材料力学04第3章扭转

1、 第第3章章 3.1 概念概念 第第 3 章章 汽车传动轴汽车传动轴3.1 概念概念 第第 3 章章 3.1 概念概念 第第 3 章章 丝锥攻丝丝锥攻丝3.1 概念概念 第第 3 章章 扭转变形是指杆件受到大小相等扭转变形是指杆件受到大小相等, ,方向方向相反且作用平面垂直于杆件轴线的力偶作用相反且作用平面垂直于杆件轴线的力偶作用, ,使杆件的横截面绕轴线产生转动。使杆件的横截面绕轴线产生转动。 受扭转变形杆件通常为轴类零件，其横受扭转变形杆件通常为轴类零件，其横截面大都是圆形的。所以本章主要介绍圆轴截面大都是圆形的。所以本章主要介绍圆轴扭转。扭转。3.1 概念概念 第第 3 章章 KMKMA

2、B 如图，圆轴在外力偶作用下发生扭转变形。如图，圆轴在外力偶作用下发生扭转变形。称为扭转角。称为扭转角。称为剪切角。称为剪切角。3.1 概念概念 第第 3 章章 直接计算直接计算外力偶矩外力偶矩3.1 概念概念 第第 3 章章 外力偶矩外力偶矩按输入功率和转速计算按输入功率和转速计算已知已知轴转速轴转速n n 转转/ /分钟分钟输出功率输出功率P Pk k 千瓦千瓦求：力偶矩求：力偶矩M Me e电机每秒输入功：电机每秒输入功：外力偶作功完成：外力偶作功完成：)N.m(1000kPW602nMWekPkP3.2 第第 3 章章 扭矩和扭矩图扭矩和扭矩图3.2 第第 3 章章 扭矩和扭矩图扭矩和

3、扭矩图3.2 第第 3 章章 扭矩和扭矩图扭矩和扭矩图T = Me3.2 第第 3 章章 扭矩和扭矩图扭矩和扭矩图T = Me3.2 第第 3 章章 扭矩正负规定扭矩正负规定右手螺旋法则右手螺旋法则右手拇指指向外法线方向为右手拇指指向外法线方向为 正正(+),(+),反之为反之为 负负(-)(-)KMKMmm3.2 第第 3 章章 如图求圆轴指定截面的内力。如图求圆轴指定截面的内力。 由截面法：（1）截开，留）截开，留下左半段，去掉右半段；下左半段，去掉右半段； （3）考虑留下部分的平衡）考虑留下部分的平衡0:0KxMTMKMT 同样，亦可留下右半段作为研究对象，可的同样的结同样，亦可留下右半

4、段作为研究对象，可的同样的结果，如图。果，如图。 扭矩的符号规定：自截面的外法线向截面看，逆时针扭矩的符号规定：自截面的外法线向截面看，逆时针为正，顺时针为负。为正，顺时针为负。KMmmT （2）用内力代替去掉部分对）用内力代替去掉部分对留下部分的作用；留下部分的作用； T称为扭矩。称为扭矩。KMmmT3.2 第第 3 章章 扭矩图扭矩图 3. 2 第第9 章章 解解: :(1)(1)计算外力偶矩计算外力偶矩由公式由公式Pk k/n3. 2 第第9 章章 (2)(2)计算扭矩计算扭矩(3) (3) 扭矩图扭矩图3. 2 第第9 章章 3.3 薄壁圆管的扭转薄壁圆管的扭转 第第 3 章章 薄壁圆

5、筒：薄壁圆筒：壁厚0101rt （r0：为平均半径）一、实验：一、实验：1.实验前：实验前：绘纵向线，圆周线；绘纵向线，圆周线；两端施加一对外力偶两端施加一对外力偶 m。3.3 薄壁圆管的扭转薄壁圆管的扭转 第第 3 章章 2.实验后：实验后：圆周线不变；圆周线不变；各纵向线长度不变，但均倾斜了同一微小角度各纵向线长度不变，但均倾斜了同一微小角度 。 纵向线变成螺旋线。纵向线变成螺旋线。3.结果：结果： 圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改 变，变，只是绕轴线作了相对转动。圆周线实际代表一个横截面，此只是绕轴线作了相对转动。圆周线实际代表一个横截

