弹性力学—平面问题的直角坐标解答

1、第三节第三节 位移分量的求出位移分量的求出第四节第四节 简支梁受均布荷载简支梁受均布荷载第五节第五节 楔形体受重力和液体压力楔形体受重力和液体压力例题例题教学参考资料教学参考资料第一节第一节 多项式解答多项式解答第二节第二节 矩形梁的纯弯曲矩形梁的纯弯曲第三章 平面问题的直角坐标解答逆解法步骤:04 sxyyysxyxxlmfmlf)()(逆解法xyyx , , 先找出满足 的解 在给定边界形状下，由下式反推出 各边界上的面力， 求出31 1 多项式解答多项式解答第三章 平面问题的直角坐标解答例1 一次式 =ax+by+c,对应于无体力， 无面力，无应力状态。 故：应力函数加减一次式，不影响应

2、力。例2 二次式 ，分别表示常量 的应力和边界面力。如图示。22cybxyax逆解法2a2aoyxoyxoyxbbbb2c2c第三章 平面问题的直角坐标解答例3逆解法 设图中所示的矩形长梁，l h，试考察应力函数 能解决什么样的受力问题？)43(2223yhxyhFyxol h/2 h/2 ( l h)第三章 平面问题的直角坐标解答解：按逆解法。 1. 将 代入相容方程，可见 是满足的。 有可能成为该问题的解。04 2. 由 求出应力分量)41 (2301222222322hyhFyxxhFxyyxyyx第三章 平面问题的直角坐标解答 由边界形状和应力分 量反推边界上的面力。 在主要边界（大边

3、界） 上， 2/hy, 0y0yx 2/hy 因此，在 的边界面上，无任何面力作用，即0yxff)41 (2301222222322hyhFyxxhFxyyxyyx第三章 平面问题的直角坐标解答在x = 0，l的次要边界（小边界）上，)41 (23)( 12)( ),();41 (23)( 0)( ),(02232200hyhFyhFlxlxhyhFxxlxxylxxxxyxx面正面负)41 (2301222222322hyhFyxxhFxyyxyyx第三章 平面问题的直角坐标解答 在x = 0,l 小边界上的面力 如下图中(b) 所示，而其主矢量和主矩如(c)所示。 由此，可得出结论：上述应

4、力函数可以解决悬臂梁在x = 0处受集中力F作用的问题。yxff ,FFM(c)(b)第三章 平面问题的直角坐标解答3-2 矩形梁的纯弯曲矩形梁的纯弯曲 梁lh1，无体力，只受M作用（力矩/单宽，与力的量纲相同）。本题属于纯弯曲问题。 问题提出 h/2 h/2lyx ( l h)oMM第三章 平面问题的直角坐标解答 由逆解法得出，可取 ，且满足 求应力 04 ayx60 xyy3ay(a)求解步骤： 本题是平面应力问题,且为单连体，若按 求解， 应满足相容方程及 上的应力边界条件。ss 第三章 平面问题的直角坐标解答 检验应力边界条件，原则是: 边界条件 b.后校核次要边界（小边界），若不能精

5、确满足应力边界条件，则应用圣维南原理，用积分的应力边界条件代替。 a.先校核主要边界（大边界），必须精确满足应力边界条件。第三章 平面问题的直角坐标解答主要边界 2/hy0)(2/ hyy)( 0)(2/bhyxy 从式(a)可见，边界条件(b)均满足。0)(,0lxxy满足。主要边界次要边界x=0,l,(c) 的边界条件无法精确满足。x第三章 平面问题的直角坐标解答次要边界)d(Mydy)(,yd)(l ,x/h/hx/h/hl ,xx。101022220用两个积分的条件代替 第三章 平面问题的直角坐标解答 当 时，即使在 边界上面力不同于 的分布，其误差仅影响梁的两端部分上的应力。式(d)

