椭圆及其标准方程.

1、（第一课时）（第一课时）如何精确地设计、制作、建造出现实生活中这些椭圆形的如何精确地设计、制作、建造出现实生活中这些椭圆形的物件呢？物件呢？天体的运行天体的运行仙女座星系星系中的椭圆星系中的椭圆1.椭圆的定义椭圆的定义 平面内到两个定点平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数的距离之和等于常数 （大于（大于|F1F2 |）的点的轨迹叫椭圆。）的点的轨迹叫椭圆。 定点定点F1、F2叫做椭圆的焦点。叫做椭圆的焦点。 两焦点之间的距离叫做焦距。两焦点之间的距离叫做焦距。椭圆定义的文字表述：椭圆定义的文字表述：椭圆定义的符号表述：椭圆定义的符号表述：绳长21MFMF注意！MF2F1 改变两点之间的

2、距离，使其与绳长相改变两点之间的距离，使其与绳长相等，画出的图形还是椭圆吗？等，画出的图形还是椭圆吗？绳长能小于两点之间的距离呢？绳长能小于两点之间的距离呢？ 数学实验数学实验:(1)若|MF1|+|MF2|F1F2|,M点轨迹为椭圆. (3)若|MF1|+|MF2|2c，即，即ac，故，故a2-c20， 令令a2-c2=b2，其中，其中b0，代入上式，代入上式 , 可得：可得：1 1c ca ay ya ax x2 22 22 22 22 2两边同时除以两边同时除以a2(a2-c 2) 得：得：这就是所求椭圆的轨迹方程，它表示的椭圆的这就是所求椭圆的轨迹方程，它表示的椭圆的焦点在焦点在x轴上

3、，焦点是轴上，焦点是F1(-c，0)、F2(c，0)这这里里c2=a2-b20 0) )b b1 1( (a ab by ya ax x2 22 22 22 2XYOF1F2(c,0)M(-c,0)(x,y)直接平方直接平方，得：，得：2222222224)()(2)()(aycxycxycxycx222222222)()()(aycxycxcyx222222222)(2 )()(cyxaycxycx222222224222222)()(444)(cyxcyxaaxccyx2242222)(xcacyxa)()(22222222caayaxca2222222)()(44)(ycxycxaayc

4、x 222)(ycxacxa 2222222222422yacacxaxaxccxaa 两边再平方，得两边再平方，得)()(22222222caayaxca移项，再平方移项，再平方分子有理化分子有理化，得：，得：)2(2)()(2222acxycxycx整理得acxaycx22)(2),2() 1 (22得再平方整理即得再平方整理即得aycxycxcx2)()(42222)()(22222222caayaxca) 1 (2)()(2222aycxycx思考思考:化简有没有第二种方法化简有没有第二种方法.它表示：它表示： 椭圆的焦点在椭圆的焦点在x轴轴 焦点坐标为焦点坐标为F1（-C，0）、）、

5、F2（C，0） c2= a2 - b2 ) 0(12222babyaxF1F2M0 xyaycxycx2)()(2222椭圆的标准方程椭圆的标准方程)0(12222babxay它表示它表示: 椭圆的焦点在椭圆的焦点在y轴轴 焦点是焦点是F1（0，-c）、）、 F2（0，c） c2= a2 - b2 xMF1F2yaxcyxcy2)()(2222.)0( 1 2222轴上的椭圆的标准方程即为焦点在方程xbabyaxxyF1F2所谓椭圆的标准方程，一定是所谓椭圆的标准方程，一定是焦点在坐标轴上，且两焦点的焦点在坐标轴上，且两焦点的中点为坐标原点。中点为坐标原点。1A2FM1Fxyo1B2A2Bac