6、面，此结果表明横截面仍保持平面，且大小、形状不变，满足结果表明横截面仍保持平面，且大小、形状不变，满足。所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。3.3 薄壁圆管的扭转薄壁圆管的扭转 第第 9章章 rKMKM薄壁圆管扭转时横截面上的剪应力薄壁圆管扭转时横截面上的剪应力 如图所示，借助实验观察结如图所示，借助实验观察结合理论分析，可得如下结论：合理论分析，可得如下结论： （1）横截面上只有剪应力，）横截面上只有剪应力，没有正应力；（没有正应力；（2）剪应力的方向）剪应力的方向沿圆周的切线方向。沿圆周的切线方向。KMx 薄壁筒扭转时，因长度不变，薄壁筒扭转

7、时，因长度不变，故横截面上没有正应力，只有切应故横截面上没有正应力，只有切应力。因筒壁很薄，切应力沿壁厚分力。因筒壁很薄，切应力沿壁厚分布可视作均匀的，切应力沿圆周切布可视作均匀的，切应力沿圆周切线，方向与扭矩转向一致。线，方向与扭矩转向一致。3.3 薄壁圆管的扭转薄壁圆管的扭转 第第 3 章章 用截面法，考虑一部分圆管用截面法，考虑一部分圆管的平衡：的平衡：tAMtrMMTmKKKx020220:0得KMxtATtrTTtrrArTrAAA 2 2 2d d 0 200000A0为平均半径所作圆的面积。为平均半径所作圆的面积。3. 3 薄壁圆管的扭转薄壁圆管的扭转 第第 3 章章 二、剪应力

8、互等定理二、剪应力互等定理acddxb dy tzdxdytdxdytmz ; 0 这就是这就是：在单元体相互垂直的两个截面：在单元体相互垂直的两个截面上，切应力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平上，切应力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交线，其方向或共同指向交线，或共同背离交线。面的交线，其方向或共同指向交线，或共同背离交线。3. 3 薄壁圆管的扭转薄壁圆管的扭转 第第 3 章章 该定理具有普遍性，不仅对纯剪切应力状态下成立，对该定理具有普遍性，不仅对纯剪切应力状态下成立，对正应力和剪应力同时作用的单元体亦成立。正应力和剪应力同时作用的单元体亦成立。 单元体的四个侧面上

9、只有切应力而无正应力作用，这单元体的四个侧面上只有切应力而无正应力作用，这种应力状态称为种应力状态称为。acddxb dy tz3. 3 薄壁圆管的扭转薄壁圆管的扭转 第第 3 章章 P 三、剪切虎克定律三、剪切虎克定律acddxb dy tz 单元体单元体ab 的倾角的倾角 称为称为，切应变是切应变是单元体直角的改变量。实单元体直角的改变量。实验表明，在弹性范围内，切应力与验表明，在弹性范围内，切应力与切应变成正比，即切应变成正比，即G 这就是这就是，比例常数，比例常数G 称为称为。3. 3 薄壁圆管的扭转薄壁圆管的扭转 第第 3 章章 三、剪切虎克定律三、剪切虎克定律 剪切弹性模量剪切弹性

10、模量G 、与弹性模量、与弹性模量E 和泊松比和泊松比 一样，都一样，都是是表征材料力学性质的材料常数。对于各向同性材料，这三表征材料力学性质的材料常数。对于各向同性材料，这三个材料常数并不是独立的，它们存在如下关系。个材料常数并不是独立的，它们存在如下关系。 根据该式，在三个材料常数中，只要知道任意两个，根据该式，在三个材料常数中，只要知道任意两个，就可求出第三个来。就可求出第三个来。)1 (2EG3. 4 圆轴扭转时的应力和强度条件圆轴扭转时的应力和强度条件 第第 3 章章 如图所示，借助实如图所示，借助实验观察做出平截面假设验观察做出平截面假设(假设横截面像刚性平面假设横截面像刚性平面一样