6、的第一式自然满足，由第二式得出。3/2hMa最终得应力解,123yIMyhMx(e)hl lx, 0 x0 xyy第三章 平面问题的直角坐标解答 思考题 如果区域内的平衡微分方程已经满足，且除了最后一个小边界外，其余的应力边界条件也都分别满足。则我们可以推论出，最后一个小边界上的三个积分的应力边界条件（即主矢量、主矩的条件）必然是满足的，因此可以不必进行校核。试对此结论加以说明。第三章 平面问题的直角坐标解答3-3 位移分量的求出位移分量的求出 在按应力求解中，若已得出应力，如何求出位移？以纯弯曲问题为例，已知, yIMx0 xyy试求解其位移。问题提出第三章 平面问题的直角坐标解答1. 由物

7、理方程求应变。0E)1(2, yEIM)(E1, yEIM)(E1xyxyxyyyxx求形变第三章 平面问题的直角坐标解答2. 代入几何方程求位移)( 0)( ,)( ,cyuxvbyEIMyvayEIMxuxyyx。求位移第三章 平面问题的直角坐标解答 对式(a) 积分 ),(1yfxyEIMu 对式(b) 积分 。)x(fyEI2Mv22求位移第三章 平面问题的直角坐标解答 再代入(c) , 并分开变量，)(dy(y)dfdx(x)dfEIMx12 上式对任意的 x , y 都必须成立，故两边都必须为同一常量 。求位移第三章 平面问题的直角坐标解答由此解出02201vxxEI2M)x(fu

8、y)y(f求位移0220vxxEI2MyEI2MvuyxyEIMu得出位移为3.待定的刚体位移分量 ，00,vu须由边界约束条件来确定。第三章 平面问题的直角坐标解答归纳：从应力求位移步骤：vu,。 ,v,u003.由边界约束条件确定刚体位移分量2.代入几何方程，积分求 ； 由物理方程求出应变；第三章 平面问题的直角坐标解答2. 铅直线的转角 故在任一截面x 处，平面截面假设成立。纯弯曲问题的讨论：1. 弯应力 与材力相同；xxEIMyu3.纵向纤维的曲率 （常体力），同材力。故在纯弯曲情况下，弹力解与材力解相同。 EIMxv221第三章 平面问题的直角坐标解答思考题 1. 弹性力学中关于纯弯

9、曲梁的解答，与材 料力学的解答在应力、应变等方面完全 一致。由此是否可以说在纯弯曲情况下 材料力学中的平截面假设成立？ 2. 试证明刚体位移 实际上表示弹 性体中原点的平移和转动分量，并应用 本节的解答加以验证。（提示：微分体 的转动分量 ）,v,u00yuxv21第三章 平面问题的直角坐标解答3-4 简支梁受均布荷载简支梁受均布荷载简支梁 ，受均布荷载 及两端支撑反力 。12hlq。ql问题qqlqlyxoll h/2 h/2第三章 平面问题的直角坐标解答,)(21)( 2xlqxlqMx);()()( 3212yfyxfyfxx 可假设),( xlqqlFsxy);()( 21yfyxfx

10、y可假设常数 qy。可假设)( yfy采用此假设。半逆解法按半逆解法求解。 假设应力分量。由材力qFMysx,第三章 平面问题的直角坐标解答 由应力分量推出应力函数的形式。由),(22yfxy对 x 积分，),()(1yfyxfx。)()()(2212yfyxfyfx对x再积分，(a)半逆解法第三章 平面问题的直角坐标解答 将 代入相容方程，求解 。0)d)(d2d)(d(d)(dd)(d2122424414244yyfyyfxyyfxyyf相容方程对于任何 均应满足,故yx,012,xxx的系数均应等于0。由此得三个常微分方程。半逆解法第三章 平面问题的直角坐标解答,610,23452231