6、bc思考：在图形中，思考：在图形中，a,b,c分别代表哪段的分别代表哪段的长度？长度？0 12222babyax 0 12222babxay图 形方 程焦 点a,b,c之间的关系c2=a2-b2|MF1|+|MF2|=2a (2a2c0)定 义12yoFFMx1oFyx2FM注:共同点：椭圆的标准方程表示的一定是焦点在坐标轴上，中心在坐标原点的椭圆；方程的左边是平方和，右边是1.2x2y不同点：焦点在x轴的椭圆 项分母较大. 焦点在y轴的椭圆 项分母较大.F1(-c,0)、F2(c,0)F1(0,-c)、F2(0,c)11625)2(22yx2222(4 )1(0 )1xymmm11616)1

7、(22yx0225259)3(22yx1.下列方程哪些表示椭圆？若是,则判定其焦点在哪条坐标轴？ 牛刀小试判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的准则：判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的准则： 焦点在分母大的那个轴上。焦点在分母大的那个轴上。22222.153xy ，则a ，b ，3. 则a ，b ，5332焦点坐标为 _ , 焦距等于_.（- 4，0）（4，0）8焦点坐标为_ ,焦距等于_.(0,5) (0, 5)、52 牛刀小试.364922 yx例例1、填空：、填空：(1)已知椭圆的方程为：已知椭圆的方程为： ，则，则a=_，b=_，c=_，焦点坐标，焦点坐标为：为：_焦距等于焦距等于_;若若

8、CD为过为过左焦点左焦点F1的弦，则的弦，则 F2CD的周长为的周长为_例题精析1162522yx543(3,0)、(-3,0)620F1F2CD判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的准则：准则： 焦点在分母大的那个轴上。焦点在分母大的那个轴上。|CF1|+|CF2|=2axy12522yx(2)已知椭圆的方程为：已知椭圆的方程为： ,则则 a=_，b=_，c=_， 焦点坐标为：焦点坐标为：_ _ _， 焦距等于焦距等于_; 若曲线上一点若曲线上一点P到左焦点到左焦点F1的距离为的距离为2，则，则 点点P到另一个焦点到另一个焦点F2的距离等于的距离等于_， 则则

9、F1PF2的周长为的周长为_1586410|PF1|+|PF2|=2a62)62, 0)(62 , 0(64xPF1F2y例例2、求满足下列条件的椭圆的标准方程：、求满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)两焦点的坐标分别是（两焦点的坐标分别是（-4，0）、（）、（4，0），）， 椭圆上一点椭圆上一点P到两焦点距离之和等于到两焦点距离之和等于10。(2)两焦点的坐标分别是（两焦点的坐标分别是（-2，0）、（）、（2，0），）， 且椭圆经过点且椭圆经过点P 。)23,25(（3）求焦点在坐标轴上，且经过）求焦点在坐标轴上，且经过A（ , -2 )和和B（ ,1）两点的椭圆的标准方程。）两点的椭圆的标

10、准方程。332(1)两焦点的坐标分别是（两焦点的坐标分别是（-4，0）、（）、（4，0），椭），椭圆上一点圆上一点P到两焦点距离之和等于到两焦点距离之和等于10。解：因为椭圆的焦点在解：因为椭圆的焦点在X轴上，所以可设它的方程轴上，所以可设它的方程 为：为：)0(12222babyax2a=10，2c=8即 a=5，c=4故 b2=a2-c2=52-42=9所以椭圆的标准方程为：所以椭圆的标准方程为：192522yx(2)两焦点的坐标分别是（两焦点的坐标分别是（-2，0）、（）、（2，0），且），且 椭圆经过点椭圆经过点P 。解：因为椭圆的焦点在解：因为椭圆的焦点在X轴上，所以可设它的方程为：

11、轴上，所以可设它的方程为：)0(12222babyax由椭圆的定义可知：又因又因 c=2，所以椭圆的标准方程为：所以椭圆的标准方程为：1 16 6y y1 10 0 x x2 22 2)23,25(102)23()225()23()225(22222a1010所以a所以a 故故 b2=a2-c2=10-22=6分析： 由题设条件焦点在哪一个坐标轴上不明确，椭圆的标准方 程有两种情形，为了计算方便，可含糊地设其方程为 mx2+ny2=1(m、n0且mn) ,其中m、n的大小先不做确定， 即先不考虑焦点位置，根据已知所给条件求出m、n值后 再行判断其焦点位置 。(3)求焦点在坐标轴上，且经过A（