11、绕杆的轴线转动一样绕杆的轴线转动)，得如下推断：得如下推断： （1）横截面上只有剪应力，没有正应力；）横截面上只有剪应力，没有正应力； （2）剪应力的方向沿圆周的切线方向。）剪应力的方向沿圆周的切线方向。 下面从下面从几何方面、物理方面、静力方面几何方面、物理方面、静力方面三个方面推三个方面推导圆轴扭转时横截面上的剪应力：导圆轴扭转时横截面上的剪应力：一、横截面剪应力的一般公式一、横截面剪应力的一般公式3. 4 圆轴扭转时的应力和强度条件圆轴扭转时的应力和强度条件 ddRdx 1、几何方面、几何方面dxd 2、物理方面、物理方面dxdGGdxdRRdx2o1oABDCabdcBCcbddx1o

12、2oABCDCB(横截面上横截面上b 点的切应变点的切应变)(横截面上横截面上b 点的切应力点的切应力)3. 4 圆轴扭转时的应力和强度条件圆轴扭转时的应力和强度条件 第第 3 章章 3、静力方面、静力方面 如图所示，在整个横截面上，所如图所示，在整个横截面上，所有微力矩之和等于该截面的扭矩，即有微力矩之和等于该截面的扭矩，即TdAAdxdGG将将 代入上式，得代入上式，得dAdxdGdAdxdGdATAAA2令令 ，称为横截面对圆心的极惯性矩。于是，称为横截面对圆心的极惯性矩。于是dAIAP2dxdGITPO2dAdAbTdxdGG而而:3. 4 圆轴扭转时的应力和强度条件圆轴扭转时的应力和

13、强度条件 第第 3 章章 PIT令令抗扭截面系数抗扭截面系数3. 4 圆轴扭转时的应力和强度条件圆轴扭转时的应力和强度条件 第第 3 章章 二、最大扭转剪应力二、最大扭转剪应力 强度条件强度条件 对整个圆轴对整个圆轴m a xm a xpTW 于是可得强度条件为于是可得强度条件为m axm axpTW其中容许切应力其中容许切应力 是由扭转时材料的极限是由扭转时材料的极限切应力除以安全系切应力除以安全系数得到。数得到。32242032DddAIDAPdAIAP2由由 ，对于圆，如图，则，对于圆，如图，则3. 4 圆轴扭转时的应力和强度条件圆轴扭转时的应力和强度条件 第第 3 章章 三、极惯性矩三

14、、极惯性矩 抗扭截面模量抗扭截面模量OdDddA2163maxDIWPnODd对于空心圆对于空心圆)1 (32)(324444DdDIP3444()(1)1616pDWDdD其中其中 。Dd剪应力分布图如图。剪应力分布图如图。3. 4 圆轴扭转时的应力和强度条件圆轴扭转时的应力和强度条件 第第 3 章章 例例2 图示阶梯状圆轴，图示阶梯状圆轴，AB段直径段直径d1=120mm，BC段直段直径径d2=100mm。外力偶矩为。外力偶矩为MKA=22kN.m, MKB=36 kN.m , MKC=14 kN.m 。已知材料的许用剪应力。已知材料的许用剪应力 ，试校，试校核该轴的强度。核该轴的强度。