11、23KyHyyByAfGyFyEyfDCyByAyf式(b)中已略去对于 的一次式。将式(b)代入式(a)，即得 。(b)半逆解法解出:第三章 平面问题的直角坐标解答 对称性条件由于结构和荷载对称于 轴，故 应为 的偶函数， 为 x的奇函数，故 。 由 求应力。yyx ,xxy0GFE,半逆解法 在无体力下，应力公式如书中式( f ), (g),(h)所示。第三章 平面问题的直角坐标解答 考察边界条件。0)( ,)( , 0)(2/2/2/hyxyhyyhyyq由此解出系数A , B , C , D 。 主要边界, 02/ hy主要边界第三章 平面问题的直角坐标解答次要边界x=l。qldyyd

12、ydyhhlxxylxhhxlxhhx1)(, 01)(, 01)(2/2/2/2/2/2/次要边界由此解出H，K另一次要边界(x=-l )的条件，自然满足。应用圣维南原理，列出三个积分条件，第三章 平面问题的直角坐标解答最后应力解答：)534()(622223hyhyqyxlhqx)534(22hyhyqyIM应力bISFyhxhqSxy)4(62232)21)(1 (2hyhyqy第三章 平面问题的直角坐标解答应力的量级当 时, x l 同阶，y h 同阶hl x 第一项 同阶,（与材力解同）2)(hlq第二项 同阶;（弹力的修正项）qxy)(hlq同阶；（与材力解同）应力的量级yq同阶；

13、 （材力中不计）第三章 平面问题的直角坐标解答当 时, 量级的值很小,可以不计。应力与材力解比较:最主要量级 ,和次要量级 ,在材力中均已反映,且与弹力相同。2)(hlqhlq最小量级 , 在材力中没有。q当 时, 占主项 的1/15 ( 6 %) ,hl yIMhl q应力比较第三章 平面问题的直角坐标解答弹力与材力的解法比较:应力比较 弹力严格考虑并满足了域内的平衡微分方程 ,几何方程和物理方程,以及S上的所有边界条件(在小边界上尽管应用了圣维南原理,但只影响小边界附近的局部区域)。 材力在许多方面都作了近似处理,所以得出的是近似解答。第三章 平面问题的直角坐标解答几何条件中引用平截面假定

14、 沿 为直线分布；bxhdxu,yy例如：边界条件也没有严格考虑；材力解往往不满足相容条件。平衡条件中，略去 作用，没有考虑微分体的平衡，只考虑 的内力平衡；物理方程中采用的是简化后的一维物理方程；第三章 平面问题的直角坐标解答 对于杆件，材力解法及解答具有足够的精度，对于非杆件，不能用材力解法求解，应采用弹力解法求解。第三章 平面问题的直角坐标解答3-5 3-5 楔形体受重力及液体压力楔形体受重力及液体压力 设有楔形体，左面垂直，顶角为，下端无限长，受重力及齐顶液体压力。, 0 xfgfyoyxn2gg第三章 平面问题的直角坐标解答用半逆解法求解。应力 , 而应力的量纲只比高一次（L），应力

15、 (x , y 一次式）即可假设应力为x , y 的一次式。gg, gg, （1）用量纲分析法假设应力gg, 第三章 平面问题的直角坐标解答（2）由应力与 关系式， 应为x,y的纯纯三次式（3） 满足相容方程04 （4）由 求应力，dycxxfyxx6222gybyaxyfxyy2622cybxyxxy2223223dycxyybxax第三章 平面问题的直角坐标解答（5）考察边界条件本题只有两个大边 界，均应严格满足应力边界条件。 x=0 铅直面，,)(0gyxx, 0)(0 xxy解出6gd0c)(a解出第三章 平面问题的直角坐标解答tanyx 斜边界上，0)(tanyxyxxml0)(ta