12、, -2 )和B（ ，1）两点的椭圆的标准方程。332解：设椭圆方程为：mx2+ny2=1(m、n0) 因为椭圆过点A（ , -2 )和B（ ，1）， 故得 3m+4n=1与12m+n=1 所以， 所以，椭圆的方程为 332151522yx51,151nm1716) 1 (22 yx. 1420)2(22xy变式变式1： 把（把（1）题中）题中“两个焦点的坐标分别是（两个焦点的坐标分别是（-3,0）（3,0）”改为改为“椭圆焦距为椭圆焦距为6”，方程如何？，方程如何？ )5, 3(例例3 求适合下列条件的椭圆的标准方程：求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）两个焦点的坐标分别是（）两个焦点的坐

13、标分别是（-3，0），（），（3，0），椭），椭圆上一点圆上一点P与两焦点的距离的和等于与两焦点的距离的和等于8；变式变式2：把（把（1）题中）题中“椭圆上一点椭圆上一点P与两焦点的距离的和等与两焦点的距离的和等于于8”改为改为“椭圆过点椭圆过点 ”，方程如何？，方程如何？)7, 0(（2）两个焦点的坐标分别是（）两个焦点的坐标分别是（0，-4），（），（0，4）,并且椭圆经过点并且椭圆经过点 .171617162222 xyyx或171622 yx 根据已知条件求椭圆的标准方程：根据已知条件求椭圆的标准方程： 1 1、定义法：先定位再定量、定义法：先定位再定量 2 2、待定系数法、待定系数法

14、:确定焦点所在确定焦点所在的位置，选择标准方程的形式；的位置，选择标准方程的形式；求解求解a a，b b的值，写出椭圆的标准的值，写出椭圆的标准方程方程5.求适合下列条件的椭圆的标准方程：求适合下列条件的椭圆的标准方程： a=4，b=1，焦点在，焦点在x轴上；轴上； ，焦点在，焦点在Y轴上；轴上； a+b=10， 。课堂练习课堂练习15, 4ca52c1163611636)3(116)2(116) 1 (22222222xyyxxyyx或：答案答案 4.动点动点P到两个定点到两个定点F1（- 4，0）、）、F2（4，0）的距离）的距离 之和为之和为8，则，则P点的轨迹为点的轨迹为 （ ） A、

15、椭圆B、线段F1F2 C、直线F1F2 D、不能确定B2222xy1.1xa3a( )xy2.1yb9b( )方程表示焦点在 轴上的椭圆，则 的范围为。方程表示焦点在 轴上的椭圆，则 的范围为。0b3a3 例例4：已知一个运油车上的贮油罐横截面的外轮廓线是一：已知一个运油车上的贮油罐横截面的外轮廓线是一 个椭圆个椭圆，它的焦距为，它的焦距为2.4m，外轮廓线上的点到两个焦点距离的和为，外轮廓线上的点到两个焦点距离的和为3m，求这个椭圆的标准方程，求这个椭圆的标准方程解：解：以两焦点以两焦点F1、F2所在直线为所在直线为x轴，线段轴，线段F1F2的垂直平分线为的垂直平分线为 y 轴，建立如图所示

16、的直角坐标系轴，建立如图所示的直角坐标系xOy，则这个椭圆的标准，则这个椭圆的标准方程可设为方程可设为222210 xyabab 根据题意有根据题意有23a ，22.4c 1.2c 即即222221.51.20.81bac因此，这个椭圆的标准方程为因此，这个椭圆的标准方程为2212.250.81xy xyOF1F20 12222babyax 0 12222babxay图图 形形方方 程程焦焦 点点F( (c，0)0)F(0(0，c) )a,b,c之间的关系之间的关系c2 2= =a2 2- -b2 2MF1 + MF2 =2a (2a2c0)定定 义义1 12 2yoFFMx1oFyx2FM注

