初一数学绝对值知识点经典例题

1、-绝对值的性质及化简【绝对值的几何意义】一个数的绝对值就是数轴上表示数的点与原点的距离.数的绝对值记作.距离具有非负性【绝对值的代数意义】一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.注意：取绝对值也是一种运算，运算符号是| |，求一个数的绝对值，就是根据性质去掉绝对值符号.绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；的绝对值是.绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0.任何一个有理数都是由两局部组成：符号和它的绝对值，如：符号是负号，绝对值是.【求字母的绝对值】利用绝对值比拟两个负有理数的大小：两个负数，绝对值大的反而小.绝对值非负性：

2、|a|0如果假设干个非负数的和为0，则这假设干个非负数都必为0.例如：假设，则，【绝对值的其它重要性质】1任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即，且；2假设，则或；3；4；5|a|-|b|ab|a|+|b|的几何意义：在数轴上，表示这个数的点离开原点的距离的几何意义：在数轴上，表示数对应数轴上两点间的距离【去绝对值符号】根本步骤，找零点，分区间，定正负，去符号。【绝对值不等式】1解绝对值不等式必须设法化去式中的绝对值符号，转化为一般代数式类型来解；2证明绝对值不等式主要有两种方法：A去掉绝对值符号转化为一般的不等式证明：换元法、讨论法、平方法；B利用不等式：|a|-|b|

3、a+b|a|+|b|，用这个方法要对绝对值的式子进展分拆组合、添项减项、使要证的式子与的式子联系起来。【绝对值必考题型】例1：|*2|y3|0，求*+y的值。解：由绝对值的非负性可知*2 0，y30； 即：*=2，y =3；所以*+y=5 判断必知点： 相反数等于它本身的是 0 倒 数等于它本身的是 1 绝对值等于它本身的是 非负数 【例题精讲】一绝对值的非负性问题1. 非负性：假设有几个非负数的和为0，则这几个非负数均为0.2. 绝对值的非负性；假设，则必有，【例题】假设，则。总结：假设干非负数之和为0，。【稳固】假设，则【稳固】先化简，再求值：其中、满足.二绝对值的性质【例1】假设a0，则

4、4a+7|a|等于A11a B-11a C-3a D3a【例2】一个数与这个数的绝对值相等，则这个数是A1，0 B正数 C非正数 D非负数【例3】|*|=5，|y|=2，且*y0，则*-y的值等于A7或-7 B7或3 C3或-3 D-7或-3【例4】假设，则*是A正数 B负数 C非负数 D非正数【例5】：a0，b0，|a|b|1，则以下判断正确的选项是A1-b-b1+aaB1+aa1-b-bC1+a1-ba-bD1-b1+a-ba【例6】ab互为相反数，且|a-b|=6，则|b-1|的值为A2 B2或3 C4 D2或4【例7】a0，ab0，计算|b-a+1|-|a-b-5|，结果为A6 B-4

5、C-2a+2b+6D2a-2b-6【例8】假设|*+y|=y-*，则有Ay0，*0 By0，*0 Cy0，*0 D*=0，y0或y=0，*0【例9】：*0z，*y0，且|y|z|*|，则|*+z|+|y+z|-|*-y|的值A是正数B是负数C是零D不能确定符号【例10】给出下面说法：1互为相反数的两数的绝对值相等；2一个数的绝对值等于本身，这个数不是负数；3假设|m|m，则m0；4假设|a|b|，则ab，其中正确的有A123 B124 C134 D234【例11】a，b，c为三个有理数，它们在数轴上的对应位置如下图，则|c-b|-|b-a|-|a-c|= _【稳固】知a、b、c、d都是整数，且

6、|a+b|+|b+c|+|c+d|+|d+a|=2，求|a+d|的值。【例12】假设*-2，则|1-|1+*|=_假设|a|=-a，则|a-1|-|a-2|= _【例13】计算= 【例14】假设|a|+a=0，|ab|=ab，|c|-c=0，化简：|b|-|a+b|-|c-b|+|a-c|= _【例15】数的大小关系如下图，则以下各式：；其中正确的有请填写番号【稳固】：abc0，且M=，当a，b，c取不同值时，M有 _种不同可能当a、b、c都是正数时，M= _；当a、b、c中有一个负数时，则M= _；当a、b、c中有2个负数时，则M= _；当a、b、c都是负数时，M=_ 【稳固】是非零整数，且