16、nyxxyylm)(b须按一般的应力边界条件来表示，有第三章 平面问题的直角坐标解答其中cos),cos(xnlsin)y,ncos(m由式（b)解出a、b,最后的应力解答)( cot)cot( )cotcot(223cgxyggxg2ggyxyyx应力第三章 平面问题的直角坐标解答水平截面上的应力分布如图所示。xyyx第三章 平面问题的直角坐标解答楔形体解答的应用 作为重力坝的参考解答： 分缝重力坝接近平面应力问题， 在坝体中部的应力，接近楔形体的解答。 重力坝规范规定的设计方法 材料力学解法 重力坝的进一步分析，可按有限单元法进行。第三章 平面问题的直角坐标解答例题1例题2例题3例题4例题

17、8例题7例题6例题5第三章 平面问题的直角坐标解答例题1 设单位厚度的悬臂梁在左端受到集中力和力矩的作用，体力可以不计， 图3-5，试用应力函数 求解应力分量。hl 332DxyCyByAxy第三章 平面问题的直角坐标解答332DxyCyByAxy图3-5xxyMsFNFydyyxl h/2 h/2o) 1,(hl第三章 平面问题的直角坐标解答解： 本题是较典型的例题，已经给出了应力函数 ，可按下列步骤求解。1. 将 代入相容方程，显然是满足的。2. 将 代入式(2-24)，求出应力分量。)3( , 0,6622DyADxyCyBxyyx第三章 平面问题的直角坐标解答 考察边界条件： 主要边界

18、 上应精确满足式(2-15),2/hy )( 043 , 0)( , 0)(22/2/aDhAhyxyhyy得满足；第三章 平面问题的直角坐标解答 在次要边界x=0上，只给出了面力的主矢量和主矩，应用圣维南原理，用三个积分的边界条件代替。注意x=0是负x面，图3-5中表示了负x面上的 的正方向，由此得：xyx 和第三章 平面问题的直角坐标解答)( 41 ,d) (;2 ,d) (;2 ,d) (302/2/302/2/02/2/bFDhAhFyhMCMyyhFBFyssxxYhhxxhhNNxxhh得得得第三章 平面问题的直角坐标解答由(a),(b) 解出 2 ,23 3hFDhFAss 最后

19、一个次要边界条件(x=l上)，在平衡微分方程和上述边界条件均已满足的条件下，是必然满足的，故不必再校核。第三章 平面问题的直角坐标解答代入应力公式，得)41 (23 0, ,1212 2233hyhFxyhFyhMhFsxyysNx第三章 平面问题的直角坐标解答例题2 挡水墙的密度为 ，厚度为b,图示,水的密度为 ，试求应力分量。12yox2b2bg1g2第三章 平面问题的直角坐标解答解：用半逆解法求解。 假设应力分量的函数形式。 因为在 y=-b/2边界上， y=b/2 边界上， ，所以可假设在区域内 沿x 向 也是一次式变化，即 ; 0ygxy2y。)(yxfy第三章 平面问题的直角坐标解

20、答2. 按应力函数的形式，由 推测 的形式)()()(6 , )()(2 ),( 2131222yfyxfyfxyfy fxxyxfxy则y第三章 平面问题的直角坐标解答3. 由相容方程求应力函数。代入 得04 0dd2dddddd622424414443yfxyfyfxyfx要使上式在任意的x处都成立，必须 第三章 平面问题的直角坐标解答23242423451224142344 0dd;610 0dd2dd; 0ddFyEyf yfIyHyGyyByAfyfyfDCyByAyfyf得得得 代入 ，即得应力函数的解答，其中已略去了与应力无关的一次式。第三章 平面问题的直角坐标解答 4. 由应力

21、函数求解应力分量。将 代入式(2-24) ,注意 体力求得应力分量为0 ,1yxfgfgxFEyHGyByAyxBAyxxfyxx123322)26()2622( )3( 第三章 平面问题的直角坐标解答)23322( )23(2 ),( 2342222322IHyGyyByACByAyxyxDCyByAyxyfxxyyy第三章 平面问题的直角坐标解答5. 考察边界条件： 主要边界 上,有2/by0)431232( ) 43( 2 , 0) ()(;0)248( , 0) ()( ;)248( ,) (234222/232/22322/IHbbGbBbACBbbAxbDbCbBbAxagxDbC

