机械振动学课件

1、kcm建模方法建模方法1：将车、人等全部作为一个质量考虑，并考虑弹性和阻尼。将车、人等全部作为一个质量考虑，并考虑弹性和阻尼。要求：对轿车的上下振动进行动力学建模。要求：对轿车的上下振动进行动力学建模。例子：轿车行驶在路面上会产生上下振动。例子：轿车行驶在路面上会产生上下振动。缺点：模型粗糙，缺点：模型粗糙，没有没有考虑考虑人与车人与车、车与车轮车与车轮之间之间的相互影响。的相互影响。优点：模型简单；优点：模型简单；分析：分析：人与车人与车、车与车轮车与车轮、车轮与地面车轮与地面之间的运动存在耦合。之间的运动存在耦合。多自由度系统振动多自由度系统振动k2c2m车车m人人k1c1建模方法建模方法

2、2： 车、人的质量分别考虑，并考虑各自车、人的质量分别考虑，并考虑各自的弹性和阻尼。的弹性和阻尼。优点：模型较为精确，优点：模型较为精确，考虑考虑了了人与车人与车之间的耦合；之间的耦合；缺点：缺点：没有没有考虑考虑车与车轮车与车轮之间的相互影响。之间的相互影响。多自由度系统振动多自由度系统振动m人人k1c1k2c2mk3c3k2c2k3c3m车车m轮轮m轮轮建模方法建模方法3： 车、人、车轮的质量分别考车、人、车轮的质量分别考虑，并考虑各自的弹性和阻尼。虑，并考虑各自的弹性和阻尼。优点：分别考虑了优点：分别考虑了人与车人与车、车与车与车轮车轮之间的相互耦合，模之间的相互耦合，模型较为精确型较为

3、精确.问题：如何描述各个质量之间的相互耦合效应？问题：如何描述各个质量之间的相互耦合效应？多自由度系统振动多自由度系统振动多自由度系统振动多自由度系统振动第四章第四章 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 4.1 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程 作用力方程几个例子几个例子 例例1：双质量弹簧系统，两质量分别受到激振力。：双质量弹簧系统，两质量分别受到激振力。不计摩擦和其他形式的阻尼。不计摩擦和其他形式的阻尼。试建立系统的运动微分方程。试建立系统的运动微分方程。m1m2k3k1k2P1(t)P2(t)第四章第四章 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 4.1 多自由度系统的动力

4、学方程多自由度系统的动力学方程解：解：,1x2x21,mm的原点分别取在的原点分别取在 的静平衡位置。的静平衡位置。 建立坐标：建立坐标：设某一瞬时：设某一瞬时：21mm、1x2x上分别有位移上分别有位移21xx 、加速度加速度受力分析：受力分析：P1(t)k1x1k2(x1-x2)11xm m1P2(t)k2(x1-x2)22xm m2k3x2m1m2k3k1k2x1x2P1(t)P2(t)第四章第四章 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 4.1 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程建立方程：建立方程：)()()()(2232122212121111tPxkxxkxmtPxxk

5、xkxm 矩阵形式：矩阵形式： )()(0021213222212121tPtPxxkkkkkkxxmm 坐标间的耦合项坐标间的耦合项 P1(t)k1x1k2(x1-x2)11xm m1P2(t)k2(x1-x2)22xm m2k3x2第四章第四章 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 4.1 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程例例2：转动运动：转动运动两圆盘两圆盘转动惯量转动惯量 21,II轴的三个段的扭转刚度轴的三个段的扭转刚度 321,kkk试建立系统的运动微分方程试建立系统的运动微分方程 。1k1I2I2k3k)(1tM)(2tM)(),(21tMtM外力矩外力矩 第四章

6、第四章 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 4.1 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程解：解：建立坐标：建立坐标：角位移角位移21,设某一瞬时：设某一瞬时：角加速度角加速度21, 受力分析：受力分析：1k1I2I2k3k)(1tM)(2tM11k11 I)(1tM)(212k22 I)(2tM23k)(122k21第四章第四章 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 4.1 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程建立方程：建立方程：)()()()(2232222121211111tMkkItMkkI 矩阵形式：矩阵形式：)()(0021213222212121tMtMk

7、kkkkkII 坐标间的耦合项坐标间的耦合项 11k11 I)(1tM)(212k22 I)(2tM23k)(122k第四章第四章 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 4.1 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程)()(0021213222212121tPtPxxkkkkkkxxmm )()(0021213222212121tMtMkkkkkkII 多自由度系统的角振动与直线振动在数学描述上相同多自由度系统的角振动与直线振动在数学描述上相同 。 如同在单自由度系统中所定义的，在多自由度系统中如同在单自由度系统中所定义的，在多自由度系统中也将质量、刚度、位移、加速度及力都理解为广义

