大学物理课后答案汇总

1、第十一章机械振动一、基本要求1 .掌握简谐振动的基本特征，学会由牛顿定律建立一维简谐振动的微分方程，并判断其是否谐振动。2 .掌握描述简谐运动的运动方程x=Acost+中0),理解振动位移，振幅，初位相，位相，圆频率，频率，周期的物理意义。能根据给出的初始条件求振幅和初位相。3 .掌握旋转矢量法。4 .理解同方向、同频率两个简谐振动的合成规律，以及合振动振幅极大和极小的条件。二、基本内容1 .振动物体在某一平衡位置附近的往复运动叫做机械振动。如果物体振动的位置满足x(t)=x(t+T),则该物体的运动称为周期性运动。否则称为非周期运动。但是一切复杂的非周期性的运动，都可以分解成许多不同频率的简

2、谐振动(周期性运动)的叠加。振动不仅限于机械运动中的振动过程，分子热运动，电磁运动，晶体中原子的运动等虽属不同运动形式，各自遵循不同的运动规律，但是就其中的振动过程讲，都具有共同的物理特征。一个物理量，例如电量、电流、电压等围绕平衡值随时间作周期性(或准周期性)的变化，也是一种振动。2 .简谐振动简谐振动是一种周期性的振动过程。它可以是机械振动中的位移、速度、加速度，也可以是电流、电量、电压等其它物理量。简谐振动是最简单，最基本的周期性运动，它是组成复杂运动的基本要素，所以简谐运动的研究是本章一个重点。(1)简谐振动表达式x=Acost+Q)反映了作简谐振动的物体位移随时间的变化遵循余弦规律，

3、这也是简谐振动的定义，即判断一个物体是否作简谐振动的运动学根据。但是简谐振动表达式更多地用来揭示描述一个简谐运动必须涉及到的物理量A、切、外(或称描述简谐运动的三个参量)，显然三个参量确定后，任一时刻作简谐振动的物体的位移、速度、加速度都可以由t对应地得到。v-Asin(to)-Acos(t0)222a-Acos(t0)=Acost0二)(2)简谐运动的动力学特征为：物体受到的力的大小总是与物体对其平衡位置的位移成正比、而方向相反，即F=kx,它是判定一个系统的运动过程是否作简谐运动的动力学根据，只要受力分析满足动力学特征的，毫无疑问地系统的运动是简谐运动。这里应该注意，F系指合力，它可以是弹

4、性力或准弹(3)和简谐运动的动力学特征相一致的是简谐运动的运动学特征：作简谐dt运动物体的加速度大小总是与其位移大小成正比、而方向相反，即吟=抬2x,出LC它也是物体是否作简谐运动的判据之一。只要加速度与位移大小成正比、而方向恒相反，则该物理量的变化过程就是一个简谐运动的过程。在非力学量，例如电量、电流和电压等电学量，就不易用简谐振动的动力学特征去判定，而LC电路中的电量q就满足I?=_1q,故电量q的变化过程就是一个简谐振荡的过程，显然用运动学的特征来判定简谐运动更具有广泛的意义。3 .简谐振动的振幅、周期、频率和相位(1)振幅A是指最大位移的绝对值。A是由初始条件来决定的，即(2)周期T是

5、指完成一次完整的振动所用时间。T=,式中缶是简谐振动的圆频率，它是由谐振动系统的构造来决定的，即*户也称为固有圆频率。对应的T称为固有周期。T=1,式中v称为频率(即固有频率)，它与圆频率的关系2=27rv,是由系统本身决定的（3）相位（M十久）和初相位中0是决定简谐振动的物体t时刻和t=0时刻运动状态的物理量。即在A、确定后，任一时刻的x、v、a都是由（cot十50）来确定的。一个周期内，每一时刻的相位（H+平）不同，则对应的运动状态也不相同。对不同的两个或更多的几个简谐振动，相位还用来区分它们之间“步调”的一致与否。初相位中决定于初始条件：即由，X0-ACOS*0共同决定。或由v0=-oA

