分析力学基础虚位移原ppt课件

1、 前言 达朗贝尔原理 虚位移原理 动力学普遍方程 拉格朗日第一类方程 拉格朗日第二类方程实际力学CAI版权一切, 2000 (c) 上海交通大学工程力学系分析动力学根底/虚位移原理分析动力学根底/虚位移原理前言前言 虚位移原理是分析静力学的一个根本原理虚位移原理是分析静力学的一个根本原理 从力的功出发直接建立起系统处于平衡时从力的功出发直接建立起系统处于平衡时自动力间的关系自动力间的关系 矢量力学：自动力与约束力间的关系矢量力学：自动力与约束力间的关系 虚位移原理与达朗贝尔原理一同构成了分虚位移原理与达朗贝尔原理一同构成了分析动力学的根底析动力学的根底 分析动力学根底/虚位移原理/前言分析动力

2、学根底/虚位移原理虚位移虚位移 质点系运动学关系的描画质点系运动学关系的描画 实位移与虚位移实位移与虚位移 独立广义坐标虚位移独立广义坐标虚位移 分析动力学根底/虚位移原理/虚位移质点系运动学关系的描画质点系运动学关系的描画 笛卡儿坐标笛卡儿坐标分析动力学根底/虚位移原理/虚位移zyxOkrkPnPiP1P质点系质点系),(21nPPP质点质点Pk笛卡儿坐标笛卡儿坐标质点质点Pk 的矢的矢径径 ), 2 , 1(nkkrrkkkkxyzTqrrr12TTTTn惯性基惯性基eO质点系笛卡儿坐标阵质点系笛卡儿坐标阵13 n运动运动 q(t)质点系的运动质点系的运动分析动力学根底/虚位移原理/虚位移

3、zyxOkrkPnPiP1P质点系质点系),(21nPPPqrrr12TTTTn惯性基惯性基eO质点系笛卡儿坐标阵质点系笛卡儿坐标阵13 n 自在质点系自在质点系外力外力运动运动 q(t)动力学方程动力学方程处置动力处置动力学问题普学问题普通方法通方法 非自在质点系非自在质点系qrrr12TTTTn1s不独立不独立0),(tq约束方程约束方程外力外力运动运动 q(t)动力学方程动力学方程约束方程约束方程处置动力处置动力学问题普学问题普通方法通方法 12sT分析动力学根底/虚位移原理/虚位移zyxOkrkPnPiP1P质点系质点系),(21nPPPqrrr12TTTTn质点系笛卡儿坐标阵质点系笛

4、卡儿坐标阵1s 非自在质点系的独立坐标非自在质点系的独立坐标不独立不独立0),(tq约束方程约束方程 12sT自在度自在度sn 3TTTwuq 1su1w独立坐标独立坐标广义坐标广义坐标非独立坐标非独立坐标外力外力运动运动 w(t)动力学方程动力学方程处置动力学问题独立坐标方法处置动力学问题独立坐标方法约束方程约束方程运动运动 u(t)分析动力学根底/虚位移原理/虚位移zyxOkrkPnPiP1P质点系质点系),(21nPPPqrrr12TTTTn质点系笛卡儿坐标阵质点系笛卡儿坐标阵 非自在质点系约束方程的另一方式非自在质点系约束方程的另一方式不独立不独立自在度自在度sn 3t ,wqq 1w

5、另外定义独立广义坐另外定义独立广义坐标标约束方程约束方程13 n外力外力运动运动 w(t)动力学方程动力学方程处置动力学问题独立坐标方法处置动力学问题独立坐标方法约束方程约束方程运动运动 q(t)分析动力学根底/虚位移原理/虚位移/例例例 质量为质量为m，摆长为，摆长为l的单摆的单摆试描画摆的运动试描画摆的运动OA分析动力学根底/虚位移原理/虚位移/解解解 惯性基惯性基eOOAxy方法方法1笛卡儿坐标笛卡儿坐标xyl2220Tyxq约束方程约束方程动力学方程动力学方程gmTFsinTFxm lyFmgymT 方法方法2自在度自在度1另外定义独立广义坐标另外定义独立广义坐标约束方程约束方程sin