8、的。也将质量、刚度、位移、加速度及力都理解为广义的。m1m2k3k1k2P1(t)P2(t)1k1I2I2k3k)(1tM)(2tM第四章第四章 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 4.1 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程小结：小结：)()(0021213222212121tPtPxxkkkkkkxxmm )()(0021213222212121tMtMkkkkkkII 可统一表示为：可统一表示为： )(tPXKXM 例例1：例例2：作用力方程作用力方程位移向量位移向量加速度向量加速度向量质量矩阵质量矩阵刚度矩阵刚度矩阵激励力向量激励力向量若系统有若系统有 n 个自由度，则各

9、项皆为个自由度，则各项皆为 n 维矩阵或列向量维矩阵或列向量 第四章第四章 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 4.1 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程)(tPXKXM n 个自由度系统个自由度系统:nnnjnnjnjmmmmmmmmm.122211111M)()()()(21tPtPtPtnPnnnjnnjnjkkkkkkkkk.122211111KnTnRxxx,.,21Xnnnn1n质量矩阵第质量矩阵第 j 列列刚度矩阵第刚度矩阵第 j 列列n维广义坐标列向量维广义坐标列向量第四章第四章 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 4.1 多自由度系统的动力学方程多自由度系统

10、的动力学方程 刚度矩阵和质量矩阵当当 M、K 确定后，系统动力方程可完全确定确定后，系统动力方程可完全确定M、K 该如何确定？该如何确定？ )(tPKXXM 作用力方程：作用力方程：nRX先讨论先讨论 K加速度为零加速度为零0X )(tKPX 假设外力是以假设外力是以准静态方式准静态方式施加于系统施加于系统准静态外力列向量准静态外力列向量静力平衡静力平衡第四章第四章 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 4.1 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程)(tPKXXM 作用力方程：作用力方程：nRX)(tPKX 假设作用于系统的是这样一组外力：假设作用于系统的是这样一组外力：它们使系统

11、只在第它们使系统只在第 j 个坐标上产生单位位移，而在其他各个坐标上不产生位移个坐标上产生单位位移，而在其他各个坐标上不产生位移. 即即 ：TTnjjjxxxxx0,.,0 , 1 , 0,.,0,.,.,111 X00100.)()()()(12221111121nnnjnnjnjnkkkkkkkkktPtPtPtP代入代入 ：njjjkkk21第四章第四章 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 4.1 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程 njjjnnnjnnjnjnkkkkkkkkkkkktPtPtPt211222111112100100.)()()()(P所施加的这组外力数

12、值上正是刚度矩阵所施加的这组外力数值上正是刚度矩阵 K 的第的第 j 列列 .ijk（i=1n） ：在第在第 i 个坐标上施加的力个坐标上施加的力. 第四章第四章 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 4.1 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程 njjjnnnjnnjnjnkkkkkkkkkkkktPtPtPt211222111112100100.)()()()(P第第j个坐标产个坐标产生单位位移生单位位移刚度矩阵第刚度矩阵第j列列系统刚度矩系统刚度矩阵阵j=1n确定确定第四章第四章 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 4.1 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程)

13、(tPKXXM 作用力方程：作用力方程：nR X讨论讨论 M假设系统受到外力作用的瞬时，只产生加速度而不产生任何位移假设系统受到外力作用的瞬时，只产生加速度而不产生任何位移. )(tPXM 00100.)()()()(12221111121nnnjnnjnjnmmmmmmmmmtPtPtPtP 假设作用于系统的是这样一组外力：假设作用于系统的是这样一组外力：它们使系统只在第它们使系统只在第 j 个坐标上产生单位加速度，而在其他各个坐标上不产生加速度个坐标上产生单位加速度，而在其他各个坐标上不产生加速度. njjjmmm21第四章第四章 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 4.1 多自由度系统

14、的动力学方程多自由度系统的动力学方程njjjnnnjnnjnjnmmmmmmmmmmmmtPtPtPt211222111112100100.)()()()(P这组外力正是质量矩阵这组外力正是质量矩阵 M 的第的第 j 列列 ijm第第j个坐标单个坐标单位加速度位加速度质量矩阵第质量矩阵第j列列系统质量矩系统质量矩阵阵j=1n确定确定第四章第四章 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 4.1 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程 质量矩阵质量矩阵 M 中的元素中的元素mij 是使系统仅在第是使系统仅在第 j 个坐标上产个坐标上产生单位加速度而相应于第生单位加速度而相应于第 i 个坐标

15、上所需施加的力个坐标上所需施加的力. mij、kij又分别称为又分别称为质量影响系数质量影响系数和和刚度影响系数刚度影响系数。根。根据它们的物理意义可以直接写出系统质量矩阵据它们的物理意义可以直接写出系统质量矩阵M和刚度矩和刚度矩阵阵K，从而建立作用力方程，这种方法称为，从而建立作用力方程，这种方法称为影响系数方法影响系数方法. 刚度矩阵刚度矩阵 K 中的元素中的元素 kij 是使系统仅在第是使系统仅在第 j 个坐标上产个坐标上产生单位位移而相应于第生单位位移而相应于第 i 个坐标上所需施加的力个坐标上所需施加的力. 第四章第四章 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 4.1 多自由度系统的动

