理论力学第二章课件

1、第二章第二章平面汇交平面汇交力系分类：力系分类：平面力系平面力系空间力系空间力系第第 2 2 章章第第 2 2 章章 第第 3 3 章章第第 4 4 章章第第 5 5 章章专门问题专门问题第二章第二章本章本章主要内容主要内容 几何法几何法 解析法解析法本章讨论平面汇交力系两个问题本章讨论平面汇交力系两个问题: :1 1 、合成合成（简化）（简化）2 2 、平衡平衡研究方法：研究方法：1 1 、 几何法几何法（矢量法）（矢量法）2 2 、解析法解析法（投影法（投影法) )静力学静力学/第二章：平面汇交力系与平面力偶系第二章：平面汇交力系与平面力偶系2-1 2-1 平面汇交力系合成与平衡的平面汇交

2、力系合成与平衡的几何法几何法一、合成一、合成1 1、两个力的合成、两个力的合成用平行四边形法则即可用平行四边形法则即可21FFFR2 2、多个力的合成、多个力的合成以四个力的情况为例以四个力的情况为例 FRF1F2F3F4力多边形；力多边形；合力合力 为为力多边形的力多边形的封闭边封闭边。4321FFFFFRFR作用线通过汇交点作用线通过汇交点A。RF静力学静力学/第二章：平面汇交力系与平面力偶系第二章：平面汇交力系与平面力偶系O 设平面汇交力系由设平面汇交力系由n个力个力 （i = 1,2,n）组成组成, ,记记为为 。 根据平行四边形法则，将各力依次两两合成（或根据平行四边形法则，将各力依

3、次两两合成（或由力多边形法则合成），可将汇交力系合成为一个由力多边形法则合成），可将汇交力系合成为一个合力（记为合力（记为 ）。汇交力系合力的矢量表达式为。汇交力系合力的矢量表达式为 nii1RFF 结论：结论：汇交力系的合成结果是一合力，合力的大小和汇交力系的合成结果是一合力，合力的大小和方向由各力的矢量和确定，作用线通过汇交点。方向由各力的矢量和确定，作用线通过汇交点。 3 3、n个力的合成个力的合成静力学静力学/第二章：平面汇交力系与平面力偶系第二章：平面汇交力系与平面力偶系nFFFF,321iFRFF1FRFR2FR1F4F3F2 合力矢合力矢 与各分力矢的作图顺序无关与各分力矢的作图

4、顺序无关O静力学静力学/第二章：平面汇交力系与平面力偶系第二章：平面汇交力系与平面力偶系OF2F1F4F3FR利用力多边形法则注意问题：利用力多边形法则注意问题： 各分力矢必须首尾相接各分力矢必须首尾相接合力从第一个力矢的始端指向最后一个力矢的末端合力从第一个力矢的始端指向最后一个力矢的末端按力的比例尺准确地画各力的大小和方向按力的比例尺准确地画各力的大小和方向RF力多边形合成的结论力多边形合成的结论 平面汇交力系合成的结果是平面汇交力系合成的结果是一个合力一个合力，合力，合力的作用线通过汇交点，大小和方向由力多边形的的作用线通过汇交点，大小和方向由力多边形的封闭边封闭边表示表示nRFFFF2

5、1nii1FF二、平衡二、平衡平衡的结论平衡的结论:受平面汇交力系作用的刚体，平衡受平面汇交力系作用的刚体，平衡0RF0F静力学静力学/第二章：平面汇交力系与平面力偶系第二章：平面汇交力系与平面力偶系平衡的几何条件：平衡的几何条件：0RF力多边形力多边形自行封闭自行封闭几何法的几何法的优点优点：直观；：直观； 缺点缺点：求解需作图，精度不高。：求解需作图，精度不高。静力学静力学/第二章：平面汇交力系与平面力偶系第二章：平面汇交力系与平面力偶系2-2 2-2 平面汇交力系合成与平衡的解析法平面汇交力系合成与平衡的解析法一、力在正交坐标轴上的投影一、力在正交坐标轴上的投影cosFX ,cosFX,

6、22YXFcosFY sinFl 力在坐标轴上的投影是力在坐标轴上的投影是标量标量l 注意投影的注意投影的正负号正负号l 已知投影求力的大小和方向已知投影求力的大小和方向FYcos静力学静力学/第二章：平面汇交力系与平面力偶系第二章：平面汇交力系与平面力偶系二、力的解析表达式二、力的解析表达式,XiFx设沿坐标轴方向的单位矢量设沿坐标轴方向的单位矢量为为l 注意注意分力分力与与投影投影的的区别区别与与联系联系。则力沿坐标轴方向的分力：则力沿坐标轴方向的分力：jFYyyxFFFjiYX则有：则有：ji,ij* *分力是矢量，分力是矢量，投影是标量。投影是标量。 * *当坐标轴非正交时，大小也不相

