材料力学B第4章弯曲内力[自动保存的]

1、1 第第4 4章章 弯曲内力弯曲内力西南科技大学西南科技大学土建学院力学教研室土建学院力学教研室 2第第 4 4 章章 弯曲内力弯曲内力 3本章重点本章重点重要概念重要概念本章难点本章难点44.1 4.1 弯曲的概念和工程实例弯曲的概念和工程实例一、一、 弯曲的概念弯曲的概念以弯曲变形为主的杆件！以弯曲变形为主的杆件！梁梁q qP PM M5桥式吊车桥式吊车二、工程实例二、工程实例6火车轮轴火车轮轴78桥梁桥梁 露台露台9直立式反应塔直立式反应塔合成塔合成塔锥形齿轮的齿合力锥形齿轮的齿合力rF0MaFrFtF11三、常见梁的截面形状三、常见梁的截面形状 圆形圆形矩形矩形工字形工字形 它们都有对

2、称轴，梁横截面的对称它们都有对称轴，梁横截面的对称轴和梁的轴线所组成的平面通常称为轴和梁的轴线所组成的平面通常称为纵纵向对称平面向对称平面 。1213非对称弯曲：非对称弯曲：若梁不具有纵向对称面，或梁有纵向若梁不具有纵向对称面，或梁有纵向对称面，但外力并不作用在纵向对称面内的弯曲。对称面，但外力并不作用在纵向对称面内的弯曲。F14q qP PM M15FxAFyAMAFAyAFAxFAAA16F F 17FPqMMFPqFP18 例例11如图示结构的计算简图为如图示结构的计算简图为: :q 均布力均布力F19吊车横梁简化吊车横梁简化Fq均布载荷均布载荷 集中力集中力20火车轮轴简化火车轮轴简化

3、21露台露台q22直立式反应塔直立式反应塔23PalABAx0 : F0 xF 0: AM 0 :yF FB yPal F0B ylPa () FAyP lal F+F0B yAyP PFAyFAxFByABxyAx F0 24()0 , ySAyP laFFFl FSMFByMFSCCxAFAyxP l-xPABFAyFByxC0 , CAyMMFx FByPal () FAyP lal alxalP)( 25FFFS（-）FS（-）FFFs FS dxmmFSFSFSmmFS+dx26MM27280 ,yF , 0 BM F0RBRAFqa 7 F4RBqa 202RAaFaMqa 3 F

4、4RAqa qM=qa2Ca aaBD11223344FRAFRB29RA0,0ySFFF 134SRAqaFF 110 ,CM 10RAMFa2134qaM 1FRAA3 F4RAqa 7 F4RBqa 2FRAAM=qa2RA0,0ysFFF 234SRAqaFF 220 ,CM 20RAMFaM224qaM qM=qa2Ca aaBD11223344FRAFRB30RB0,0ySFFFqa 334SqaF 330 ,BM 2302qaM 232qaM 0,0ySFFqa 4SFqa 440 ,BM 3FRBBqDFRAFRBqM=qa2Ca aaBD112233444 BqD2402qa

5、M242qaM 3 F4RAqa 7 F4RBqa 3134SqaF 3232qaM SFqa 4FRAFRBqM=qa2Ca aaBD11223344242qaM 34SqaF 12134qaM 34SqaF 2224qaM 222213()44qaqaMMqaM 4337()44SSRBqaqaFFqaF 3 F4RAqa 7 F4RBqa 32 (1) (1) 求剪力的规律求剪力的规律 梁内任一截面上的剪力梁内任一截面上的剪力F FS S，在数值上等于该截面一侧（左，在数值上等于该截面一侧（左侧或右侧）所有外力在平行于剪力方向投影的代数和。侧或右侧）所有外力在平行于剪力方向投影的代数和。

6、SiFF 左siFF 右或或FFF S FS33或或cMM 左左MM c c右右FFM MC34计算内力要点：计算内力要点：35 例例4.24.2 简支梁受均布力简支梁受均布力q q和集中力偶和集中力偶Me=qlMe=ql2 2/4/4的作用，求的作用，求C C截面的剪力和弯矩。截面的剪力和弯矩。FRAFRBBqMeACl/2l/2, 0 AM, 0 BM F02RBellMql F4RBql -02RAelFlMql 3 F4RAql FRAFRBBqMeACl/2l/2 F4RBql 3 F4RAql 4e 2qlM SiFF 左左4SqlF 左CMM 左左左左42qlMC 左左RA24l

