复变函数与积分变换第01章复数与复变函数

1、北京交通大学理学院北京 2011.9北京交通大学本科生工程数学电子教案北京交通大学本科生工程数学电子教案课程名称课程名称复变函数与积分变换复变函数与积分变换教教 材材工程数学工程数学- -复变函数复变函数( (第四版第四版) ) 西安交通大学高等数学教研室西安交通大学高等数学教研室 编编总总 学学 时时32学时学时教师姓名黄晓鸣黄晓鸣研究对象研究对象复变函数（自变量为复数的函数）复变函数（自变量为复数的函数）主要任务主要任务研究复变数之间的相互依赖关系，研究复变数之间的相互依赖关系，具体地就是复数域上的微积分。具体地就是复数域上的微积分。主要内容主要内容复变函数的积分、级数、留数、复变函数的积

2、分、级数、留数、共形映射等。共形映射等。复数与复变函数、解析函数、复数与复变函数、解析函数、学习方法复变函数中许多概念、理论、和复变函数中许多概念、理论、和方法是实变函数在复数域内的推方法是实变函数在复数域内的推广和发展，它们之间有许多相似广和发展，它们之间有许多相似之处。但又有不同之处，在学习之处。但又有不同之处，在学习中要善于比较、区别、特别要注中要善于比较、区别、特别要注意复数域上特有的那些性质与结意复数域上特有的那些性质与结果。果。复数是十六世纪人们在解代数方程时引进的。复数是十六世纪人们在解代数方程时引进的。为使负数开方有意义，需要再一次扩大数系，使实为使负数开方有意义，需要再一次扩

3、大数系，使实数域扩大到复数域。但在十八世纪以前，由于对复数域扩大到复数域。但在十八世纪以前，由于对复数的概念及性质了解得不清楚，用它们进行计算又数的概念及性质了解得不清楚，用它们进行计算又得到一些矛盾，所以，在历史上长时期人们把复数得到一些矛盾，所以，在历史上长时期人们把复数看作不能接受的看作不能接受的“虚数虚数”。直到十八世纪，。直到十八世纪，J.DJ.DAlembertAlembert(1717-1783)(1717-1783)与与L.EulerL.Euler(1707-1783)(1707-1783)等人逐步阐明了复数的几何意义和物理意义，澄清等人逐步阐明了复数的几何意义和物理意义，澄清

4、了复数的概念，并且应用复数和复变函数研究了流了复数的概念，并且应用复数和复变函数研究了流体力学等方面的一些问题。复数才被人们广泛承认体力学等方面的一些问题。复数才被人们广泛承认接受，复变函数论才能顺利建立和发展。接受，复变函数论才能顺利建立和发展。 复变函数的理论基础是十九世纪奠定的。复变函数的理论基础是十九世纪奠定的。 A.L.CauchyA.L.Cauchy（1789-1866)1789-1866)和和K.WeierstrassK.Weierstrass(1815-(1815-1 8 9 7 )1 8 9 7 ) 分 别 应 用 积 分 和 级 数 研 究 复 变 函 数 ，分 别 应 用

5、 积 分 和 级 数 研 究 复 变 函 数 ，G.F.B.RiemannG.F.B.Riemann(1826-1866)(1826-1866)研究复变函数的映照性研究复变函数的映照性质。他们是这一时期的三位代表人物。经过他们的质。他们是这一时期的三位代表人物。经过他们的巨大努力，复变函数形成了非常系统的理论，且渗巨大努力，复变函数形成了非常系统的理论，且渗透到了数学的许多分支，同时，它在热力学，流体透到了数学的许多分支，同时，它在热力学，流体力学和电学等方面也得到了很多的应用。力学和电学等方面也得到了很多的应用。二十世纪以来，复变函数已被广泛地应用在理二十世纪以来，复变函数已被广泛地应用在理

6、论物理、弹性理论和天体力学等方面，与数学中其论物理、弹性理论和天体力学等方面，与数学中其它分支的联系也日益密切。它分支的联系也日益密切。& 1. 1. 复数的概念复数的概念& 2. 2. 代数运算代数运算& 3. 3. 共轭复数共轭复数A 一般一般, , 任意两个复数不能比较大小。任意两个复数不能比较大小。1. 复数的概念复数的概念定义定义 对任意两实数对任意两实数x、y ,称称 z=x+iy或或z=x+yi为为复数。复数。称为虚单位。称为虚单位。其中其中ii,1 2 复数复数z 的实部的实部 Re(z) = x ; 虚部虚部 Im(z) = y . (real part) (imaginar