7、等。当坐标轴非正交时，大小也不相等。静力学静力学/第二章：平面汇交力系与平面力偶系第二章：平面汇交力系与平面力偶系* *当坐标轴非正交时，大小也不相等当坐标轴非正交时，大小也不相等l注意注意分力分力与与投影投影的的区别区别与与联系联系FxyoxFyFXYYFXFyx,即：即：静力学静力学/第二章：平面汇交力系与平面力偶系第二章：平面汇交力系与平面力偶系三、合力投影定理三、合力投影定理定理定理：合力在任一轴上的投影等于各分力在同：合力在任一轴上的投影等于各分力在同一轴上投影的代数和。一轴上投影的代数和。即即： 若若nRFFFF21则则nxRXXXF21XnyRYYYF21Y四、合成四、合成由合力

8、投影定理，合力的投影为：由合力投影定理，合力的投影为：,XFxRYFyR,22yRxRRFFF合力的大小和方向为：合力的大小和方向为：xRyRFFtan静力学静力学/第二章：平面汇交力系与平面力偶系第二章：平面汇交力系与平面力偶系五、平衡五、平衡受平面汇交力系作用的刚体，平衡受平面汇交力系作用的刚体，平衡0RF而而22yRxRRFFF所以所以0RF0 xRF0yRF即：即：受平面汇交力系作用的刚体，平衡受平面汇交力系作用的刚体，平衡0X0Y平面汇交力系有平面汇交力系有两个两个独立的独立的平衡方程平衡方程，可解，可解两两个个未知量。未知量。0X0Y静力学静力学/第二章：平面汇交力系与平面力偶系第

9、二章：平面汇交力系与平面力偶系用平衡方程解题的用平衡方程解题的一般步骤一般步骤：1 1、确定研究对象，画出、确定研究对象，画出 研究对象的受力图研究对象的受力图2 2、建立坐标系、建立坐标系3 3、列出平衡方程、列出平衡方程4 4、解出未知量、解出未知量静力学静力学/第二章：平面汇交力系与平面力偶系第二章：平面汇交力系与平面力偶系例例1 1：图示结构，已知图示结构，已知P=10 kN，AC = CB，AB与与CD夹夹角如图，各杆自重不计。角如图，各杆自重不计。求求：A处反力和处反力和CD杆受力杆受力。解解：取：取AB为研究对象。为研究对象。 受力如图受力如图ABCFAxFAyPFCABCPFC

10、EFA 45 o建立坐标如图建立坐标如图列平衡方程列平衡方程xy0X0YcosAF45cosCF0sinAF45sinCFP0静力学静力学/第二章：平面汇交力系与平面力偶系第二章：平面汇交力系与平面力偶系0X0YcosAF45cosCF0sinAF45sinCFP0由几何关系：由几何关系：,52cos51sin解出：解出：,5(kN)3 .22PFA(kN)28.2822PFC说明说明：FA的的负号负号表示它的实际方向与图示的假设方向相反。表示它的实际方向与图示的假设方向相反。解题要求解题要求:(1):(1)对象；（对象；（2 2）受力图（注意二力构件，三力平衡汇）受力图（注意二力构件，三力平

11、衡汇交）；交）；(3)(3)坐标；（坐标；（4 4）平衡方程；）平衡方程； （5 5）求解）求解 。静力学静力学/第二章：平面汇交力系与平面力偶系第二章：平面汇交力系与平面力偶系ABCFAxFAyPFCABCPFCEFA 45 oxy例例2 2：图示图示A、B两轮的自两轮的自重比为重比为FGA/FGB =3，AB杆自重不计，摩擦不计。杆自重不计，摩擦不计。求求：平衡时的：平衡时的 角。角。解解：1 1、取取A轮为对象，轮为对象， 受力如图。受力如图。取坐标系如图取坐标系如图aA30oFGA xy30oFN1F10X30sinGAFcos1F0( 1 )静力学静力学/第二章：平面汇交力系与平面力

