey)( xdxCe2.e2xC 三、一阶线性微分方程三、一阶线性微分方程.e22dd2的通解的通解求微分方程求微分方程xxxyxy 例例3（二）一阶非（二）一阶非齐次齐次线性微分方

23、程的求解线性微分方程的求解求非齐次线性方程求非齐次线性方程 的通解的通解. )()(xQyxPdxdy （二）一阶非（二）一阶非齐次齐次线性微分方程的求解线性微分方程的求解由于齐次线性方程由于齐次线性方程)()(xQyxPdxdy 0)( yxPdxdy是非齐次线性是非齐次线性方程方程的的特殊情况特殊情况，我们可设想将齐次我们可设想将齐次,)(后后xu线性方程通解线性方程通解 式中的常数式中的常数C换成待定函数换成待定函数 dxxPCey)(有可能是非齐次线性方程有可能是非齐次线性方程即即 dxxPexuy)()(的解。的解。 下面我们研究这种方法的下面我们研究这种方法的可行性可行性。三、一阶

24、线性微分方程三、一阶线性微分方程将上式变形为将上式变形为,)()(dxxPyxQydy 两边积分两边积分,)()(ln dxxPdxyxQy),()(xvdxyxQ为为若若记记 ,)()(ln dxxPxvy dxxPxveey)()(即即为非齐次方程通解形式为非齐次方程通解形式与齐次线性方程通解相与齐次线性方程通解相比比: :)(xuC dxxPCey)( dxxPexu)()(求非齐次线性方程求非齐次线性方程 的通解的通解. )()(xQyxPdxdy 则则 由此，引入求解一阶非齐次线性方程的由此，引入求解一阶非齐次线性方程的常数变易法。（二）一阶非（二）一阶非齐次齐次线性微分方程的求解线

25、性微分方程的求解求非齐次线性方程求非齐次线性方程 的通解的通解. )()(xQyxPy 设设 e )()d( xxPxuy将其对将其对 x 求导求导, 得得是非齐次方程的解是非齐次方程的解, xxPxuy)d(e )(代代入入非非齐齐次次方方程程中中，得得与与将将yy xxPxQxud)(e )()(将上式积分，得将上式积分，得.de )()(d)(CxxQxuxxP 其中其中u(x)为为待定待定.， xxPxuxP)d(e )()( dxxPdxxPexPxuexu)()()()()( dxxPexuxP)()()()(xQ 化简，得化简，得（二）一阶非（二）一阶非齐次齐次线性微分方程的求解

26、线性微分方程的求解 ).de )(ed)(d)(CxxQyxxPxxP 上式即为非齐次线性微分方程的上式即为非齐次线性微分方程的通解通解.(通解公式通解公式) e )()d( xxPxuyCxxQxuxxP de )()(d)(（二）一阶非（二）一阶非齐次齐次线性微分方程的求解线性微分方程的求解得非齐次线性方程得非齐次线性方程 的通解的通解 )()(xQyxPdxdy 常数变易法常数变易法把齐次线性方程通解中的常数变易为待定函数的方法把齐次线性方程通解中的常数变易为待定函数的方法. .一阶一阶非齐次非齐次线性微分方程的通解可写为线性微分方程的通解可写为: :ydxexQeCedxxPdxxPd

27、xxP )()()()(对应齐次方程对应齐次方程通解通解非齐次方程非齐次方程特解特解结论结论： 一阶非齐次线性方程的通解是对应的齐次一阶非齐次线性方程的通解是对应的齐次线性方程的线性方程的通解通解与其自身的一个与其自身的一个特解特解之和之和。以后还会以后还会看到看到，这个结论对于这个结论对于高阶非齐次线性方程高阶非齐次线性方程亦成立亦成立。 ).de )(ed)(d)(CxxQyxxPxxP )()(xQyxPdxdy 0)( yxPdxdy（二）一阶非（二）一阶非齐次齐次线性微分方程的求解线性微分方程的求解一阶非齐次一阶非齐次线性线性微分方程的两种求解方法微分方程的两种求解方法方法一：常数变