7、，求的值三绝对值相关化简问题零点分段法零点分段法的一般步骤：找零点分区间定符号去绝对值符号【例题】阅读以下材料并解决相关问题：我们知道，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式时，可令和，分别求得称分别为与的零点值，在有理数围，零点值和可将全体有理数分成不重复且不易遗漏的如下中情况：当时，原式当时，原式当时，原式综上讨论，原式1求出和的零点值 2化简代数式解：1|*+2|和|*-4|的零点值分别为*=-2和*=42当*-2时，|*+2|+|*-4|=-2*+2； 当-2*4时，|*+2|+|*-4|=6； 当*4时，|*+2|+|*-4|=2*-2 【稳固】化简1. 2.的

8、值3.4. (1)；变式5.的最小值是，的最大值为，求的值。四表示数轴上表示数、数的两点间的距离【例题】距离问题观察以下每对数在数轴上的对应点间的距离 4与，3与5，与，与3. 并答复以下各题：(1) 你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗.答：.(2) 假设数轴上的点A表示的数为*，点B表示的数为1，则A与B两点间的距离可以表示为.(3) 结合数轴求得|*-2|+|*+3|的最小值为，取得最小值时*的取值围为.(4) 满足的的取值围为 .(5) 假设的值为常数，试求的取值围五、绝对值的最值问题例题1: 1当*取何值时，|*-1|有最小值，这个最小值是多少.2)当*取何值时，|*-

9、1|+3有最小值，这个最小值是多少.3)当*取何值时，|*-1|-3有最小值，这个最小值是多少.4当*取何值时，-3+|*-1|有最小值，这个最小值是多少.例题2：1当*取何值时，-|*-1|有最大值，这个最大值是多少.2)当*取何值时，-|*-1|+3有最大值，这个最大值是多少.3)当*取何值时，-|*-1|-3有最大值，这个最大值是多少.4当*取何值时，3-|*-1|有最大值，这个最大值是多少.假设想很好的解决以上2个例题，我们需要知道如下知识点：、1非负数：0和正数，有最小值是02非正数：0和负数，有最大值是03任意有理数的绝对值都是非负数，即|a|0，则-|a|04*是任意有理数，m是

10、常数，则|*+m|0，有最小值是0， -|*+m|0有最大值是0可以理解为*是任意有理数，则*+a依然是任意有理数，如|*+3|0，-|*+3|0或者|*-1|0，-|*-1|05*是任意有理数，m和n是常数，则|*+m|+nn，有最小值是n-|*+m|+nn，有最大值是n(可以理解为|*+m|+n是由|*+m|的值向右(n0)或者向左n0)平移了|n|个单位，为如|*-1|0，则|*-1|+33，相当于|*-1|的值整体向右平移了3个单位，|*-1|0，有最小值是0，则|*-1|+3的最小值是3总结：根据3、4)、5可以发现，当绝对值前面是+号时，代数式有最小值，有-号时，代数式有最大值 .

11、 例题1：1 ) 当*取何值时，|*-1|有最小值，这个最小值是多少.2)当*取何值时，|*-1|+3有最小值，这个最小值是多少.3)当*取何值时，|*-1|-3有最小值，这个最小值是多少. 4 当*取何值时，-3+|*-1|有最小值，这个最小值是多少.解： 1当*-1=0时，即*=1时，|*-1|有最小值是02当*-1=0时，即*=1时，|*-1|+3有最小值是33当*-1=0时，即*=1时，|*-1|-3有最小值是-34此题可以将-3+|*-1|变形为|*-1|-3，即当*-1=0时，即*=1时，|*-1|-3有最小值是-3例题2：1当*取何值时，-|*-1|有最大值，这个最大值是多少.2