12、偶系第二章：平面汇交力系与平面力偶系a60o30oAB aBFGBF2FN2 60oxy2 2、取取B轮为对象，受力轮为对象，受力如图。如图。 取图示坐标系。取图示坐标系。0Xsin2F60sinGBF0( 2 )又又AB杆为二力杆杆为二力杆21FF ( 3 )由式由式(1),(2),(3)(1),(2),(3)可解出：可解出：GAGBFF3tan所以：所以： 3033静力学静力学/第二章：平面汇交力系与平面力偶系第二章：平面汇交力系与平面力偶系a60o30oAB 30sinGAFcos1F0( 1 )2 - 3 2 - 3 平面力对点之矩的概念和计算平面力对点之矩的概念和计算一、力对点的矩一

13、、力对点的矩力矩：力矩：是力使物体绕一点转动作用的度量。是力使物体绕一点转动作用的度量。定义：定义：FhMo)(F o 力矩中心，简称力矩中心，简称矩心矩心； h 力臂；力臂；l 正负号规定：正负号规定：逆时针为逆时针为正正；顺时针为；顺时针为负负；l 平面内力对点的矩是平面内力对点的矩是标量标量；l 力矩的单位：力矩的单位：N m ，或或 kN m 。力矩的几何表示：力矩的几何表示： Mo ( F ) = 2 OAB面积面积FrFM)(0力矩的矢量表示：力矩的矢量表示：大小：大小： ；方向：满足右手法则方向：满足右手法则静力学静力学/第二章：平面汇交力系与平面力偶系第二章：平面汇交力系与平面

14、力偶系FABOrhaFhFrsin二、力矩的基本性质二、力矩的基本性质1 1、力沿作用线移动时，、力沿作用线移动时， 力矩保持不变。力矩保持不变。0)(FoM0F0h2、力的作用线通过矩心力的作用线通过矩心三、合力矩定理三、合力矩定理定理定理：平面汇交力系的合力对于平面内任一点：平面汇交力系的合力对于平面内任一点的矩，等于所有分力对该点的矩的代数和。的矩，等于所有分力对该点的矩的代数和。即即：若：若nRFFFF21则：则：)(RoMF)(ioMF)(1FoM)(2FoM)(noMF静力学静力学/第二章：平面汇交力系与平面力偶系第二章：平面汇交力系与平面力偶系FhMo)(FFABOrha三、合力

15、矩定理三、合力矩定理)(RoM F)(ioM F)(1FoM)(2FoM)(noM F证明证明：设平面汇交力系如图示设平面汇交力系如图示 在力的作用面内取一点在力的作用面内取一点O，到汇交点到汇交点A的矢径记为的矢径记为rnRFFFF21由合力由合力以以r矢积矢积nRrrrrFFFF21有有)(RoMF)(ioMF)(1FoM)(2FoM)(noMF静力学静力学/第二章：平面汇交力系与平面力偶系第二章：平面汇交力系与平面力偶系A1FnFiF2FOr xyOA(x, y)F例例3 3、已知、已知 , 与与 x 轴夹轴夹角为角为，作用点作用点 A( x, y ).求求： 。解解：FyFxxy直接根

16、据定义计算时直接根据定义计算时，力臂的计算较麻烦。，力臂的计算较麻烦。利用合力矩定理求解。利用合力矩定理求解。,cosFX sinFY )()()(xoyooMMMFFFxY yXxYMo)(F所以：所以：力矩的解析公式力矩的解析公式力沿坐标轴方向的投影为：力沿坐标轴方向的投影为：yX F)(FMO静力学静力学/第二章：平面汇交力系与平面力偶系第二章：平面汇交力系与平面力偶系 Pxxdxh例例4 4：作用在梁作用在梁AB分布载荷如分布载荷如图示，载荷集度图示，载荷集度q, 梁长梁长l 。求求：分布力的合力的大小：分布力的合力的大小及合力作线位置及合力作线位置。解解： 分布力的载荷集度分布力的载

17、荷集度 q 单位长度上的力，单位为：单位长度上的力，单位为： N/m , 或或 kN/m 。1) 1) 求合力的大小：求合力的大小：设合力为设合力为P，作用线距作用线距A点为点为 h 。建立建立x坐标如图。坐标如图。取取x处处微段微段dx , 设设x处的载荷集度为处的载荷集度为q(x)。q(x)静力学静力学/第二章：平面汇交力系与平面力偶系第二章：平面汇交力系与平面力偶系1) 1) 求合力的大小求合力的大小取取x处处微段微段dx , 设设x处的载处的载荷集度为荷集度为q (x)。qxq)(xlqxq)(则则xxqPd)(d所以所以lxxqP0d)(lxxlq0dql21由几何关系，得由几何关系

