大学物理A质点动力学

1、会计学1大学物理大学物理A质点动力学质点动力学牛顿运动定律2-2 动量和动量守恒定律2-3 功、机械能和机械能守恒定律2-4 质点的角动量定理及角动量守恒定律 质点动力学的任务： 研究物体之间的相互作用，及这种相互作用引起的物体运动状态变化的规律。 以“力物体间的相互作用”为中心。 1686年，牛顿在他的自然哲学的数学原理一书中发表了牛顿运动三定律。Newtons Laws of Motion1. 牛顿第一定律 任何物体都保持静止或沿一条直线作匀速运动的状态，除非有力加于其上迫使它改变这种状态。 2. 牛顿第二定律 运动的改变和所加的力成正比;并且发生在这力所沿的直线的方向上。3. 牛顿第三定

2、律 每一个作用总有一个相等的反作用与它对抗；或者说，两个物体之间的相互作用永远相等，且指向对方。 任何物体都保持静止或匀速直线运动态，直至其它物体所作用的力迫使它改变这种状态为止。 惯性 物体保持其运动状态不变的特性。 即：物体保持其原运动状态的能力。惯性质量:物体惯性大小的量度引力质量:物体间相互作用的“能力”大小的量度。vmP 物体的动量1、定律的一般表述：物体所受的合外力等于物体动量对时间的变化率。数学描述为：tmtpFddddv 2、定律的常用表述：当物体的质量不变，且速度远远小于光速时，dpdmvF =dtdtdvdm= m+vdtdtdv= mdtma 物体的加速度同物体所受的合外

3、力成正比，同物体的质量成反比。讨论（1）牛顿第二定律是：质点动力学基本方程；（2）仅成立于惯性参照系；amFtmmaFddvRmmaF2nnvxxmaF yymaF zzmaF （3）力和加速度是瞬时关系。amF作用力与反作用力定律FF注：(1) 作用力和反作用力成对，同时 存在。 (2) 分别作用于两个物体上，不能抵消。 (3) 属于同一种性质的力。 (4) 物体静止或运动均适用。1、七个基本物理量长度(length) L 单位： 米 m时间(time) T 单位： 秒 s质量(mass) M 单位： 千克 kg电流(electricity) I 单位：安培 A热力学温度 T 单位：开尔文

4、K 物质的量 N 单位：摩尔 mol发光强度 J 单位：坎德拉 1960年，第十一届国际计量大会通过了国际单位制2、导出量 ： 基本物理量构成 不考虑数字因素时，导出量与基本量之间的关系可以用量纲来表示。如其他力学量： 用L、M和T分别表示长度、质量和时间三个基本量的量纲，其他力学量Q的量纲与基本量量纲之间的关系可按下列形式表达出来：sqpQTML其中p, q, s为量纲指数。如速度Q = L T-1。力 物体间的相互作用2.1.5 常见力：. 力的基本类型引力相互作用、电磁相互作用和核力相互作用1)引力相互作用是存在于自然界中一 切物体之间的一种作用.它是一种弱力，只有在大质量物体（如地球、

5、太阳、月亮等天体）附近这种作用才有明显的效应2)电磁相互作用是存在于一切带电体之间的作用带电粒子间的电磁力比引力强得多3)核力相互作用是一种只在 m 的范围内起作用的相互作用，是短程力2.引力 重力2)重力：重力是地球对物体万有引力的一个分力，另一分力为物体随地球绕地轴转动提供的向心力.大小：方向：垂直地面向下。1)万有引力定律与宇宙速度r r2 22 21 1e er rm mm mG GF F万有引力m mg gR Rm mM MG G地地地地1.重力不等同于万有引力。2.常用的重力加速度g常量，只是适用于地球表面3.弹性力 物体发生形变时产生的力。方向：恢复形变的方向。kxf大小：f k

6、= N其中：为滑动摩擦系数4.摩擦力 当两个互相接触的物体有相对运动或有相对运动的趋势时，就会产生一种阻碍相对运动或相对运动趋势的力） 库仑摩擦定律（） 动摩擦力fk 与正压力N 成正比，与两物体的表观接触面积无关（） 当相对速度不很大时，动摩擦力与速度无关；（） 静摩擦力可在零与一个最大值（称为最大静摩擦力）之间变化，视相对滑动趋势的程度定最大静摩擦力fs 也与正压力N 成正比，它一般情况下大于动摩擦力最大静摩擦力：大小：fs = sN其中：s为最大静摩擦系数；N为正压力。） 黏滞阻力流体（液体或气体）不同层之间由于相对运动而造成的阻力，称为黏滞阻力或湿摩擦力解题步骤： (1)确定研究对象。

