湖南大学-物理 课程指导五

1、1课程指导课五课程指导课五第第5章章 波动波动5.1 波的产生和传播波的产生和传播5.2 平面简谐波的波动方程平面简谐波的波动方程5.3 波的能量与能流波的能量与能流 声压与声强声压与声强 5.4 波的衍射现象惠更斯原理波的衍射现象惠更斯原理5.5 波的叠加与干涉波的叠加与干涉 驻波驻波5.6 多普勒效应多普勒效应教师：郑采星教师：郑采星大学物理大学物理2基本要求基本要求教学基本内容、基本公式教学基本内容、基本公式第第5章章 波动波动掌握由已知质点的简谐振动方程得出平面简谐波函数的方法及波函数掌握由已知质点的简谐振动方程得出平面简谐波函数的方法及波函数的物理意义。理解波形图。了解波的能量特征。

2、能应用相位差和波程的物理意义。理解波形图。了解波的能量特征。能应用相位差和波程差分析、确定相干波叠加后振幅加强和减弱的条件。掌握驻波及其形差分析、确定相干波叠加后振幅加强和减弱的条件。掌握驻波及其形成条件。了解机械波的多普勒效应及其产生原因，能用多普勒频移公成条件。了解机械波的多普勒效应及其产生原因，能用多普勒频移公式进行计算。式进行计算。1. 横波、纵波、简谐波、平面简谐波横波、纵波、简谐波、平面简谐波 简谐波简谐波:波源作简谐振动波源作简谐振动,在波传到的区域在波传到的区域,媒质中的质元均作简谐振动。媒质中的质元均作简谐振动。横波：质点的振动方向与波的传播方向垂直。横波：质点的振动方向与波

3、的传播方向垂直。纵波：质点的振动方向与波的传播方向平行。纵波：质点的振动方向与波的传播方向平行。若波沿若波沿+ +x向传播，空间任一点向传播，空间任一点 P (x, y, z)的振的振动相位只和动相位只和x与与t有关，而和其它空间坐标无关有关，而和其它空间坐标无关平面简谐波平面简谐波 。振动的传播过程称为波动，产生条件振动的传播过程称为波动，产生条件: 波源波源 弹性媒弹性媒（介介）质。质。3 2) cos(),(0 xtAtxy2)cos(),(00 xxtAtxy) cos(00tAy若已知若已知x =0点振动点振动波动方程：波动方程：若已知若已知x0点振动点振动) cos(00tAyx波

4、动方程：波动方程：波动方程波动方程给出给出任意质元在任意时刻任意质元在任意时刻t的位移。即表示振动状态的传播，的位移。即表示振动状态的传播，给出波形随时间而变化的情况。给出波形随时间而变化的情况。xxx x=u txyu0At 时刻波形时刻波形t+ t 时刻波形时刻波形行波行波沿波的传播方向沿波的传播方向,各质元各质元的的相位依次落后相位依次落后。x20uyx0 x42. 波的能量波的能量)(sin)(21222uxtVAEEpk)(sin)(222uxtVAEEEpk质元的动能和势能都随时间变化质元的动能和势能都随时间变化，且在同一时刻，位相相同，大小相等。且在同一时刻，位相相同，大小相等。

5、质元机械能随时间作周期性变化，这与弹簧振子总的机械能是一常数不同。质元机械能随时间作周期性变化，这与弹簧振子总的机械能是一常数不同。平均能流密度（波的强度）平均能流密度（波的强度）2221AuI3. 相干波叠加相干波叠加干涉现象干涉现象 同频率、同方向、相位差恒定的两列波同频率、同方向、相位差恒定的两列波, ,在相遇区域内在相遇区域内, ,某些点处振动始终加强某些点处振动始终加强, ,另一些点处的振动始终减弱另一些点处的振动始终减弱, ,这一现象称为这一现象称为波的干涉波的干涉。质元机械能质元机械能两相干波两相干波 )2cos(11011rtAy)2cos(22022rtAykrr2)(212

