第3讲景区灭火问题

1、 第三讲第三讲Matlab数学建模数学建模第第3讲讲 景区灭火问题景区灭火问题 Matlab数学建模案例分析数学建模案例分析3.1 问题提出问题提出某国家级森林公园的地形等高图如图3-1所示。由于该风景区植被丰富，拥有大量的国家级重点保护动植物，因此旅游管理部门在图3-1的A点设置了景区消防站，当景区发生火灾时能及时控制和消灭火情。图3- 1 等高图 Matlab数学建模数学建模说明：（1）该图水平及竖直方向以10m每像素为单位，山高以50m为单位。（2）实际图形见附件，为512512像素。请你利用所学数学知识回答以下问题：（1）由于人为原因，图3-1所示的等高图出现了局部破损的情况（共5处）

2、，请利用数学模型修补好该地图；（2）在完成第一问的基础上，结合数学模型建立该景区的三维地形图，并估计该景区的地表面积；（3）某天图3-1所示的B点发生了火灾，于是需要从景区消防站A派遣消防员去B点灭火，建立模型确定最佳灭火路线。 第三讲第三讲Matlab数学建模数学建模本文主要采用数据拟合和插值的方法修复图像最终比较取吻合得最好的图像；根据等高线图构建Delaunay三角网采用三角形插值的方法由已知点的坐标插值出其他点空间坐标，从而拟合出一个三维的地图形；利用梯度下降最快的方法和空间自由曲面两点最短距离和最短路径建立最优途径模型,利用FSPFFS和DIJKSTRA算法求出最佳灭火路线，并做比较

3、得到相对较好的最佳灭火路径。问题一中，首先确定目标：修补好该破损地图。我们根据数字图像处理等有关技术，将格式为bmp的二值图像转化以含0（黑色）和1（白色）的逻辑矩阵，通过取点构建一维插值和函数拟合模型修复出破损的函数并比较和原图像的吻合性选取最优修复图如图3-4所示。3.2 摘要摘要 Matlab数学建模数学建模问题二中，首先从处理后的图中提取出只含有等高线的地图。然后从等高线中提取若干离散的数据点，利用Delaunay三角网对提取的离散数据点进行三维建模，然后分别利用线性插值和三次Hermite插值算法重建了三维地形图。最后利用MATLAB对算法进行了检验，并对线性插值和三次Hermite

4、插值的结果进行了比较，从所得结果来看，利用三次Hermite插值的结果效果要好一些，构建了三维地形图符合等高线的规律，生成的三维图形如图3-13所示。通过对三维图形进行放大处理，构建分块计算法法模型，利用MATLAB计算出表面积面积为S=2.3788e+05。问题三中，根据题意知最佳灭火路线为路程最短路线即为地形图上梯度下降最快的方向，则问题转化为函数已知点按最大速度下降原理求解函数的最小值一个迭代问题。采用Dijkstra算法进行求解，由这些点构成路径就是最佳灭火路线如图3-17所示。 Matlab数学建模数学建模3.3 符号说明符号说明 Matlab数学建模数学建模3.4 问题分析问题分析

5、森林在国民经济中占有重要地位，它不仅能提供国家建设和人民生活所需的木材及林副产品，而且还肩负着释放氧气、调节气候、涵养水源、保持水土、防风固沙、美化环境、净化空气、减少噪音及旅游保健等多种使命。同时，森林还是农牧业稳产高产的重要条件。然而，森林火灾会给森林带来严重危害。森林火灾位居破坏森林的三大自然灾害（病害、虫害、火灾）之首。它不仅给人类的经济建设造成巨大损失，破坏生态环境，而且还会威胁到人民生命财产安全。具体表现在如下的几个方面：（1）烧毁林木；（2）烧毁林下植物资源；（3）危害野生动物；（4）引起水土流失；（5）使下游河流水质下降；（6）引起空气污染；（7）威胁人民生命财产安全。所以说当