12、)当*取何值时，-|*-1|+3有最大值，这个最大值是多少.3)当*取何值时，-|*-1|-3有最大值，这个最大值是多少.4当*取何值时，3-|*-1|有最大值，这个最大值是多少.解：1当*-1=0时，即*=1时，-|*-1|有最大值是02当*-1=0时，即*=1时，-|*-1|+3有最大值是33当*-1=0时，即*=1时，-|*-1|-3有最大值是-34)3-|*-1|可变形为-|*-1|+3可知如2问一样，即：当*-1=0时，即*=1时，-|*-1|+3有最大值是3同学们要学会变通哦 思考：假设*是任意有理数，a和b是常数，则1|*+a|有最大小值.最大小值是多少.此时*值是多少.2|*+

13、a|+b有最大小值.最大小值是多少.此时*值是多少.3) -|*+a|+b有最大小值.最大小值是多少.此时*值是多少.例题3：求|*+1|+|*-2|的最小值，并求出此时*的取值围分析：我们先回忆下化简代数式|*+1|+|*-2|的过程：可令*+1=0和*-2=0，得*=-1和*=2-1和2都是零点值 在数轴上找到-1和2的位置，发现-1和2将数轴分为5个局部 1当*-1时，*+10，*-20，则|*+1|+|*-2|=-*+1-(*-2)=-*-1-*+2=-2*+12当*=-1时，*+1=0，*-2=-3，则|*+1|+|*-2|=0+3=33当-1*0，*-22时，*+10，*-20，则

14、|*+1|+|*-2|=*+1+*-2=2*-1我们发现：当*3 当-1*2时，|*+1|+|*-2|=3 当*2时，|*+1|+|*-2|=2*-13 所以：可知|*+1|+|*-2|的最小值是3，此时：-1*2 解：可令*+1=0和*-2=0，得*=-1和*=2-1和2都是零点值 则当-1*2时，|*+1|+|*-2|的最小值是3 评：假设问代数式|*+1|+|*-2|的最小值是多少.并求*的取值围.一般都出现填空题居多；假设是化简代数式|*+1|+|*-2|的常出现解答题中。所以，针对例题中的问题，同学们只需要最终记住先求零点值，*的取值围在这2个零点值之间，且包含2个零点值。例题4：求

15、|*+11|+|*-12|+|*+13|的最小值，并求出此时*的值.分析：先回忆化简代数式|*+11|+|*-12|+|*+13|的过程可令*+11=0，*-12=0，*+13=0得*=-11，*=12，*=-13-13，-11,12是此题零点值1当*-13时，*+110，*-120，*+130，则|*+11|+|*-12|+|*+13|=-*-11-*+12-*-13=-3*-122当*=-13时，*+11=-2，*-12=-25，*+13=0，则|*+11|+|*-12|+|*+13|=2+25+13=403当-13*-11时，*+110，*-120，则|*+11|+|*-12|+|*+1

16、3|=-*-11-*+12+*+13=-*+144当*=-11时，*+11=0，*-12=-23，*+13=2，则|*+11|+|*-12|+|*+13|=0+23+2=255当-11*0，*-120，则|*+11|+|*-12|+|*+13|=*+11-*+12+*+13=*+366当*=12时，*+11=23，*-12=0，*+13=25，则|*+11|+|*-12|+|*+13|=23+0+25=487） 当*12时，*+110，*-120，*+130，则|*+11|+|*-12|+|*+13|=*+11+*-12+*+13=3*+12可知：当*27当*=-13时，|*+11|+|*-1

17、2|+|*+13|=40当-13*-11时，|*+11|+|*-12|+|*+13|=-*+14 ,25-*+14 27当*=-11时，|*+11|+|*-12|+|*+13|=25当-11*12时，|*+11|+|*-12|+|*+13|=*+36,25*+3612时，|*+11|+|*-12|+|*+13|=3*+1248观察发现代数式|*+11|+|*-12|+|*+13|的最小值是25，此时*=-11解：可令*+11=0，*-12=0，*+13=0得*=-11，*=12，*=-13-13，-11,12是此题零点值将-11,12，-13从小到大排列为-13-11b Ba=b Ca时，发现