16、力学方程多自由度系统的动力学方程例：写出例：写出 M 、 K 及及运动微分方程运动微分方程 m1m2k3k1k2P1(t)P2(t)m3k4k5k6P3(t)解：解：先只考虑静态先只考虑静态 令令 T001 X0221kkk使使m1产生单位位移所需施加的力：产生单位位移所需施加的力： 2111kkk221kk 031k 保持保持m2不动所需施加的力：不动所需施加的力：保持保持m3不动所需施加的力：不动所需施加的力：只使只使m1产生单位位移，产生单位位移，m2和和m3不动不动.在三个质量上施加力在三个质量上施加力能够使得能够使得001321xxxX系统刚度矩阵的第一列系统刚度矩阵的第一列第四章第

17、四章 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 4.1 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程例：写出例：写出 M 、 K 及及运动微分方程运动微分方程 m1m2k3k1k2P1(t)P2(t)m3k4k5k6P3(t)解：解：先只考虑静态先只考虑静态 令令 T001 X刚度矩阵：刚度矩阵：?0?221kkkK使使m1产生单位位移所需施加的力：产生单位位移所需施加的力： 2111kkk221kk 031k 保持保持m2不动所需施加的力：不动所需施加的力：保持保持m3不动所需施加的力：不动所需施加的力：只使只使m1产生单位位移，产生单位位移，m2和和m3不动不动.第四章第四章 多自由度系统

18、振动多自由度系统振动 / 4.1 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程例：写出例：写出 M 、 K 及及运动微分方程运动微分方程 m1m2k3k1k2P1(t)P2(t)m3k4k5k6P3(t)解：解：先只考虑静态先只考虑静态 365322kkkkkk使使m2产生单位位移所需施加的力：产生单位位移所需施加的力： 保持保持m1不动所需施加的力：不动所需施加的力：保持保持m3不动所需施加的力：不动所需施加的力：只使只使m2产生单位位移，产生单位位移，m1和和m3不动不动.在三个质量上施加力在三个质量上施加力能够使得能够使得010321xxxX系统刚度矩阵的第二列系统刚度矩阵的第二列令

19、令 T010 X212kk653222kkkkk332kk第四章第四章 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 4.1 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程例：写出例：写出 M 、 K 及及运动微分方程运动微分方程 m1m2k3k1k2P1(t)P2(t)m3k4k5k6P3(t)解：解：先只考虑静态先只考虑静态 使使m2产生单位位移所需施加的力：产生单位位移所需施加的力： 保持保持m1不动所需施加的力：不动所需施加的力：保持保持m3不动所需施加的力：不动所需施加的力：只使只使m2产生单位位移，产生单位位移，m1和和m3不动不动.令令 T010 X212kk653222kkkkk33

20、2kk刚度矩阵：刚度矩阵：?0?365322221kkkkkkkkkK第四章第四章 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 4.1 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程例：写出例：写出 M 、 K 及及运动微分方程运动微分方程 m1m2k3k1k2P1(t)P2(t)m3k4k5k6P3(t)解：解：先只考虑静态先只考虑静态 4330kkk使使m3产生单位位移所需施加的力：产生单位位移所需施加的力： 保持保持m2不动所需施加的力：不动所需施加的力：保持保持m1不动所需施加的力：不动所需施加的力：只使只使m3产生单位位移，产生单位位移，m1和和m2不动不动.在三个质量上施加力在三个质量

21、上施加力能够使得能够使得100321xxxX系统刚度矩阵的第三列系统刚度矩阵的第三列令令 T100 X013k323kk4333kkk第四章第四章 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 4.1 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程例：写出例：写出 M 、 K 及及运动微分方程运动微分方程 m1m2k3k1k2P1(t)P2(t)m3k4k5k6P3(t)解：解：先只考虑静态先只考虑静态 使使m3产生单位位移所需施加的力：产生单位位移所需施加的力： 保持保持m2不动所需施加的力：不动所需施加的力：保持保持m1不动所需施加的力：不动所需施加的力：只使只使m3产生单位位移，产生单位位移，

22、m1和和m2不动不动令令 T100 X013k323kk4333kkk刚度矩阵：刚度矩阵：43336532222100kkkkkkkkkkkkK第四章第四章 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 4.1 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程例：写出例：写出 M 、 K 及及运动微分方程运动微分方程 m1m2k3k1k2P1(t)P2(t)m3k4k5k6P3(t)解：解：先只考虑静态先只考虑静态 令令 T001 X 2111kkk221kk 031k 令令 T010 X212kk653222kkkkk332kk令令 T100 X013k323kk4333kkk刚度矩阵：刚度矩阵：4

23、3336532222100kkkkkkkkkkkkK第四章第四章 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 4.1 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程只考虑动态只考虑动态 令令 T001 X 21m31mm1m2k3k1k2P1(t)P2(t)m3k4k5k6P3(t)只使只使m1产生单位加速度，产生单位加速度，m2和和m3加速度为零加速度为零所需施加的力：所需施加的力：111amF 11 m1m11m所需施加的力：所需施加的力：0222amF0333amF001m在三个质量上施加力在三个质量上施加力能够使得能够使得001321xxxX 系统质量矩阵的第一列系统质量矩阵的第一列m1产