6、lx cosly 动力学方程动力学方程sin2mglml 0),(tqt ,wqq lxFxmT cosTFmgym 实位移与虚位移实位移与虚位移 真实运动真实运动 分析动力学根底/虚位移原理/虚位移外力外力真实运动真实运动 q(t)动力学方程动力学方程约束方程约束方程实位移实位移TTT2T1ddddnrrrq能够运动能够运动 q*(t)约束方程约束方程能够位移能够位移TT*T*2T*1*ddddnrrrq 能够运动能够运动 0),(tq0ttddqq能够位移满足的方程能够位移满足的方程独一性初始条件独一性初始条件多种能够多种能够分析动力学根底/虚位移原理/虚位移/例例例 OAxygmTFrd

7、rrd实位移实位移*drOAxyr*dr*dr能够位移能够位移外力外力gmTF初始条件初始条件约束约束约束约束 虚位移虚位移 分析动力学根底/虚位移原理/虚位移能够位移能够位移TT*T*2T*1*ddddnrrrq0),(tq0ttdd*1qq虚位移满足的方程虚位移满足的方程*1dq0ttdd*2qq*2dq*1*2ddqqq虚位移虚位移0qq虚位移了解为约束方程的等时变分虚位移了解为约束方程的等时变分 定常约束：虚位移即为能够位移，实位移为虚位移之一定常约束：虚位移即为能够位移，实位移为虚位移之一非定常约束：虚位移普通不是能够位移非定常约束：虚位移普通不是能够位移多种能够多种能够ttdddq

8、q微分微分qq独立坐标虚位移独立坐标虚位移 描画描画1 1 分析动力学根底/虚位移原理/虚位移自在度自在度sn 3TTTwuq 1su1w独立广义坐标独立广义坐标wu1wu0ttddqq1s0),(tq约束方程约束方程qrrr12TTTTn13 n非独立坐标非独立坐标0qq0wuwu非独立坐标与独立坐非独立坐标与独立坐标虚位移间关系标虚位移间关系约束方程微分约束方程微分等时变分等时变分 描画描画2 2 分析动力学根底/虚位移原理/虚位移t ,wqq 另外定义独立广义坐标另外定义独立广义坐标约束方程约束方程13 nttdddqwqqwwqqw1wsn3wq约束方程微分约束方程微分等时变分等时变分

9、笛卡尔坐标与独立坐笛卡尔坐标与独立坐标虚位移间关系标虚位移间关系分析动力学根底/虚位移原理/虚位移/例例例 质量为质量为m，摆长为，摆长为l的单摆的单摆求摆笛卡儿坐标与独立坐标虚求摆笛卡儿坐标与独立坐标虚位移的关系位移的关系OA分析动力学根底/虚位移原理/虚位移/解解解 惯性基惯性基eOOyAx方法方法1笛卡儿坐标笛卡儿坐标xyl2220Tyxq约束方程约束方程Tyxq笛卡儿坐标虚位移笛卡儿坐标虚位移等时变分等时变分022yyxx定义独立广义坐标定义独立广义坐标 yw xu 非独立坐标非独立坐标 q xyy xy1笛卡儿坐标与独立坐笛卡儿坐标与独立坐标虚位移的关系标虚位移的关系yxyx非独立坐

10、标与独立坐非独立坐标与独立坐标虚位移的关系标虚位移的关系0 x分析动力学根底/虚位移原理/虚位移/解惯性基惯性基eOOyAx方法方法2笛卡儿坐标笛卡儿坐标Tyxq自在度自在度1另外定义独立广义坐标另外定义独立广义坐标约束方程约束方程sinlx cosly 等时变分等时变分coslx sincosllyxqsinly笛卡儿坐标与独立坐标虚位移的关系笛卡儿坐标与独立坐标虚位移的关系比较比较 q xyy xy10 x合理选取广义坐标是有意义的合理选取广义坐标是有意义的分析动力学根底/虚位移原理/虚位移/例 例例 r曲柄滑块机构，曲柄长曲柄滑块机构，曲柄长r r，连杆长连杆长l l该机构只需一个独立变

11、量该机构只需一个独立变量令曲柄的转角令曲柄的转角j j为广义坐标为广义坐标l求点求点A A与与B B的虚位移与广义的虚位移与广义坐标虚位移的关系坐标虚位移的关系 AB分析动力学根底/虚位移原理/虚位移/解 解解 参考基：参考基：OxyeO方法方法1坐标法坐标法写出点写出点A的坐标与广义坐标的关系的坐标与广义坐标的关系cosrxAsinryAsinrxA等时变分等时变分cosryA写出点写出点B的坐标与广义坐标的关系的坐标与广义坐标的关系coscoslrxB0BysinsinlrxB等时变分等时变分0By0sinsinlr附加几何关系附加几何关系等时变分等时变分)cos/cos(lrcos/ )

