机械制图点、线、面的投影

1、点线面的投影主讲：郝善齐一点的投影一点的投影二二 直线的投影直线的投影三三 平面的投影平面的投影 1 1、点的三面投影、点的三面投影 2 2、两点的相对位置、两点的相对位置1 1、直线的三面投影、直线的三面投影2 2、各种位置直线的投影、各种位置直线的投影1 1、平面投影的表示方法、平面投影的表示方法2 2、各种位置平面的投影特性、各种位置平面的投影特性3 3、直线的相对位置、直线的相对位置4 4、直线与平面、平面与平面的相对位置、直线与平面、平面与平面的相对位置3 3、平面上的点和直线、平面上的点和直线一一 点的投影点的投影1、点的三面投影、点的三面投影XZYVWHO 根据点的投影来确定点在

2、空间根据点的投影来确定点在空间的位置，引入相互垂直相交的三的位置，引入相互垂直相交的三个投影面，分别用个投影面，分别用V、H、W表示。表示。把把V面称为面称为正投影面正投影面（简称正面），（简称正面），把把H面称为面称为水平投影面水平投影面（简称水平（简称水平面），把面），把W面称为面称为侧投影面侧投影面（简称（简称侧面）。侧面）。 三个投影面互相垂直并相交，交线称为三个投影面互相垂直并相交，交线称为投影轴投影轴，正面与，正面与水平面的交线水平面的交线OX称为称为X轴轴，侧面与水平面的交线，侧面与水平面的交线OY称为称为Y轴轴，侧面与正面的交线侧面与正面的交线OZ称为称为Z轴轴，三个投影轴垂直

3、相交于一点，三个投影轴垂直相交于一点O，称为，称为原点原点。一、三面投影体系的建立一、三面投影体系的建立回本讲XZYVWHAOaaaaxayaz二、点在三面投影体系中的投影二、点在三面投影体系中的投影 点在三个投影面上的投影，就是通过这三个点分别向三个投影面所点在三个投影面上的投影，就是通过这三个点分别向三个投影面所作垂线的垂足。作垂线的垂足。点三投影点三投影.swf 和和点三投影展开点三投影展开.swf 点的三面投影与坐标的关系：点的三面投影与坐标的关系： 点的正面投影和水平投影的连线垂直于点的正面投影和水平投影的连线垂直于X轴，即轴，即aaOX 点的正面投影和侧面投影的连线垂直于点的正面投

4、影和侧面投影的连线垂直于Z轴，即轴，即aaOZ 点的水平投影到点的水平投影到X轴的距离等于点的侧面投影到轴的距离等于点的侧面投影到Z轴的距离，轴的距离，即即aaOX。WVHXZYWYHaaaaxazaYWaYHOXAYAa0Aa=aaz=aay=axO=XAAa=aax=aay=azO=ZAAa=aax=aaz=ayO=YAXZYWYHaaaaxazaYWaYHOa0回本章 回本讲例：已知例：已知C点的两面投影点的两面投影c和和c，求作第三投影，求作第三投影c。作法：作法：（2）过）过c作作OX轴垂线轴垂线cc；（3）过）过c作作YW轴的垂线与轴的垂线与45分角线相分角线相交；交；（4）过交点

5、作）过交点作YH轴的垂线与轴的垂线与cc方向的连方向的连线相交即得线相交即得c。OZXYWYHccc（1）从原点）从原点O做做YW、YH的的45分角线；分角线；回本章 回本讲举 例v已知点A（11，8，15），求它的三个投影。求点的三面投影.swf第二节第二节 两点的相对位置两点的相对位置 空间两点的相对位置，有上下、前后、左右之分，规定空间两点的相对位置，有上下、前后、左右之分，规定Z坐标值大坐标值大者围上，小者为下；者围上，小者为下；Y坐标值大者为前，小者为后；坐标值大者为前，小者为后；X坐标值大者为左，坐标值大者为左，小者为右。小者为右。XZYVWHAOaaaaxayazBbbxbbyb