6、102021AAA) 12()(2121020krr21AAA若若 10 = 20，上述条件简化为：上述条件简化为： ), 2, 1, 0(,21kkrr), 2, 1, 0(,21221kkrr54. 驻波驻波 沿沿x轴的正、负方向传播的行波轴的正、负方向传播的行波 xTtAy2cos1xTtAy2cos2合成波合成波驻波方程：驻波方程：tTxAy2cos)2cos2(波波节节波波腹腹波节位置波节位置02cos2xA,.)2, 1, 0(4) 12(kkx波腹位置波腹位置AxA22cos2,.)2, 1, 0(2kkx5. 多普勒效应多普勒效应当观察者与波源之间有相对运动时，观察者所测得的频

7、率不同于波源当观察者与波源之间有相对运动时，观察者所测得的频率不同于波源频率的现象，称为频率的现象，称为多普勒效应。多普勒效应。6 1. 1.如图所示，一平面简谐波沿如图所示，一平面简谐波沿x 轴正向传播，已知轴正向传播，已知P P 点的振动方程为点的振动方程为 则波的表达式为：则波的表达式为：/ )(cos0(A)ulxtAy)/(cos0(B)uxtAy)/(cos(C)uxtAy/ )(cos(D)0ulxtAyxOulPyA 沿波的传播方向，各质元的振动位相逐一落后，根据位相差的公式：沿波的传播方向，各质元的振动位相逐一落后，根据位相差的公式： ,2x,0P,200ltP求出求出0点的

8、振动方程：点的振动方程： )2cos(00ltAycos0ultA波的表达式为：波的表达式为： .)(coscos00ulxtAuxultAy)cos(0tAyP 72. 一平面简谐波在弹性媒质中传播一平面简谐波在弹性媒质中传播, ,在媒质质元从最大位移处回到平衡位在媒质质元从最大位移处回到平衡位置的过程中置的过程中: :(A) 它的势能转换成动能它的势能转换成动能. .(B) 它的动能转换成势能它的动能转换成势能. .(C) 它从相邻的一段媒质质元获得能量它从相邻的一段媒质质元获得能量, ,其能量逐渐增加其能量逐渐增加. .(D) 它把自己的能量传给相邻的一段媒质质元它把自己的能量传给相邻的

9、一段媒质质元, ,其能量逐渐减小其能量逐渐减小. . C )(sin)(21222uxtVAEEpk动能和势能最小（形变最小）动能和势能最小（形变最小）动能和势能最大（形变最大动能和势能最大（形变最大)质元的动能和势能都随时间变化质元的动能和势能都随时间变化，且在同一时刻，位相相同，大小相等。且在同一时刻，位相相同，大小相等。83. .如图所示，如图所示，S1和和S2为两相干波源，它们的振动方向均垂直于图面，为两相干波源，它们的振动方向均垂直于图面，发出波长为发出波长为 的简谐波，的简谐波，P点是两列波相遇区域中的一点，已知点是两列波相遇区域中的一点，已知 ，两列波在，两列波在P点发生相消干涉

10、若点发生相消干涉若S1的振动方程的振动方程为为 ，则，则S2的振动方程为的振动方程为 (A) (B) (C) (D) ,21PS2 . 22PS)212cos(1tAy)212cos(2tAy)2cos(2tAy)212cos(2tAy)1 . 02cos(22tAy D)(2121020rr 2 . 022 . 212rr相消干涉相消干涉) 12()(2121020krr4 . 0)(212rr1S2SP2r1r), 2, 1, 0(k6 . 0211 . 010204 . 06 . 0)(2121020rr94. 在弦线上有一简谐波，其表达式为在弦线上有一简谐波，其表达式为 34)20(1

11、00cos100 . 221xty为了在此弦线上形成驻波，并且在为了在此弦线上形成驻波，并且在x = 0处为一波腹，此弦线上还应有处为一波腹，此弦线上还应有一简谐波，其表达式为：一简谐波，其表达式为： 3)20(100cos100 . 2(A)22xty34)20(100cos100 . 2(B)22xty3)20(100cos100 . 2(C)22xty34)20(100cos100 . 2(D)22xty参考解答：参考解答： 在同一媒质中两列振幅相同的相干波，沿同一直线相向传播时，叠加形成的波称在同一媒质中两列振幅相同的相干波，沿同一直线相向传播时，叠加形成的波称为驻波，驻波是干涉现象的