12、sin(rxBAB分析动力学根底/虚位移原理/虚位移/解参考基：参考基：OxyeO方法方法2速度法速度法写出点写出点A的速度与广义速度的关系的速度与广义速度的关系dsindrxAdcosdryA方向设定方向设定ABAvrvAAvsinAAxAvvxsinrxAcosAAyAvvycosryAsinrxAcosryA分析动力学根底/虚位移原理/虚位移/解参考基：参考基：OxyeO写出点写出点B的速度与广义速度的关系的速度与广义速度的关系ABAvBvcos)2cos(BAvv连杆的长度不可改动，点连杆的长度不可改动，点A与点与点B的速度矢量在杆上的的速度矢量在杆上的投影相等投影相等 cos)sin

13、(BAvvcos/ )sin( AvBBxBvvxcos/ )sin( rxB yB 00dBydcos/ )sin(drxB0Bycos/ )sin(rxB分析动力学根底/虚位移原理虚位移原理与运用虚位移原理与运用 原理描画原理描画 分析动力学根底/虚位移原理/虚位移原理与运用具有双面理想约束的质点系，其平衡的充分必要条件为：具有双面理想约束的质点系，其平衡的充分必要条件为：系统内一切自动力对于质点系的恣意虚位移所作的元功之系统内一切自动力对于质点系的恣意虚位移所作的元功之和为零，即和为零，即 01ankkkrFW元功元功dW称为虚功，故虚位移原理也称为虚功原理称为虚功，故虚位移原理也称为虚

14、功原理 运用运用 分析动力学根底/虚位移原理/虚位移原理与运用讨论质点系平衡讨论质点系平衡优点：直接给出了自动力之间的关系而无需顾及理想优点：直接给出了自动力之间的关系而无需顾及理想约束力约束力 分析动力学根底/虚位移原理/虚位移原理与运用/例 例例 r曲柄滑块机构。在图示位曲柄滑块机构。在图示位置，系统遭到力偶、铅垂置，系统遭到力偶、铅垂力与程度力，该机构处于力与程度力，该机构处于平衡平衡l求这些自动力求这些自动力(偶偶)之间的关之间的关系系 ABAFBFM分析动力学根底/虚位移原理/虚位移原理与运用/解 解解 参考基：参考基：eO以系统为对象以系统为对象虚功原理虚功原理cos/ )sin(

15、rxB0BBAAxFyFMABAFBFMOxycosryA0cos/ )sin(cosrFrFMBA0cos/ )sin(cosrFrFMBAAyBx定义虚位移定义虚位移定义独立坐标的变分定义独立坐标的变分 关系关系 独立坐标的变分独立坐标的变分 平衡的充要条件平衡的充要条件 平衡位置知平衡位置知自动力间的关系自动力间的关系平衡位置平衡位置自动力知自动力知例例 ROA3RAB2ROD2运动机构在图示位置平衡，运动机构在图示位置平衡，OD程度，程度，OA铅垂。铅垂。求图示位置平衡时求图示位置平衡时 M1、M2 和和 F 的关系式的关系式。04年期末考试题年期末考试题在在OD的端点作用铅垂向下的的

16、端点作用铅垂向下的力力F。不计运动机构的分量。不计运动机构的分量。解解1 取取B为动点，为动点，OD为动参考系：为动参考系： rBeBBvvv由图示几何法得：由图示几何法得：BeBvv2122RvB1RveB由关系式由关系式 得：得：2112RvD (1) 根据虚位移原理：根据虚位移原理：02211DFvMM (2)将将(1)代入代入(2)，得：，得： 0221RFMMROA3RAB2ROD2解解2 在三角形在三角形OAB中，由正弦定理中，由正弦定理 ：RR3sin2sinROA3RAB2ROD2、两边求变分，得到虚位移两边求变分，得到虚位移的关系：的关系： 3cos2cos(1) cos22

17、sinRODyD又有又有 sin2RyD (2)、2 6将将代入代入(1)和和(2)：3210得到：得到： RyD2 (3) 根据虚位移原理：根据虚位移原理：将将(3)代入代入(4)，得：，得： 0221RFMM021 DyFMM (4) 分析动力学根底/虚位移原理/虚位移原理与运用/例 例例 图示机构是由图示机构是由8根连杆铰接成根连杆铰接成3个个一样的菱形。菱形的边长为一样的菱形。菱形的边长为b，铰铰O固定，铰固定，铰A、B与与C限定在铅限定在铅垂线上运动。不计各杆的分量垂线上运动。不计各杆的分量求机构在如下图位置处于平求机构在如下图位置处于平衡时，力衡时，力FA与与FC的比的比AFBBC