7、y part)0|22 yxz 复数的模复数的模0)Im()Re(0,222111212121 zzziyxziyxzyyxxzz其中其中 判断复数相等判断复数相等定义定义 z1=x1+iy1与与z2=x2+iy2的的和、差、积和商和、差、积和商为：为： z1z2=(x1x2)+i(y1y2) z1z2=(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2-y1y2)+i(x2y1+x1y2)0(|222211222212121 zzyxyxizyyxxzzz2. 代数运算代数运算z1+z2=z2+z1；z1z2=z2z1；(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)；z1(z2z3)=(z1z2)z3

8、；z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 .复数的运算满足复数的运算满足交换律、结合律、分配律交换律、结合律、分配律。（与实数相同与实数相同）即，）即，2121)()1(zzzz 2121)(zzzz 2121)(zzzz zz )2(2|1zzz 2222)Im()Re()3(yxzzzz )Im(2 )Re(2)4(zizzzzz 3.共轭复数共轭复数定义定义 若若z=x+iy , 称称 z=x-iy 为为z 的的共轭复数共轭复数.(conjugate).,)( ,43,55:1212121虚部虚部及它们的实部及它们的实部求求设设例例zzzziziz 574355:21 iiizz解解41

9、1:2 ii求求例例iii 11)(.,0aaaa . 3011-1nn现现实实多多项项式式的的零零点点成成对对出出也也是是其其根根则则的的根根是是实实系系数数方方程程证证明明若若例例zxxxznn 22212212212:. 4zzzzzz 证证明明例例1. 点的表示点的表示),(yxiyxz一一对对有有序序实实数数易易见见， ( , )( , )( , )P x yx yzxiyP x y在平面上取定直角坐标系，则任意点一对有序实数平面上的点().zxiyxyP复数可用平面上坐标为 ， 的点 表示此时，xyz轴实轴轴虚轴平面复平面或平面)(yxPiyxz，复复平平面面上上的的点点 点的表示

10、：点的表示：A 数数z z与点与点z z同义同义. .无穷远点怎么表示？无穷远点怎么表示？扩充复平面：扩充复平面：复球面：复球面：xPNS扩充复平面上的无穷远点扩充复平面上的无穷远点 与复球面上的北极对应！与复球面上的北极对应！.,)(iyxzOPyxOPyxPiyxz 表表示示可可用用向向量量，点点2. 向量表示法向量表示法A 00 OPzzyxrOPzArg:,|22记记作作辐辐角角模模： oxy(z)P(x,y)rz xy 称向量的长度为复数称向量的长度为复数z=x+iy的的模模或或绝对值绝对值；以正实轴为始边以正实轴为始边, 以向量以向量 为终边的角的为终边的角的弧度数称为复数弧度数称

11、为复数 z=x+iy 的的辐角辐角(z0时时).OP 辐角无穷多：辐角无穷多：Arg z=0+2k， kZ，xyzz/)Argtan(0 时，时， 0把其中满足把其中满足 的的0称为辐角称为辐角Argz的主值，的主值，记作记作0=argz。A z=0z=0时，辐角不确定。时，辐角不确定。 0, 00, 0arctan0, 02, 0arctanargyxyxxyyxRyxxyz 计算计算argz(z0) 的公式的公式A 当当z z落于一落于一, ,四象限时，不变。四象限时，不变。 A 当当z z落于第二象限时，加落于第二象限时，加 。 A 当当z z落于第三象限时，减落于第三象限时，减 。 a

12、rctan22yx请注意复数的幅角主值的计算！oxy(z) z1z2 z1+z2z2- z112121212)(:zzzzzzzz 三三角角不不等等式式由由此此得得由向量表示法知由向量表示法知之间的距离之间的距离与与点点2112zzzz 3. 三角表示法三角表示法)sin(cos irz cossinxryr由得4. 指数表示法指数表示法:cossiniEulerei再由公式得 irez 引进复数的几何表示，可将平面图形用复数方程引进复数的几何表示，可将平面图形用复数方程（或不等式）表示；反之，也可由给定的复数方（或不等式）表示；反之，也可由给定的复数方程（或不等式）来确定它所表示的平面图形。

13、程（或不等式）来确定它所表示的平面图形。例例1 用复数方程表示用复数方程表示:（1）过两点）过两点 zj=xj+iyj (j=1,2)的直线；的直线；（2）中心在点）中心在点(0, -1), 半径为半径为2的圆。的圆。oxy(z)Lz1z2z解解 （1） z=z1+t (z2-z1) （-t 0为半径的为半径的圆圆 | z -z 0|(或或 0 | z z 0| 0, 对任意对任意 z D, 均有均有 zG=z | |z|R，则，则D是有界是有界区域区域；否则无界。；否则无界。闭区域闭区域 区域区域D与它的边界一起构成闭区域与它的边界一起构成闭区域,.D记记为为.,00为为半半径径的的圆圆内内

