《空间向量及其运算》距离

1、-利用向量解决空间的距离问题利用向量解决空间的距离问题立体几何中的向量方法立体几何中的向量方法向量法求空间距离的求解方法向量法求空间距离的求解方法1.空间中的距离主要有空间中的距离主要有:两点间的距离、点到直线的距离、点到平面的距离、两点间的距离、点到直线的距离、点到平面的距离、直线到平面的距离、平行平面的距离、异面直线间直线到平面的距离、平行平面的距离、异面直线间的距离的距离.其中直线到平面的距离、平行平面的距离都其中直线到平面的距离、平行平面的距离都可以转化点到平面的距离可以转化点到平面的距离.2.空间中两点间的距离空间中两点间的距离:设设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z3),则

2、则222121212()()()ABxxyyzz 3.求点到平面的距离求点到平面的距离:如图点如图点P为平面外一点，为平面外一点，点点A为平面内的任一点，平面的法向量为为平面内的任一点，平面的法向量为n,过过点点P作平面作平面 的垂线的垂线PO，记，记PA和平面和平面 所成的所成的角为角为 ，则点，则点P到平面的距离到平面的距离n APO POdsinPAPAnPAnPAnPAn ABCD1A1B1C1DExyz(1) 求求B1到面到面A1BE的距离；的距离；例例1 如图，在正方体如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱中，棱长为长为1，E为为D1C1的中点，求下列问题：的中点，求下列问

3、题：11112( , , )AEABnx y zABE解=(-1, ,0),=(0,1,-1)设为面的法:向量，则110,0,n AEn AB 10,20,xyyz 2 ,2 ,yxzx即11(1,2,2)xABEn取，得平面的一个法向量11110,1,0 ,BABEAB 选点 到面的斜向量为111123AB nBABEdn 得 到面的距离为ABCD1A1B1C1DExyz例例1 如图，在正方体如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱中，棱长为长为1，E为为D1C1的中点，求下列问题：的中点，求下列问题：(2) 求求D1C到面到面A1BE的距离；的距离；解解:D1C面面A1BE D1到面

4、到面A1BE的距离即为的距离即为D1C到面到面A1BE的距离的距离仿上法求得仿上法求得111113D A nDA BEdn 到到面面的的距距离离为为ABCD1A1B1C1Dxyz例例1 如图，在正方体如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱中，棱长为长为1，E为为D1C1的中点，求下列问题：的中点，求下列问题：(3) 求面求面A1DB与面与面D1CB1的距离；的距离；解解:面面D1CB1面面A1BD D1到面到面A1BD的距离即为的距离即为面面D1CB1到面到面A1BD的距离的距离111( 1,1,1)(1,0,0)A BDnD A 易易得得平平面面的的一一法法向向量量且且111133D

5、 A nDA BDdn 则则到到面面的的距距离离为为例例1 如图，在正方体如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱中，棱长为长为1，E为为D1C1的中点，求下列问题：的中点，求下列问题：(4) 求异面直线求异面直线D1B与与A1E的距离的距离.ABCD1A1B1C1DExyz111(0,0,1),(1,1,0),(1,0,1),(0,1)2DBAE解: :111,0 ,2AE 11,1, 1D B 11( , , ),nx y zA E D B 设设是是与与都都垂垂直直的的向向量量，则则110,0,n A En D B 10,20,xyxyz 2 ,3 ,yxzx 即即1(1,2,3)x

6、n 取取 ，得得其其中中一一个个 11111,0,0 ,A EBDD A 选选与与的的两两点点向向量量为为11A EBD得得与与的的距距离离111414D Andn FEB1C1D1DCA练习练习1：已知棱长为已知棱长为1的正方体的正方体ABCDA1B1C1D1中，中，E、F分别是分别是B1C1和和C1D1 的中点，求点的中点，求点A1到平到平面面DBEF的距离。的距离。BxyzA1练习练习2：如图在直三棱柱如图在直三棱柱ABC-A1B1C1中，中，AC=BC=1, ACB=900,AA1= ,2求求B1到平面到平面A1BC的距离。的距离。B1A1BC1ACxyz小结小结 利用法向量来解决上述

