第三章数控加工中的几何建模理论

1、第三章 数控加工中的几何建模理论第一节：概述第二节：数控加工中常用曲线几何参数描述第三节：数控加工中常用曲线几何参数描述第四节：曲线曲面的计算机数学处理第五节：自由曲面数控加工的轨迹规划第一节概述v一般机械加工和设备大多为规则形体，而航空、航天、汽车、船舶的一些形体是无法用解析式来表示的，要实现这类零件的加工，必须符合精度要求的曲线和曲面的数学模式。v所谓复杂曲线和曲面，是指形状比较复杂，不能用二次方程来描述的曲线和曲面。v复杂曲线和曲面常常用一定数量的离散点来描述，这就需要构造出能完全通过或比较接近给定点的曲线曲面，再计算拟合曲线和曲面上位于给定型值点之间的若干点。第二节 数控常用曲线的几何

2、参数描述v一、圆弧样条v二、三次参数样条v三、Bezier 曲线一、圆弧样条圆弧样条是已知型值点pi（i=1，2，3），过每个型值点作一段圆弧，且使相邻圆弧在相邻节点（ pi ， pi+1）的弦平分线上相交并相切，则使整条曲线在各连接点处达到C0和C1阶（位置与切线）连续。一、圆弧样条v用圆弧样条构造出来的曲线是连续的，其切线也连续，而曲率分段为常数。v圆弧样条具有几何不变性，即它不随坐标系的选择而变化，而三次样条曲线是几何可变的。三次样条的几何可变性（一）圆弧样条的基本算法v假设过每个型值点的弦切角（切线与弦线的夹角）分别为i和i，则他们满足关系式： i+ i=i（一）圆弧样条的基本算法v弦

3、切角按图中规定的符号到锐角1.公切点的位置v若给定和角，可以证明公切点有无穷多个，且其轨迹是一段圆弧，当公切点取在相邻型值点Pi-1Pi的中垂线上时，计算简单且各圆弧均匀。v此时T点的局部坐标为：UT=Li/2 VT=(Li/2)*tan(i-1+ i)/4)2、圆心及半径v分别作过两型值点的弦切角如图所示，可得到其参数分别如下页所示。2、圆心及半径（二）各型值点处的弦切角v根据圆弧样条的定义，过型值点两侧是同一段圆弧，因而曲率相等，即有即可得到（二）各型值点处的弦切角v在式中，有：（三）端点条件v给定两端点处的曲率，我们可得到两个补充方程v其中（三）端点条件v将以上各式合并成矩阵形式为：（三

4、）端点条件v这样，可以根据数学中的基本迭代来求出返程的解v这样，便可得到满足以下给定精度的各角度值（四）圆弧样条的适用性和修正v圆弧样条曲线是由圆弧拼接而成的，如果曲线曲率较大或所给型值点较稀时，可能会出现： v3i- i-1 0或3i-i+1 0的情况，这可能会出现拐点，产生不光顺情况。这样应限制i和i+1 的比值，则应有1/3= i/ i+1 0）第四节 曲线曲面的计算机数学处理v一、插值v二、拟合v三、光顺一、插值v（一）插值的含义与基本思路v（二）拉格朗日插值v（三）牛顿插值v（四）样条插值（一）插值的含义与基本思路v1.插值的含义v由于某种原因，实验观测到的离散点常常满足不了实际加工

5、的需要（如 离散点给的太疏远，不够用等），这时就必须在所给的函数列表中再插入一些所需要的中间值，这就是插值v2.插值的基本思路v首先根据列表函数f（x）构造一个简单函数y=p(x)作为近似表达式，然后再计算p(x)的值来得到f(x)的近似值。（二）拉格朗日插值v拉格朗日插值就是一种利用代数多项式进行插值的方法。它是由一次插值和二次插值发展而来v已知函数y=f(x)在点x0、x1的函数值，y=f(x0)、y1=f(x1)，即可求出唯一的一次函数y=p1(x)实质适合v P1(x)=f(x0)v p1(x1)=f(x1)v故可得v当x1-x0很小时，线性插值也能达到一定精度（二）拉格朗日插值（二）

6、拉格朗日插值v如果有三个型值点(x0，y0）、 (x1，y1）、 (x2，y2）且不在一条直线上，我们得其插值公式为：（二）拉格朗日插值v由一次插值和二次插值可知，对于4个型值点通常要求插值多项式为3次，对于n+1个型值点要求插值为n次。v假设对某个固定下标作n次多项式Ak(x)，使之适合下列简单形式的函数表达式（二）拉格朗日插值v第一个条件表明Ak(x)以x0,x1,xk-1,xk xn为根，故有v式中为常数，可由第二条件可得：v故（二）拉格朗日插值vAk(x)的线性组合就是所要求的插值多项式pn(x)，将Ak(x)代入可得y=pn(x) 的表达式为：v这就是拉格朗日插值公式。所谓拉格朗日插