14、所所有有的的点点以以为为圆圆点点表表示示以以rzrzz Re,Imyxzz表示分别平行于 轴和 轴的直线。.,.,1020201几个点几个点只是边界增加了一个或只是边界增加了一个或它仍然是区域它仍然是区域几个点几个点如果在其中去掉一个或如果在其中去掉一个或组成组成它的边界由两个圆周它的边界由两个圆周而且是有界的而且是有界的表示一个圆环表示一个圆环rzzrzzrzzr .0Im,0Re表表示示下下半半复复平平面面表表示示右右半半复复平平面面 zz2. 2. 简单曲线（或简单曲线（或JardanJardan曲线曲线) ),)()(),()()(baCtytxbtatyytxx 、实实变变函函数数表

15、表示示为为：平平面面上上一一条条连连续续曲曲线线可可令令z(t)=x(t)+iy(t) atb ;则曲线方程可记为：则曲线方程可记为：z=z(t)， atb.0)( )( ,)( )( 22则则称称该该曲曲线线为为光光滑滑的的且且、若若 tytxbaCtytx有限条光滑曲线相连接构成一条有限条光滑曲线相连接构成一条分段光滑曲线分段光滑曲线。 设连续曲线设连续曲线C：z=z(t)，atb，对于对于t1(a，b), t2 a, b,当当t1t2时，若时，若z(t1)=z(t2)，称称z(t1)为曲线为曲线C的重点。的重点。 称称没有重点的连续曲线没有重点的连续曲线C为简单曲线或为简单曲线或 Jar

16、dan曲线曲线;若简单曲线若简单曲线C 满足满足z(a)=z(b)时，则称时，则称此曲线此曲线C是是简单闭曲线简单闭曲线或或Jordan闭曲线闭曲线 。 z(a)=z(b)简单闭曲线简单闭曲线z(t1)=z(t2)不是简单闭曲线不是简单闭曲线3. 3. 单连通域与多连通域单连通域与多连通域任一条简单闭曲线任一条简单闭曲线 C：z=z(t)， ta，b，把复，把复平面唯一地分成三个互不相交的部分：一个是有平面唯一地分成三个互不相交的部分：一个是有界区域，称为界区域，称为C的内部；一个是无界区域，称为的内部；一个是无界区域，称为C的外部；还有一个是它们的公共边界。的外部；还有一个是它们的公共边界。

17、z(a)=z(b)Cz(a)=z(b)内部内部外部外部边界边界定义定义 复平面上的一个区域复平面上的一个区域 B ，如果如果B内的任何简单闭曲线的内的任何简单闭曲线的内部总在内部总在B内，就称内，就称 B为单连通为单连通域；非单连通域称为多连通域。域；非单连通域称为多连通域。例如例如 |z|0）是单连通的；）是单连通的； 0r|z|R是多连通的。是多连通的。单连通域单连通域多连通域多连通域多连通域多连通域单连通域单连通域Page 31-33 1（）（）；2；4（1）（3）；8（）（）（）；14（）（）； 19；21（）（）（）；22（）（）（）；1. 复变函数的定义复变函数的定义与实变函数定义

18、相类似与实变函数定义相类似定义定义).(, zfwzwivuwGzfiyxzG 记记作作）的的函函数数（简简称称复复变变函函数数是是复复变变数数则则称称复复变变数数与与之之对对应应就就有有一一个个或或几几个个使使得得存存在在法法则则的的非非空空集集合合是是一一个个复复数数设设A 是是多多值值函函数数. .值值，称称多多个个是是单单值值函函数数; ;值值，称称一一个个若若)( )(zfwzzfwz。论的函数均为单值函数论的函数均为单值函数今后无特别声明，所讨今后无特别声明，所讨面面区区域域（定定义义域域）的的定定义义集集合合，常常常常是是平平)(zfG函函数数值值集集合合, )(*GzzfwwG

19、 ),(),( )()(),();,(yxivyxuiyxfzfwvuivuwyxiyxz ),(),(yxvvyxuu 故故),(),()(yxvvyxuuivuzfw 2222()()2wzzxiywuivwuivxiyxyxyi令 则例例12222wzuxyvxy所以，例例2222211( )11f zxiyxyxy 若已知( )f zz将表示成的函数。1( )f zzz11,(),()22zxiyxzzyzzi设 则oxy(z)Gouv(w)GG*w=f(z)在几何上，在几何上， w=f(z)可以看作：可以看作：).() (*)(变换变换平面）的映射平面）的映射平面平面wGwzGzzf