12、一种重要的特殊情况。驻波各质元以不同的振幅、相为驻波，驻波是干涉现象的一种重要的特殊情况。驻波各质元以不同的振幅、相同的频率作简谐振动。振幅最大的各点称为波腹（由两列波引起的两振动恰好同同的频率作简谐振动。振幅最大的各点称为波腹（由两列波引起的两振动恰好同相，相互加强）。相，相互加强）。本题本题x = 0处为一波腹，则两波在处为一波腹，则两波在x = 0处位相相同，显然处位相相同，显然(D)正确。正确。 D34100t105. A、B为两个汽笛，其频率皆为为两个汽笛，其频率皆为500Hz，A静止，静止，B以以60m/s 的速率向右运动的速率向右运动. 在两个汽笛之间有一观察者在两个汽笛之间有一

13、观察者O，以，以30m/s 的速度也向右运动的速度也向右运动.空气中的声速为空气中的声速为330m/s，观察者听到来自，观察者听到来自B的频率为的频率为_，观察者听到的拍频，观察者听到的拍频_。 5 .46150060330303300SvRv1. 波源静止观察者波源静止观察者向向波源运动波源运动Ruuv2. .波源波源离开离开观察者，后方波长变长观察者，后方波长变长TSvSRSRSRBuuTuTuTuuvvvvvv观察者观察者O与与波源波源B综合综合1和和2的讨论的讨论0RvSv观察者观察者O与与波源波源A3. 波源静止观察者波源静止观察者背向背向波源运动波源运动Ruuv5 .454uuuT

14、uuuRRRAvvv观察者听到的拍频观察者听到的拍频Hz75 .454-5 .461AB拍拍116. 在实验室中做驻波实验时，在一根两端固定长在实验室中做驻波实验时，在一根两端固定长3 m的弦线上以的弦线上以60 Hz的的频率激起横向简谐波弦线的质量为频率激起横向简谐波弦线的质量为6010-3 kg如要在这根弦线上产生如要在这根弦线上产生有四个波腹的很强的驻波，必须对这根弦线施加多大的张力？有四个波腹的很强的驻波，必须对这根弦线施加多大的张力？解：解： ) 1 (/mTllmTTu)2(u由题意知由题意知 214l)3(21l将将(3)代入代入(2)得得 lu21代入代入(1)，得，得 422

15、lmTl241mlT N16260310604123T 绳中的张力绳中的张力 质量线密度质量线密度12解解: :求反射波表达式求反射波表达式, , 要特别注意介面要特别注意介面反射是否有半波损失。反射是否有半波损失。由由原点振动方程为原点振动方程为:7.一平面简谐波一平面简谐波 y1=0.03cos(20 t- x),在距离原点在距离原点5m处有波密媒质处有波密媒质反射面反射面AB, ,波传至波传至AB全部被反射。求全部被反射。求: :反射波表达式反射波表达式；0点振动传到介面点振动传到介面AB再反射到再反射到 x 处用的时间：处用的时间：201055xuxt介面反射有半波损失，介面反射有半波

16、损失，反射波表达式反射波表达式: :)2010(20cos03. 02xty)20cos(03. 0 xt0 xAB5m疏疏 密密x)20cos(03. 01xty得到得到.sm20m,21u)(cos),(0uxtAtxy 2) cos(),(0 xtAtxy比较：比较：)20cos(03. 00ty13教材教材大学物理大学物理例例 5.52)(cosuxtAy入入2)(cosuxtAy反入射波入射波反射波反射波, ,改符号改符号, + 有没有普遍性有没有普遍性? ?)20cos(03. 0 xty反)20cos(03. 0 xty入入讨论题讨论题你的观点你的观点“有有”还是还是“没有没有”