6、bzZaaabbbaxbxazbzaYHbYHbYWaYWXYHYW一、两点的相对位置一、两点的相对位置回本章 回本讲两点的相对位置二、重影点的投影二、重影点的投影 若两点的某两个空间坐标值分别相等，则这两点必处于同一条若两点的某两个空间坐标值分别相等，则这两点必处于同一条投射线上，因此，这两点在与投射线垂直的投影面上的投影重影于投射线上，因此，这两点在与投射线垂直的投影面上的投影重影于一点。一点。eee(c)c(d)c(f)ddff 在投影图上规定：不可见点的投影符号加注括号，如（在投影图上规定：不可见点的投影符号加注括号，如（d）。）。ZXYOEDCFeee(c)c(d)c(f)fddfV

7、WH回本章 回本讲第二章第二章 直线的投影直线的投影第一节第一节 直线的三面投影直线的三面投影 一般情况下，直一般情况下，直线的投影仍为直线。线的投影仍为直线。 两点确定一条直两点确定一条直线，将直线上两点的线，将直线上两点的同面投影同面投影用直线用直线连接连接起来，就得到直线的起来，就得到直线的三个投影。三个投影。 直线的投影规定直线的投影规定用用粗实线粗实线绘制。绘制。一、直线的投影图一、直线的投影图回本讲第二节第二节 直线的三面投影直线的三面投影二、直线上点的投影二、直线上点的投影abca b c XABCVHbcc b a aX1 1、从属性、从属性 若点在直线上，则点的各个投影必在直

8、线的同面投影上。若点在直线上，则点的各个投影必在直线的同面投影上。如图所示，如图所示，C CAB AB ，则有，则有c c ab ab ，c ca ab b，c ca ab b。 反之，反之，如果点的各个投影均在直线的同面投影上，则点如果点的各个投影均在直线的同面投影上，则点在直线上。在直线上。 回本章 回本讲 2 2、定比性、定比性abca b c XABCVHbcc b a aX直线上的点分割线段之比等于其投影之比直线上的点分割线段之比等于其投影之比回本章 回本讲二、直线上点的投影二、直线上点的投影例：已知直线例：已知直线EF EF 及点及点K K 的水平投影的水平投影k k，求正面，求正

9、面投影投影 k k。e f efXk Ok k 1f 1回本章 回本讲第二节第二节 各种位置直线的投影各种位置直线的投影投影面平行线投影面平行线平行于某一投影面而平行于某一投影面而与其余两投影面倾斜与其余两投影面倾斜投影面垂直线投影面垂直线正平线（平行于正平线（平行于面）面）侧平线（平行于侧平线（平行于面）面）水平线（平行于水平线（平行于面）面）正垂线（垂直于正垂线（垂直于面）面）侧垂线（垂直于侧垂线（垂直于面）面）铅垂线（垂直于铅垂线（垂直于面）面）一般位置直线一般位置直线与三个投影面都倾斜的直线与三个投影面都倾斜的直线统称特殊位置直线统称特殊位置直线垂直于某一投影面垂直于某一投影面回本章

10、回本讲水平线正平线侧平线一、投影面的平行线一、投影面的平行线b aa b ba XZYHYWb a aba b XZYHYWba aa b b XZYW水平线水平线YH1 1）在其平行的那个投影面上的投影反映）在其平行的那个投影面上的投影反映实长实长， 并反映直线与另两投影面的并反映直线与另两投影面的真实倾角真实倾角。2 2）另两个投影面上的投影）另两个投影面上的投影平行于平行于相应的相应的投影轴投影轴。侧平线侧平线正平线正平线投投 影影 特特 性性与与H面的夹角面的夹角:与与V 面的夹角面的夹角:与与W面的夹角面的夹角:实长实长实长实长实长实长回本章 回本讲名称名称立体图立体图投影图投影图投