22、bBbAxgxbyxybyybyy得得得第三章 平面问题的直角坐标解答由上式得到),( 0431232),( 0 432342feIHbbGbBbAdcCBbbA第三章 平面问题的直角坐标解答求解各系数，由 0C43 )()( , 21 0, )()( , 2128 )()( ,21 4 )()(222322。得得得得bAdcgDBdcgbCbAbagDbBba第三章 平面问题的直角坐标解答由此得 23 ,2223。gbCgbA又有 04332 )()(0 )()(24IbGbAfeHfe得，得代入A,得)( 431622gGbgbI第三章 平面问题的直角坐标解答 在次要边界（小边界）x=0上

23、，列出三个积分的边界条件：)( 480 , 0d) (; 0 , 0d) (; 0 , 0d) (2202/2/02/2/02/2/hGbgbIyEyyFyxxybbxxbbxxbb得得得由式(g),(h)解出 101 ,8022gbGgbI第三章 平面问题的直角坐标解答代入应力分量的表达式得最后的应力解答：。)80103()433( );21322( ,4532 332322233213322332ybbybygybbygxbybygxgxxybgxybgyxbgxyyx第三章 平面问题的直角坐标解答例题3已知42223422222 )()()( )(EyDxyyCxyBxAxbyxCBxy

24、xaAya试问它们能否作为平面问题的应力函数？第三章 平面问题的直角坐标解答解：作为应力函数，必须首先满足相容方程，04 将 代入，(a) 其中A= 0，才可能成为应力函数； 必须满足 3(A+E)+C=0,才可能成为应力函数。第三章 平面问题的直角坐标解答例题4图中所示的矩形截面柱体，在顶部受有集中力F和力矩 的作用，试用应力函数求解图示问题的应力及位移，设在A点的位移和转角均为零。2FbM 23BxAx第三章 平面问题的直角坐标解答bbAyxhOFFb/2) 1,(bh第三章 平面问题的直角坐标解答解： 应用应力函数求解：(1) 校核 相容方程 ，满足04 (2) 求应力分量 ，在无体力时

25、，得0 ,26xyxyBAx(3) 考察主要边界条件，均已满足。 0 , 0 , xyxbx第三章 平面问题的直角坐标解答考察次要边界条件，在y=0上，。得得满足；20008 ,2d)(;2 ,d)( , 0)(bFAFbxxbFBFxbbyybbyyyxy第三章 平面问题的直角坐标解答 上述应力已满足了 和全部边界条件，因而是上述问题的解。04 代入，得应力的解答，0 ),231 (2xyxybxbF第三章 平面问题的直角坐标解答(4) 求应变分量，。0 ),231 (2),231 (2xyyxbxEbFbxEbF第三章 平面问题的直角坐标解答(5) 求位移分量，)()23(2 ),231

26、(2 );()43(2 ),231 (2212xfbxyyEbFvybxEbFyvyfbxxEbFuxbxEbFxuyx积分得对由积分得对由第三章 平面问题的直角坐标解答将u,v代入几何方程的第三式，0yuxv xy两边分离变量，并全都等于w常数，即yEb4F3yd)y(fdxd)x(fd212第三章 平面问题的直角坐标解答从上式分别积分，求出02vwx)x(f0221uyyEb8F3)y(f代入u,v, 得00222vwx)b2xy3y(Eb2FvuyyEb8F3)b4x3x(Eb2Fu第三章 平面问题的直角坐标解答再由刚体约束条件，。得；得；得hEbFvvhEbFuuhEbFwyuhyxh