24、生单位加产生单位加速度的瞬时，速度的瞬时，m2和和m3尚没尚没有反应有反应第四章第四章 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 4.1 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程只考虑动态只考虑动态 令令 T001 X 21m31mm1m2k3k1k2P1(t)P2(t)m3k4k5k6P3(t)只使只使m1产生单位加速度，产生单位加速度，m2和和m3加速度为零加速度为零.所需施加的力：所需施加的力：111amF 11 m1m11m所需施加的力：所需施加的力：0222amF0333amFm1产生单位加产生单位加速度的瞬时，速度的瞬时，m2和和m3尚没尚没有反应有反应.质量矩阵：质量矩阵：?

25、0?0?1mM第四章第四章 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 4.1 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程同理同理m1m2k3k1k2P1(t)P2(t)m3k4k5k6P3(t)?00?0?021mmM令令 T010 X 第四章第四章 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 4.1 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程同理同理m1m2k3k1k2P1(t)P2(t)m3k4k5k6P3(t)321000000mmmM令令 T010 X 令令 T100 X 第四章第四章 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 4.1 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程令令

26、 T001 X 111mm021m031m有：有：令令 T010 X 012 m222mm 032 m有：有：令令 T100 X 013 m023 m333mm 有：有：m1m2k3k1k2P1(t)P2(t)m3k4k5k6P3(t)质量矩阵：质量矩阵：321000000mmmM第四章第四章 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 4.1 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程43336532222100kkkkkkkkkkkkK321000000mmmM )()()(00000000321321433365322221321321tPtPtPxxxkkkkkkkkkkkkxxxmm

27、m 运动微分方程：运动微分方程： m1m2k3k1k2P1(t)P2(t)m3k4k5k6P3(t)(tPKXXM 外力外力列阵列阵矩阵形式：矩阵形式：第四章第四章 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 4.1 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程小结：小结： 刚度矩阵刚度矩阵 K 中的元素中的元素 kij 是使系统仅在第是使系统仅在第 j 个坐标上产生单个坐标上产生单位位移而相应于第位位移而相应于第 i 个坐标上所需施加的力。个坐标上所需施加的力。 质量矩阵质量矩阵 M 中的元素中的元素 是使系统仅在第是使系统仅在第 j 个坐标上产生单个坐标上产生单位加速度而相应于第位加速度而相

28、应于第 i 个坐标上所需施加的力。个坐标上所需施加的力。ijm、ijmijk 又分别称为又分别称为质量影响系数质量影响系数和和刚度影响系数刚度影响系数。根据它们的物。根据它们的物理意义可以直接写出矩阵理意义可以直接写出矩阵 M 和和 K，从而建立作用力方程，这种，从而建立作用力方程，这种方法称为方法称为影响系数方法或动静法。影响系数方法或动静法。刚度矩阵和质量矩阵第第j个坐标产个坐标产生单位位移生单位位移刚度矩阵第刚度矩阵第j列列系统刚度矩系统刚度矩阵阵j=1n确定确定第第j个坐标单个坐标单位加速度位加速度质量矩阵第质量矩阵第j列列系统质量矩系统质量矩阵阵j=1n确定确定第四章第四章 多自由度

29、系统振动多自由度系统振动 / 4.1 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程位移方程和柔度矩阵)(XMPFX 位移方程位移方程物理意义：物理意义：系统仅在第系统仅在第 j 个坐标受到单位力作用时相个坐标受到单位力作用时相应于第应于第 i 个坐标上产生的位移个坐标上产生的位移. ijf柔度影响系数柔度影响系数 柔度矩阵与刚度矩阵的关系：柔度矩阵与刚度矩阵的关系：1 KFIFK PKXXM XMPKX )(1XMPKX 若若K非奇异非奇异作用力方程作用力方程第四章第四章 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 4.1 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程例：例： 求柔度阵。求柔

30、度阵。 解：解：第四章第四章 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 4.1 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程第四章第四章 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 4.1 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程-拉格朗日法拉格朗日法式中：式中： 、 分别为广义坐标和广义速度；分别为广义坐标和广义速度；T T、U U 分别为系统的动能和位能；分别为系统的动能和位能；D D 能量散失函数；能量散失函数；Q Q 广义干扰力。广义干扰力。 iqiq 第四章第四章 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 4.2 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程-拉格朗日法拉格朗日法拉

31、格朗日法拉格朗日法: :采用拉格朗日方程式来建立系统的运动方程式，这种方法采用拉格朗日方程式来建立系统的运动方程式，这种方法比较规格化，不易出错。而矩阵这一数学工具，则不仅提供了一种简比较规格化，不易出错。而矩阵这一数学工具，则不仅提供了一种简明的表示方法，而且矩阵计算的程序比较成熟，可以利用电子计算机明的表示方法，而且矩阵计算的程序比较成熟，可以利用电子计算机来完成复杂的计算工作。这样，无论在理论探讨上和分析计算上都给来完成复杂的计算工作。这样，无论在理论探讨上和分析计算上都给我们带来很大的方便。我们带来很大的方便。) 1 (iiiiiQqDqUqTqTdtd按拉格朗日方法，系统的振动方程式