11、影特性投影特性水平线水平线(H）正平线正平线(V )侧平线侧平线(W )(1)a b OX,a b OYW(2)ab=AB ；(3)反映夹角反映夹角 、 大小。大小。(1)abOX,a b OZ(2)a b =AB(3)反映夹角反映夹角 、 大小。大小。(1)abOYH,a b OZ；(2)a b =AB(3)反映夹角反映夹角 、 大小。大小。回本章 回本讲铅垂线正垂线侧垂线二、投影面的垂直线二、投影面的垂直线（1 1）在其垂直的投影面上，投影有）在其垂直的投影面上，投影有积聚性积聚性。 （2 2）另外两个投影）另外两个投影, , 反映线段反映线段实长实长，且，且垂直于垂直于相相应的投影轴。应

12、的投影轴。投投 影影 特特 性性侧垂线侧垂线e f efe (f )XZoYHYW正垂线正垂线c (d )cdd c XZoYHYW铅垂线铅垂线a b a(b)a b XZoYWYH回本章 回本讲名称名称立体图立体图投影图投影图投影特性投影特性铅垂线铅垂线（ H）正垂线正垂线（ V）侧垂线侧垂线（ W）(1) H 投影为一投影为一点，有积聚性；点，有积聚性；(2) a b OX , a b OYW ；(3) a b =a b =AB(1) V 影为一点，影为一点， 有积聚性；有积聚性；(2) ab OX , a b OZ ；(3) ab=a b =AB(1) W 投影为一投影为一点，有积聚性；

13、点，有积聚性；(2) Ab OYH, a b OZ ；(3) Ab =a b =AB回本章 回本讲三、一般位置直线三、一般位置直线a b = AB cosa b = AB cosa b =AB cos 直线与直线与H、V 和和W 三投影面的夹角分别用三投影面的夹角分别用、表示。表示。 投影长分别是：投影长分别是：回本章 回本讲一般位置直线投影特性一般位置直线投影特性各投影的长度均各投影的长度均小于小于直线本身的直线本身的实长实长。直线的各投影均直线的各投影均不平行于各投影轴不平行于各投影轴。回本章 回本讲一般位置直线的实长直角三角形法v求直线的实长与倾角.swf第三节 两直线的相对位置 两直线

14、平行两直线平行两直线平行两直线相交两直线相交两直线相交两直线交叉第三章第三章 平面的投影平面的投影第一节第一节 平面投影的表示方法平面投影的表示方法不在同一不在同一直线上的直线上的三个点三个点直线及线直线及线外一点外一点两平行两平行直线直线两相交两相交直线直线平面平面图形图形回本讲第二节第二节 各种位置平面的投影特性各种位置平面的投影特性投影面垂直面投影面垂直面 投影面平行面投影面平行面一般位置平面一般位置平面特殊位置平面特殊位置平面垂直于某一投影面，垂直于某一投影面，倾斜于另两个投影面倾斜于另两个投影面平行于某一投影面，平行于某一投影面，垂直于另两个投影面垂直于另两个投影面与三个投影面都倾斜

15、与三个投影面都倾斜 正垂面正垂面 侧垂面侧垂面 铅垂面铅垂面 正平面正平面 侧平面侧平面 水平面水平面平面对于三投影面的位置可分为平面对于三投影面的位置可分为三类三类：回本章 回本讲一、投影面的垂直面一、投影面的垂直面 垂直于一个投影面而与其它两个投影面倾垂直于一个投影面而与其它两个投影面倾斜的平面，称为投影面垂直面。斜的平面，称为投影面垂直面。 根据其所垂直的投影面不同，可以分为根据其所垂直的投影面不同，可以分为三种三种： 1)1)铅垂面铅垂面垂直于垂直于H 面；面； 2)2)正垂面正垂面垂直于垂直于V 面；面； 3)3)侧垂面侧垂面垂直于垂直于W 面。面。回本章 回本讲铅垂面正垂面侧垂面名

16、称名称立体图立体图投影图投影图投影特性投影特性铅垂面铅垂面（ H）正垂面正垂面（ V）侧垂面侧垂面（ W）1)H投影为斜直线，投影为斜直线，有积聚性，且反有积聚性，且反映映 、 大小大小2)V、W投影不是投影不是实形，但有相似实形，但有相似性。性。1)V投影为斜直线，投影为斜直线，有积聚性，且反有积聚性，且反映映 、 大小大小2)H、W投影不是投影不是实形，但有相似实形，但有相似性。性。1)W投影为斜直线，投影为斜直线，有积聚性，且反有积聚性，且反映映 、 大小大小2)H、V投影不是投影不是实形，但有相似实形，但有相似性。性。回本章 回本讲 1) 1)在其所垂直的投影面上，投影为斜直线，在其所