28、易法方法一：常数变易法（1）求齐次方程）求齐次方程 的通解的通解 0)( yxPy.ed)( xxPCy（2）将齐次方程通解中的常数变易为函数）将齐次方程通解中的常数变易为函数 xxPxuyd)(e)(（3）变易后的函数代入非齐次方程中确定）变易后的函数代入非齐次方程中确定)(xu（*）（4）函数）函数 代入（代入（*）式得非齐次通解）式得非齐次通解)(xu ).de )(ed)(d)(CxxQyxxPxxP 求非齐次线性方程求非齐次线性方程 的通解的通解. )()(xQyxPy 方法二：公式法方法二：公式法（1）将给定方程变为标准方程形式）将给定方程变为标准方程形式 )()(xQyxPy （

29、2）确定方程中的）确定方程中的. )()(xQxP与与（3）将）将 代入方程的通解公式中代入方程的通解公式中 )()(xQxP与与 ).de )(ed)(d)(CxxQyxxPxxP （4）积分得非齐次线性微分方程通解）积分得非齐次线性微分方程通解.一阶非齐次一阶非齐次线性线性微分方程的两种求解方法微分方程的两种求解方法注意注意:类似地，对于以类似地，对于以x为函数的一阶非齐次线性方程为函数的一阶非齐次线性方程)()(yqxypdydx 有有通通解解公公式式同时也有同时也有常数变易法常数变易法. .（二）一阶非（二）一阶非齐次齐次线性微分方程的求解线性微分方程的求解 Cdyeyqexdyypd

30、yyp)()()( ).de )(ed)(d)(CxxQyxxPxxP )()(xQyxPdxdy 解解例例1 1，01 yxyddyxyx Cxylnlnln 第一步，求相应的齐次线性方程的通解第一步，求相应的齐次线性方程的通解.cxy 齐次方程的通解为齐次方程的通解为.的通解的通解求方程求方程2 2xxydxdy （二）一阶非（二）一阶非齐次齐次线性微分方程的求解线性微分方程的求解第二步，常数变易法求非齐次方程的通解第二步，常数变易法求非齐次方程的通解 ，令令xxuy xuxxuy 则则解解第二步，常数变易法求非齐次方程的通解第二步，常数变易法求非齐次方程的通解 ，令令xxuy xuxxu

31、y 则则代入方程得代入方程得 xxuxxxu 即即2 cxxu 22.23cxxy 所所求求通通解解为为例例1 1.的通解的通解求方程求方程2 2xxydxdy （二）一阶非（二）一阶非齐次齐次线性微分方程的求解线性微分方程的求解.e22dd2的通解的通解求微分方程求微分方程xxxyxy 例例2分分方方程程为为原原方方程程所所对对应应的的齐齐次次微微解法解法1 1 （常数变易法）（常数变易法），Cxylnln2 所以所以.e 2xCy 即即，由由常常数数变变易易法法得得2 2xxuy e )( 2 2xxuy e )( 则则 ,dd 0 02 2 xyxy，2 22 2xxxu e )(（二）

32、一阶非（二）一阶非齐次齐次线性微分方程的求解线性微分方程的求解，即即xxyydd 2 2 代代入入原原方方程程得得及及将将yy ，化化简简得得xxu2 2 )( xxxud)( 2 2积分得积分得2 22 2xCxy e )(故得原线性非齐次微分方程的通解为故得原线性非齐次微分方程的通解为2 22 22 2xxxxuxu e )(e )( 2 22 2xxxu e )( ，2e2xx )( ,2为任意常数为任意常数CCx （二）一阶非（二）一阶非齐次齐次线性微分方程的求解线性微分方程的求解.e22dd2的通解的通解求微分方程求微分方程xxxyxy 例例2，2 2xxuy e )(2 2xxuy

33、 e )( ，2 22 2xxxu e )().( 为任意常数为任意常数C解法解法2 2 公式法公式法知知由由一一阶阶线线性性微微分分方方程程2e22ddxxxyxy ，2e2)( ,2)(xxxQxxP 将其代入公式通解公式，得通解将其代入公式通解公式，得通解 xxyd2edee2e222Cxxxxx Cxxx d2e2dee2d22Cxxxxx . )(e22Cxx .edd的通解的通解求微分方程求微分方程xxyxyx 例例3 ).de )(ed)(d)(CxxQyxxPxxP .edd的通解的通解求微分方程求微分方程xxyxyx 例例3xyxxyxe1dd 0 时，把原方程改写为时，把原