15、MPa80ABCKAMKBMKCM 解：用截面法求得解：用截面法求得AB、BC的扭矩分别为的扭矩分别为mkNTmkNT142221扭矩图如图所示。扭矩图如图所示。mkN 22mkN 14图T 3611max312210:64.81064.8(0.12)16pTABPaMPaW段 3622 max321410:71.31071.3(0.1)16pTBCPaMPaW段故，该轴满足强度要求。故，该轴满足强度要求。3. 4 圆轴扭转时的应力和强度条件圆轴扭转时的应力和强度条件 第第 3 章章 例例3 某传动轴，横截面上的最大扭矩某传动轴，横截面上的最大扭矩Mn=1.5kN.m，许，许用剪应力用剪应力

16、，试按下列两种方案确定轴的截面尺，试按下列两种方案确定轴的截面尺寸，并比较其重量。寸，并比较其重量。 （1）横截面为实心圆截面；）横截面为实心圆截面； （2）横截面为）横截面为 的空心圆截面。的空心圆截面。 MPa509 . 0 解：（解：（1）确定实心轴的直径）确定实心轴的直径 由强度条件由强度条件 ，其中，其中 ，得，得 pTW316pDW 33061616 1.5 1053.5 1053.550 10pMDmmm 33取取 。mmD5403. 4 圆轴扭转时的应力和强度条件圆轴扭转时的应力和强度条件 第第 3 章章 （2）确定空心轴的内、外径）确定空心轴的内、外径 由强度条件由强度条件

17、，其中，其中 ，得，得 pTW34(1)16pDW 334461616 1.5 1076 1076(1)(1 0.9 ) 50 10pMDmmm33mmDd4 .68769 . 09 . 0故故取取mmdmmD68,76 （3）重量比较）重量比较395. 05468764)(42222022DdDAA实空重量比3. 5 圆轴扭转时的变形和刚度条件圆轴扭转时的变形和刚度条件 第第 3 章章 一、扭转角的计算一、扭转角的计算 由上节知由上节知 ，所以，所以 ，于是，于是dxdGITPdxGITdPdxGITdP对于扭矩为常数的等截面圆轴，扭转角为对于扭矩为常数的等截面圆轴，扭转角为PGITlPGI

18、称为截面的抗扭刚度。称为截面的抗扭刚度。3. 5 圆轴扭转时的变形和刚度条件圆轴扭转时的变形和刚度条件 第第 3 章章 二、刚度条件二、刚度条件(rad/m) dd pGITx (rad/m) maxpGIT /m)( 180 maxpGIT 称为称为。若。若单位扭转角给的是单位扭转角给的是 ，则上式改写为则上式改写为m/例例4图示圆轴，已知图示圆轴，已知mA =1kN.m， mB =3kN.m， mC =2kN.m；l1 =0.7m，l2 =0.3m； =60MPa， =0.3/m，G=80GPa；试选择该轴的直径；试选择该轴的直径。ABCmAmB mC l1l22kN.m1kN.m 解：解

19、： 按强度条件按强度条件 maxmax316cpTmWd mmmdC4 .551010602000161633633. 4 圆轴扭转时的应力和强度条件圆轴扭转时的应力和强度条件 第第 3 章章 ABCmAmB mC l1l22kN.m1kN.m 按刚度条件按刚度条件 /m)( 180 maxpGIT 18032max4GTdIP mmGTd5 .83103 . 0108018020003218032342942max该圆轴直径应选择：该圆轴直径应选择：d =83.5mm.3. 4 圆轴扭转时的应力和强度条件圆轴扭转时的应力和强度条件 第第 3 章章 MPaPaWTt3 .94103 .9416

20、06. 0104633111max3. 5 圆轴扭转时的变形和刚度条件圆轴扭转时的变形和刚度条件 第第 3 章章 例例5 图示圆轴，图示圆轴，AB段为实心圆截面，直径段为实心圆截面，直径d1=60mm，BC段为实心圆截面，直径段为实心圆截面，直径D=80mm，CD段为空心圆截面，段为空心圆截面，内径内径d2=60mm，外径，外径D=80mm，所受外力偶矩如图。各段，所受外力偶矩如图。各段杆的容许剪应力为杆的容许剪应力为 。（。（1）试校核该轴的强）试校核该轴的强度；（度；（2）如材料的剪切弹性模量）如材料的剪切弹性模量 ，求此，求此轴总扭转角。轴总扭转角。 MPa100MPaG4108mkN4