7、对于物体系，画出隔离图。(2) 进行受力分析，画出示力图。(3) 建立坐标系(4) 对各隔离体建立牛顿运动方程(矢量式分量式) (5) 解方程。进行文字运算，然后代入数据求解例1. 在相对地面静止的流体中, 某物体从t=0时刻 开始由静止竖直自由下落。已知阻力的大小 与物体相对于流体的运动速率成正比，即：,vf ，为常数。物体受的浮力为 。求: 任意时刻物体的速度和终极速度。 F解： 取竖直向下为x轴的正方向,如图所示。这是个一维问题,可用正负号表示矢量的方向。物体在流体中竖直自由下落时,受到重力mg,浮力F 和阻力f 的作用。 xovfgmF按牛顿第二定律:ddvmgvFmt ，分离变量后积

8、分dd00tvm vtmgvF 可得()(1)/tmvmgFe ddvmgvFmt 重力和浮力都是恒力，而阻力随着物体加快下落而增大，最终三个力达到平衡，物体匀速下落，这时的速度称为终极速度或收尾速度 。以vf表示终极速度, 令 t 趋于无穷大, 则有fmgFv xovfgmF例2. t=0时刻, 一根长为L的均匀柔软的细绳通过 光滑水平桌面上的光滑小孔由静止开始下滑. 设绳刚开始下滑时下垂部分长为a。 求: 在任意时刻t, 绳自桌边下垂的长度。解：NGFXOx设绳开始下滑后t 时刻下垂部分的长度为x (a)， 在桌面上的那段绳受到的支承力和重力抵消， 整根绳所受合力为绳的下垂部分所受的重力：

9、 xFmgL 根据牛顿第二定律得: ddxvmgmLt dd ddddddvvxvvtxtxddxvmgmvLxddxvmgmvLx 分离变量积分dd0 xvagx xv vL22()gvxaLddxvt dd22()gxxatL于是dd022()xtaxtgxaL故任意时刻自桌边下垂的绳长()2ggttLLaxee rABCDO 一质量为 m 的小球最初位于如图所示的 A 点，然后沿半径为 r 的光滑圆弧的内表面ADCB下滑。试求小球在C 时的角速度和对圆弧表面的作用力。取自然坐标系,小球受力如图enevgmGnF根据牛顿第二定律maF tmmgddsinv nnmaF 切向：法向：rmmg

10、F2ncosv 由式tmmgddsinv dd tmdddd vrmmvvv ddddrmmgvvddsin dsind20 rgvvv cos2rg vrgrcos2v代入式得 cos3cos2nmgrmmgF v小球对圆弧的作用力为 cos3nnmgFF 方方向向相相反反与与nneF 第一定律：指出了惯性的存在甲对地：静止 甲对乙： 匀速运动符合第一定律甲对丙：加速运动，但没有受力，第一定律不符合 惯性参考系(简称惯性系) : 牛顿第一定律适用的参考系 凡相对惯性系做匀速直线运动的参考系都是惯性系地球近似的惯性参考系，地球有自转角速度：15srad103 . 7 对一般地面运动足够精确(G

11、. Galileo)设： 系相对 系以v的速度沿x方向作直线运动。 时，两系重合。0 ttP 点在参照系中的描述分别为: tzyx,OzyxP tzyx ,(1) 伽利略坐标变换ttzzyytxx v正变换：(2) 伽利略速度变换正变换：zzyyxxuuuuuu v逆变换：zzyyxxuuuuuu v(3) 加速度变换式zzyyxxaaaaaa aa Fma 1. 加速平动参考系Fa 设有一质量为m的质点，在真实的外力 的作用下相对于某一惯性系S 产生加速度 ，则根据牛顿第二定律，有 假设另有一参考系S相对于惯性系S以加速度 沿直线运动。在S参考系中, 质点的加速度是 ,0aa 0aaa 则C