7、qlFq 224RAlqllF24ql SiFF 右左RA24lqlFq CMM 右右左左224RAlqllFMe4SqlF 右0CM 右右374.3 4.3 剪力方程和弯矩方程剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图( )SSFFx )(xMM 38 xFS(x)FS 图的坐标系图的坐标系OM 图的坐标系图的坐标系xOM(x)39( )SFxP ( )()M xP Lx 根据方程画内力图根据方程画内力图FSxMxPLoPxx40( )SFxqx 221)(qxxM LqFS(x)FSx qL22qL xxq xMx412RRqlFFBA FFlqABx)0(2)(RSlxqxqlqx

8、FxFA x)0(222)(2RlxqxqlxxqxxFxMA 42)0(2)(SlxqxqlxF2SqlF2SqlF +ql/2BlqFAxF+82ql)0(222)(2RlxqxqlxxqxxFxMA 00 Mx，0, Mlx( )d0d2M xqlqxx2lx 822maxqlMMlxxFSxxM-ql/243 注意：注意：一般情况下，梁全长上的一般情况下，梁全长上的剪力和弯矩不能用一个剪力和弯矩不能用一个函数表示，函数表示，外力有突变时，剪力方程和外力有突变时，剪力方程和弯矩方程可能发生变弯矩方程可能发生变化，应分段描述。化，应分段描述。 集中力作用点、集中力偶作用点集中力作用点、集中

9、力偶作用点 分布荷载起点和终点分布荷载起点和终点 支座处支座处qABCDCabABCAB44解：解：1 1求约束反力求约束反力0 AM2 2写出剪力和弯矩方程写出剪力和弯矩方程AC： 0SRAFbFxxal F 0RAFbM xxxxal F FCB： SRBFaFxFaxll ()RBM xlxFalxaxll F FFRAFRB( )RAFbFl ( )RBFaFlCabABx0 BMxx45剪力方程和弯矩方程剪力方程和弯矩方程FRAxxCFAB3 3、依方程画出剪力图和弯矩图、依方程画出剪力图和弯矩图lFab/(+) lFb/lFa/AC： 0sRAFbFxxal F 0RAFbM xx

10、xxal F FCB： SRBFaFxFaxll lxaxllFaxM FFSxMx46剪力和弯矩突变处：剪力和弯矩突变处：FAYFBYxxCFabABl xlFb /lFa/FClFabMx(+) lFb/lFa/lFab(+)47解：解：1 1求约束反力求约束反力2 2写出剪力和弯矩方程写出剪力和弯矩方程AC 0eSRAMFxFxal 0eRAMM xFxxxal CBFRA FRBCMeAB eSRBMFxFaxll ()()RBeM xlxMlxaxll F Fxxx0 AM( )eRBMFl0 BM( )eRAMFl48剪力和弯矩方程剪力和弯矩方程AC 0eSRAMFxFxal 0e

11、RAMM xxxxal F FCBFRAFRBxxlCMeabAB eSRAMFxFaxll ()()RBeM xlxMlxaxll F F 可见可见, ,在在集中力偶作用处集中力偶作用处,弯矩有弯矩有突变，突变值等于该集中力偶的突变，突变值等于该集中力偶的大小。剪力在该处无变化。大小。剪力在该处无变化。3 3、画剪力图和弯矩图、画剪力图和弯矩图 lM /Me laMe/lbMe/FSxMx4950 51 0( )( )d( )d( )0ySSSFFxq xxFxFx ( )dd( )Sq xxFx dxxq(x)q(x)M(x)+d M(x)FS(x)+d FS(x)FS(x)M(x)dxA

12、 ddSFxq xx 4.4 剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系xy52q(x)dxAy, 0)( iAFMd( )( )dSM xF xx )(d)(d22xqxxM 21( )d( )-( )-( )d( )(d )02SM xM xM x F xxq xx53d( )( )dSM xF xx )(d)(d22xqxxM ddSFxq xx d0( )dSSFxFxcx c0d( )( )cMxcxb0d0SM xF xcxc （ ） F FS S图为一水平直线图为一水平直线0 c0 cSFxMx0c 0c Mx0 b0 bMx0 c增函数增函数减函数减函数常

13、数常数 弯矩图为一斜直线或水平线弯矩图为一斜直线或水平线54 d( )dSSFxqFxq xbx 2d( )( )qxbMxqxbxddSM xF xx（ ）0q 0q SFx0q MxMx0q d( )( )dSM xF xx )(d)(d22xqxxM ddSFxq xx 55讨论：讨论：（3）在在FS（x）=0的截面的截面 弯矩的斜率为零，弯矩为极值。弯矩的斜率为零，弯矩为极值。（4）集中力作用点处，剪力图有突变，突变量等于该集中）集中力作用点处，剪力图有突变，突变量等于该集中力。弯矩图的斜率也发生变化，弯矩图上有尖角。力。弯矩图的斜率也发生变化，弯矩图上有尖角。（5）集中力偶作用处，剪