32、可以通过按拉格朗日方法，系统的振动方程式可以通过动能动能T T、位能位能U U、能量散能量散失函数失函数D D来表示。即来表示。即321x、x、x23322221121xmxmxmT第四章第四章 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 4.2 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程-拉格朗日法拉格朗日法下图所示为三自由度的弹簧质量系统，下图所示为三自由度的弹簧质量系统，P1P1、P2P2、P3 P3 为分别作用于各质为分别作用于各质量上的干扰力。量上的干扰力。取各自质量偏离其平衡位置的位移取各自质量偏离其平衡位置的位移x1x1、x2x2、x3x3为广义坐标，则广义速为广义坐标，则广义速

33、度度为为系统的动能即为质量系统的动能即为质量m1m1、m2 m2 、m3 m3 的动能之和，即：的动能之和，即：x xcxcxdxcA0221第四章第四章 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 4.2 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程-拉格朗日法拉格朗日法xkxkxdxA0221系统的势能即为弹簧系统的势能即为弹簧1 1、2 2、3 3的变形势能之和。而弹簧的势能可通过计算弹的变形势能之和。而弹簧的势能可通过计算弹性力所作之功来求得。当质量从平衡位置移动距离后，弹簧的弹性恢复力对性力所作之功来求得。当质量从平衡位置移动距离后，弹簧的弹性恢复力对质量所作的功为质量所作的功为223

34、3212221121xxkxxkxkU所以系统的势能为：所以系统的势能为：系统的能量散失函数系统的能量散失函数即为系统在振动过程中为克服阻尼即为系统在振动过程中为克服阻尼c1c1、c2c2、c3c3所作的功。所作的功。在振动速度从在振动速度从0 0到到 的整个过程中，阻尼力对振动质量所作的功为：的整个过程中，阻尼力对振动质量所作的功为：广义干扰力就是激振力，在这一系统中就是分别作用在各质量上的干扰力广义干扰力就是激振力，在这一系统中就是分别作用在各质量上的干扰力P P1 1、P P2 2、P P3 3。故。故 112332222111121xmxmxmxmxdtdxTdtd 021233222

35、21111xmxmxmxxT22121223321222111121xkxkkxxkxxkxkxxU22121223321222111121xcxccxxcxxcxcxxD第四章第四章 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 4.2 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程-拉格朗日法拉格朗日法所以系统的能量散失函数为：所以系统的能量散失函数为：2233212221121xxcxxcxcD1221212212111Pxkxkkxcxccxm 222332222112221xmxmxmxmxdtdxTdtd 02xT3323212223321222112221xkxkkxkxxkxxkxk

36、xxU3323212223321222112221xcxccxcxxcxxcxcxxD23323212332321222Pxkxkkxkxcxccxcxm 将上式各式再代入（1）式，即可求得质量m2的振动方程为:将上列各式代入（1）式，即可求得质量m1的振动方程为：又第四章第四章 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 4.2 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程332332222113321xmxmxmxmxdtdxTdtd 03xT2333223321222113321xkxkxxkxxkxkxxU2333223321222113321xcxcxxcxxcxcxxD3332333

37、2333Pxkxkxcxcxm 又 将上列各式仍代入（1）式，即可求得质量m3的振动方程为:综合以上的计算结果，将上述三式式组成下列微分方程组，即得图所示系统的运动微分方程式：第四章第四章 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 4.2 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程-拉格朗日法拉格朗日法上式可用矩阵形式表达为：其中各列阵及系数矩阵分别为： 位移列阵 速度列阵 1221212212111Pxkxkkxcxccxm 23323212332321222Pxkxkkxkxcxccxcxm 33323332333Pxkxkxcxcxm )2(Pxkxcxm 321xxxx 221xxx

38、x第四章第四章 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 4.2 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程-拉格朗日法拉格朗日法 321xxxx 321PPPP 321000000mmmm 33332222100cccccccccc 32332222100kkkkkkkkkk干扰力列阵加速度列阵质量矩阵阻尼矩阵刚度矩阵第四章第四章 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 4.2 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程-拉格朗日法拉格朗日法 若在上述系统中忽略阻尼，又无干扰力的作用，则系统的无阻尼自由振动方程式可根据（2）式用矩阵形式直接写出： 其中，零列阵（null column

39、matrix）为： 若系统的自由度数为n，则位移列阵x、速度列阵 、加速度列阵 ，以及干扰力列阵P均为n阶列阵。而质量矩阵 m 、阻尼矩阵 c ，以及刚度矩阵 k 则均为n阶对称的方阵。 还必须注意，当我们将弹性体离散化成有限自由度系统时，得到的质量矩阵m不一定都是前例那样的对角阵（diagonal matrix）。因此，以后我们按为一般非对角阵进行讨论。 0 xkxm 0000 x x 第四章第四章 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 4.2 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程-拉格朗日法拉格朗日法iiiiiQqDqUqTqTdtd)(223122331()2iTm xm x