12、BACABaaa 将上式代入右式可得0()Fm aa 0mama amF S系中 假设另有一参考系S相对于惯性系S以加速度 沿直线运动。在S参考系中, 质点的加速度是 ,0aa 0aaa 则CBACABaaa 将上式代入右式可得0()Fm aa 0mama amF S系中上式表明, 在S系中看，质点受的合外力 并不等于 ，而是多了一项 , 故牛顿第二定律在非惯性参考系S中不成立。0ma am F上式可改写为 ：0Fmama 若假想在S系中观察时，除了真实的外力 外，质点还受到另外一个力 的作用 , 则质点受到的合外力等于 。F0ma ma 这样在S系中就可形式上应用牛顿第二定律了！ 这种在非惯

13、性系中形式上应用牛顿第二定律而必须引入的假想的力叫做惯性力，记为if0ifma 于是，在加速平动参考系中有: 对于其它类型的非惯性系, 惯性力有不同形式的表达式。其中， 是加速平动参考系相对于惯性系的加速度。 0a 0()F m a a 0mama 0ifma 惯性力 引入惯性力后，在非惯性系中牛顿第二定律在形式上被恢复了。 非惯性系中的牛顿第二定律：Fma 合外力iFf 虚拟力 惯性力不是物体间的相互作用（不能归结为自然界的四种基本力），但它是确实存在的一种特殊的力，它既无施力者, 也无反作用力, 不满足牛顿第三定律。真实力物体间的真实相互作用物体的惯性在非惯性系中的表现危急中，此位先生为什

14、么挡住小孩，而不去挡汽车？ 有机械运动量转换时，同时考虑质量与速度两个因素，才能全面地表达物体的运动状态牛顿运动定律tptmFddd)(d v则tFpdd pppptFpptt 000dd或令 21d)(ttttFI(1) 冲量单位：-1smkgsN 反映力在时间过程中的累积效应pI (2) 质点动量定理： 质点在运动过程中，所受合外力的冲量等于质点动量的增量。讨论：(1)冲量的方向 与动量增量 的方向一致。Ip (2)动量定理中的动量和冲量都 是矢量，符合矢量叠加原理。 (3)计算时可采用平行四边形法则,或把动量和冲量投影在坐标轴上以分量形式进行计算。 ttzzzzttyyyyxxttxxm

15、mtFImmtFImmtFI000000dddvvvvvv 冲量 tttFI0d3. 冲力 当两个物体碰撞时，它们相互作用的时间很短，相互作用的力很大，而且变化非常迅速，这种力称为冲力。tF 0pp 平均冲力 tttFttF0d10Ftot0tF00ttpp 分量式： 000000zzzzyyyyxxxxmmttFImmttFImmttFIvvvvvv 冲量 tttFI0dtF 0pp 例2-7.飞机以v=300m/s(即1080 km/h)的速度飞行,撞到一质量为m=2.0kg的鸟,鸟的长度为l0.3 m。 假设鸟撞上飞机后随同飞机一起运动, 试估算它们相撞时的平均冲力的大小。 解: 以地面

16、为参考系, 把鸟看作质点, 因鸟的速度远小于飞机的, 可将它在碰撞前的速度大小近似地取为v0=0 m/s, 碰撞后的速度大小v300m/s。由动量定理可得0mvmvIF t 碰撞经历的时间就取为飞机飞过鸟的长度l的距离所需的时间，则:000()/mv vvmvmvmvmvFtl vl N.5100630)0300(30002 对第i个质点写出动量定理： 00diiiittiimmtfFvv 内内外外整个系统： 等式两边求 niiiniiittniniiimmtFF1012111dvv内内外外1m2mimnm2. 质点系的动量定理1r2rirnrxyzO设n个质点构成一个系统根据牛顿第三定律 0

17、if niiiniiittniimmtF101211dvv外外合外力的冲量系统末动量系统初动量质点系的动量定理：ppptFtti 00d即：合外力的冲量等于系统总动量的增量内力的冲量起什么作用？ 质量m=1kg的质点从O点开始沿半径R=2m的圆周运动。以O点为自然坐标原点。已知质点的运动方程为 m。试求从 s到 t2=2s 这段时间内质点所受合外力的冲量。2t0.5s 2t1解：O22121s211Rs222122s22Rsttsddv)sm(211v)sm(212v)(12vvvmmmI)smkg(211imv)smkg(212jmv12vvmmI)sm(kgi 2j21 如图用传送带A输送