20、w 的的原原象象。称称为为，而而映映象象的的象象点点为为称称wzzw)( 定义域定义域函数值集合函数值集合 2. 映射的概念映射的概念复变函数的几何意义复变函数的几何意义zw=f(z)wA 以下不再区分函数与映射（变换）。以下不再区分函数与映射（变换）。A 在复变函数中用两个复平面上点集之间的在复变函数中用两个复平面上点集之间的 对应关系来表达两对变量对应关系来表达两对变量 u，v 与与 x，y 之间的对应关系，以便在研究和理解复变之间的对应关系，以便在研究和理解复变 函数问题时，可借助于几何直观函数问题时，可借助于几何直观. .复变函数的几何意义是一个映射（变换）复变函数的几何意义是一个映射

21、（变换）.所构成的映射所构成的映射研究研究zw 例例3 iirezreirz )sin(cos设设解解关于实轴对称的一个映射关于实轴对称的一个映射见图见图1-11-2旋转变换旋转变换(映射映射)即，即，)sinsin()sincos( )(sin(cos yxiyxiyxiivuw 见图见图2.( 实常数）所构成的映射实常数）所构成的映射研究研究 zewi 例例4)( iiiiirereezewrez设设解解 sinsinsincosyxvyxuoxy(z)x、uy、v(z)、(w)ox、uy、v(z)、(w)o 图图1-1图图1-2图图2uv(w)o.2所所构构成成的的映映射射研研究究zw

22、例例5oxy(z)ouv(w) 2 oxy(z)ouv(w)R=2R=46 3 422 yx2zw 2zw 2zw 2zw 3. 反函数或逆映射反函数或逆映射例例 设设 z=w2 则称则称 为为z=w2的反函数或逆映射的反函数或逆映射zw )1 , 0(22 kezzwk为多值函数为多值函数,2支支.定义定义 设设 w =f (z) 的定义集合为的定义集合为G,函数值集合为函数值集合为G*Gz *)(Gwzfw *Gw )()(wzGz 或或几几个个一一个个则称则称 为为 的反函数（的反函数（逆映射逆映射）。）。* ( ) ( )wfwwGzf zzG 显然有当反函数单值时( ( )zf z一

23、般( )zw( )wf z()( )()()()( )wf zzwwf zGG当函数 映射和其反函数 逆映射都是单值的，则称函数 映射是一一的。也称集合与集合是一一对应的。例例 已知映射已知映射w = z3 ，求区域，求区域 在平面在平面w上的象。上的象。例例?1:,122平平面面上上怎怎样样的的曲曲线线映映射射成成被被平平面面上上的的曲曲线线判判断断已已知知映映射射wyxzzw 0arg3z1. 函数的极限函数的极限AzfzzAzfzzzfAAzfzzAzUzzfwzz )()(lim)(,)(,0, 0),(),( 000)000时时，或或当当时时的的极极限限，记记作作当当为为则则称称有有

24、时时当当）（，若若存存在在数数设设（定义定义uv(w)oA xy(z)o 0z)(zfw 几何意义几何意义: 当变点当变点 z 一旦进一旦进入入 z0 的充分小去的充分小去心邻域时心邻域时,它的象它的象点点 f(z) 就落入就落入A的的一个预先给定的一个预先给定的 邻域中邻域中A (1) (1)意义中意义中 的方式是任意的的方式是任意的. . 与一元实变函数相比较要求更高与一元实变函数相比较要求更高. .0zz(2) A是复数. 2. 运算性质运算性质复变函数极限与其实部和虚部极限的关系：复变函数极限与其实部和虚部极限的关系：000( )( , )( , ) f zu x yiv x yzxi

25、y zxiy设定理定理1(3) 若f(z)在 处有极限,其极限是唯一的.0z000000( , )(,)000( , )(,)lim( , )lim( )lim( , )x yxyzzx yxyu x yuf zAuivv x yv则 BAzgzgzfzgzfABzgzfzgzfBAzgzfzgzfBzgAzfzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz )0)(lim()(lim)(lim)()(lim)(lim)(lim)()(lim)(lim)(lim)()(lim,)(lim)(lim000000000000则则若若定理定理2A 以上定理用极限定义证以上定理用极限定义证! !例例1.)(22在在平平面面上上处处