第2章逻辑代数初步

1、第2章 逻辑代数初步 2.1 二进位制 2.2 逻辑变量与运算 2.3 逻辑式与真值表 2.4 逻辑运算律和公式法化简逻辑式 2.5 逻辑函数的最小项表达式 2.6 卡诺图和图解法化简逻辑式 2.7 逻辑代数的应用举例2.1 二进位制 2.1.1 二进制二进制 情景导入 在日常生活和生产实践中， 人们离不开数， 而最常用、 最熟悉的数是十进制数. 十进制数是用0， 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9十个数字符号(或叫做数码)组成的，它们表示10的各次幂(各次幂的系数是小于10而大于或等于0的整数)的和. 除了十进制， 我们还会遇到其他进制的计数制. 例如，在计时系统中， 60s

2、为1min， 60min为1h， 采用的是六十进制; 24h为1d， 采用的是二十四进制等. 那么在计算机中，采用的是什么进位制？ 知识探究 在计算机中， 用电子元件对立的“状态”来表示数码0， 1. 因此采用二进制计数的运算最合理. 下面，我们来学习二进制的相关概念.二进制的数码只有0， 1两个， 每一数位上计满2就向高位进1， 即“逢二进一”. 任何一个二进制数S都可以表示成2的各次幂之和的形式， 如： (11001)2=124+123+022+021+120 (0.110101)2=12-1+12-2+02-3+12-4+02-5+12-6 (101.101)2=122+021+120+

3、12-1+02-2+12-3 二进制数的四则运算也可以像十进制数的四则运算那样来进行， 其运算法则如下: 加法法则0+0=0; 0+1=1+0=1; 1+1=10 减法法则00=0; 10=1; 11=0; 101=1 乘法法则00=0; 10=01=0; 11=1 除法法则01=0; 11=1 例题分析 2.1.2 二进制数与十进制数的互相换算二进制数与十进制数的互相换算 情景导入 日常生活中经常使用的数是十进制数，但计算机使用的是二进制数.因此，计算机在运算前，先要把十进制数换算成二进制数，而运算结束后，又需要将二进制数换算成人们所习惯使用的十进制数. 知识探究 如果要将十进制数转换为二进

4、制数，主要分两个部分：对于整数部分，通常采用“除2取余法”，即用2不断去除十进制数，直到最后商是0为止，将所得到的余数以最后一个余数为最高位，依次排列便可得到相应的二进制数；对于小数部分，通常采用“乘2取整法”，即用2去乘所要转换的十进制小数，并得到一个新的小数，然后再用2去乘这个新的小数，如此一直进行到小数为0或达到转换所要求的精度为止.首次乘2所得积的整数部分为二进制纯小数的最高位，最末次乘2所得积的整数部分为二进制纯小数的最低位. 如果需将二进制数转换为十进制数，只需把二进制数按2的各次幂展开，然后按十进制数计算，并相加即可. 例题分析2.2 逻辑变量与运算 情景导入 为了设计开关线路与

5、计算机硬件中的逻辑线路，首先要了解逻辑变量及其运算.那么逻辑代数中有哪几种运算？ 知识探究 某教室里有两盏灯， 分别用A，B表示， 则“教室里是否有灯光”可由灯A，B的亮、 灭状态确定. 我们规定: 灯亮用1表示， 灯灭用0表示， 教室有灯光用1表示， 教室没有灯光用0表示， 则“灯A，B的亮、 灭”与“教室里是否有灯光”的关系可用表2-1表示. 从表中我们可以清楚地看出“灯A，B的亮、 灭”与“教室里是否有灯光”之间是一种因果逻辑关系，这种描述客观事物一般逻辑关系的数学方法， 称为逻辑代数逻辑代数. 逻辑代数的变量就是逻辑变量逻辑变量， 常用大写字母A，B，C表示. 逻辑变量只有两种取值，

6、即0和1， 它是表示事物矛盾双方的一种符号， 而不表示数值大小， 称为逻逻辑常量辑常量. 在初等代数中有加减乘除四则运算， 即算术运算算术运算， 逻辑代数中则有“且”、“或”、“非”3种基本运算， 它们不是数值的运算， 而是逻辑关系的运算， 称为逻逻辑运算辑运算.与3种逻辑运算相对应的是3种逻辑关系. 1. “且”逻辑关系 当决定一件事情的各个条件全部具备时(即条件同时为真)， 这件事才会发生， 而且一定发生(即事件为真)， 这样的因果关系称为“且”逻辑关系. 观察图2-1所示电路， 只有当开关A和B同时闭合时， 电路才会接通， 灯Z才会发亮， 所以， 灯Z与开关A和B之间是一种“且”逻辑关系

