【高中数学】线性规划（二一）ppt课件

1、问题的提出问题的提出设设yxz2式中变量式中变量 满足以下条件满足以下条件yx,1255334xyxyxx-4y+3=03x+5y-25=0 x=1xyO 求求 的最大值和最小值的最大值和最小值z2x+y=00l1ll2lA(5,2)B(1,1)312minmaxzz1255334xyxyx线性规划的有关定义线性规划的有关定义(1)(1)对于变量对于变量x,yx,y的约束条件，都是关于的约束条件，都是关于x,yx,y的一次不等式，称为线性约束条件，的一次不等式，称为线性约束条件，z=f(x,y)z=f(x,y)是欲到达最值所涉及的变量是欲到达最值所涉及的变量x,yx,y的解析式，叫做目的函数的

2、解析式，叫做目的函数. .当当f(x,y)f(x,y)是关是关于于x,yx,y的一次解析式时，的一次解析式时，z=f(x,y)z=f(x,y)叫做线叫做线性目的函数性目的函数. .(2)(2)求线性目的函数在约束条件下的最值求线性目的函数在约束条件下的最值问题称为线性规划问题，满足线性约束问题称为线性规划问题，满足线性约束条件的解条件的解(x,y)(x,y)称为可行解称为可行解. .由一切解组由一切解组成的集合叫可行域，使目的函数获得最成的集合叫可行域，使目的函数获得最值的可行解叫最优解值的可行解叫最优解. . 前往前往设设yxz2式中变量式中变量 满足以下条件满足以下条件yx,1255334

3、xyxyx,求求 Z 的最大值和最小值的最大值和最小值1例例1、设、设 , 式中变量式中变量 满足以下条件满足以下条件xyz 2yx、1232312yyxyx求求 的最大值的最大值z2323yx12 yxxOA(3,7)02 xy1yy求求 的最大值的最大值z02 xy12 yxxyO2323yx1yA(3,7)112 yxxyOA(3,7)102 xy12 yxxO2323yx1yA(3,7)02 xy2323yx1yy1将将(0,1)代入代入2y-x,即即210=20阐明越向左上挪动阐明越向左上挪动,z的的值越大所以值越大所以 z 的最大值的最大值在点在点A(3,7)处得到此时处得到此时z

4、=273=1111maxz练习：变量x,y满足线性约束条件2x+y-503x-y-5 0 x-2y+501)求z=2x-7y的最大值与最小值;2)求z=2x+y的最大值与最小值;3)求z=y2x的最大值和最小值2x+y-503x-y-5 0 x-2y+50 x-2y+5=03x-y-5=02x+y-5=0A(3,4)B(2,1)C(1,3)1)z=2x-7y在在B点最大点最大,在在A点最小点最小2)z=2x+y在在A点最大点最大,在线段在线段BC上上的一切点最小的一切点最小xy2x-7y=02x+y=0O3)z=y2x在在C点最大点最大,在在B点最小点最小y-2x=0留意：留意： 1线性目的函

5、数的最大值、线性目的函数的最大值、 最小值普通在可行域的顶点处获得；最小值普通在可行域的顶点处获得； 2线性目的函数的最大值、最小线性目的函数的最大值、最小值也可在可行域的边境上获得，即满值也可在可行域的边境上获得，即满足条件的最优解有无数多个。足条件的最优解有无数多个。例例2：要将两种大小不同规格的钢板截成：要将两种大小不同规格的钢板截成A、B、C三三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示块数如下表所示 ： 解：设需截第一种钢板解：设需截第一种钢板x张，第二种钢板张，第二种钢板y张，那么张，那么 规格类型规格类型钢板类型钢板类型

6、第一种钢板第一种钢板第二种钢板第二种钢板A规格规格B规格规格C规格规格212131作 出 可 行 域作 出 可 行 域如图如图目的函数为目的函数为 z=x+y今需求今需求A,B,C三种规格的废品分别为三种规格的废品分别为15，18，27块，块，问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格废品，问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格废品，且使所用钢板张数最少。且使所用钢板张数最少。前往前往2x+y15,x+2y18,x+3y27,x0, xN*y0 yN*例题分析x0y2x+y=15x+3y=27x+2y=18x+y =0经过可行域内的整点经过可行域内的整点B(3,9)和和C(4,8)且和原点间隔最近

