极值与最大值(上课)

1、 设函数设函数y=f(x)在某个区间内有导数，在某个区间内有导数，如果在这个区间内如果在这个区间内y0，那么，那么y=f(x)为这为这个区间内的个区间内的增函数增函数；如果在这个区间内；如果在这个区间内y0增函数增函数y0，求得其解集，求得其解集， 再根据解集写出单调再根据解集写出单调递增递增区间区间 求解不等式求解不等式f(x)0,右侧右侧f(x)0,那么那么 f(x0)是极大值。是极大值。 C、如果在、如果在x0附近的左侧附近的左侧f(x)0,那么那么 f(x0)是极大值。是极大值。 、极大值一定大于极小值。、极大值一定大于极小值。B 3f xx0 xy巩固练习巩固练习：1、求函数、求函数

2、 的极值的极值 33f xxx解解: : 令令 ，得，得 ，或，或 下面分两种情况讨论：下面分两种情况讨论：（1）当）当 ，即，即 时；时；（2）当）当 ，即，即 ，或，或 时。时。当当 变化时，变化时， 的变化情况如下表：的变化情况如下表： 33f xxx x fx f x, 1 1,11,20011单调递增单调递减单调递减当当 时时, , 有极小值，并且极小值为有极小值，并且极小值为 2. 0fx 当当 时时, 有极大值，并且极大值为有极大值，并且极大值为 23 3fxx 23 30fxx 1x 1.x 0fx 11x 1x 1x 2)(xf)(xf2.1x1x x ,fxf x习题习题

3、A组组 #4下图是导函数下图是导函数 的图象的图象, 在标记的点中在标记的点中, 在哪一点处在哪一点处(1)导函数导函数 有极大值有极大值?(2)导函数导函数 有极小值有极小值?(3)函数函数 有极大值有极大值?(4)函数函数 有极小值有极小值?)(xfy)(xfy)(xfy)(xfy )(xfy 2xx 1xx 4 xx 或或3xx 5xx 思考：思考：已知函数已知函数 在在 处取得极值。处取得极值。 （1）求函数）求函数 的解析式的解析式 （2）求函数）求函数 的单调区间的单调区间 322f xaxbxx2,1xx f x f x解：解：（1） 在在 取得极值，取得极值， 即即 解得解得

4、（2） ， 由由 得得 的单调增区间为的单调增区间为 由由 得得 的单调减区间为的单调减区间为 2322fxaxbx f x2,1xx 124203220abab11,32ab 3211232f xxxx 22fxxx 0fx 12xx 或 f x 0fx 21x f x) 1 , 2(, 21, 0) 1 (, 0)2( ff【课前训练】12491(2)= (- )=f23272.( )( )ff xf x极大极小答：（1）a=-,b =-2. ；（1）=-函数的极值与导数之间的关系：函数的极值与导数之间的关系： xx0 0左左侧侧 x0 x0 0右右侧侧 f (x) f(x) xx0 0左

5、左侧侧 x0 x0 0右右侧侧 f (x) f(x)增增f (x) 0f (x) =0f (x) 0极大值极大值减减f (x) 0 0fx 注注意意：是是可可导导函函数数取取得得极极值值的的必必要要不不充充分分条条件件【求可导函数f(x)的极值的步骤】(1)确定函数的定义区间，求导数f(x)(2)求方程f(x)0的根(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格检查f(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值.强调强调:要想知道要想知

6、道 x0是极大值点还是极小值点就必须判断是极大值点还是极小值点就必须判断 f (x0)=0=0左右侧导数的符号左右侧导数的符号. 在某些问题中，往往关心的是函数在整在某些问题中，往往关心的是函数在整个定义域区间上，哪个值最大或最小的问个定义域区间上，哪个值最大或最小的问题，这就是我们通常所说的最值问题题，这就是我们通常所说的最值问题. 函数最值问题函数最值问题.二、新课二、新课最大值与最小值最大值与最小值x xX X2 2o oa aX X3 3b bx x1 1y y 观察右边一个定义观察右边一个定义在区间在区间a,b上的函数上的函数y=f(x)的图象，你能的图象，你能找出函数找出函数y=f