40、m x2221 12213321()() 2Uk xkxxkxx 221133211()22Dc xc xx123, ,pQpp解：拉格拉日方程的形式为：其中：T动能；U势能；D能量耗散函数（阻尼功率）iQ广义力；iq广义坐标；t时间。 p(t)mcmkp(t)p(t)mx1k1222xk2x33c131313例：用拉格拉日方程求图示系统作用力方程。对于对于m111111;()TdTm xm xxdtx1 122111112211110;()()TUk xkxxxxDc xc xxc xx所以方程为：所以方程为：)()(111122111 1tpxcxxkxkxm同理：对于同理：对于m2和和m

41、3分别有：分别有：)()()()()()()(32332333 322332331222 2tpxxcxxkxmtpxxcxxkxxkxm)()()()()()()()()(3233233332233233122221111221111tpxxcxxkxmtpxxcxxkxxkxmtpxcxxkxkxm 所以，系统的运动方程为：所以，系统的运动方程为：p(t)mcmkp(t)p(t)mx1k1222xk2x33c131313第四章第四章 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 4.2 拉格朗日法求多自由度系统的动力学方程拉格朗日法求多自由度系统的动力学方程第四章第四章 多自由度系统振动多自由度系

42、统振动 / 4.2 拉格朗日法求多自由度系统的动力学方程拉格朗日法求多自由度系统的动力学方程第四章第四章 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 4.2 拉格朗日法求多自由度系统的动力学方程拉格朗日法求多自由度系统的动力学方程第四章第四章 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 4.2 拉格朗日法求多自由度系统的动力学方程拉格朗日法求多自由度系统的动力学方程第四章第四章 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 4.2 拉格朗日法求多自由度系统的动力学方程拉格朗日法求多自由度系统的动力学方程 耦合与坐标变换矩阵中非零的非对角元元素称为矩阵中非零的非对角元元素称为耦合项。耦合项。质量矩阵中出现耦合项称为

43、质量矩阵中出现耦合项称为惯性耦合。惯性耦合。刚度矩阵或柔度矩阵中出现耦合项称为刚度矩阵或柔度矩阵中出现耦合项称为弹性耦合。弹性耦合。以两自由度系统为例以两自由度系统为例:221100mmM不存在惯性耦合不存在惯性耦合22211211mmmmM 22211211kkkkK22211211mmmmM存在惯性耦合存在惯性耦合第四章第四章 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 4.3耦合与坐标变换如果系统仅在第一个坐标上产生加速度如果系统仅在第一个坐标上产生加速度22211211mmmmM221100mmM0, 021xx 00012211xmm 0122211211xmmmm 不出现惯性耦合时，一个

44、坐标上不出现惯性耦合时，一个坐标上产生的加速度只在该坐标上引起产生的加速度只在该坐标上引起惯性力惯性力. 同理，不出现弹性耦合时，一个坐标上产生的位移只同理，不出现弹性耦合时，一个坐标上产生的位移只在该坐标上引起弹性恢复力；而出现弹性耦合时，一个坐在该坐标上引起弹性恢复力；而出现弹性耦合时，一个坐标上产生的位移还会在别的坐标上引起弹性恢复力标上产生的位移还会在别的坐标上引起弹性恢复力.0111xm 121111xmxm 耦合耦合非耦合非耦合出现惯性耦合时，一个坐标上出现惯性耦合时，一个坐标上产生的加速度还会在别的坐标产生的加速度还会在别的坐标上引起惯性力上引起惯性力.第四章第四章 多自由度系统

45、振动多自由度系统振动 / 4.3耦合与坐标变换例：例：研究汽车上研究汽车上下振动和俯仰振动下振动和俯仰振动的力学模型。的力学模型。表示车体的刚性杆表示车体的刚性杆AB的质量为的质量为m，杆，杆绕质心绕质心C的转动惯的转动惯量为量为Ic。悬挂弹簧和前后轮胎的弹性用刚度为悬挂弹簧和前后轮胎的弹性用刚度为 k1 和和 k2 的两个弹簧来表示。的两个弹簧来表示。写出车体微振动的微分方程。写出车体微振动的微分方程。选取选取D点的垂直位移点的垂直位移 和绕和绕D点的角位移点的角位移 为坐标。为坐标。DDxABCDa1a2el1l2lk1k2第四章第四章 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 4.3耦合与坐

46、标变换ABCDa1a2el1l2lk1k2ABCDa1a2el1l2lk1k2简化形式简化形式第四章第四章 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 4.3耦合与坐标变换耦合与坐标变换首先求刚度矩阵首先求刚度矩阵令：令：对对D点取矩：点取矩：力平衡：力平衡：ABCDa1a2el1l2lk1k21 Dx0 D212111 11kkkkk 11 kDxCD12 k11k21k01122112221 11akakakakk 车体所受外力向车体所受外力向D点简化为点简化为合力合力 PD 和合力矩和合力矩 MD 。微振动，杆质心的垂直位移微振动，杆质心的垂直位移、杆绕质心的角位移：、杆绕质心的角位移：DDC