17、有有没有没有14教材教材大学物理大学物理例例5.52)(cosuxtAy入入2)(cosuxtAy反入射波入射波反射波反射波, ,改符号改符号, 加加 有没有普遍性有没有普遍性? ?)2(,41050P41230P)20cos(03. 0 xty反)20cos(03. 0 xty入入0 xAB5mP0 xBB3 P共同点：坐标原点到反射点的距离共同点：坐标原点到反射点的距离为为四分之一波长的偶数倍四分之一波长的偶数倍！1542kop )(cosuxtAy入入0 xPx)(cosuxopoptAy反反,2kop )(cosuxtAy反4) 12(kop.) 12(2) 12(,2) 12(2ku

18、kkop)(cosuxtAy反半波损失（坐标原点的选择）半波损失（坐标原点的选择）(1)(1)取坐标原点距离反射点为四分之一波长的偶数倍取坐标原点距离反射点为四分之一波长的偶数倍(2)(2)取坐标原点距离反射点为四分之一波长的奇数倍取坐标原点距离反射点为四分之一波长的奇数倍一般公式一般公式)2(u.2kuk16)/(2cosxtAy入入)/(2cosxtAy反42kop 当反射点，波节；反射点，波节； x = 0，波节，波节，入射波与反射波反位相。入射波与反射波反位相。412）（当kop)/(2cosxtAy反反射点，波节；反射点，波节； x = 0，波腹，波腹，入射波与反射波同位相。入射波与

19、反射波同位相。自己讨论。的倍数，请同学们课后不是若4op24oxP入入反反波疏波疏波密波密17解：设解：设O O 为坐标原点，入射波表达式为为坐标原点，入射波表达式为)/(2cos1xtAy则反射波表达式是则反射波表达式是)/(2cos2xtAy合成波表达式（驻波）为合成波表达式（驻波）为)2cos()2cos(221txAyyy8.8.如图所示，一平面简谐波沿如图所示，一平面简谐波沿x轴正方向传播，轴正方向传播，BC为波密媒质的反射为波密媒质的反射面。波由面。波由P点反射点反射，0P = 3 / 4 ，DP = / 6 。在在t = 0时，时，0处质点的合处质点的合振动是经过平衡位置向振动是

20、经过平衡位置向负方向运动。负方向运动。求求D 点处入射波与反射波的合振点处入射波与反射波的合振动方程。（设入射波与反射波的振幅皆为动方程。（设入射波与反射波的振幅皆为A，频率为，频率为 。）。）oxDP入入反反波疏波疏波密波密BCt = 0时，时，O O 处质点的合振动是经过平衡位置向处质点的合振动是经过平衡位置向负方向运动负方向运动在在 t = 0 时时，x = 0 处质点处质点 y0 = 0， y0 / t 0， 所以：所以：21因此，因此，D点处的合振动方程是点处的合振动方程是)22cos(6/4/32cos2tAytA2sin318 B A O L 9. 一弦线的左端系于音叉的一臂的一

21、弦线的左端系于音叉的一臂的A点上，右端固定在点上，右端固定在B点，并用点，并用T = 7.20 N的的水平拉力将弦线拉直，音叉在垂直于弦线长度的方向上作每秒水平拉力将弦线拉直，音叉在垂直于弦线长度的方向上作每秒50次的简谐振动次的简谐振动（如图）这样，在弦线上产生了入射波和反射波，并形成了驻波弦的线密（如图）这样，在弦线上产生了入射波和反射波，并形成了驻波弦的线密度度 = 2.0 g/m， 弦线上的质点离开其平衡位置的最大位移为弦线上的质点离开其平衡位置的最大位移为4 cm在在t = 0时，时，O点处的质点经过其平衡位置向下运动点处的质点经过其平衡位置向下运动，O、B之间的距离为之间的距离为L