7、（x）在）在区间区间a，b上的最大上的最大值、最小值吗？值、最小值吗？发现图中发现图中_是极小值，是极小值，_是极是极大值，在区间上的函数的最大值是大值，在区间上的函数的最大值是_，最小值，最小值是是_。f(x1)、f(x3)f(x2)f(b)f(x3) 问题在于如果在没有给出函数图象的情况下，怎问题在于如果在没有给出函数图象的情况下，怎样才能判断出样才能判断出f(x3)是最小值，而是最小值，而f(b)是最大值呢？是最大值呢？ (2)(和端点比较和端点比较)将将y=f(x)的各极值与的各极值与f(a)、f(b)比较，其比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个最小值中最大的一个为最大值，最小的一

8、个最小值. f(x)在在闭区间闭区间a,b上的最值：上的最值：(1)(找极值点找极值点)求求f(x)在区间在区间(a,b)内极值内极值(极大值或极小值极大值或极小值)表格法表格法(如果在区间如果在区间a,b上的函数上的函数y=f(x)的图象是一条连续的图象是一条连续不断的曲线不断的曲线,那么它必有最大值和最小值那么它必有最大值和最小值)例例1 求函数求函数f(x)=x2-4x+3在区间在区间-1，4内的最值。内的最值。 故函数故函数f(x) 在区间在区间-1，4内的最大值为内的最大值为8，最小值为，最小值为-1. 解解:f (x)=2x-4令令f (x)=0，即，即2x-4=0，得得x=2x-

9、1（-1，2）2（2，4）4 y，0y-+83-1例例1、求函数求函数f(x)=x2-4x+3在区间在区间-1，4内内 的最大值和最小值的最大值和最小值 另解另解: 将二次函数将二次函数f(x)=x2-4x+3配方，利用二配方，利用二次函数单调性处理次函数单调性处理 一般地，求函数一般地，求函数y=f(x)在在a,b上的最大值与最小上的最大值与最小值的值的步骤步骤如下：如下：:求求y=f(x)在在(a，b)内的极值内的极值(极大值与极小值极大值与极小值); :将函数将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值的各极值与端点处的函数值f(a)、f(b) 比较比较,其中最大的一个为最大值其中最大的一

10、个为最大值,最小的一个为最小值最小的一个为最小值. 求函数的最值时求函数的最值时,应注意以下几点应注意以下几点:(1)函数的函数的极值是极值是在局部范围内讨论问题在局部范围内讨论问题,是一个是一个局部概局部概 念念,而函数的而函数的最值最值是对整个定义域而言是对整个定义域而言,是在整体范围是在整体范围 内讨论问题内讨论问题,是一个是一个整体性的概念整体性的概念.(2)闭区间闭区间a,b上的连续函数一定有最值上的连续函数一定有最值.开区间开区间(a,b)内内 的可导函数不一定有最值的可导函数不一定有最值,但若有唯一的极值但若有唯一的极值,则此极则此极 值必是函数的最值值必是函数的最值.(3)函数

11、在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个。个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个。1 1下列说法正确的是下列说法正确的是( )( )A.A.函数的极大值就是函数的最大值函数的极大值就是函数的最大值 B.B.函数的极小值就是函数的最小值函数的极小值就是函数的最小值C.C.函数的最值一定是极值函数的最值一定是极值 D.D.在闭区间上的连续函数一定存在最值在闭区间上的连续函数一定存在最值2.2.函数函数y=f(x)y=f(x)在区间在区间a,ba,b上的最大值是上的最大值是M M，最小值，最小值是是m,m,

12、若若M=m,M=m,则则f(x) ( )f(x) ( )A.A.等于等于0 0 B. B.大于大于0 C.0 C.小于小于0 0 D.D.以上都有可能以上都有可能课堂练习课堂练习D DA A3.3.函数函数 ，在，在1 1，1 1上的最小值上的最小值为为( )( )A.0 B.A.0 B.2 C.2 C.1 1 D. D.432111432yxxx1312A A求下列函数在指定区间内的最大值和最小值求下列函数在指定区间内的最大值和最小值。4,2,71862)() 1 (23xxxxxf练练 习习最大值最大值 f (1)=3，最小值，最小值 f (3)= 61解解:.cos21)(xxf 当当x变化时变化时, 的变化情况如下表的变化情况如下表:yy , 从上表可知从上表可知,最大值是最大值是,最小值是最小值是0.2 , 0sin21y2上的最大值与最小值在区间、求函数xx令令 ,解得解得0)( xf.34,3221 xxx 0f(x) )(xf )32, 0( )34,32( 32 34 )