6、sin中0中0=arctan（-B-）计算，但由此式算得的中。在0,2元或【-冗,江】范围内有两个可,X0能的取值，必须根据t=0时刻的速度方向进行合理的取舍。如能配合使用旋转矢量图示法，则会使九的确定更加简捷、方便。4 .旋转矢量法简谐运动的表达式x=Acost+平0）中有三个特征量A、6、%,旋转矢量法把描述简谐运动的三个物理量更直观、更形象地表示在图示中。作匀速转动的矢量，其长度等于谐振动的振幅A,其角速度等于谐振动的角频率。，且t=0时，它与X轴正向的夹角为谐振动的初位相50,t=t时刻它与X轴正向的夹角为谐振动的位相（所十九）。旋转矢量A的末端在X轴上的投影点的运动代表质点的谐振动。

7、5 .简谐振动的能量动能Ek=lms2A2sin.t+Q）2势能Ep-1kA2coS（t：0）21c机械能E=EkEpkA2P26.同方向同频率简谐振动的合成%=Acos（t+?0）和X2=A2coSt+%价成后仍为简谐振动x/x2=Acost0其中A=YAi2弋A+2AiA2cos（520-Q0）（合振幅）.AsinioA2sin20tg%=-（合振动的初相）Acos:10A2cos20三、习题选解11-1质量为10g的小球与轻弹簧组成的系统，按x=0.5cos（8nt+fm的规律振动（式中x以m计，t以s计），试求：（1）振动的角频率、周期、振幅、初相、速度和加速度的最大值；（2）t=1s

8、、2s、10s各时刻的相位；（3）分别画出位移、速度、加速度与时间t的关系曲线。冗解：（1）x=0.5cos（8nt十二）m与振动的标准形式x=Acos（cot十中0）相比可3知：圆频率.二8二s振幅A=0.5m初相位=-3周期T=-=0.25s最大速度vA=8二0.5ms,=12.56msmax最大加速度amax=2A=（8二）20.5ms=3.16102ms（2）相位为（8兀t+2），将t=1s、2s、10s代入相位分别为3J“1”18一二、16二、80二333一、1.冗、（3）由x=0.5cos（8兀t+）m有3dx-一二.v=一=4二sin（8-t）msdt3dv2,1-2a=二-32

9、二cos9_：t）msdt311-2有一个和轻弹簧相连的小球，沿x轴作振幅为A的简谐振动，具表达式用余弦函数表示。若t=0时，球的运动状态为（1）x0=-A;（2）过平衡位AA置向x轴正向运动；(3)x=处向x轴负方向运动；(4)x=-处向x轴正22方向运动；试用矢量图示法确定相应的初相的值，并写出振动表达式解：四种情况对应的旋转矢量图如图所示：(1)初相位中0=冗，振动方程为x=Acos(t,二)(2)初相位外=-,振动2方程为x=Acos(t)2(3)初相位为平。=土,3振动方程为x=Acos(t)3(4)初相位中o=-土，振动方程为4nx=Acos(t-)4题11-2图11-3质点作简谐

10、振动的曲线x-t如图所示，求质点的振动方程式解:.A.t=0时，x0=Acos中2所以1cos0,再由V0=-Aosin邛00,t=1s时，x1A一二Acos1210(注意1sin0：二冗Jl=_3再由V1=-Asin;：1si已0所以91=：1一02=ji3振动方程为x=Acost22)=0.04cosJti-m33J11-4两质点沿同一直线作同频率、同振幅的简谐振动，当它们每次沿相反方向互相通过时，它们的位移均为其振幅的一半，求这两个质点振动的相位差。解：设两个质点振动方程为x1=Acos(t1)x2=Acos(t2)速度为dx1vi=-A；.-：sn(t71)dtdx2v2二二-Asin

11、(t2)dt依题意，两质点在t=t相遇时Axi(t)=x2(t)；2.1cos(t1)=cos(t2)=2-t+q、-t：2=2n二1 23此时两质点运动方向相反，这分两种情况。(1)质点1向x轴正向运动，质点2向x轴负向运动，这时nJTt1=2n-：-t:2=2n二33位相差：:=(t:1)-(-t-2)=3(2)质点1向x轴负向运动，质点2向x轴正向运动，这时t:1=2n二一-t;：2=2n二-33位相差：=(l)-(t2)=3两种情况都说明其中一个质点的运动比另处一个质点的运动超前或落后2n/3。两质点在-A，2处相向相遇时有同样的结论。11-5在一平板上放质量m=1.0kg的物体，平板