17、垂直的投影面上，投影为斜直线，有有积聚性积聚性；该斜直线与投影轴的夹角反映该平面；该斜直线与投影轴的夹角反映该平面对相应投影面的倾角；对相应投影面的倾角； 铅垂面铅垂面相似性相似性abca c b c b a XZoYHYW相似性相似性积聚性积聚性 投影面垂投影面垂直面的直面的投影特投影特性性是：是： 2) 2)如用平面图形表示平面，则在另外两个投如用平面图形表示平面，则在另外两个投影面上的投影不是实形，但有影面上的投影不是实形，但有相似性相似性。回本章 回本讲二、投影面的平行面二、投影面的平行面 垂直于两个投影面的平面，平行于第三个垂直于两个投影面的平面，平行于第三个投影面。投影面。 根据其

18、所平行的投影面不同，投影面平行根据其所平行的投影面不同，投影面平行面也可分为面也可分为三种三种： 1)水平面水平面平行于平行于H 面；面； 2)正平面正平面平行于平行于V 面；面； 3)侧平面侧平面平行于平行于W 面。面。回本章 回本讲水平面正平面侧平面名称名称立体图立体图投影图投影图投影特性投影特性水平面水平面（H）正平面正平面（V）侧平面侧平面（W)1)H投影反映实形；投影反映实形；2)V、W投影分别投影分别为平行为平行OX 、OYW轴的直线段，有轴的直线段，有积聚性积聚性1)V投影反映实形；投影反映实形；2)H、W投影分别投影分别为平行为平行OX、OZ轴轴的直线段，有积的直线段，有积聚性

19、聚性1)W投影反映实形；投影反映实形；2)V、H投影分别投影分别为平行为平行OZ、OYH轴轴的直线段，有积的直线段，有积聚性聚性回本章 回本讲投影面平行面的投影面平行面的投影特性投影特性是：是： 1)1)如平面用平面形表示，则其在所平行的投影面上的投如平面用平面形表示，则其在所平行的投影面上的投影，影，反映反映平面形的平面形的实形实形； 水平面水平面a b c a b c abcXZoYHYW积聚性积聚性实实 形形 2) 2)在另外两个投影面上的投影均为直线段，有积聚性，在另外两个投影面上的投影均为直线段，有积聚性，且平行于相应的投影轴。且平行于相应的投影轴。积聚性积聚性回本章 回本讲三、一般

20、位置平面三、一般位置平面 一般位置平面和三个投影面既不垂直也不平行，与一般位置平面和三个投影面既不垂直也不平行，与三个投影面都倾斜，所以，如用平面形三个投影面都倾斜，所以，如用平面形( (例如三角形例如三角形) )表示表示一般位置平面，则它的三个投影均不是实形，但具有相似一般位置平面，则它的三个投影均不是实形，但具有相似性。性。 回本章 回本讲第三节第三节 平面上的点和线平面上的点和线点在平面上的条件：点在平面上的条件： 如果点在平面上的某一直线上，则此点必在该平面上如果点在平面上的某一直线上，则此点必在该平面上。一、平面内的点一、平面内的点回本章 回本讲 直线在平面上的条件直线在平面上的条件: :通过平面上的两个点或通通过平面上的两个点或通过平面上的一个点且平行于平面上的一条直线过平面上的一个点且平行于平面上的一条直线 。回本章 回本讲X1）abca b c d kd过平面内两已知点过平面内两已知点作辅助线求解作辅助线求解k 2）abca b c d kd过平面内一个已知点作平面过平面内一个已知点作平面内已知直线的平行线求解内已知直线的平行线求解k X例例1已知平面已知平面ABC内一点内一点K