21、mkN6mkN10m4 . 0m3 . 0m6 . 0 解：（解：（1）作扭矩图如图）作扭矩图如图所示。所示。mkN 4mkN 6图nMABCD （2）强度校核）强度校核 最大剪应力可能出现在最大剪应力可能出现在AB段或段或CD段，其最大剪应力段，其最大剪应力为为3. 5 圆轴扭转时的变形和刚度条件圆轴扭转时的变形和刚度条件 第第 3 章章 362max23426 101687.3 1087.30.081 (3 4)pTPaMPaW MPa3 .941maxmax故满足强度条件。故满足强度条件。mkN4mkN6mkN10m4 . 0m3 . 0m6 . 0ABCD （3）求总扭转角）求总扭转角

22、CDBCABrad00626.032)43(108.01086 .01063208.01083 .01063206.01084 .01044410341034103例例6 图示圆轴，已知图示圆轴，已知mA =1.4kN.m， mB =0.6kN.m， mC =0.8kN.m；d1 =40mm，d2 =70mm； l1 =0.2m，l2 =0.4m； =60MPa， =1/m，G=80GPa；试校核该轴的强度和；试校核该轴的强度和刚度，并计算两端面的相对扭转角刚度，并计算两端面的相对扭转角。ABCmAmB mC l1l20.6kN.m0.8kN.m 解：解： 按强度按强度核该核该 1131131

23、616 60047.74BpTmWdMPad1d23. 5 圆轴扭转时的变形和刚度条件圆轴扭转时的变形和刚度条件 第第 3 章章 ABCmAmB mC l1l20.6kN.m0.8kN.m 2232231616 80011.97CpmTWdMPad1d2满足强度条件。满足强度条件。按刚度按刚度核该核该mGITP/71. 118010401080600321801249111mGITP/24. 0180107010808003218012492223. 5 圆轴扭转时的变形和刚度条件圆轴扭转时的变形和刚度条件 第第 9章章 ABCmAmB mC l1l20.6kN.m0.8kN.m d1d2 m

24、/71. 11max此轴不满足刚度条件。此轴不满足刚度条件。)(324111422211122212dlTdlTGGIlTGIlTPPCB245. 0180101)402 . 0600704 . 0800(10803212449CB3. 5 圆轴扭转时的变形和刚度条件圆轴扭转时的变形和刚度条件 第第 3 章章 例例7 长为长为 l =2m 的圆杆受均布力偶的圆杆受均布力偶 m=20Nm/m 的作用，的作用，如图，若杆的内外径之比为如图，若杆的内外径之比为 =0.8 ，G=80GPa ，许用切，许用切应力应力 =30MPa，试设计杆的外径；，试设计杆的外径； =2/m ，试校核此，试校核此杆的刚

25、度，并求右端面转角。杆的刚度，并求右端面转角。解：解：设计杆的外径设计杆的外径34D 1 16pW（） 34max)1 (16TD maxpTWmKNmm/20m23. 5 圆轴扭转时的变形和刚度条件圆轴扭转时的变形和刚度条件 第第 3 章章 xxmxxT20)(NmmlT40max mmTD57.22101030)8 . 01 (4016)1 (16336434maxmKNmm/20m23. 5 圆轴扭转时的变形和刚度条件圆轴扭转时的变形和刚度条件 第第 3 章章 刚度校核刚度校核180maxmaxPGIT 89. 1)1 (108018040324429D右端面转角右端面转角radGIGI