47、exx DC 第四章第四章 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 4.3 耦合与坐标变换耦合与坐标变换令：令：对对D点取矩：点取矩：力平衡：力平衡：ABCDa1a2el1l2lk1k20 Dx1 D2111kkk 112221akakk 11ak CD22ak22k12k1 D12221 1kk ak a22221122akakk 刚度矩阵：刚度矩阵： 2222111122112221akakakakakakkk第四章第四章 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 4.3 耦合与坐标变换耦合与坐标变换求质量矩阵求质量矩阵令：令：1 Dx 0 D ABCDa1a2el1l2lk1k21 mDxCD

48、11m21m0惯性力惯性力质心质心C所受的惯性力：所受的惯性力：力平衡：力平衡：mmm 111meemm 121力矩平衡：力矩平衡：1 m第四章第四章 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 4.3 耦合与坐标变换耦合与坐标变换令：令：0 Dx 1 D ABCDa1a2el1l2lk1k2质心质心C所受的惯性力矩：所受的惯性力矩：力平衡：力平衡：mm 11mem 21对对D点取矩：点取矩：1 CI1 CIDxCD12m22m0惯性力矩惯性力矩惯性力惯性力emD ) 1( CD mem 12222 1meIemeImCC 质心质心C所受的惯性力：所受的惯性力：meemD 2meImememC质量矩

49、阵：质量矩阵：第四章第四章 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 4.3 耦合与坐标变换耦合与坐标变换 2meImememC质量矩阵质量矩阵刚度矩阵刚度矩阵 2222111122112221akakakakakakkk运动微分方程运动微分方程12221 1222221 11 122DDDCDDDmmexkkk ak axFmeImek ak ak ak aM DDFM、：作用在：作用在D点的外力合力和合力矩点的外力合力和合力矩第四章第四章 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 4.3 耦合与坐标变换耦合与坐标变换如果如果D点选在这样一个点选在这样一个特殊位置，使得：特殊位置，使得：212222

50、1111221122212QQxakakakakakakkkxmeImememDDDDC ABCDa1a2el1l2lk1k2122221 12200DDDCDDDmmexkkxPmeImek ak aM只存在惯性耦合，而不出现弹性耦合只存在惯性耦合，而不出现弹性耦合1221kkaa 第四章第四章 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 4.3 耦合与坐标变换耦合与坐标变换如果如果D点选在质心点选在质心C：12221 1222221 11 122DDDCDDDmmexkkk ak axPmeImek ak ak ak aMABCDa1a2el1l2lk1k2只存在弹性耦合，而不出现惯性耦合。只存

51、在弹性耦合，而不出现惯性耦合。12221 122221 11 12200CCCCCCCmxxPkkk ak aIMk ak ak ak a0e第四章第四章 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 4.3 耦合与坐标变换耦合与坐标变换问：问：能否找到这样一种坐标使得系统的运动微分方程既不出能否找到这样一种坐标使得系统的运动微分方程既不出现惯性耦合，也不出现弹性耦合？现惯性耦合，也不出现弹性耦合？212122112122110000PPxxkkxxmm 即：即：若能够，则有：若能够，则有：1111111Pxkxm 2222222Pxkxm 方程解耦，变成了两个单自由度问题。方程解耦，变成了两个单自由

52、度问题。使系统运动微分方程的全部耦合项全部解耦的坐标称为使系统运动微分方程的全部耦合项全部解耦的坐标称为主坐标主坐标。第四章第四章 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 4.3 耦合与坐标变换耦合与坐标变换讨论：讨论：能对同一个系统选取两个不同的坐标，它们能对同一个系统选取两个不同的坐标，它们所描述的运动微分方程之间有着怎样的联系？所描述的运动微分方程之间有着怎样的联系？ABCDa1a2el1l2lk1k2 选取选取D点的垂直位点的垂直位移及角位移作为坐标移及角位移作为坐标; DDDDDDCMPxakakakakakakkkxmeImemem22221111221122212 选取质心选取质心

53、C点的垂点的垂直位移及角位移作为坐直位移及角位移作为坐标标; CCCCCCCMPxakakakakakakkkxIm222211112211222100 第四章第四章 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 4.3 耦合与坐标变换耦合与坐标变换 DDDDDDCMPxakakakakakakkkxmeImemem22221111221122212 CCCCCCCMPxakakakakakakkkxIm222211112211222100 令：令：DDDDDFXKXM DDDDDDMPxFX,令：令： CCCCCCMPxFX,CCCCCFXKXM 第四章第四章 多自由度系统振动多自由度系统振动 /