18、，得xxlqdlxPxxdxhq(x)静力学静力学/第二章：平面汇交力系与平面力偶系第二章：平面汇交力系与平面力偶系Pd2) 2) 求合力作用线位置求合力作用线位置 用合力矩定理求合用合力矩定理求合力作用线位置力作用线位置Ph所以：所以：xxxlqPhld0231qllh32lxP0dPxxdxhq(x)21(qlP 静力学静力学/第二章：平面汇交力系与平面力偶系第二章：平面汇交力系与平面力偶系合力的大小：合力的大小：qlP21位置：位置：lh32Pd2 - 4 2 - 4 平面力偶理论平面力偶理论一、力偶和力偶矩一、力偶和力偶矩1 1、力偶的概念、力偶的概念 力力 偶偶 : : 由大小相等由

19、大小相等, ,方向相反方向相反, ,作用线平行且作用线平行且不共线的两个力所组成的力系不共线的两个力所组成的力系. . ABFFd用用 表示。表示。l 力偶作用面力偶作用面l 力偶臂力偶臂二力作用线之间的垂直距离二力作用线之间的垂直距离 d .二力作用线所二力作用线所决定的平面决定的平面),(FF静力学静力学/第二章：平面汇交力系与平面力偶系第二章：平面汇交力系与平面力偶系力偶是一种基本力学量力偶是一种基本力学量, ,力偶对刚力偶对刚体的作用，只有转动效应。体的作用，只有转动效应。力偶力偶是一种特殊的力系。力和力偶是是一种特殊的力系。力和力偶是静力学中两个基本要素。静力学中两个基本要素。F1F

20、2静力学静力学/第二章：平面汇交力系与平面力偶系第二章：平面汇交力系与平面力偶系2 2、力偶矩、力偶矩力偶矩：力偶矩：是力偶对刚体产生转动是力偶对刚体产生转动 效应的度量。效应的度量。 用用 表示，简记为表示，简记为 M 。定义为：定义为：FdM),(FF 正负号规定：正负号规定：逆时针逆时针为为正正；顺时针顺时针为为负负； 力偶矩的单位：力偶矩的单位：N m ，或或 kN m 。 力偶矩的几何表示：力偶矩的几何表示：AFFCdB的面积ABCM2),(FF其中，其中，A A点可以是点可以是 作用线上的任一点。作用线上的任一点。),(FFMF平面力偶对刚体的作用效应取决于力偶的力偶矩平面力偶对刚

21、体的作用效应取决于力偶的力偶矩 ， 即：力偶矩的大小与力偶在作用面内的转向。即：力偶矩的大小与力偶在作用面内的转向。静力学静力学/第二章：平面汇交力系与平面力偶系第二章：平面汇交力系与平面力偶系二、力偶的基本性质二、力偶的基本性质性质性质1 1由由反向平行力反向平行力的的合成合成知：力偶的知：力偶的合力合力不存在不存在。因为力偶的合力不存在，所以因为力偶的合力不存在，所以力偶力偶不能不能与与一个一个力力等效。等效。因此，因此，力偶力偶不能不能用用一个力一个力来来平衡。平衡。性质性质2 2由二力平衡公理可知，力偶本身不平衡；由二力平衡公理可知，力偶本身不平衡；下面将要介绍的力偶系的平衡可得此结论

22、。下面将要介绍的力偶系的平衡可得此结论。不能与一个力等效，也不能用一个力来平衡。不能与一个力等效，也不能用一个力来平衡。力偶本身不平衡力偶本身不平衡, ,力偶只能用力偶来平衡。力偶只能用力偶来平衡。静力学静力学/ /第二章：平面汇交力系与平面力偶系第二章：平面汇交力系与平面力偶系性质性质 3 3证明证明：)(F,FMoFa)(FoM)(FoMFd),(FF M在任一轴在任一轴 x 上的投影：上的投影：cosF)(adFcosF0力偶对其作用面内任一点的矩都相等，恒力偶对其作用面内任一点的矩都相等，恒等于其力偶矩。力偶在其作用面内任一轴等于其力偶矩。力偶在其作用面内任一轴上的投影恒为零。上的投影

23、恒为零。对任一点对任一点O的力矩为的力矩为静力学静力学/第二章：平面汇交力系与平面力偶系第二章：平面汇交力系与平面力偶系ABFFdOax 三、同平面内力偶的等效定理三、同平面内力偶的等效定理定理定理作用在同一平面内的两个力偶，作用在同一平面内的两个力偶，等效等效两力偶的力偶矩相等。两力偶的力偶矩相等。静力学静力学/第二章：平面汇交力系与平面力偶系第二章：平面汇交力系与平面力偶系证明：证明：充分性充分性即：若两力偶的力偶矩相等，则它们等效。即：若两力偶的力偶矩相等，则它们等效。dF0F0FF设：设：),(FFM),(00FF Ml 将力移至将力移至A、B点。点。ABFFF0F0DCCDl 因为力