6、森林火灾发生时，合理救援是减小损失的最有利的途径，合理救援即为消防人员用最少的时间到达事故发生地灭火，减少财产损失，故要从消防站A到着火处B的路程最少，时间最少才能达到减小损失的目的。修复点等高线上的5出局部破损的情况，但修复时等高线上的数字1,2,38和字母A、B会影响对数据的读取，所以通过图形编辑器对图形进行初步处理得到3-2所示。 Matlab数学建模数学建模图3- 2 去标记后的等高线图要想把问题解决好，还需对等高线有所了解。在地图上，把陆地表面海拔高度相等的各点连接成的线，叫等高线。把地面上海拔高度相同的点连成的闭合曲线。垂直投影到一个标准面上，并按比例缩小画在图纸上，就得到等高线。

7、等高线也可以看作是不同海拔高度的水平面与实际地面的交线，所以等高线是闭合曲线。 Matlab数学建模数学建模通过对图像分析，等高线破损处前后提取数据，整理计算如表3-1所示。表3- 1 37个数据点i01234567891011 xi222217212207201197192185182178173168 yi464748495153555860626568 r1(x)111111111111 r2(x)222217212207201197192185182178173168 r3(x)492844708944944428494040138809368643422533124316842992

8、928224 i121314151617181920212223 xi165161157154146147150153156163170171 yi71747982115120125130134140147152 r1(x)111111111111 r2(x)165161157154146147150153156163170171 r3(x)272252592124649237162131621609225002340924336265692890029241 i24252627282930313233343536xi17818819119520420921122022422723123624

9、3yi153158160162166168169171171172172173173r1(x)1111111111111r2(x)178188191195204209211220224227231236243r3(x)31684353443648138025416164368144521484005017651529533615339659049 Matlab数学建模数学建模带入数据，运用MATLAB拟合出图像，程序如下：clc,clear,close allload(data1.mat)x1 = data1(2,1:end-1),data1(8,1:4);y1 = data1(3,1:end

10、-1),data1(9,1:4);x2 = data1(8,5:end-1),data1(14,1:end);y2 = data1(9,5:end-1),data1(15,1:end);plot(y1,y2,x1,x2,b.)a = polyfit(y1,y2,x1,x2,2);y = min(y1,y2)-10:max(y1,y2)+10;x = a(1)*y.2+a(2)*y+a(3);hold onplot(y,x,r.-,linewidth,2) Matlab数学建模数学建模20406080100120140160180200120140160180200220240260图3- 3

11、数据拟合图其拟合函数为：20.0204424.3788373.48xyy Matlab数学建模数学建模3.6.2 模型的求解模型的求解表3- 2 等高线上的点xi114115118120122123125127135137yi133135137139139140143144151152xi139140151153162164165166177247yi153155161162168169170171176198xi178179180189190191193194204206yi177178179184185186187188193194xi208211212221229231236239240

12、245yi195196197200201201200200199199利用Newton插值：2000101012( )()() ,()() ,xf xxxf xxxxxxf xx xfor i=114:247 y1(1,j)=interp1(x,y,i,cubic); j=j+1;end Matlab数学建模数学建模图3- 4 修复后图像3.7 问题二的分析问题二的分析首先根据数字图像处理方面的技术和方法，从原图中提取了只含有等高线的图。然后以图像的两边分别为x轴和y轴，垂直图像的方向为z轴建立空间坐标系。则等高线上每点的空间坐标都是已知的。根据题目要求要生成整个的三维地图，即要求出图像上其他

13、各点的三维空间坐标。本文采用三角形插值的方法由已知点的坐标插值出其他点空间坐标，从而拟合出一个三维的地图形。再根据像素把图形放大到实际大小，建立微分模型，计算出景区地表表面积。 Matlab数学建模案例分析数学建模案例分析表3- 3 图形提取数据点 x y z 204 14 0 240 1 0 99 110 0 319 16 0 512 1 0 245 9 0 354 29 0 250 512 0 433 111 0 393 54 0 512 245 0 254 196 0 435 114 0 512 512 0 330 256 0 463 171 0 126 111 50 408 69 0