18、，这两条线段的和随*的增大而越来越大；当*时，发现，这两条线段的和随*的减小而越来越大；当* 时，发现，无论*在这个围取何值，这两条线段的和是一个定值，且比、情况下的值都小。因此，总结，|*-2|+|*+3|有最小值，即等于到的距离。6. 利用数轴分析|*+7|-|*-1| ，这个式子表示的是*到-7的距离与*到1的距离之差它表示两条线段相减：当*时，发现，无论*取何值，这个差值是一个定值；当*时，发现，无论*取何值，这个差值是一个定值 ；当时，随着增大，这个差值渐渐由负变正，在中点处是零。 因此，总结，式子|*+7|-|*-1| 当*时，有最大值 ；当*时，有最小值；7设，则的值是 A-3

19、B1 C3或-1 D-3或18设分别是一个三位数的百位、十位和个位数字，并且，则可能取得的最大值是 绝对值零点分段法、化简、最值一、去绝对值符号的几种常用方法解含绝对值不等式的根本思路是去掉绝对值符号，使不等式变为不含绝对值符号的一般不等式，而后，其解法与一般不等式的解法一样。因此掌握去掉绝对值符号的方法和途径是解题关键。1利用定义法去掉绝对值符号根据实数含绝对值的意义，即|=，有|2利用不等式的性质去掉绝对值符号利用不等式的性质转化|(0)来解，如|(0)可为或；|可化为+，再由此求出原不等式的解集。对于含绝对值的双向不等式应化为不等式组求解，也可利用结论|或来求解，这是种典型的转化与化归的

20、数学思想方法。3利用平方法去掉绝对值符号对于两边都含有单项绝对值的不等式，利用|=可在两边脱去绝对值符号来解，这样解题要比按绝对值定义去讨论脱去绝对值符号解题更为简捷，解题时还要注意不等式两边变量与参变量的取值围，如果没有明确不等式两边均为非负数，需要进展分类讨论，只有不等式两边均为非负数(式)时，才可以直接用两边平方去掉绝对值，尤其是解含参数不等式时更必须注意这一点。4利用零点分段法去掉绝对值符号所谓零点分段法，是指：假设数，分别使含有|，|，|的代数式中相应绝对值为零，称，为相应绝对值的零点，零点，将数轴分为+1段，利用绝对值的意义化去绝对值符号，得到代数式在各段上的简化式，从而化为不含绝

21、对值符号的一般不等式来解，即令每项等于零，得到的值作为讨论的分区点，然后再分区间讨论绝对值不等式，最后应求出解集的并集。零点分段法是解含绝对值符号的不等式的常用解法，这种方法主要表达了化归、分类讨论等数学思想方法，它可以把求解条理化、思路直观化。5利用数形结合去掉绝对值符号解绝对值不等式有时要利用数形结合，利用绝对值的几何意义画出数轴，将绝对值转化为数轴上两点间的距离求解。数形结合法较为形象、直观，可以使复杂问题简单化，此解法适用于或(为正常数)类型不等式。对(或)，当|时一般不用。二、如何化简绝对值绝对值的知识是初中代数的重要容，在中考和各类竞赛中经常出现，含有绝对值符号的数学问题又是学生遇

22、到的难点之一，解决这类问题的方法通常是利用绝对值的意义，将绝对值符号化去，将问题转化为不含绝对值符号的问题，确定绝对值符号局部的正负，借以去掉绝对值符号的方法大致有三种类型。一、根据题设条件例1：设*-1，化简2-2-*-2的结果是 。A2-* B2+* C-2+* D-2-*思路分析：由*-1可知*-2-30可化去第一层绝对值符号，第二次绝对值符号待合并整理后再用同样方法化去解：2-2-*-2=2-2-(2-*)=2- *=2-(-*)=2+*应选B归纳点评:只要知道绝对值将合的代数式是正是负或是零，就能根据绝对值意义顺利去掉绝对值符号，这是解答这类问题的常规思路二、借助数轴例2：实数a、b

23、、c在数轴上的位置如下图，则代数式|a|-|a+b|+|c-a|+|b-c|的值等于 A-a B2a-2b C2c-a Da思路分析:由数轴上容易看出ba0c,所以a+bc,c-a0，b-c0， 所以原式=2*-2-(*+4)=*-8；当-4*2时，*-20, *+40，所以原式= -2*-2-(*+4)=-3*；当*-4时，*-20, *+40时， a=a (性质1：正数的绝对值是它本身) ； 当a=0 时， a=0 (性质 2：0的绝对值是0) ； 当a0时，a+b=(a+b) =a +b (性质1：正数的绝对值是它本身) ； 当a+b=0 时，a+b=(a+b) =0(性质 2：0的绝对