12、在竖直方向上下作简谐振动，周期为T=0.5s,振幅A=0.02m,试求：ME题11-5图(1)在位移最大时，物体对平板的压力；(2)平板应以多大振幅作振动，才能使重物开始跳离木板。解：(1)选择物体平衡位置为坐标原点，向上的方向为x轴正向。由牛顿第二定律有N-mg=ma当系统运动到最高位置时，加速度为负的最大值。即a=-amax=-A,止匕时N=mg-mamax=m(g-A，2)=mg-(-)2A=6,6N当系统运动到最低位置时a=amax=A.2止匕时N=mgmamax=m(gA2)=1.0(9.83.2)N=13N(2)物体跳离木板，应在最高位置时受木板的力2、N=mg-mamax二m(g

13、-A，)=0A=92=2=0.062m4二11-6如图所示，一质量为M的盘子系于竖直悬挂的轻弹簧的下端，弹簧的倔强系数为k0现有一质量m的物体自离盘h高处自由落下掉在盘中，没有反弹，以物体掉在盘上的瞬时作为计时起点。求盘子的振动表达式。（取物体掉在盘子后的平衡位置作为坐标原点，位移取向下为正）解：取物体掉在盘子里的平衡位置为坐标原点,y轴向下建立坐标系。这时弹簧伸长九2为(mM)g=k,2当t=0时，弹簧伸长为Mg-k111=所以，t=0时系统的位移为（Mm）g吗.y。-一（2-1）,一，-kk题11-6图mgk设此时系统的速度为V0,由动量守恒定律有m2gh=(Mm)v0Vom2ghMm且速

14、度向下与y轴方向相同，v0取正值。当物体落入盘中，且系统运动至坐标y处时，系统运动方程为(Mm)g-T=(Mm)吗dt此时弹簧伸长为y+%,因而T=k(y+%)(Mm)g-k(y2)=(Mm段dt由于k%=(M+m)g有d2yk2y=0出Mm方程解为y=Acos(to)由初始条件k=0时，义=一吧。=正kMmA,/,)2m22gh(Mm)2k(Mm)2kh=71(Mm)g0=arctanyoarctarmmM2gh(mgk二arctan2kh)、g(Mm)所以盘子的振动表达式为2khy=mg.k(Mm)gc0S(.Mmktarctan2kh),g(Mm)11-7如图所示，一弹簧振子由倔强系数k

15、的弹簧和质量M的物块组成,将弹簧一端与顶板相连。开始时物块静止，一颗质量为速度Uo的子弹由下而上射入物块，并留在物块中。求：(1)振子以后的振幅和周期；引nt(2)物体从初始位置运动到最高点所需的时间。题11-7图解：(1)以子弹射入物块后的平衡位置为原点，y轴向下，建立坐标系，这时弹簧伸长Mmy2gk子弹未射入物块时，弹簧伸长为y1=她。此时物体在坐标系中的位置kMmMgmgyo=-(y2-y1)=-(lg-)=kkk物块和子弹共同运动的速度v0(M+m)vo=-mu0vo=5Uo(负号表示方向向上)Mm当子弹射入物块，并且运动到y处时，系统的运动方程为(Mm)g-T=(Mm)d2ydt2此

16、时弹簧伸长为y2+y,故T=k(y2+y)于是有(Mm)g-k(y2y)=(Mm)dvdt2ky2=(Mm)g-ky=(Mm)d-ydtd22yky=o出Mm系统的振动方程为y=Acos(to)_.Mm由初始条件t=0时，y=yomg,V0=U0kMm2zVo2A0(.)（*）2k-mI2-u0M十m故系统振幅为22mg)2mu0k(Mm)k;:0=arctan(-v-)=arctan(y。mu0Mm)k(一mg)Mmk周期为T=2二（2）系统的振动方程为22(mg)2.mu0.k(Mm)kcos|JMtarctan(一mu。、I,一）g物块从初始位置运动到最高点时，y=-AI；k,costa