14、489 209 0 254 28 50 501 257 0 500 241 0 400 111 50 412 345 0 492 304 0 254 182 50 112 354 0 458 341 0 352 256 50 223 232 0 405 343 0 408 166 50 276 306 0 204 14 0 468 258 50 206 359 0 319 16 0 411 323 50 122 53 0 354 29 0 143 339 50 171 25 0 218 263 50 204 14 0 256 307 50 319 16 0 206 350 50 354 29

15、0 145 111 100 Matlab数学建模数学建模（2）运用分块计算法图13- 5 图形分块 图13- 6 斜面梯形图13- 7 Delaunay三角网 Matlab数学建模数学建模画出其散点图如图3-10所示。50100150200250300350400450500550050100150200250300350400图3- 10 散点图 Matlab数学建模数学建模图3- 11 伪彩色图 Matlab数学建模数学建模50100150200250300350400450500-50050100150200250300350400图3- 12 等高线图 Matlab数学建模数学建模用H

16、ermite插值法进行三次插值生成的三维图见图3-13所示。图3- 13 Hermite插值法三维图 Matlab数学建模数学建模从3-13可知，三次插值的效果要比线性插值好，图形更光滑些。接下来，对于地表面积的求解，可将3座山标为A、B、C，如图3-14所示。图3- 14 景区示意图 Matlab数学建模数学建模如图3-13、图3-14所示，则抽取其中三维曲面一个小面积块出来分析，绘制相应的小块图形，程序如下：figure(color,1,1,1),x1 = 238.4; y1 = 314.8; z1 = 300.9;x2 = 238.4; y2 = 309.6; z2 = 277.4;x3

17、 = 243.6; y3 = 314.8; z3 = 303.2;x4 = 243.6; y4 = 309.6; z4 = 280.2;plot3(x1,y1,z1,ro);hold onplot3(x2,y2,z2,ro);plot3(x3,y3,z3,ro);plot3(x4,y4,z4,ro);plot3(x2,x4,y2,y4,z2,z4,r-,linewidth,2);plot3(x1,x2,y1,y2,z1,z2,r-,linewidth,2);plot3(x1,x2,y1,y2,z1,z2,r-,linewidth,2);plot3(x1,x3,y1,y3,z1,z3,r-,li

18、newidth,2);plot3(x4,x3,y4,y3,z4,z3,r-,linewidth,2);C = 0.5000 1.0000 1.0000 0.5000;fill3(x1,x2,x3,x4,y1,y2,y3,y4,z1,z2,z3,z4,b) % 填充蓝色fill3(x1,x3,x2,x4,y1,y3,y2,y4,z1,z3,z2,z4,b) % 填充蓝色 Matlab数学建模数学建模图13- 15 小立面格 Matlab数学建模数学建模计算该面面积程序如下：% 计算面积a = sqrt(y1-y2)2+(z1-z2)2); % 边长ab = sqrt(x2-x4)2+(z2-z4

19、)2); % 边长bS = a*b; % 立面面积则只需要统计图3-13种高度大于0的点数即可，即可计算相应的地表面积，具体程序如下：num =0 ; % 小格子个数n = size(X);for i=1:n(1,1) for j=1:n(1,2) if Z(i,j)0 num = num +1; end endendSs = S*num/2 % 总的地表面积 Matlab数学建模数学建模3.8 问题三的分析问题三的分析根据题意知最佳灭火路线为路程最短路线即为地形图上梯度下降最快的方向模型，则问题转化为已知函数某点按最快速度下降原理求解函数的最小值一个迭代问题。采用牛顿法进行求解，并记录下每次

20、迭代下点的值，则由这些点构成路径就是最佳灭火路线。图3- 16 景区示意图 Matlab数学建模数学建模绘制相应的立体图，选择相应的起始节点和终始节点，具体的程序如下：图3- 17 三维曲面图 Matlab数学建模数学建模采用Dijkstra算法对该起始点与终始点进行最短路径求解。% 对图进行广度遍历while length(queue) = 0 hopS = queue(1); queue = queue(2:end); for hopE = 1:noOfNode if distance(hopE) distance(hopS) + transmat(hopS,hopE) distance(hopE) = distance(hopS) + transmat(hopS,hopE);