22、 = 2.1m试求：试求： (1) 入射波和反射波的表达式；入射波和反射波的表达式； (2) 驻波的表达式驻波的表达式 解：按题意，弦线上行波的频率解：按题意，弦线上行波的频率 = 50 Hz，波速，波速u = (T/ )1/2 = 60 m/s，波长，波长 = u/ = 1.2 m. 取取O点为点为x轴和轴和y轴的原点轴的原点x轴向右，轴向右，y轴向上轴向上4775. 11 . 2L)/(2cosxtAy入入)/(2cosxtAy反在在t = 0时，时，O点处的质点经过其平衡位置向下运动点处的质点经过其平衡位置向下运动合成波的表达式（驻波）为合成波的表达式（驻波）为)2cos()2cos(2

23、21txAyyy在在 t = 0 时时，x = 0 处质点处质点 y0 = 0， y0 / t 0， 所以：所以：21199. 一弦线的左端系于音叉的一臂的一弦线的左端系于音叉的一臂的A点上，右端固定在点上，右端固定在B点，并用点，并用T = 7.20 N的的水平拉力将弦线拉直，音叉在垂直于弦线长度的方向上作每秒水平拉力将弦线拉直，音叉在垂直于弦线长度的方向上作每秒50次的简谐振动次的简谐振动（如图）这样，在弦线上产生了入射波和反射波，并形成了驻波弦的线密（如图）这样，在弦线上产生了入射波和反射波，并形成了驻波弦的线密度度 = 2.0 g/m， 弦线上的质点离开其平衡位置的最大位移为弦线上的质

24、点离开其平衡位置的最大位移为4 cm在在t = 0时，时，O点处的质点经过其平衡位置向下运动，点处的质点经过其平衡位置向下运动，O、B之间的距离为之间的距离为L = 2.1 m试求：试求： (1) 入射波和反射波的表达式；入射波和反射波的表达式； (2) 驻波的表达式驻波的表达式 )/(2cosxtAy入入)/(2cosxtAy反合成波的表达式（驻波）为合成波的表达式（驻波）为)2cos()2cos(221txAyyy21将将 = 50 Hz，u = 60 m/s， = 1.2 m代入代入26 . 0100cos1022xty入26 . 0100cos1022xty反)2100cos(6 .

25、0cos1042txyyy反入驻波200RvSv10. 一声源一声源S的振动频率为的振动频率为 S = 1000 Hz，相对于空气以，相对于空气以vS = 30 m/s的速度向右的速度向右运动，如图在其运动方向的前方有一反射面运动，如图在其运动方向的前方有一反射面M，它相对于空气以，它相对于空气以v = 60 m/s的速度向左运动假设声波在空气中的传播速度为的速度向左运动假设声波在空气中的传播速度为u = 330 m/s，求：，求：1. 在声源在声源S右方空气中右方空气中S发射的声波的波长；发射的声波的波长；2. 每秒钟到达反射面的波的数目；每秒钟到达反射面的波的数目；3. 反射波的波长反射波

26、的波长SvSvM 解：解：1. 设一接收器设一接收器R静止于空气中静止于空气中，声源，声源S以以vS速率接近接收器速率接近接收器R，则由多，则由多普勒效应公式可知，普勒效应公式可知，R接收到的声波频率接收到的声波频率 )(1100100030330330HzSSuuv则则(m)30. 01100/330/u运动的前方波长缩短运动的前方波长缩短 = vST 。观察者测得的频率为观察者测得的频率为SSSuuTuTuTuuvvv*SSv21SvRvTSvu10. 一声源一声源S的振动频率为的振动频率为 S = 1000 Hz，相对于空气以，相对于空气以vS = 30 m/s的速度向右的速度向右运动，

27、如图在其运动方向的前方有一反射面运动，如图在其运动方向的前方有一反射面M，它相对于空气以，它相对于空气以v = 60 m/s的速度向左运动假设声波在空气中的传播速度为的速度向左运动假设声波在空气中的传播速度为u = 330 m/s，求：，求：1. 在声源在声源S右方空气中右方空气中S发射的声波的波长；发射的声波的波长；2. 每秒钟到达反射面的波的数目；每秒钟到达反射面的波的数目；3. 反射波的波长反射波的波长SvSvM解：解： 2. 每秒钟到达反射面处波的数目在数值上等于每秒钟到达反射面处波的数目在数值上等于反射面处接收到反射面处接收到的波的频率，的波的频率，由多普勒效应公式由多普勒效应公式（