17、rctan(-|L；Mmku0)Mmg第一次到达最高点时tarctanU0)=二Mkm),M+mr_,/t=Varctan(飞11-8一水平放置的弹簧振子，已知物体经过平衡位置向右运动时速度v=1.0ms,周期T=1.0s,求再经过【s时间，物体的动能是原来的多少倍,3设弹簧的质量不计。解：取向右的方向为x轴的正向，设物体平衡位置为坐标原点，物体的振动方程为x=Acos(t%)2二由于T=1.0s,=2：,二T故x=Aco2：t0)将物体经过平衡位置向右运动时取为t=0时刻则x0=Acos0=0v0=1.0ms,=A=2A.1-：有A=,cos0=00=一一2二2因而物体振动方程为x=cos2

18、t-)2二2物体的振动速度为v=dx=-sin(2二t一一)dt21 rr2二二11当1=s时v=sin(-)=-sin(n)=-ms3 32621c1此时物体动能为Emv2mJ初始时刻物体动能为E=mv2E1即1/3秒后物体动能是原来的1/4。11-9一质量10g的物体作简谐振动，具振幅为24cm,周期为4.0s,当t=0时，位移为+24cm,求：(1)t=0.5s时，物体所在的位置；(2)t=0.5s时，物体所受力的大小与方向；(3)由起始位置运动到x=12cm处所需的最少时间；(4)在x=12cm处，物体的速度、动能以及系统的势能与总能量。解：令振动方程为x=Acos(+Q)2二二由题思

19、有A=24cm,T=4.0s,8=一=一且t=0时，Xo=A,cos%=1初相位邛0=0振动方程为x=(24costcn)2所以(1)t=0.5s时，x=24cos()=12*氏cm=17.0cm4d2x2/.、(2) F=ma=m2-m，Acos(，t+0)dt3223t=0.5s时，F=10黑10X24X10x(-)2黑cosN=-4.1910N24负号表示力的方向沿x轴负向。.1一一(3)当x=12cm时，cos(1)=,包相一t取值为2nn士一,(n=0,1,2,.)2223最少的时间-t=l,t-s233(4)x=12cm时，v=x=-12冗sin2t=12ncms,=32.6cms

20、,dt22正负号表示物体可能向x轴正向或负向运动。此时动能：Ek=1mv2=-1010*(32.610)2J=5.33104J22势能：Ep=；kx2,由co=，有k=mw2_1221_工二2_22.4.Epmx=-1010(-)(1210)J=1.7810J222题11-10图总能量：E-EpEk-7.11104Jp11-10如图所示，一个水平面上的弹簧振子，弹簧的倔强系数为k,所系物体的质量为M,振幅为A,有一质量m的物体从高度h处自由下落。当振子在最大位移处，物体正好题落在M上并粘在一起，这时振动系统的振动周期、振幅和振动能量有何变化？如果物体m是在振子到达平衡位置时落在M上，这些量又如

21、何？解：粘土未落在M上时系统的振动周期为MTo=k粘土落在M上时，系统的振动周期为丁=2、M+mkTTo当M正好处于最大位移处，即x=A时，止匕时v=0,粘土落下后，x方向速度仍为零，此时振子仍处于最大位移处，振幅不变。系统能量为kA2/2也小变。当M处于平衡位置时，系统在平衡位置x=0,此时kV=Vmax=A0。=A，A为系统原来的振幅,M粘土落下与M碰撞后的速度v可由动量守恒定律求出(Mm)v=MvMMAk、kMv=vA若粘土落下后M的振幅A,由初始条件x0=0,v0=vkMA.有A=.x0(v0)2=Mm_.；-MAkMmMmA，：A此时系统能量为E=1kAkA21kA2-E22MmMm

22、2MmE=1kA2为粘土未落下时系统的能量，211-11在光滑的桌面上，有倔强系数分别为ki与k2的两个弹簧以及质量为m的物体，构成两种弹簧振子，如图所示，试求这两种系统的固有角频率kk，1,77777777777777777777777/解：(1)由图(b)所示，设弹簧原长分别为li、%,平衡时弹簧的伸长量分别为A11和Al2,如不计物体尺寸。则111122=Lkili=k212以平衡点O为坐标原点，x轴向右建立坐标系，当小球向x轴正向移动x时，物体受力f=f1f2-*1alix)k2ai2-x)由于kAl1=k2Al2,因而f=-(k1k2)xd2x物体运动方程为-(k1+k2)x=mdt