34、方程改写为当当解解xxQxxPe)(,1)( 代入通解公式，代入通解公式， Cxyxxxxxdeeed1d1 Cxxxx de1 Cxxxx deeeln1ln0 ),ee(1 xCxxxx得通解得通解（二）一阶非（二）一阶非齐次齐次线性微分方程的求解线性微分方程的求解.dd3的的通通解解求求微微分分方方程程yxyxy 例例4则方程可改写为则方程可改写为解解 即即 ,1dd 2yxyyx 对于未知函数对于未知函数x(y为自变量为自变量)来说，来说， )()(ddyQxyPyx 其通解公式为其通解公式为 de )(ed)(d)(CyyQxyyPyyP yyxyx3dd 性非齐次方程性非齐次方程上

35、式方程为一阶线上式方程为一阶线 ,的的函函数数看看成成如如果果将将xy由方程变为由方程变为, 0dd3 yxyxy则显然不是线性微分方程则显然不是线性微分方程. ,的的函函数数看看成成如如果果将将yx 12，yxy （二）一阶非（二）一阶非齐次齐次线性微分方程的求解线性微分方程的求解2)( ,1)( yyQyyP 这里这里将其代入通解公式，将其代入通解公式，deed12d1Cyyxyyyy Cyyyy deeln2ln Cyyyy d12得所求方程的通解为得所求方程的通解为.22 Cyy de )(ed)(d)(CyyQxyyPyyP )()(ddyQxyPyx ,1dd 2yxyyx 例例5

36、 5).(yxx故先求故先求方程，方程，及其导数而言，是一次及其导数而言，是一次相对应于相对应于解解方程化为方程化为d3d2xyxyy ,3)(yyP ,2)(yyQ 其中其中.02)6(2的通解的通解求方程求方程 ydxdyxy（二）一阶非（二）一阶非齐次齐次线性微分方程的求解线性微分方程的求解( )d( )d( )dP yyP yyxeQ yeyC 3ln3lnd2yyyeeyC .213为所求通解为所求通解 Cyy113d3d()d2yyyyyeeyC 所以所以（二）一阶非（二）一阶非齐次齐次线性微分方程的求解线性微分方程的求解,3)(yyP ,2)(yyQ .0)0(1sincos 的

37、的特特解解满满足足初初值值条条件件求求微微分分方方程程 yxyxy例例6，把原方程改写为把原方程改写为xxyysectan 解解xxQxxPsec)(tan)( ，代入通解公式得代入通解公式得将将deseced)tan(d)tan(Cxxyxxxx desececoslncoslnCxxxx )(cos1Cxx 代代入入通通解解中中，0)0( y.cos xxy Cxxxx dcosseccos1, 0 C得得故故特特解解为为（二）一阶非（二）一阶非齐次齐次线性微分方程的求解线性微分方程的求解0)ln(ln dxxyxdyx求求方方程程1 exy满满足足条条件件,1ln1xyxxy Cdxex

38、eyxxdxxxdxlnln1 Cdxexexxlnlnlnln1 Cxx2ln21ln1, 1 exy,21 C.ln1ln21 xxy 将方程标准化为将方程标准化为于是于是由初始条件由初始条件故所求特解为故所求特解为得得例例7解解的特解的特解. xCxln1ln21（二）一阶非（二）一阶非齐次齐次线性微分方程的求解线性微分方程的求解例例8 8 如图所示，平行于如图所示，平行于 轴的动直线被曲轴的动直线被曲 线线 与与 截下的线段截下的线段PQ之长数值上等于阴影部分的面积之长数值上等于阴影部分的面积, 求曲线求曲线 .y)(xfy )0(3 xxy)(xf30( )d( )xf x xxf