7、立体几何题目，最大利用法向量来解决上述立体几何题目，最大的优点就是不用象在进行几何推理时那样去的优点就是不用象在进行几何推理时那样去确定垂足的位置，完全依靠计算就可以解决确定垂足的位置，完全依靠计算就可以解决问题。但是也有局限性，用代数推理解立体问题。但是也有局限性，用代数推理解立体几何题目，关键就是得建立空间直角坐标系，几何题目，关键就是得建立空间直角坐标系，把向量通过坐标形式表示出来，所以能用这把向量通过坐标形式表示出来，所以能用这种方法解题的立体几何模型一般都是如：正种方法解题的立体几何模型一般都是如：正（长）方体、直棱柱、正棱锥等。（长）方体、直棱柱、正棱锥等。补充作业：补充作业： 已

8、知正方形已知正方形ABCD的边长为的边长为4，CG平面平面ABCD，CG=2,E、F分别是分别是AB、AD的中点，的中点，求点求点B到平面到平面GEF的距离。的距离。GBDACEFxyzBAMNnabcos,AB ndABAB nn 4.4.异面直线的距离异面直线的距离: :作直线作直线a、b的方向向量的方向向量a、b，求，求a、b的法向量的法向量n，即此，即此异面直线异面直线a、b的公垂线的方的公垂线的方向向量；向向量；在直线在直线a、b上各取一点上各取一点A、B，作向量，作向量AB；求向量求向量AB在在n上的射影上的射影d，则异面直线，则异面直线a、b间的距间的距离为离为 例例1：如图如图

9、1：一个结晶体的形状为四棱柱，其中，：一个结晶体的形状为四棱柱，其中，以顶点以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是夹角都是60，那么以这个顶点为端点的晶体的对，那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？角线的长与棱长有什么关系？ A1B1C1D1ABCD图图1解解:如图如图1,不妨设不妨设11 ABAAAD，1160BAADAA 化为向量问题化为向量问题依据向量的加法法则依据向量的加法法则，11ACABADAA 进行向量运算进行向量运算2211()ACABADAA 2221112()ABADAAAB ADAB AAAD AA 11

10、12(cos60cos60cos60 ) 6 所以所以1|6AC 回到图形问题回到图形问题这个晶体的对角线这个晶体的对角线 的长是棱长的的长是棱长的 倍倍。1AC6BAD 典典例例思考：思考：(1)本题中四棱柱的对角线本题中四棱柱的对角线BD1的长与棱长有什么关系？的长与棱长有什么关系？ (2)(2)如果一个四棱柱的各条棱长都相等，并且以如果一个四棱柱的各条棱长都相等，并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于 , , 那么那么有这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长吗有这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长吗? ? A1B1C1D1ABCD (3) (3)本题的晶体中

11、相对的两个平面之间的距离本题的晶体中相对的两个平面之间的距离是多少是多少? (? (提示：求两个平行平面的距离，通常归结为求点到平提示：求两个平行平面的距离，通常归结为求点到平面的距离或两点间的距离）面的距离或两点间的距离）11BDBABCBB 11 120 60ABCABBB BC 其其中中，思考思考(1)分析分析:思考思考(2)分析分析: 1111 DAABAABADxAAADABaAC，设设11 ACABADAA 由由222211112()ACABADAAAB AD AB AAAD AA 222 32(3cos)axx 即即1 36cosxa 这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长这个四棱柱

12、的对角线的长可以确定棱长.A1B1C1D1ABCDH 分析：面面距离转化为点面距离来求分析：面面距离转化为点面距离来求. 11HACHAA于于点点平平面面点点作作过过 解：解：. 1的的距距离离为为所所求求相相对对两两个个面面之之间间则则HA111 AAADABBADADAABA 且且由由. 上上在在 ACH22()112cos603 3ACABBCAC 1111()cos60cos601.AAACAAABBCAAABAABC 1111 cos| |3AAACA ACAAAC 36sin 1 ACA36sin 111 ACAAAHA 所求的距离是所求的距离是6 .3 思考思考(3)(3)本题的晶体中相对的两个平面之间的距离是多少