27、yxhyx2 ,0)(83 ,0)(43 ,0)(0,0220,02,0第三章 平面问题的直角坐标解答。，)231)(2)(83)43(2222bxyhEbFvyhEbFbxxEbFu代入u,v,得到位移分量的解答在顶点x=y=0，。EbFhvyx2)(0第三章 平面问题的直角坐标解答例题5 图中矩形截面的简支梁上，作用有三角形分布荷载。试用下列应力函数, 333533FxyExDxyyCxBxyyAx求解应力分量。第三章 平面问题的直角坐标解答yx6ql3qllxqo h/2 h/2l) 1,(lh第三章 平面问题的直角坐标解答 解：应用上述应力函数求解：(1) 将 代入相容方程，。得B35

28、ABA , 012072 , 04由此，。FxyExDxyyCxBxyyBx33353335第三章 平面问题的直角坐标解答(2) 代入应力公式，在无体力下，得。，)33515(66106201022422333FDyCxByyBxExCxyBxyDxyBxyyBxxyyx(3) 考察主要边界条件),2/(hy得 , 0 , 2/xyhy。0)43165()4153(2422FDhBhBhCx第三章 平面问题的直角坐标解答对于任意的x值，上式均满足，由此得, 041532BhC。04316524FDhBh(a)(b), 0)6345( , 0 , 2/3EChBhxhyy,)6345(, 2/3

29、lxqEChBhxlxqhyy(c)(d)第三章 平面问题的直角坐标解答由(3)+(4)得。lqE12由(3)-(4)得。lhqCBh23452由(5)-(1)得(e)。lhqClhqB4 ,53第三章 平面问题的直角坐标解答(4) 考察小边界上的边界条件(x=0),由6d)(02/2/qlyxhhxy得)(641635fqlFhhDhB由式(2)和(6)解出)480()1013(3hllhqFlhhlqD第三章 平面问题的直角坐标解答另两个积分的边界条件，0d)(0d)(02/2/02/2/yyyxhhxxhhx显然是满足的。第三章 平面问题的直角坐标解答 于是将各系数代入应力表达式，得最后

30、的应力解答。)203)(41 (4),431 (2),1032(22222332222222lhylhlhxhlhyqhyhylxqhyhxllhxyqxyyx第三章 平面问题的直角坐标解答 读者试校核在x=l的小边界上，下列条件是满足的，3d)(0d)( 0d)(2/2/2/2/2/2/qlyyyylxhhxylxhhxlxhhx，第三章 平面问题的直角坐标解答例题6矩形截面的柱体受到顶部的集中力 和力矩M的作用，不计体力，试用应力函数求解其应力分量。F2332DyCxyBxyAyMF245qqhyxo b/2 b/2 ) 1,(bh第三章 平面问题的直角坐标解答 解：应用上述应力函数求解：

31、(1) 代入相容方程，满足。 , 04 (2) 求应力分量，在无体力下，。)3(, 0,662CyBDyCxyAxyyx第三章 平面问题的直角坐标解答 考察边界条件，在主要边界),2/(by)(43 , , 0 , 2/2aqCbBqbyxyy满足； ,)3( d)(b/2b/2-202/2/bFAFDyAyFyxhhx得，在小边界x= 0第三章 平面问题的直角坐标解答)(41)( d)(;2,)22( ,d)(2b/2b/2-302/2/3b/2b/2-3202/2/bbFCbBFCyByFybMDMDyyAMyyxhhxyxhhx。，得，得第三章 平面问题的直角坐标解答再由(a),(b)式解出)3(21 ),(22bFqBbFqbC代入，得应力解答，。2232)(6)3(21, 0,12)(12ybFqbbFqybMxybFqbbFxyyx第三章 平面问题的直角坐标解答例题7 试用应力函数求解图中所示的半无限平面体在的边界上受均布压力q的问题。arctan)(222xyxyyxq0 x第三章 平面问题的直角坐标解答xoy第三章 平面问题的直角坐标解答 解：应校核相容方程和边界条件，若这些 量均满足，则可以求出其应力