7、值就是已给定点x,用插值式y=pn(x)计算得到的值，作为函数分f(x)在点x处的近似值。（二）拉格朗日插值v若设列表曲线已知的型值点为(xk,yk)，总点数为n+1，xp为插值点，yp为插值结果，其插值过程为（二）拉格朗日插值v查值公式在逻辑结构上表现为二重循环，内循环通过层乘球得系数v然后通过外循环由累加得到结果（二）拉格朗日插值v拉格朗日插值多项式思路清晰、形式对称、便于记忆。v但对于给定的 n，式中的n+1项必须全部计算出来。如需临时增加一个新的插值点，不能利用原有的计算结果，而需全部重算，造成了浪费。 v此外，插值结果的误差也难以估计（三）牛顿插值v若对一元函数y=f(x)，令yi=

8、f(xi)，分式：v 是在区间x0,x1上函数的增量与自变量x的增量相比，即函数f(x)在区间x0,x1上的平均变化率，也叫一阶均差，记为f(x1,x2).v例如 也是一阶均差。v由等式 可知一阶均差与次序无关。（三）牛顿插值v故可得线性插值公式为：v若增加一个新点(x2,y2)，即在p1(x)上增加一项后，作出二次多项式为：v式中为待定常数，对p2(x)加上新的插值条件p2(x2)=y2之后，可得待定常数。即：v可推出：（三）牛顿插值v 是函数f(x)的一阶均差的均差，称为f(x)的二阶均差。记为f(x0,x1,x2)。这样可得：v计算可得：（三）牛顿插值v再增加一个数据点(x3,y3)构造

9、插值多项式p3(x)v其中是二阶均差的均差，记为f(x0,x1,x2,x3)，称为函数f(x)的三阶均差，依次类推可归纳:k-1阶均差的均差称为k阶均差。即vf(x0,x1,xk)=v = +（三）牛顿插值v故可得n次牛顿插值多项式为：（三）牛顿插值v由上式我们可以看出：牛顿插值多项式系数恰好直到n阶的均差，各项外形的规律性强；v当增加新的节点再计算某点的插值时，前次运算结果仍然有用，只要把最后一项的值算出来累加上去即可，故计算较方便。（四）样条插值v对于牛顿插值和拉格朗日插值，型值点越多，插值多项式的次数越高，高次多项式不但计算复杂，速度慢，而且会使曲线发生扭摆。v此外，由于多项式为解析式，

10、即使局部范围内的微小变化也会牵动全局，使计算不稳定，而这微小的变化在工程上是不允许的。（四）样条插值v为克服上述缺点，人们采用分段插值法来降低插值曲线的曲线次数，尽量把高阶降为低阶。v但是风段插值为也有明显缺点，就是在段与段的衔接点处的一阶导数不连续，无法保证曲线的光滑性，这对于一些零部件来说是不允许的（如机翼，汽车车皮等）。v为解决以上问题，人们提出了样条插值（四）样条插值v1.样条函数起源于物理样条v如图示，为一物理样条，可以看作弹性细梁，把压铁看为集中载荷，这样可以从力学上抽象为弹性细梁在集中载荷下的弯曲变形。（四）样条插值v2.三次样条的定义v设有n+1个有序的型值点列（x0,y0),

11、(x1,y1), (xn,yn) x0 x1xnv若有函数s(x) 适合下列条件v1）s(xi)=yi v2)s(x)在区间x0,xn上二阶连续可导v3）在每一个子区间xi-1,xi上，s(x)为三次式v则s(x) 就是关于型值点列的三次样条曲线。（四）样条插值v3.样条函数插值求解v第一步，利用公式（四）样条插值v改成矩阵形式为：v其中：（四）样条插值v第二步 利用插值式：来计算出分段子区间xi-1,xi上的加密函数值。二、拟合v在实际工程中，因为测试数据常带有测试误差，而插值方法均要求所得曲线通过所有型值点，反而会使曲线保留着一切测试误差，当个别误差大时，插值效果就不理想。v为解决这一问题