14、力图无变化。弯矩图在力偶作用）集中力偶作用处，剪力图无变化。弯矩图在力偶作用处的两侧截面有突变，突变量为该力偶值。处的两侧截面有突变，突变量为该力偶值。（6）弯矩的极值，可能在）弯矩的极值，可能在FS（x）=0的截面上，也可能在集的截面上，也可能在集中力或集中力偶作用处。中力或集中力偶作用处。 d( )( )dSM xF xx ddSFxq xx )(d)(d22xqxxM 56讨论：讨论：（7）利用上式可得：）利用上式可得：d( )( )dSM xF xx ddSFxq xx dxxqxFxFxx 21)()()(1S2SdxxFxMxMxxS 21)()()(12两截面上的剪力之差等于两截

15、面上的剪力之差等于两截面之间荷载图的面积两截面之间荷载图的面积)(d)(d22xqxxM 57 剪力、弯矩与外力间的关系剪力、弯矩与外力间的关系外力外力无外力段无外力段均布载荷段均布载荷段集中力集中力集中力偶集中力偶FS图图特特征征M图图特特征征CPCmx增函数增函数x降函数降函数xC增函数增函数xMxM降函数降函数抛物线抛物线xMxM自左向右折角自左向右折角xM mMM215859u三个微分方程确定了图形的形状；u控制面确定图形的位置；图形在什么位置会发生突变u极值点至关重要 根据外力确定图形形状根据外力确定图形形状直线、曲线直线、曲线画图之前形成剪力图与弯矩图的大致图像画图之前形成剪力图与

16、弯矩图的大致图像 集中力作用点的两侧截面；集中力作用点的两侧截面； 集中力偶作用点的两侧截面；集中力偶作用点的两侧截面； 均布载荷（集度相同）起点和终点处的截面。均布载荷（集度相同）起点和终点处的截面。 有没有极值点？有没有极值点？极值点的位置在哪里？极值点的位置在哪里？极值点的弯矩数值怎样确定？极值点的弯矩数值怎样确定？60aaqaqBCAqqa2qaABCDaaaA61aaqaqBCA622S30;2FMqa S ; 0FqaM 2S; Fqa Mqa 2S30 ;2FMqa aaqaqBqaACFSx232qad( )( )dSM xF xx ddSFxq xx )(d)(d22xqxx

17、M xM qa263 ; 22RARDqaqaFF;2SqaF S;2Fqa 22qaM S;2Fqa S;2Fqa S1 ; 2Fqa qqa2qaqa/2FSxqa/2qa/2qa/2ABCDaaa22qaM S;2Fqa 22qaM 22qaM 0 M0 M（）（）（）（）（）（） ; F22RARDqaqaFS( )()FR AxFqaxa q 23ax 2()()2RAqMFxqa xaxa qqa2qaFRAFRDABCDaaax8232)23(2)23(232qaaaqaaqaaqa FSxqa/2qa/2（）（）qa2/2（）（）（）（）qa2/23qa2/8xM3-xq0;2

18、qa65 ; 22RARDqaqaFF;2SqaF S;2Fqa 22qaM S;2Fqa 0 ;FS S;2Fqa S1 ; 2Fqa qqa2qaqa/2FSxqa/2qa/2qa/2ABCDqa2/2qa2/2qa2/23qa2/8aaa22qaM S;2Fqa 22qaM 823qaM 22qaM 0 M0 M xM（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）66qqa2qaFRAFRDABCDaaaFSxqa/2qa/2qa/2 ; F22RARDqaqaFaaqaACqBqa（）（）67B10.5113F=50kNM=5kNmAECDKq=20kN/mMAFRAFRB68 81kN31

19、kN29kN+FSx10.5113F=50kNM=5kNmAECDKq=20kN/mMAFRAFRB690RS qxFFBxm45. 1R qFxB29kNx=1.4581kN31kN+10.5113F=50kNM=5kNmAE CDKBFRAFRBMAq=20kN/m xmaxRBqMF.M.22451452 mkN55 70 kN mAAMM右右96.596.5mkN5 .151 RAAEFMM05 . 05 . 1 FFMMRAACmkN315 . 15 . 2 FFMMRAAD10.5113F=50kNM=5kNmAECDKBFRAFRBMAq=20kN/mR1KBFMM mkN345129 5kN mBMM左左0MB右右0AM左 1.45m55kNmm axM71kN mAM右右9 96 6. .5 5mkN5 .15 ME0 MCmkN31 MD34kN mKM5kN mBM左左0MB右右0AM左96.515.510.5113F=50kNM=5kNmAE CDKBFRAFRBMAq=20kN/m1.45m+55345Mx03181kN31kN29kN+55kNmm axM72ABCD18kN2kN14kN3m3m6m+( )SddFq xxkN18SFB左左kN2S FB右右CABDF=20kN( )SSd6DDCCq