7、， 记作Z=AB(在不发生混淆时， 常省去符号“”)， 读作Z等于A且B. 如果规定: 灯亮为1， 灯灭为0， 开关接通为1， 开关断开为0， 则开关A，B与灯Z的逻辑关系见表2-2. 2. “或”逻辑关系 在决定一件事情的各个条件中， 只要具备一个或一个以上的条件(即至少有一个条件为真)， 这件事情就会发生(即事件为真)， 这样的因果关系称为“或或”逻辑关系逻辑关系. 观察图2-2所示的电路， 当开关A和B中的任何一个闭合时， 灯Z都会发亮， 所以， 灯Z与开关A和B之间是一种“或”逻辑关系， 记作Z=A+B， 读作Z等于A或B. 3. “非”逻辑关系 当条件不满足(即条件为假)时， 事件为

8、真; 当条件满足(即条件为真)时， 事件为假， 这样的因果关系称为“非非”逻辑关系逻辑关系. 观察图2-3所示的电路， 当开关A闭合时，灯Z灭; 当开关A断开时，灯Z亮. 开关A的开合与灯Z的亮、 灭是“非”逻辑关系， 记作Z=A，A上面的横线读作非或反， 等式读作Z等于A反. 例题分析 例 指出下列描述中所包含的逻辑关系， 并用表来表示它们之间的逻辑关系. (1) 张教授和王教授同时在场才能打开这份文件； (2) 在中央七台和少儿频道都能看到儿童节目； (3) 篮球赛中A队与B队交战， A队胜， B队负. 解 (1) 设张教授为A， 王教授为B， 打开文件为Y， 则A，B与Y之间是“且”逻辑

9、关系， 记作Y=AB. 设教授在场为1， 教授不在场为0， 文件能打开为1， 文件不能打开为0， 有 (2) 设中央七台为A， 少儿频道为B， 收看儿童节目为Y， 则A， B与Y之间是“或”逻辑关系， 记作Y=A+B. 设选择频道为1， 不选择频道为0， 能收看儿童节目为1， 不能收看儿童节目为0， 有2.3 逻辑式与真值表 情景导入 什么是逻辑式？什么是真值表？如何列出一个逻辑式的真值表？如何由真值表写出逻辑式？ 知识探究 由常量1和0以及逻辑变量，经逻辑运算所构成的式子叫做逻辑代数式逻辑代数式，简称逻辑式逻辑式.例如 等都是逻辑式.这里，我们把表示常量的1和0，单个变量都看作是逻辑式.在逻

10、辑式中，3种逻辑运算的优先次序按“非”、“且”、“或”排序.例如，在逻辑式AB+C中，先对变量A作非运算得A，然后乘B得AB，最后与C相加.当然，我们也可以添加括号来安排运算次序.例如，逻辑式（A+B）C，是先作A+B，再乘C. 含有逻辑变量的函数就是逻辑函数，其定义域只有0和1(非0即1)两个数， 值域也只有0和1(非0即1)两个数. 用于表示逻辑函数的方法有逻辑函数表达式(也称逻辑式或函数式)、 逻辑函数真值表和逻辑图. 表述逻辑自变量(A，B，C)与逻辑因变量Y之间函数关系的代数式， 称为逻辑函数表达式，记作Y=F(A，B，C)也称逻辑式. 常用的逻辑式见表2-5. 将逻辑函数中自变量的

11、各种可能取值组合与其因变量的值一一列出， 并以表格形式表示， 该表称为逻辑函数真值表逻辑函数真值表. 逻辑式与真值表之间可以相互转换： (1) 由逻辑函数表达式列真值表。 (2) 由真值表写逻辑函数表达式。 例题分析2.4 逻辑运算律和公式法化简逻辑式 2.4.1逻辑运算律逻辑运算律 情景导入 我们知道普通代数的一些运算律，那么逻辑代数有哪些运算律呢? 知识探究 设A，B，C为逻辑变量，它们只能取0和1这两个值.根据“且”运算、“或”运算、“非”运算的运算法则，我们可以得到以下公式和运算律. 例题分析 2.4.2 公式法化简逻辑式公式法化简逻辑式 情景导入 在进行逻辑运算时常常会看到，同一逻辑