24、值是0)； 当a+bb时，a-b=a-b= a-b，b-a=a-b= a-b 。口诀：无论是大减小，还是小减大，去掉绝对值，都是大减小。4、对于数轴型的一类问题，根据3的口诀来化简，更快捷有效。如a-b的一类问题，只要判断出a在b的右边不管正负，便可得到a-b=a-b=a-b，b-a=a-b=a-b 。5、对于绝对值符号前有正、负号的运算非常简单，去掉绝对值符号的同时，不要忘记打括号。前面是正号的无所谓，如果是负号，忘记打括号就惨了，差之毫厘失之千里也！6、对于绝对值号里有三个数或者三个以上数的运算万变不离其宗，还是把绝对值号里的式子看成一个整体，把它与0比拟，大于0直接去绝对值号，小于0的整

25、体前面加负号。四、去绝对值化简专题练习1设*-1化简2-2-*-2的结果是 。A2-* B2+* C-2+* D-2-*2实数a、b、c在数轴上的位置如下图，则代数式|a|-|a+b|+|c-a|+|b-c|的值等于 A-a B2a-2b C2c-a Da3*2，化简2|*-2|-|*+4|的结果是 *-8 。 4*-4，化简2|*-2|-|*+4|的结果是 -*+8 。 5-4*2，化简2|*-2|-|*+4|的结果是 -3* 。 6a、b、c、d满足a-1b0c1-a，则有A 。Aa0 Ba0 Ca-1 D-1a08有理数a、b、c在数轴上的位置如下图，则式子|a|+|b|+|a+b|+|

26、b-c| 化简结果为C A2a+3b-c B3b-c Cb+c Dc-b9 有理数a、b在数轴上的对应点如下图，则以下四个式子，a+b，b-2a，|a-b|，|a|-|b| 中负数的个数是B A0 B1 C2 D3(10) 化简|*+4|+2|*-2|=(1)-3* (*2)(11) 设*是实数，y=|*-1|+|*+1| 以下四个结论中正确的选项是D 。Ay没有最小值B有有限多个*使y取到最小值C只有一个*使y取得最小值D有无穷多个*使y取得最小值变式1. 假设|m1|=m1，则m_1; 假设|m1|m1，则m_1;变式2.的最小值是，的最大值为，求的值。【绝对值化简题例】绝对值化简公式：例

27、题1：化简代数式|*-1|解：可令*-1=0，得*=11叫零点值根据*=1在数轴上的位置，发现*=1将数轴分为3个局部1当*1时，*-11时，*-10，则|*-1|=*-1另解，在化简分组过程中我们可以把零点值归到零点值右侧的局部1当*1时，*-10，则|*-1|=-(*-1)=-*+12当*1时，*-10，则|*-1|=*-1例题2：化简代数式|*+1|+|*-2|解：可令*+1=0和*-2=0，得*=-1和*=2-1和2都是零点值在数轴上找到-1和2的位置，发现-1和2将数轴分为5个局部1当*-1时，*+10，*-20，则|*+1|+|*-2|=-*+1-(*-2)=-*-1-*+2=-2

28、*+12当*=-1时，*+1=0，*-2=-3，则|*+1|+|*-2|=0+3=33当-1*0，*-22时，*+10，*-20，则|*+1|+|*-2|=*+1+*-2=2*-1另解，将零点值归到零点值右侧局部1当*-1时，*+10，*-20，则|*+1|+|*-2|=-*+1-(*-2)=-*-1-*+2=-2*+12当-1*2时，*+10，*-20，*-20，则|*+1|+|*-2|=*+1+*-2=2*-1例题3：化简代数式|*+11|+|*-12|+|*+13|解：可令*+11=0，*-12=0，*+13=0得*=-11，*=12，*=-13-13，-11,12是此题零点值1当*-13时，*+110，*-120，*+130，则|*+11|+|*-12|+|*+13|=-*-11-*+12-*-13=-3*-122当*=-13时，*+11=-2，*-12=-25，*+13=0，则|*+11|+|*-12|+|*+13|=2+25+13=40