2.1求质点在中心势场中运动的微分方程的解解：由公式ppt课件

1、3.1 求质点在中心势场 中运动的微分方程的解。解：由公式 ，代入02rV令： 2222rLrVEmdrrL02rV2222221)2(212rLmmErdLrLrEmdrrLru1mEuLmduL2)2(22讨论： (1) 当 22, 02LmmEcumEmLmLLumLmEdumLL22arccos222222222第第3 3章章 两体问题两体问题选适当，使c=0, 得 2221cos221LmmLmEru(2) 当 22, 02LmmEcumELmarcshLmLLmmEuduLmL22222222222选适当，使c=0, 得 1222122LmshLmmEru(3) 当 22, 02L

2、mmEcuEmLmarcchLmLLmEmuduLmL22222222222选适当，使c=0, 得 1222122LmchLmEmru)(lim,)(limshch第2），（3中情况会出现r0，即质点被力心所俘获mLmLErmEt2221222 rrrLmmrmEEmmLmrmErdrmLrEmdrt02220222202222)2(4844882当 ，t值有限0, 022ELm3.2 质量相同的两个质点，用一固有长度为l劲度系数为k，质量不计的弹性棒连接起来，用手握住其中一个质点，使另一个做水平圆周运动，其速度为V0，然后将手放开，讨论这两个质点以后的运动情况。解：放手前，体系质心做圆周运动

3、，放手后质心在离心力作用下做抛体运动。 仅考虑体系的相对运动，体系势能 。两粒子相对运动可看成质量为折合质量mr的质点的运动，运动方程为：2)(21lrkV其中： 轨道方程为： rrrrmLlrkEmdrt02222)(212lkmvrmmmmmmr2002121,21rrrrrrLlrkEmdrrLd002222)(2123.3 质点在一纬中心引力 的作用下，以速度为0，x=-a处开始运动，试求该质点到达力心o的时间。解：设无穷远处为势能零点，那么代入粒子在中心势的运动方程：xFxdxxxvxln)(0222lnln2)(2axmdrrmLxVEmdrt3.4 定性的讨论粒子在中心势 中的运

4、动，式中k和为常数。解：当 1时，V0，此时近似做自由粒子的运动； 当 1时， ，粒子近似做在势场 中的开普勒运动； 当 1时， ，粒子近似做开普勒运动，但势场减弱为rekVrrrkVrkrrekVerk 1r3.6 求粒子在中心力 的作用下的轨道方程。解：粒子的中心势场可写为代入 32rcrkFrcrkV2222221)(221)(2rLmcrmkmErLdrLrVEmdrrLd令： ，ru122222244222)(ABuAADBABudALmEumkuLmcLdumEDmkBmcLA2222222222cos)()(22LmcLmcLmcLmEkmmcLmkucos1cos)(21122

5、2222epLmcLkmmcLmEmkmcLr其中：22222)(21,1,kmmcLmEeLmcmkmcLp3.8 试求粒子在势场 中运动且E=0 (抛物线轨道)时，坐标对时间的依赖关系。解：粒子在中心势场 中运动，代入运动方程：222222222)(2LrmmrdrrmLrmdrrmLxVEmdrtrVrV令 ，那么2222LrmLmLLr222232)1(221232322323232222mLdmLdmLLdLmLmLLmt假设 ，那么mLp2) 1 (31223mpt)3()1 (4)1(4sin)2()1 (22)1(2)1(cos222222222222pppxrrypppmLp

6、rprx3.11 证明在椭圆轨道情况下，动能对时间的平均值等于势能对时间的平均值的一半(位力定理)。证明：在椭圆轨道情况下， 。设 ，a，c分别是半长轴和焦距cos1eprrV有： ，周期VrrmEaE)(21,2222可写为： ，即arrrm2)(21222armrLrm22212232amTmLarrmrdtdr222122222)(armaLadrmgrdt势能：amamaarmaLadrmadrVcaca21arcsin4)(212220动能：aaadardrrT22)2(1)(21100222VT21证明2：令：rpsTrFrrmrFrprps2经过一个周期：TrF20又： ，在椭圆

7、轨道rVF2)(rFrrV)(22rVrrrT3.13 运动粒子m1和静止粒子m2碰撞后，试在实验室系中用粒子的偏转角来表示粒子碰撞后的速度，即用 和 来表示 和解：设m1的初速度为可得：01V02V01V2sin2cos22101102012121222101mmVmVVmmmmmmV其中：coscos1cossintan21222121mmmmmm12222)(21代入上式得：011221222112110122101102sin1coscos2VmmmmmmmVmmVmV3.22 设一质量为m的质点在 的中心力场中运动，试求其在稳定平衡位置r0附近做径向小振动的频率。解：由比耐公式，轨道

8、微分方程为：其中xrF)(FLmududu2222drdvFru,1设势场有一微小扰动，使粒子轨道0uu代入上式，保留到的一级项，得满足方程：022Add得轨道稳定条件为：0121)(212222224232LrmLrmLrmdrdFrLmrFrLmA 轨道稳定 附近径向振动频率0rLrmLLrmLf221220222023.23 在地球表面A处，一发射角60和初速 发射一卫星，其中R为地球半径(自转可略)。(1)试求发射瞬间卫星轨道的曲率半径和切向加速度 ；(2)试求卫星离开地面的最大高度h及在此点的速率 ；(3)如果卫星在此最大高度突然分裂成相等的两半，其一半瞬时静止，试问另一半的轨道形状

9、。解：卫星处于重力势场 中，由重力Fmg,卫星的轨道方程可写为：gRv 0ta1vrVgRmRmRvLmgRrmvEmgRRr32sin,2121,0202cos243Rr32cos1epr其中：12121,43sin222202mELeRmgRmmRvmLp轨道方程为： ，当 r =R时(1)受力分析得：RmgFmvn332sin20gamgFmattt21cosv0ARO(2)当 时，有2,23maxmaxRRrhRr由机械能守恒有：mgRRMmGmvEErMmGmv2121,2120max21即：gRvmgRRmgRmv332123211221(3)当一半瞬时静止，由动量守恒有，12vv 0313122121max2mgRmgRrmGMvmE12222mELme即轨道形状为抛物线(2)当 时，有2,23maxmaxRRrhRr由机械能守恒有：mgRRMmGmvEErMmGmv2121,2120max21即：gRvmgRRmgRmv332123211221R/2R/2v0ARO(2)双曲线轨道 上面式(1), (3), (4), (5)均成立，但) 1(2eap代入(5)得，ararphv121222(3)抛物线轨道 式(1), (3), (4), (5)均成立，但e=1代