28、观察者和波源同时相对于媒质运动）观察者和波源同时相对于媒质运动）有：有： (Hz)130010003033060330SSuuvv这时观察者每秒接收到的整波数，由观察者的运动和波源运动这时观察者每秒接收到的整波数，由观察者的运动和波源运动两种因素同时决定，观察者测得的频率为两种因素同时决定，观察者测得的频率为SRSRSRRuuTuTuTuuvvvvvvvRvv 2210. 一声源一声源S的振动频率为的振动频率为 S = 1000 Hz，相对于空气以，相对于空气以vS = 30 m/s的速度向右的速度向右运动，如图在其运动方向的前方有一反射面运动，如图在其运动方向的前方有一反射面M，它相对于空气

29、以，它相对于空气以v = 60 m/s的速度向左运动假设声波在空气中的传播速度为的速度向左运动假设声波在空气中的传播速度为u = 330 m/s，求：，求：1. 在声源在声源S右方空气中右方空气中S发射的声波的波长；发射的声波的波长；2. 每秒钟到达反射面的波的数目；每秒钟到达反射面的波的数目；3. 反射波的波长反射波的波长SvSvM解：解： 2. 每秒钟到达反射面处波的数目在数值上等于每秒钟到达反射面处波的数目在数值上等于反射面处接收到反射面处接收到的波的频率，的波的频率，由多普勒效应公式由多普勒效应公式（观察者和波源同时相对于媒质运动）观察者和波源同时相对于媒质运动）有：有： (Hz)13

30、0010003033060330SSuuvvRvv 解：解：3. ( (静止于空气中静止于空气中) )接收器接收到接收器接收到反射面的反射波反射面的反射波的频率的频率 0RvSvSSSuuTuTuTuuvvvSvv vuuR反射波的波长反射波的波长 (m)21. 0130060330vuuRR23 沿波的传播方向，各质元的振动位相逐一落后，具体位相沿波的传播方向，各质元的振动位相逐一落后，具体位相差的公式是：差的公式是： ，请分析如何利用这一特征，测定来波方向。，请分析如何利用这一特征，测定来波方向。x2参考解答：相位干涉仪就是利用这一特征，测定来波的方向。参考解答：相位干涉仪就是利用这一特征

31、，测定来波的方向。 在军事上常常需要确定雷达信号的来波方向，在军事上常常需要确定雷达信号的来波方向，称为无源测向。称为无源测向。相位干涉测向仪是一种常用的测向相位干涉测向仪是一种常用的测向系统系统，其基本结构与工作原理如图所示其基本结构与工作原理如图所示。 两个天线单元两个天线单元A和和B相隔一定距离相隔一定距离d, ,水平放置，当雷水平放置，当雷达电磁波平行传输过来，到达达电磁波平行传输过来，到达A天线比到达天线比到达B天线多天线多经过的路程为：经过的路程为：a = dsin 。 式中式中 是来波方向与天线轴线的夹角是来波方向与天线轴线的夹角, ,也就是方位角。也就是方位角。 则两天线信号的相位差为：则两天线信号的相位差为：sin22da式中式中是雷达信号的波长。相位干涉仪一般采用超外差接收机是雷达信号的波长。相位干涉仪一般采用超外差接收机, ,首先确定信号首先确定信号波长波长,然后根据测出的然后根据测出的A、B 天线信号的相位差天线信号的相位差 ，就可以利用上式计算出，就可以利用上式计算出方位角方位角。 研讨题研讨题24为什么在没有看见火车也没有听到火车鸣笛的声音的情况下，把耳朵为什么在没有看见火车也没有听到火车鸣笛的声音的情况下，把耳朵贴靠在铁轨上可以判断远处是否有火车驶来？贴靠在铁轨上可以判断远处是否有火车驶来？ 参