7、且和原点间隔最近的直线是的直线是x+y=12，它们是最优解，它们是最优解.答答:(略略)作出一组平行直线作出一组平行直线t = x+y，目的函数目的函数z = x+y前往前往B(3,9)C(4,8)A(18/5,39/5)打网格线法打网格线法在可行域内打出网格在可行域内打出网格线，线，当直线经过点当直线经过点A时时t=x+y=11.4,但它不是最但它不是最优整数解，优整数解，将直线将直线x+y=11.4继续向上平移，继续向上平移，7.515182792x+y15,x+2y18,x+3y27,x0, xN*y0 yN*x0y经过可行域内的整点经过可行域内的整点B(3,9)和和C(4,8)且和原点

8、间隔最近且和原点间隔最近的直线是的直线是x+y=12，它们是最优解，它们是最优解.例题分析x0y2x+y=15x+3y=27x+2y=18x+y =0直线直线x+y=12经过的整点是经过的整点是B(3,9)和和C(4,8)，它们是最优解，它们是最优解. 作出一组平行直线作出一组平行直线z = x+y，目的函数目的函数z = x+y前往前往C(4,8)A(18/5,39/5)当直线经过点当直线经过点A时时z=x+y=11.4,但它不是最优整数解但它不是最优整数解.作直线作直线x+y=12x+y=12解得交点解得交点B,D的坐标的坐标B(3,9)和和D(4.5,7.5)调整优值法调整优值法B(3,

9、9)D(4.5,7.5)7.515182792x+y15,x+2y18,x+3y27,x0, xN*y0 yN*前往前往分析分析:将知数据列成下表将知数据列成下表:设消费甲、乙两种产设消费甲、乙两种产品品.分别为分别为x吨、吨、y吨吨,利润总额为利润总额为z元元,那么那么z=600 x+1000y.4x+9y36010 x+4y3005x+4y200 x0y 010543002004产产 品品耗费量耗费量A种矿石种矿石(t)B种矿石种矿石(t)甲产品甲产品资资 源源乙产品乙产品 资源限制资源限制 煤煤(t)利利 润润(元元)493601000600解解:设消费甲、乙两种产品设消费甲、乙两种产品

10、.分分别为别为x 吨、吨、y吨吨,利润总额为利润总额为z元元,那么那么作出以上不等式组所表示的作出以上不等式组所表示的可行域可行域作出一组平行直线作出一组平行直线 600 x+1000y=t，解 得 交 点解 得 交 点 M 的 坐 标 为的 坐 标 为(12.4,34.4)5x+4y=200 4x+9y=360由由 0 xy10 x+4y=3005x+4y=2004x+9y=360600 x+1000y=0M答答:(略略)(12.4,34.4)前往前往经过可行域上的点经过可行域上的点M时时,目的函数目的函数在在 y 轴 上 截 距 最 大轴 上 截 距 最 大 . 此 时此 时z=600 x

11、+1000y获得最大值获得最大值.平移找解法平移找解法90403040507510 x+4y3005x+4y200 x0y 04x+9y360思索题：知点思索题：知点P(x,y)的坐标满足条件的坐标满足条件 点点O为坐标原点为坐标原点,那么那么|PO|的最小值为的最小值为_ 最大值为最大值为_x2+y2最小值为最小值为_最大值为最大值为_所围图形面积为所围图形面积为_x+y4yxx1xyx-y=0 x+y=4x=1(1,1)(2,2)(1,3)练习练习:知变量知变量x,y满足约束条件满足约束条件1 x+y4, 2xy2,假设目的函假设目的函数数z=ax+y(其中其中a0)仅在点仅在点(3,1)

12、处获处获得最大值得最大值,那么那么a的取值范围为的取值范围为_(3,1)xyOx-y=-2x-y=2x+y=1x+y=4)21,23(a14a-2b=0设函数设函数 f(x)=ax2+bx 满足满足-1f(-1)2, 2f(1)4, 求求f(-2)的范围的范围.解解:由知条件得由知条件得:f(-2)= 4a-2b-1a-b2 2a+b44321=10,1232214故故10) 2(1faA(3,1)b a+b=2a+b=4a-b=-1a-b=2)23,21( BO解线性规划问题的步骤： 2 2移：在线性目的函数所表示的一组平行移：在线性目的函数所表示的一组平行线中，利用平移的方法找出与可行域有公共线中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且获得最大值或最小值的直线；点且获得最大值或最小值的直线； 3 3求：经过解方程组求出最优解；求：经过解方程组求出最优解； 4 4答：作出答案。答：作出答案。 小结：小结：1 1画：画出线性约束条件所表示的可行域；画