18、AOCFxy分析动力学根底/虚位移原理/虚位移原理与运用/解 解解 AFBBCAOCF参考基：参考基：eO一个自在度一个自在度定义角定义角j为广义坐标为广义坐标虚功原理虚功原理FyFyAACC 0sin2byAcos2byA0)cos6cos2(bFbFCA1:3:CAFF虚位移的关系虚位移的关系sin6byCcos6byC0cos6cos2bFbFCA定义虚位移定义虚位移AyCy独立坐标的变分独立坐标的变分 03CAFF平衡的充要条件平衡的充要条件 在此条件下任何位置都平衡在此条件下任何位置都平衡 运用：平衡态理想约束力的计算运用：平衡态理想约束力的计算 分析动力学根底/虚位移原理/虚位移原

19、理与运用将待求约束力相关的约束解除，把该约束力作为自动将待求约束力相关的约束解除，把该约束力作为自动力处置，从而可得到它与自动力的关系力处置，从而可得到它与自动力的关系 OOO每次解除一个自在度每次解除一个自在度 例例 分析动力学根底/虚位移原理/虚位移原理与运用/例图示一三孔拱桥，不计桥自重，桥上有两集中载荷图示一三孔拱桥，不计桥自重，桥上有两集中载荷BKACEDIGJGFKFbb2b2bbb求支座求支座C的理想约束力的理想约束力 解解 分析动力学根底/虚位移原理/虚位移原理与运用/解BACDGFCyFxyE解除约束解除约束C，加上约束反力，加上约束反力FCy系统有一个自在度系统有一个自在度

20、 广义坐标广义坐标 FyFyFxCyCGGKK 0虚功原理虚功原理参考基：参考基：eEKFGK定义虚位移定义虚位移GyCyKx分析动力学根底/虚位移原理/虚位移原理与运用/解BACDGFKFOCyFGvJvIvBvCvxyEFyFyFxCyCGGKK 0参考基：参考基：eE虚位移的关系虚位移的关系速度法速度法IGJ1B瞬心瞬心O1BIv方向方向BvGv2B3B3BJv方向方向2B瞬时瞬时平动平动Cv方向方向KvbxvkK2bvvvJIC2bvvIGbvyCC)4/cos(bvyGG)4/cos(分析动力学根底/虚位移原理/虚位移原理与运用/解BACBvDIvGvJvGFKFOCyFCvxyEF

21、yFyFxCyCGGKK 0参考基：参考基：eEIGJ1B2B3BKvbxvkKbvyCC)4/cos(bvyGG)4/cos(bxKbyCbyG0)(KGCyFFF0KGCyFFF)(KGCyFFF平衡的充要条件平衡的充要条件 小结小结 写出自动力的虚功的表达式写出自动力的虚功的表达式 经过运动学的关系作等时变分，得到各点的虚位移与广经过运动学的关系作等时变分，得到各点的虚位移与广义坐标变分的关系式义坐标变分的关系式 坐标法坐标法 速度法速度法 代入虚功的表达式，得到只含独立坐标变分的等式代入虚功的表达式，得到只含独立坐标变分的等式 得到平衡充要条件得到平衡充要条件 知自动力可求平衡位形知自

22、动力可求平衡位形 知平衡位形可求自动力应满足的关系知平衡位形可求自动力应满足的关系 为了求理想约束力，需经过释放约束，将该约束力作自为了求理想约束力，需经过释放约束，将该约束力作自动力处置动力处置分析动力学根底/虚位移原理/虚位移原理与运用分析动力学根底/虚位移原理广义力广义力 质点系平衡条件质点系平衡条件 广义力广义力 质点系平衡条件质点系平衡条件 计算广义力的方法计算广义力的方法 权利场中质点系平衡条件与稳定性权利场中质点系平衡条件与稳定性分析动力学根底/虚位移原理/广义力质点系平衡条件广义力广义力分析动力学根底/虚位移原理/广义力质点系平衡条件质点系质点系),(21nPPPqrrr12T

