研究性教学-有限差分法

1、静态场的边值问题：静态场的边值问题：在给定的三类边界条件下求解标量位或在给定的三类边界条件下求解标量位或矢量位的泊松方程或拉普拉斯方程的解的问题。矢量位的泊松方程或拉普拉斯方程的解的问题。 边值问题的分类：边值问题的分类：解析法解析法数值法数值法分离变量法分离变量法镜像法镜像法复变函数法复变函数法保角变换法保角变换法格林函数法格林函数法有限差分法有限差分法有限元法有限元法数值积分法数值积分法矩量法矩量法（经典法）（经典法）优点：优点：由有限个想构成闭由有限个想构成闭合解或无穷级数，通常具合解或无穷级数，通常具有鲜明的物理意义。有鲜明的物理意义。缺点：缺点：解题范围窄小，对解题范围窄小，对边界形

2、状十分挑剔边界形状十分挑剔优点：优点：解题范围宽广，对解题范围宽广，对边界的形状没有限制边界的形状没有限制缺点：缺点：数据离散，物理意数据离散，物理意义深藏其中义深藏其中 理论依据：唯一性定理和叠加原理理论依据：唯一性定理和叠加原理)(|D(02222sfyxL内）在区域xyoL10234hhD Dxxxhyhxyhxx2),(),(00000hyhxyhxxxxxx), 2/(), 2/(000022023012h24022220hyyyxyoL10234hhD D24022220hyyy23012220hxxx)(|D(02222sfyxL内）在区域0404321xyoL10234hhD

3、D10243hphqhh01111)1 ()1 (04321qpqpqqppxyoL10234hhD D 高斯高斯- -赛德尔迭代法赛德尔迭代法 网格节点一般按网格节点一般按“自然顺序自然顺序”排列，即排列，即从左到右从左到右，再，再从下到上从下到上顺序排列。迭代也按自然顺序进行。顺序排列。迭代也按自然顺序进行。xyo12345678xyo12345678计算步骤计算步骤 , 2 , 1,)(1,)(, 1) 1(1,) 1(, 141) 1(,jikjikjikjikjikji首先对节点首先对节点 取迭代初值取迭代初值 。再按下式反复迭代。再按下式反复迭代),(iiyx)0(, ji)(,k

4、jixyo12345678计算步骤计算步骤jijif,Wkjikji)(,)1(, 逐次超松弛法逐次超松弛法 高斯高斯- -赛德尔迭代法德变形。为加速收敛，相应的迭赛德尔迭代法德变形。为加速收敛，相应的迭代公式为代公式为)(,)(1,)(, 1)1(1,)1(, 1)(,)1(,44kjikjikjikjikjikjikji 称为称为“加速收敛因子加速收敛因子”，且，且1 1 22。注意：逐次超松弛法收敛的快慢与注意：逐次超松弛法收敛的快慢与 有明显关系。如有明显关系。如何选择最佳何选择最佳 ，是个复杂问题。是个复杂问题。开始给定边界给定域内各点初值迭代次数 N=0N=N+1迭代计算是否达到最

5、大迭代次数否是报错停止相邻两次差值是否小于W否是开始输出结果 应用有限差分法求解静电场边值问题的近似解应用有限差分法求解静电场边值问题的近似解100),20(, 0), 0(0)10,()0 ,()100 ,200( , 02222yyxxyxxxxyo= 0= 0= 0=1002010123解：取解：取h h=5 =5 作正方形网格，得差分方程作正方形网格，得差分方程0100404042331221例例利用高斯利用高斯- -赛德尔迭代格式赛德尔迭代格式xyo= 0= 0= 0=100201012325414141)()1()()1()1()()1(2331221kkkkkkk , 2 , 1

6、 , 0k选取迭代初值选取迭代初值 ，6 6次迭代计算后，次迭代计算后，可得结果可得结果 30, 5 . 7, 2)0(3)0()0(21kk01232 7.5 301.875 7.969 26.9921.992 7.246 26.8121.812 7.156 26.7894561.789 7.145 26.7861.786 7.143 26.7861.786 7.143 26.786123123xyo= 0= 0= 0=1002010123756489111012 131415 16 17 18 19 20 21若步距若步距h=2.5h=2.5，迭代初，迭代初值值 ，最大允许误差最大允许误差 ，经过经过3232次迭代计算后，可得次迭代计算后，可得结果结果 )21, 2 , 1(0)0( ii5105W0102. 29131. 03530. 03216631.191531. 92957. 46542893. 14988. 02101.439876537.120193. 68323. 21211103530. 01774.532894.261514132957. 40103. 29131. 01817162101.436632.191531. 9212019应用逐次超松弛法，则在给定相同的最大允许误差应用逐次超松弛法