12、函数可以写成复杂程度不同的逻辑式，例如，逻辑函数Y=ABC+BC+ACB和Y=AC+BC就是同一个逻辑函数.逻辑式越简单，它所表示的逻辑关系越明显，同时也有利于用最少的逻辑运算来实现这个逻辑函数.因此，经常需要通过化简的手段找出逻辑函数的最简形式. 知识探究 若逻辑函数表达式中包含的乘积项已经最少，而且每个乘积项里的因子也不能再减少时，则称此逻辑函数表达式为最简逻辑函数表达式最简逻辑函数表达式. 公式法化简逻辑式的原理就是反复使用逻辑运算律和常用公式，消去函数式中多余的乘积项和多余的因子，以求得函数式的最简形式.常用的公式化简法见表2-10. 例题分析2.5 逻辑函数的最小项表达式 情景导入

13、什么是逻辑函数的最小项表达式？ 知识探究 逻辑函数的最小项，是一个以逻辑变量的原变量或反变量形式组成的乘积项，这个乘积项的因子数等于全部逻辑变量的个数，且每个变量都是它的因子.例如：三个逻辑变量A，B，C共有8个（即23个）最小项，见表2-11.2.6 卡诺图和图解法化简逻辑式 2.6.1 卡诺图卡诺图 情景导入 在实际的生产生活中，我们常常用卡诺图化简逻辑表达式.那么，什么是卡诺图？ 知识探究 将n变量的全部最小项各用一个小方块表示，并使具有逻辑相邻性的最小项的几何位置也相邻地排列起来，所得到的图形叫做n变量最小项的卡诺图.所谓逻辑相邻性，是指任何两个相邻的小方块所对应的两个最小项中总是只有

14、一个变量不同.另外，在卡诺图中，行的左右，列的上下，都是对应的两个最小项，称为循环邻接性. 在画卡诺图时，如果逻辑函数有k个变量，那么就将图形分成2k个方格，每个方格和一个最小项相对应，方格的编号和最小项的编号是相同的，都是由方格外面行变量和列变量的取值决定.图24（a），(b)和(c)分别是二变量、三变量和四变量的卡诺图. 根据逻辑函数所包含的变量数，先画出变量卡诺图，再把逻辑函数化为最小项之和的形式，然后在卡诺图上与这些最小项对应的位置上填入1，在其余的位置上填入0，就得到了表示该逻辑函数的卡诺图.任何一个逻辑函数都等于它的卡诺图中填入1的那些项之和. 2.6.2 卡诺图化简法卡诺图化简法

15、 情景导入 用卡诺图化简逻辑函数是一种既简单又直观的方法，可以避免烦琐的逻辑代数运算.下面，我们将介绍这种方法. 知识探究 利用卡诺图化简逻辑函数的方法称为卡诺图化简法或图形化简法.用卡诺图化简逻辑函数的基本原理就是具有相邻性的最小项可以合并，并消去不同的因子. 合并最小项的规则如下. (1) 逻辑上相邻的两个最小项，合并成一个乘积项，消去一个不同的变量.合并后的结果只剩下公共因子.在图2-7(a)，(b)中画出了两个最小项相邻的几种可能情况. 4个相邻的最小项合并成一项，消去两个不同的变量，合并后的结果只剩下公共因子. 在图2-8(a)，(b)中画出了4个最小项相邻的几种可能情况. (3) 8个相邻的最小项，合并成一项，消去3个不同的变量，合并的结果只包含公共因子.在图29中画出了8个最小项相邻的几种可能情况. 卡诺图化简法的步骤如下： (1) 将逻辑函数用最小项形式表示，然后画出该函数的卡诺图.若某格对应的最小项存在，则在这格内填“1”，否则填“0”（也可空着不填）. (2) 在卡诺图上将相邻最小项合并.2.7逻辑代数的应用举例 情景导入 某中等职业学校两层办公楼的楼梯合用一个照明灯，要求楼上楼下均可开、关照明灯.你能设计一个这样的开关线路吗？ 知识探究 逻辑代数被广泛应用在电路设计中.逻辑门电路是数字电路中