23、2题11-11图2dxk1k22x=0dtm物体作简谐振动，振动角频率为.二K巾其周期为m:k1k2(2)由图(c)所示，以物体不受力，弹簧自然伸长时，物体位置为原点建立坐标系。当物体在位移x处时，若弹簧匕的伸长为弹簧k2的伸长为此,则x1x2=xk1x1=k2x2解得：x1二一xk1k2x2=k1k1k2物体受力f=k2；：x2k1k2物体的运动方程为k1k2d2xx=m-2(kk2)dtd2xkk2x二0dtm(k1k2)物体同样作简谐振动,振动角频率为k1k2；m(k1k2)2一振动周期为T=2二m(k1k2)k1k211-12如图所示，轻质弹簧的一端固定，另一端系一轻纯，轻绳绕过滑轮连

24、接一质量m的物体,纯在轮上不打滑，使物体上下自由振动，已知弹簧的倔强系数为k,滑轮的半径为R,转动惯量为J(1)证明物体作简谐振动(2)求物体的振动周期题(3)设t=0,弹簧无伸缩，物体也无初速度，写出物体的振动表达式。解：(1)以系统静止时，物体m的位置为坐标原点，坐标轴垂直向下建立坐标系，设此时弹簧伸长为x1,由牛顿运动定律有题11-12图mg-T1=0T1R-T2R=0可得mg=kx1mg*一k当物体在x处时，物体和滑轮的运动方程为d2xmg-T1=m-pT1R-T2R=/T2=k(x1x)d2xdt2解方程-，可得(乂+m)R2=mg-k(xx)由于mg=kx1d2xm)-2二-kxd

25、tdt22x=0mJR2由此证明物体做简谐振动。(2)振动圆频率为物体振动周期为T二2二co=2兀(3)设振动方程为x=Acos(t0)mJR2由初始条件，t=0时，v0=0,x0=x1=mk22.V0x0+=xcos0-1；：0二物体振动表达式为mg/k,、xcos(2t二)k,mJR11-13如图所示，一长为l、质量为m的均匀细棒，用两根长L的细绳分别拴在棒的两端，把棒悬挂起来，若棒绕通过中心的竖直轴OO作小角度的摆动，试确定其周期解：细棒受力分析如图所示。将纯中张力分解，在竖直方向上有2Fcos-mg在水平方向上的分力构成一对力偶，力矩的大小为M=Flsin11.结合式有M=mgltan

26、?2题11-13图1.-mgltand2;dt2在小角度近似下有tanu代入式有-mgl22Ld2:=J2dt细棒绕中心轴转动惯量J=12ml21ml122d2：122二mgl2:dt24L振动角频率为=、3g,L振动周期为T=2二031g力矩的方向与细棒角位移方向相反，由定轴转动定律11-14在简谐振动中，当位移为振幅的一半时，总能量中有多大一部分为动能，多大一部分为势能？在多大位移处动能与势能相等?解：在简谐振动中物体总能量121,212E=mvkx=kA222其中A为振幅当x=A时2Ep-22kA2E4Ek12123=E-EpkA-kA工p24412kA2即总能量中有3/4为动能，1/4

27、为势能若Ek=Ep,由于Ek+Ep=E一1112故Ep=EkEkAp222这时若物体位移为x1,则1kxi2=1kA2,x1=土2A2222即在位移土亘处，动能和势能相等。211-15两个同方向的简谐振动，周期相同，振幅分别为A=0.05m,A2=0.07m,合成后组成一个振幅为0.09m的简谐振动，求两个分振动的相位解：由同方向、同频率振动合成公式A=.A2A2A1A2cos：:有8s中=a22-N=(609)2-。05)2-。07)2=012AA220.050.07=二841611-16一质点同时参与两个在同一直线上的简谐振动:二5二x1=0.04cos(2t)x2=0.03coS2J)66试求合振动的振幅与初相位(式中x以m计，t以s计),解：由3TXi=0.04cos2t)m6一一一5二.x2=0.03cos(2t