12、，可以采用拟合的方法来构造近似曲线，只要求他尽可能反映出所给数据的走势即可。二、拟合v已知平面的型值点列(xi,yi)，求一条符合要求容易实现的曲线近似取代它，假设曲线方程为一多项式：v为确定m+1个系数 ，可将已知型点代入多项式，可得线性方程组为二、拟合v显然方程个数nm+1，一般误解，因而给出一组aj值，代入上式就会出现偏差，若记v则这些差的平方和为：v我们若给出aj的原则是使其误差的平方S最小，这样确定近似曲线系数的方法称为最小二乘逼近二、拟合v根据求极值的方法，可得：v整理可得：v这是m+1方程解 m+1个未知数，故可求出aj三、光顺v（一）曲线光顺的概念v（二）曲线光顺的方法（一）曲

13、线光顺的概念v为了降低在流体中运动物体的运动阻力，其轮廓外形不但要求做得更流线一些，而且要求美观，这就提出了光顺的概念。v光顺的充要条件有三个：1.是光滑，至少是一阶导数连续。2.曲线的走势，其凸凹应符合设计的目的。3.曲率大小变化要均匀。v由于计算误差和实验误差的存在常使通过型值点的曲线，在不该有拐点的地方有拐点，所以数控加工中用光顺的方法对数据进行检查。（二）曲线光顺的方法v1.局部回弹法的基本原理v2.局部回弹法光顺曲线的步骤v3.粗光顺v4.精光顺1.局部回弹法的基本原理v曲线光顺的方法有很多，最常用的是局部回弹法。v局部回弹法是对样条绘制过程中光顺操作实践的模拟，当用压铁强迫样条通过

14、各型值点后，发现样条所形成的曲线存在“不顺眼”地方时，就把最坏点处的压铁松掉，让样条自由弹匀，在压上压铁，如此反复修正，直到基本顺眼为止。v这种操作，每次只对某一个型值点的纵坐标进行局部调整，故称局部回弹法2.局部回弹法光顺曲线的步骤v2.局部回弹法光顺曲线的过程分两步进行：v第一步 满足曲线的一阶导数连续，且曲率符号符合设计要求，称为粗光顺v第二步 满足曲线的曲率大小变化均匀，称为精光顺3.粗光顺v（1）光顺的判别方法v（2）找出最坏点v（3）修改方法（1）光顺的判别方法v先根据设计要求，把整条曲线分为单凸和单凹的区间，其分界点即为拐点，然后用计算机来判断v设三次样条函数y=s(x)某型值点

15、处的二阶导数v若整条曲线按拐点分段后，光顺问题可按下式判断：v若满足：v则该点为不光顺的点。（1）光顺的判别方法v上式中Pi为预先给定 的符号（ Pi =+1或-1）。v例如，在单凸区间中Pi =-1，在单凹区间中Pi =+1v但，当曲线很平缓时，即 很小，计算机按上式计算出现迭代不止的情况，这时需进行相应的处理，可把上式处理成。v满足 的点才认为是不光顺的坏点。（2）找出最坏点v一条曲线上可能有很多坏点，但如果同时修改往往工作量太大，效果也不好，故光顺时一般找出最坏点进行修改。v由材料力学可知，当一组力作用于梁上时，集中载荷最大处，其挠曲曲率变化最大，即外力最大的点处为最坏。v根据材料力学理

16、论，第i点处的剪力跃度为：v v 和 为样条曲线第i点处的两个单边三阶导数，这样我们可得两边三阶导数差最大的点为最坏的点。（3）修改方法v可先将最坏点(xik,yik)舍弃，再按其余各型值点构造新样条函数，并由新样条函数求出对应的xik的函数值yik*,即可得回弹时纵坐标的修改量为：v yik= yik*-yikv其过程如下图所示（3）修改方法（3）修改方法v为了使型值点的修改量不致过大，一般采取不完全回弹，即：v其中，按经验常取0.3，但实际计算时发现，当 yik*-yik 较小时，迭代循环时间过长，所以 yik*-yik 0，即S的正负号与 一致，则值取正为原始曲面的外等距曲面， 取负则为内等距曲面。1.等距曲面的计算v2）原始曲面方程为参数形式：v令原始曲面上任一点得t向切向矢量为U,向切向矢量为V，法向矢量为N，则1.等距曲面的计算v上式中 分别为x、y、z对参数i及的偏导数，其法向矢量v设v则1.等距曲面的计算v单位法向矢量n=v式中v即可得等距曲面的参数方程为：2.确定行距与步长v（1）行距S的计算方法 ，行距S大了则表面粗糙度大，无疑将增大钳修工作的难度，影响零件的最终精度。vS选的太小了程序将变得