24、偶矩相等，所因为力偶矩相等，所以以ABCl 因此，因此，CDAB，l 分解分解 力，使得力，使得10FFF同理：同理：10FFFF1F1， 下面证明两力偶等效。下面证明两力偶等效。CD AB。 与与ABD的面的面积相等。积相等。0F静力学静力学/第二章：平面汇交力系与平面力偶系第二章：平面汇交力系与平面力偶系l 因为两平行四边形因为两平行四边形全等，所以：全等，所以：11FFl 故，在力偶故，在力偶 上加上一对上加上一对平衡力平衡力 ，就就得到力偶得到力偶 由加减平衡力系公由加减平衡力系公理，两力偶等效。理，两力偶等效。 充分性证毕充分性证毕dF0F0FFABFFF0F0DCCDF1F1必要性

25、必要性 即：若两力偶等效，则它们的力偶矩相等。即：若两力偶等效，则它们的力偶矩相等。),(FF11, FF),(00FF静力学静力学/第二章：平面汇交力系与平面力偶系第二章：平面汇交力系与平面力偶系由由力偶等效定理力偶等效定理可得两个推论：可得两个推论：推论推论1 1：FF FF 力偶可以在其力偶可以在其作用面内作用面内任意任意移动移动和和转动，转动，而而不不改变改变力偶对力偶对刚体刚体的的作用效应作用效应。静力学静力学/第二章：平面汇交力系与平面力偶系第二章：平面汇交力系与平面力偶系FF FF * *力偶对刚体的作用与力偶在其作用面内的位置力偶对刚体的作用与力偶在其作用面内的位置无关。无关。

26、静力学静力学/第二章：平面汇交力系与平面力偶系第二章：平面汇交力系与平面力偶系推论推论2 2： 只要保持力偶矩的大小和转向不变，可只要保持力偶矩的大小和转向不变，可以同时改变力偶中以同时改变力偶中力力和和力偶臂力偶臂的的大小大小，而而不改变不改变力偶对力偶对刚体刚体的的作用效应。作用效应。注意：注意：此两推论只对此两推论只对同一个刚体同一个刚体成立，成立，对对变形体变形体不成立不成立。FF F / 2F / 2静力学静力学/第二章：平面汇交力系与平面力偶系第二章：平面汇交力系与平面力偶系由此可知由此可知: :只有只有力偶矩力偶矩( (大小和转向大小和转向) )才是平面力偶作用的才是平面力偶作用

27、的唯唯一度量。一度量。所以，力偶的表示可以简化：所以，力偶的表示可以简化：有时在习题中，用有时在习题中，用M表示力偶矩的表示力偶矩的大小大小（不加正（不加正负号）用负号）用箭头箭头表示力偶的表示力偶的转向转向。力偶中力偶中力的大小力的大小，力偶臂的长短力偶臂的长短，都都不是不是力偶的力偶的特征量特征量。或或静力学静力学/第二章：平面汇交力系与平面力偶系第二章：平面汇交力系与平面力偶系1 1、平面力偶系的合成平面力偶系的合成(1). (1). 两力偶的合成两力偶的合成设同一平面内两力偶的力偶矩为设同一平面内两力偶的力偶矩为M1 和和 M2，则，则它们的合成结果为一它们的合成结果为一合力偶合力偶，

28、合力偶的力偶矩，合力偶的力偶矩为：为： M = M1 + M2即：合力偶的力偶矩为两个分力偶的力偶矩的即：合力偶的力偶矩为两个分力偶的力偶矩的代数和代数和。四、平面力偶系的合成与平衡条件四、平面力偶系的合成与平衡条件静力学静力学/第二章：平面汇交力系与平面力偶系第二章：平面汇交力系与平面力偶系证明证明：111dFM F3F3F4F4FF222dFM取取：AB = d,113dFdF224dFdF,43FFF合力偶的力偶矩为：合力偶的力偶矩为：FdM dFF)(432211dFdF21MM 所以：所以：21MMM由推论：由推论：合成：合成：43FFFdFdF43静力学静力学/第二章：平面汇交力系与平面力偶系第二章：平面汇交力系与平面力偶系(2). (2). 同平面内多个力偶的合成同平面内多个力偶的合成同上述方法多个力偶的合成，有：同上述方法多个力偶的合成，有：即：平面力偶系的合成结果为一即：平面力偶系的合成结果为一合力偶合力偶，合力