54、4.3 耦合与坐标变换耦合与坐标变换D点和点和C点的坐标之间的关系：点的坐标之间的关系：DDDDDFXKXM TDDDx,X写成矩阵形式：写成矩阵形式：CCCCCFXKXM TCCCx,XTDDDMP, FTCCCMP, FDDCexx DC CDTXX101eT坐标变换矩阵坐标变换矩阵eDCCDCxDxCCDDxex101第四章第四章 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 4.3 耦合与坐标变换耦合与坐标变换D点和点和C点的坐标之间的关系：点的坐标之间的关系：DDDDDFXKXM TDDDx,X写成矩阵形式：写成矩阵形式：CCCCCFXKXM TCCCx,XTDDDMP, FTCCCMP,

55、FDDCexx DC CDTXX101eT坐标变换矩阵坐标变换矩阵eDCCDCxDxDCDPDPDPDMCPCMCDCF和和 的关系的关系DF在在C点加一对大小相等、方向相反的力点加一对大小相等、方向相反的力DPDCPP 得：得：DDCMePM写成矩阵形式：写成矩阵形式：DTCFTF DDCCMPeMP101第四章第四章 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 4.3 耦合与坐标变换耦合与坐标变换D点和点和C点的坐标之间的关系：点的坐标之间的关系：DDDDDFXKXM TDDDx,X写成矩阵形式：写成矩阵形式：CCCCCFXKXM TCCCx,XTDDDMP, FTCCCMP, FDDCexx

56、DC CDTXX101eT坐标变换矩阵坐标变换矩阵eDCCDCxDxDCDPDPDPDMCPCMCDCF和和 的关系的关系DF在在C点加一对大小相等、方向相反的力点加一对大小相等、方向相反的力DPDCPP 得：得：DDCMePM写成矩阵形式：写成矩阵形式：DTCFTF T 非奇异，因此：非奇异，因此：CTDFTF1)( 第四章第四章 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 4.3 耦合与坐标变换耦合与坐标变换DDDDDFXKXM TDDDx,XCCCCCFXKXM TCCCx,XTDDDMP, FTCCCMP, FCDTXX101eT验证：验证：DTCFTF CTDFTF1)( 代入，并左乘代入

57、，并左乘 ：TTDTCDTCDTFTTXKTXTMT CDTMTMTCCDTKTXKT2meImememCDMCCIm00MCCImemeImememe001011012CF第四章第四章 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 4.3 耦合与坐标变换耦合与坐标变换TYX PKXXM PTKTYTYMTTTTT 如果恰巧如果恰巧Y 是主坐标：是主坐标：MTTTKTTT对角阵对角阵这样的这样的T 是否存在？如何寻找？是否存在？如何寻找？第四章第四章 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 4.3 耦合与坐标变换耦合与坐标变换当当T 矩阵非奇异时，称矩阵矩阵非奇异时，称矩阵A 与矩阵（与矩阵（TTAT）

58、 合同。合同。对于质量矩阵也如此。对于质量矩阵也如此。线性代数知，线性代数知， 合同矩阵具有相同的对称性质与相同的正定性质。合同矩阵具有相同的对称性质与相同的正定性质。对称性质：对称性质： 若矩阵若矩阵A 对称，则（对称，则（TTAT）对称。）对称。证明：证明：矩阵矩阵A 对称，对称，AAT则有：则有：(TTAT)TTTAT(TT)TTTAT正定性质：正定性质：若原来的刚度矩阵若原来的刚度矩阵K 正定，则（正定，则（TTKT）仍正定。）仍正定。因此坐标变换因此坐标变换X TY 不改变系统的正定性质。不改变系统的正定性质。第四章第四章 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 4.3 耦合与坐标变换

59、耦合与坐标变换小结：耦合与坐标变换质量矩阵中出现耦合项称为质量矩阵中出现耦合项称为惯性耦合。惯性耦合。刚度矩阵或柔度矩阵中出现耦合项称为刚度矩阵或柔度矩阵中出现耦合项称为弹性耦合。弹性耦合。不出现惯性耦合时，一个坐标上不出现惯性耦合时，一个坐标上产生的加速度只在该坐标上引起产生的加速度只在该坐标上引起惯性力惯性力.不出现弹性耦合时，一个坐标不出现弹性耦合时，一个坐标上产生的位移只在该坐标上引上产生的位移只在该坐标上引起弹性恢复力起弹性恢复力. 同一个系统选择两种不同的坐标同一个系统选择两种不同的坐标X 和和Y 有变换关系：有变换关系：TYX PKXXM PTKTYTYMTTTTT 第四章第四章

60、 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 4.3 耦合与坐标变换耦合与坐标变换4-4 多自由度体系的固有频率与主振型多自由度体系的固有频率与主振型主要问题主要问题4-4-1 多自由度系统的固有频率与主振型4-4-3 主坐标与正则坐标4-4-2 主振型的正交性第四章第四章 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 4.4 多自由度系统自由振动多自由度系统自由振动4-4-1 多自由度系统的固有频率与主振型 主振动主振动n个自由度系统的自由振动方程个自由度系统的自由振动方程0 xKxM 设系统存在某种设系统存在某种同步运动同步运动)(tfAx 各广义坐标的各广义坐标的运动幅值不同运动幅值不同 各广义坐标随