39、x 30dxy xxy 两边求导得两边求导得,32xyy 解解解此微分方程解此微分方程xyoxPQ3xy )(xfy 即即（二）一阶非（二）一阶非齐次齐次线性微分方程的求解线性微分方程的求解dd23dxxyex exC , 6632 xxCex, 0|0 xy由由, 6 C得得所求曲线为所求曲线为).222(32 xxeyx23xyy （二）一阶非（二）一阶非齐次齐次线性微分方程的求解线性微分方程的求解四、利用变量代换求微分方程的解四、利用变量代换求微分方程的解解解,uyx 令令dd1ddyuxx代入原方程代入原方程2d1duux ,arctanCxu 解得解得得得代代回回, yxu ,)ar

40、ctan(Cxyx 原方程的通解为原方程的通解为.)tan(xCxy .)(2的通解的通解求求例例9 9yxdxdy 第二节第二节 一阶微分方程一阶微分方程例例1010 用适当的变量代换解下列微分方程用适当的变量代换解下列微分方程: :221.22xyyxyxe 解解,2112 yxexyyx,2) 1(1yyz 令令2d2,dxzxzxex 22 d2 ddx xx xxzexeexC 所求通解为所求通解为).2(222Cxeyx 贝努利方程贝努利方程,2dxdyydxdz 则则第二节第二节 一阶微分方程一阶微分方程2d12.dsin ()yyxxxyx；解解,xyz 令令22d11(),d

41、sin ()sinzyyxxxxyxz ,42sin2Cxzz 分离变量法得分离变量法得,代代回回将将xyz 所求通解为所求通解为.4)2sin(2Cxxyxy ,dxdyxydxdz 则则第二节第二节 一阶微分方一阶微分方程程d13.;dyxxy 解解,uyx 令令代入原式代入原式d11,duxu分离变量法得分离变量法得,)1ln(Cxuu ,代代回回将将yxu 所求通解为所求通解为,)1ln(Cyxy 11 yeCxy或或另解另解（一阶线性微分方程）（一阶线性微分方程）, 1 dxdudxdy则则. yxdydx 方程变形为方程变形为第二节第二节 一阶微分方程一阶微分方程（1）分离变量）分

42、离变量; （2）两端积分）两端积分-隐式通解隐式通解.1 1、可分离变量的微分方程、可分离变量的微分方程: :2 2、齐次方程、齐次方程,xyu 令令)(xyfdxdy 分离变量法分离变量法替换替换分离分离法法)()(ygxfdxdy xuufdxdu )(小结典型的一阶微分方程求解方法典型的一阶微分方程求解方法,回回代代再再将将xyu 即得原方程的解。即得原方程的解。求出它的通解后求出它的通解后, , （初等积分法）（初等积分法） dxxPCey)(3 3、一阶线性微分方程、一阶线性微分方程（通解公式）（通解公式）公式法公式法分离变量法分离变量法 )()(xQyxPy 求非齐次线性方程求非齐

43、次线性方程 的通解的通解. . )()(xQyxPdxdy 齐次线性方程的齐次线性方程的0)( yxPy的通解的通解. .公式法公式法)de )(ed)(d)(CxxQyxxPxxP （通解公式）（通解公式）常数变易法常数变易法作业作业 P384 2(3,5),3(1,3,6);4(5),7(3,5),3(1,3,6);4(5),7典型的一阶微分方程求解方法典型的一阶微分方程求解方法（初等积分法）（初等积分法）思考题思考题1.求解微分方程求解微分方程dcoscos.d22yxyxyx2.方程方程2202 ( )( ) d( )xy ttyttxy x 是否为齐次方程是否为齐次方程?yxyyyysin2sincoscos 3.3.求微分方程求微分方程 第二节第二节 一阶微分方程一阶微分方程思考题解答思考题解答d2sinsin0,d22yxyx dsind ,22sin2yxxy 2cot2csclnyy ,2cos2Cx 为所求解为所求解.第二节第二节 一阶微分方程一阶微分方程1.求解微分方程求解微分方程dcoscos.d22yxyxyx0 02 22 2 yxyxdxdycoscos解解:解解:方程两边同时对方程两边同时对 求导