18、煤粉，料斗口在A上方高h=0.5m处，煤粉自料斗口自由落在A上。设料斗口连续卸煤的流量为q=40kgs-1，A以v = 2.0ms-1的水平速度匀速向右移动。求装煤的过程中，煤粉对A的作用力的大小和方向。(不计相对传送带静止的煤粉质量) hAv 解：煤粉对A的作用力即单位时间内落下的煤粉给A的平均冲力。这个大小等于煤粉，方向与煤粉动量改变量的方向相反。如何求煤粉动量的改变量？xyO时间内落下的煤粉质量为t m则有设1p2pppp12pmvmppx02)(001vmppyghm 2由动量定理21dtttFIptF可得煤粉所受的平均冲力为)N(80vvqtmtpFxx)N(2 .1252ghqtp

19、Fyy(N)14922yxFFF4 .57802 .125tanarctanarcxyFF与x轴的夹角：煤粉给传送带的平均冲力为N149F0006 .1224 .57180与x轴的夹角： 一颗子弹在枪筒里前进时所受的合力大小为F=400-4105t/3(SI),子弹从枪口射出时的速率为300ms-1。设子弹离开枪口处合力刚好为零。求：(1)子弹走完枪筒全长所用的时间t。(2)子弹在枪筒中所受力的冲量I。(3)子弹的质量。(1)0t3104400F5s0.0031044003t5(2)tFId(3)0vmIg2kg002. 03006 . 0vIm令003. 002532104400ttsN6

20、. 0dtt003. 0053104400例2-11. 一铅直悬挂着的匀质柔软细绳长为L,下端刚好触及水平桌面,现松开绳的上端,让绳落到桌面上。试证明:在绳下落的过程中,任意时刻作用于桌面的压力N,等于已落到桌面上的绳重G的三倍。解：考虑dy段的下落过程:dddd1() () ()ydPdm vmFydtdtLtt dd2()ymFLt 2mvL gyv22 2yFmgL 依牛顿第三定律, dy段对桌面的作用力大小亦为F:3yGmgNGFGLOyy+dyydyL即： 系统所受合外力为零时，系统的总动量保持不变。0 iF时，常矢量常矢量 iimpv 动量的矢量性：系统的总动量不变是指系统内各物体

21、动量的矢量和不变，而不是指其中某一个物体的动量不变。系统动量守恒，但每个质点的动量可能变化。0 iF时0 p几点说明：(5)动量守恒定律是物理学中最普遍、最基本的定律之一(2)系统动量守恒的条件： 系统不受外力； 合外力=0； (3) 若系统所受外力的矢量和0，但合外力在某个 坐标轴上的分矢量为零，动量守恒可在某一方 向上成立。(1) 动量守恒定律只适用于惯性系。(4)内力外力。在碰撞、打击、爆炸等相互作用 时间极短的过程中，内力外力,可略去外力。 认为系统动量守恒例2-12. 水平光滑冰面上有一小车,长度为L,质量为 M。车的一端有一质量为m的人,人和车原 来均静止。若人从车的一端走到另一端

22、, 求:人和车各移动的距离。解:设人速为u,车速为v。vu系统在水平方向上动量守恒 ，Mv+ mu= 0 mvuM dd00ttttmv tu tM xmxxM 车地人地xxx人地人车车地MLxMm 人地mLxMm 车地xL 人车度量能量转换的基本物理量，描写力对空间积累作用。(work)）恒力的功FaFbcosFrW 定义：矢量式rFW作用在沿直线运动质点上的恒力 F ，在力作用点位移上作的功，等于力和位移的标积。rrdFdW rdF cos 0 0/2 dW 0 力对物体做功W b0 ，拉力大于最大静摩擦力时，链条将开始滑动。 设链条下落长度 y =b0 时，处于临界状态0)(000gbl