23、TTTn质点系笛卡儿坐标阵质点系笛卡儿坐标阵不独立不独立自在度自在度sn 3t ,wqq 1w定义独立广义坐标定义独立广义坐标约束方程约束方程zyxOkrkPnPiP1Prr wkkt( , )T21wwwwnk, 1分析动力学根底/虚位移原理/广义力质点系平衡条件qrrr12TTTTn广义坐标广义坐标约束方程约束方程zyxOkrkPnPiP1Prr wkkt( , )1jjjkkwwrrnkkknkkkrFW1aT1arFT21wwwwnkjkkjwQ1aTrFWQ wjjj1, 1jnk, 1nkjjjkkww11aTrFjjnkjkkww 11aTrF笛卡儿坐标阵笛卡儿坐标阵等时变分等时

24、变分akF自动力的虚功自动力的虚功令令分析动力学根底/虚位移原理/广义力质点系平衡条件qrrr12TTTTn广义坐标广义坐标约束方程约束方程zyxOkrkPnPiP1Prr wkkt( , )T21wwwwnkjkkjwQ1aTrFWQ wjjj1, 1jnk, 1笛卡儿坐标阵笛卡儿坐标阵akF自动力的虚功自动力的虚功作用于系统一切自动力关于广义坐标作用于系统一切自动力关于广义坐标 wj 的广义力的广义力 广义力的量纲取决于广义坐标的量纲广义力的量纲取决于广义坐标的量纲当当wj为长度时，为长度时，Qj为力量纲为力量纲当当wj为角度时，为角度时，Qj为力偶量纲为力偶量纲分析动力学根底/虚位移原理

25、/广义力质点系平衡条件/例 例例 xyAFBBCAOCF)cos6cos2(bFbFWCAQrlABAFBFMOxycos/ )sin(cosrFrFMWBAQ质点系平衡条件质点系平衡条件分析动力学根底/虚位移原理/广义力质点系平衡条件虚位移原理虚位移原理 WQ wjjj100jQ, 1j具有双面理想约束的质点系，其平衡的充分必要条件为一具有双面理想约束的质点系，其平衡的充分必要条件为一切关于广义坐标的广义力均为零切关于广义坐标的广义力均为零分析动力学根底/虚位移原理/广义力质点系平衡条件/例 例例 xyAFBBCAOCF)cos6cos2(bFbFWCA0QrlABAFBFMOxycos/

26、)sin(cosrFrFMWBA0Q计算广义力的方法计算广义力的方法 方法方法1 列出一切自动力的虚功列出一切自动力的虚功 根据约束方程推导虚位移与广义坐标虚位移的关根据约束方程推导虚位移与广义坐标虚位移的关系系 进展广义坐标虚位移的同类项合并，即得到关于进展广义坐标虚位移的同类项合并，即得到关于各广义坐标的广义力各广义坐标的广义力 方法方法2 取某广义坐标的变分取某广义坐标的变分dwj，令其他广义坐标的变，令其他广义坐标的变分为零分为零 计算由于该变分引起的各自动力所作的元虚功计算由于该变分引起的各自动力所作的元虚功dWj分析动力学根底/虚位移原理/广义力质点系平衡条件jjjwWQ分析动力学

27、根底/虚位移原理/广义力质点系平衡条件/例例例 图示一双摆，摆长分别为图示一双摆，摆长分别为l1与与l2，质量分别为质量分别为m1与与m2在摆端在摆端B上遭到一程度力上遭到一程度力求系统平衡时，双摆的位形求系统平衡时，双摆的位形 OABF分析动力学根底/虚位移原理/广义力质点系平衡条件/解解解 质心质心C1坐标坐标自动力的虚功自动力的虚功OABFxy12gm2gm12C1CWm g ym g yF xB12参考基：参考基：eOT11yxr1rBr2rT22yxrTBByxr系统有两个自在度系统有两个自在度取广义坐标取广义坐标12质心质心C2坐坐标标点点B坐标坐标分析动力学根底/虚位移原理/广义

28、力质点系平衡条件/解求广义力求广义力OABxy122C1C参考基：参考基：eO令令1Q01021r2rBrArABrrr2自动力的虚功自动力的虚功1111112111cossinsin21FlglmglmW11112111cossinsin21FlglmglmQ1112lr112lrrrAB1111sin2ly111coslxB1112sinlyWm g ym g yF xB12分析动力学根底/虚位移原理/广义力质点系平衡条件/解求广义力求广义力OABxy122C1C参考基：参考基：eO令令2Q01021r2rBrAr自动力的虚功自动力的虚功2222222cossin22FlglmW22222