26、xGIxdxGIdxxTPPPlP033. 0)8 . 01 (106 .2210804032401020)(41249202203. 5 圆轴扭转时的变形和刚度条件圆轴扭转时的变形和刚度条件 第第 3 章章 例例8 图示圆杆图示圆杆BC 段为空心，已知段为空心，已知 D =50mm，d=25mm； a =250mm，b =150mm；G=80GPa；试求该杆的最大切应力；试求该杆的最大切应力和自由端的扭转角和自由端的扭转角。ABCaabb D d0.5kN.m0.3kN.m 0.8kN.m11223344解：本题应分解：本题应分4段考虑。段考虑。32421DIIPP)(324443dDIIP

27、P16321DWWtt)1 (1644343DdDWWtt3. 5 圆轴扭转时的变形和刚度条件圆轴扭转时的变形和刚度条件 第第 3 章章 ABCaabb D d0.5kN.m0.3kN.m 0.8kN.m0.8kN.m0.5kN.m1kN.m11223344MPaDTWTP74.40510001616331111MPaDTWTP76.34)5 . 01 (580016)1 (1643434444MPa74.401max3. 5 圆轴扭转时的变形和刚度条件圆轴扭转时的变形和刚度条件 第第 3 章章 ABCaabb D d0.5kN.m0.3kN.m 0.8kN.m0.8kN.m0.5kN.m1k

28、N.m1122334472. 00126. 0)(151632)1 (32)1 (32323242214444442424144332211radaTbTbTaTDGDGaTDGbTDGbTDGaTGIaTGIbTGIbTGIaTPPPP3. 5 圆轴扭转时的变形和刚度条件圆轴扭转时的变形和刚度条件 第第 3 章章 3. 5 圆轴扭转时的变形和刚度条件圆轴扭转时的变形和刚度条件 第第 3 章章 例例9 阶梯圆轴阶梯圆轴AB两端固定，受外力偶矩两端固定，受外力偶矩 m=4.5kN.m作用，作用，若若d1=70mm, d2=55mm, l1=1m, l2=1.5m。材料的。材料的G=80GPa,=

29、60MPa, ,=1.5o/m,试对该轴进行强度和刚度试对该轴进行强度和刚度校核。校核。ABC1l2lmmACBAmBm 解：（解：（1）静力平衡）静力平衡0mmm:0mBAx （2）变形几何关系）变形几何关系0CBACAB （3）物理关系）物理关系1 112 221122,ABACCBPPPPm lm lm lm lGIGIGIGI 代入几何关系，得补充方程代入几何关系，得补充方程02211PBPAGIlmGIlm第第 3 章章 3. 5 圆轴扭转时的变形和刚度条件圆轴扭转时的变形和刚度条件 补充方程与平衡方程联立求解得：补充方程与平衡方程联立求解得：mkNllmlmmkNllmlmBA8

30、. 15 . 1115 . 47 . 25 . 115 . 15 . 4211212故由截面法可得故由截面法可得mkNmmmkNmmBnAn8 . 1;7 . 221轴力图如图所示。轴力图如图所示。ABC1l2lmmkN 7 . 2mkN 8 . 1图nM （4）强度校核）强度校核MPaPadmCBMPaPadmACnn55105516/1055108 . 116/:1 .40101 .4016/1070107 . 216/:6933322269333111段段第第 3 章章 3. 5 圆轴扭转时的变形和刚度条件圆轴扭转时的变形和刚度条件轴的最大剪应力：轴的最大剪应力： MPa55max故轴满足强度条件。故轴满足强度条件。 （5）刚度校核）刚度校核mGImmmdIACPnP/82.01036.21080180107 .21801036.2327032:693111264411段mGImmmdICBPnP/44.11098.81080180108 .11801098.8325532:793222254422段 m/44. 12max该轴满足刚度条件。该轴满足刚度条件。六、材料扭转时的力学性质六、材料扭转时的力学性质第第 3 章章 3-6、材料扭转时的力学性质、材料扭转时的力学性质 非圆截面等直杆：非圆截面等