23、gblb0001Oy (2) 以整个链条为研究对象，链条在运动过程中各部分之间相互作用的内力的功之和为零，lb)bl(gyygW 2221dlb)bl (gy)yl (W 221d摩擦力的功重力的功021)(21)(212222vlblgblg222)()(bllgbllgv根据动能定理有 例 雪橇从高50m的山顶A点沿冰道由静止下滑, 坡道AB长为500m滑至点B后，又沿水平冰道继续滑行，滑行若干米后停止在C处. 若=0.050求雪橇沿水平冰道滑行的路程. pEE0inncexEEWW功能原理的应用sNFfFmgsinmgcosmgh s解: 系统: 雪橇, 冰道, 地球)( cosfssm

24、gmgssmgW做功分析:(重力为保守力, 支持力不做功, 没有外力)只有雪橇所受的摩擦力做功 . （平面）斜面）ssmgmgFf(cos恒力50050sin06SFWf恒力的功：1cos)( cosfssmgmgssmgW（平面）斜面）ssmgmgFf(cos恒力SFWf恒力的功：BmgAdr cosmgsmgWCB2fdr BmgWA1fdr cos1cossmg )(fssmgWmghm500shs12EEWf110k1p1E,mghEpEE ，初态：00, 0222EEEkp，末态：0inncexEEWW质点系的功能原理)(ssmg0pE 例 一轻弹簧, 其一端系在铅直放置的圆环的顶点

25、P，另一端系一质量为m 的小球, 小球穿过圆环并在环上运动(=0)开始球静止于点 A, 弹簧处于自然状态，其长为环半径R; 30oPBRA当球运动到环的底端点B时，球对环没有压力求弹簧的劲度系数机械能守恒应用0EE 0inncexWW时，解BA只有保守内力做功系统ABEE mg外力:内力:均不做功拉力、支持力，重力,弹力(保守力)TFNFTFNFPRAo系统：弹簧、小球和地球系统：弹簧、小球和地球BA只有保守内力做功系统ABEE 即)30sin2(2121022RRmgkRmBvRmmgkRB2v又Rmgk2所以取点B为重力势能零点0pE30oPBRAkRmg222121kRmEBBv)30s

26、in2(0RRmgmghEA例 一质量为1.0kg 的小球系在长为1.0m 细绳下端，绳的上端固定在天花板上起初把绳子放在与竖直线成 角处，然后放手使小球沿圆弧下落试求绳与竖直线成 角时小球的速率030010vl02022121vvmmWTFPsdhmgEp0221mvEp0coscosllh定义力F 对参考点O 的力矩M 的大小等于此力和力臂（从参考点到力的作用线的垂直距离）的乘积单位是牛顿 米（N m） 2.4.1 力对参考点的力矩FrM合力对参考点的力矩等于各分力对同一参考点力矩的矢量和nnFrFrFr 2211)(21nFFFrFrMnMMM 212.4.2质点的角动量vmrprL 定

27、义xyzmrpOLr 12smkgprprrmLL单单位位：服服从从右右手手螺螺旋旋法法则则。组组成成的的平平面面和和方方向向：垂垂直直于于大大小小： sinv 质点对某参考点的角动量反映质点绕该参考点旋转运动的强弱。2.4.3 质点的角动量定理prL 质点的角动量：对时间t求导: )(ddddprttL tprptrdddd Fr 0M 质点角动量的时间变化率等于质点所受的合力矩。角动量定理微分式：dtLdM tMd 力矩的冲量矩。冲量矩:角动量定理积分式：11221221d JJLLtMtt 质点的角动量定理：质点在t1t2时间内所受合外力矩的冲量矩等于该段时间内质点角动量的增量。2.4.

28、4 质点的角动量守恒定律vmrprL 常常矢矢量量 即当质点所受外力对某固定参考点（简称定点）的力矩为零时，质点对该点的角动量保持不变，这就是质点的角动量守恒定律当时0 M0 外外M0 F 作用线过参考点O F 0, 0MF注意 2. 质点系的角动量定理 iiiiiprLL质点系的角动量：2.4.5 质点系的角动量定理和角动量守恒定律1.质点系角动量 系统内所有质点对同一参考点角动量的 iiiiiiiiimrprLLv外外外外iiFrM i iiLttLdddd iiiiMM内内外外0 iiM内dtLMd 外外021dLLtMtt 112221d JJtMtt 3. 质点系的角动量守恒定律当时0 M0LL 常常矢矢量量 0 外外M0 F 作