29、cossin22FlglmQ01r22lrB2222lr01y222coslxB2212sin2lyWm g ym g yF xB12分析动力学根底/虚位移原理/广义力质点系平衡条件/解平衡充要条件平衡充要条件22222cossin22FlglmQOABFxy12gm2gm12C1C1rBr2r11112111cossinsin21FlglmglmQ01Q02Q0cossinsin211112111Flglmglm0cossin222222FlglmgmgmF21122arctangmF222arctan平衡位形平衡位形权利场中质点系平衡条件与稳定性权利场中质点系平衡条件与稳定性 权利场质点系

30、平衡条件权利场质点系平衡条件 平衡稳定性平衡稳定性分析动力学根底/虚位移原理/权利场质点系平衡条件与稳定性权利场质点系平衡条件权利场质点系平衡条件 广义力广义力分析动力学根底/虚位移原理/权利场质点系平衡条件与稳定性TTTa)(kkkkkkkkkkzUyUxUUUkrFrnkjkkkjwUQ1rr)(kkkUUrzyxOkrkPnPiP1PakF质点系质点系),(21nPPP有权利有权利势函数势函数akF自动力自动力nkjkkjwQ1aTrFnk, 1, 1jnkjkwU1分析动力学根底/虚位移原理/权利场质点系平衡条件与稳定性nkjkjwUQ1UUkkn( )( )qq1jjwUQ)(qkk

31、UU )(kkkUUrzyxOkrkPnPiP1PakF质点系质点系),(21nPPP势函数势函数nkkjUw1jjwVQ或或qrrr12TTTTn)()(qqVU, 1j广义力广义力 平衡条件平衡条件分析动力学根底/虚位移原理/权利场质点系平衡条件与稳定性0jwV在权利场中，质点系在平衡位形处的势能取极值在权利场中，质点系在平衡位形处的势能取极值 0jwU0jQ, 1j, 1j或或平衡稳定性平衡稳定性 定义定义分析动力学根底/虚位移原理/权利场质点系平衡条件与稳定性当质点系在某平衡位形处遭到微小扰动时，其位形只在平当质点系在某平衡位形处遭到微小扰动时，其位形只在平衡位置附近运动而不产生明显的

32、偏离，那么称为该平衡位衡位置附近运动而不产生明显的偏离，那么称为该平衡位形是稳定的，否那么称为不稳定形是稳定的，否那么称为不稳定 在实践问题中只需稳定的平衡位形才能够存在在实践问题中只需稳定的平衡位形才能够存在稳定稳定不稳定不稳定 拉格朗日拉格朗日-狄利克雷狄利克雷(P. G. L. Dirichlet)定定理理分析动力学根底/虚位移原理/权利场质点系平衡条件与稳定性假设质点系在平衡位形上的势能具有极小值，那么该平衡假设质点系在平衡位形上的势能具有极小值，那么该平衡位形是稳定的位形是稳定的 李亚普诺夫李亚普诺夫(A. M. Lyapunov)定理定理假设质点系在平衡位形上的势能取极大，那么平衡

33、位置不假设质点系在平衡位形上的势能取极大，那么平衡位置不稳定稳定 稳定稳定不稳定不稳定 多元函数极值判别的一些结论多元函数极值判别的一些结论分析动力学根底/虚位移原理/权利场质点系平衡条件与稳定性单自在度系统单自在度系统 0*wwwV)(wVV *ww 平衡位形平衡位形 假设势能假设势能V(w)的不等于零的最的不等于零的最低阶导数是偶数低阶导数是偶数阶阶平衡位位形平衡位位形w=w*为稳定为稳定V(w*)取极小取极小在在w=w*为为正正在在w=w*为为负负V(w*)取极大取极大平衡位位形平衡位位形w=w*为不稳定为不稳定分析动力学根底/虚位移原理/权利场质点系平衡条件与稳定性两自在度系统两自在度

34、系统 0*1wwwV)(21wwVV，T*2*1*ww ww平衡位形平衡位形 平衡位位形平衡位位形w=w*为稳定为稳定V(w*)取极小取极小假设假设0*2wwwV0*212wwwV0*222wwwV0*212222212wwwwVwVwV分析动力学根底/虚位移原理/权利场质点系平衡条件与稳定性/例例例 一质量为一质量为m的小球的小球A套在一半径为套在一半径为r的的圆环上，圆环平面在铅垂平面内。小圆环上，圆环平面在铅垂平面内。小球可在环上滑动，不计摩擦球可在环上滑动，不计摩擦小球经过一线弹簧与环上的小球经过一线弹簧与环上的B相连。相连。弹簧刚度为弹簧刚度为k (令令kr mg)，原长为，原长为l0求小球的平衡位置，且讨论其稳定性求小球的