17、注: : 共同点：椭圆的标准方程表示的一定是焦点在坐标轴上，共同点：椭圆的标准方程表示的一定是焦点在坐标轴上，中心在坐标原点的椭圆；方程的左边是平方和，右边是中心在坐标原点的椭圆；方程的左边是平方和，右边是1.2x不同点：焦点在不同点：焦点在x轴的椭圆轴的椭圆 项分母较大项分母较大. 焦点在焦点在y轴的椭圆轴的椭圆 项分母较大项分母较大.小结探索嫦娥奔月探索嫦娥奔月2010年10月8日中国“嫦娥”二号卫星成功实现第二次近月制动，卫星进入距月球表面近月点高度约210公里，远月点高度约8600公里，且以月球的球心为一个焦点的椭圆形轨道。已知月球半径约3475公里， 试求“嫦娥”二号卫星运行的轨迹方

18、程。平面内到两个定点平面内到两个定点F F1 1、F F2 2的距离的和等于常数的距离的和等于常数（大于大于F F1 1F F2 2）的点的轨迹叫椭圆）的点的轨迹叫椭圆定点定点F F1 1、F F2 2叫做椭圆的焦点叫做椭圆的焦点说明：说明：注意：注意：a c 0F1F2P定义：定义：PFPF1 1+ PFPF2 2=2=2a F F1 1F F2 2=2=2c 焦距焦距oyx 1F 2F),(yxP oyx 2F 1F ),(yxP如何根据椭圆标准方程判断焦点在哪个坐标轴上？如何根据椭圆标准方程判断焦点在哪个坐标轴上？ 已知椭圆标准方程，我们还能获取哪些信息？已知椭圆标准方程，我们还能获取哪

19、些信息？ 222cab 22221 (0)xyabab+=22221 (0)yxabab+=F1F2P221P,2516P (A)2(B)3 (C)5(D)7xy+=已知：椭圆上一点 到椭圆一个焦点的距离为3 则 点到另一个焦点的距离为（ ） 标准化标准化22, 11 925a bxy+=已知椭圆方程,指出及焦点坐标（）2222 2 4936 3 41xyxy+=+=（ ）（ ）221 94xy+=22221 (0)xyxabab+=焦点在 轴上 22221 (0)yxyabab+=焦点在 轴上 221 2516 xyymmm+=-+若方程表示焦点在 轴上的椭圆，求：实数的取值范围。221 5

20、3 xykkk+= -若方程表示椭圆，求：实数的取值范围。已知已知B B、C C是两个定点，是两个定点，BC=6BC=6，且，且ABCABC的的 周长等于周长等于1616，求顶点，求顶点A A的轨迹方程。的轨迹方程。解：如图，以解：如图，以BC所在直线为所在直线为x轴，轴，BC中点为原点，中点为原点，建立平面直角坐标系。建立平面直角坐标系。由已知由已知AB+AB+ AC+AC+ BC=16BC=16 ,BC=6,BC=6AB +AB +AC=10AC=10即点即点A A的轨迹是椭圆，且的轨迹是椭圆，且2 2c c=6=6，2 2a=16-6=10=16-6=10c=3，a=5， b2 =a2

21、- c2=16但当点但当点A A在直线在直线BCBC上，即上，即y=0=0时，时，A A、B B、C C三点三点不能构成三角形，所以点不能构成三角形，所以点A A的轨迹方程是的轨迹方程是oyx BCA 探究探究1 1 (0)y 22 12516xy+=A设：设：M M（0 0，-5-5）、）、N N（0 0，5 5），）， MNPMNP的周长为的周长为3636， 求：求：MNPMNP的顶点的顶点P P的轨迹方程？的轨迹方程？设：设：M M（0 0，-5-5）、）、N N（0 0，5 5），）， MNPMNP的周长为的周长为3636， 求：求：MNPMNP的顶点的顶点P P的轨迹方程？的轨迹方程

22、？如图，在圆如图，在圆 x2 + y2 = 4上任取一点上任取一点P，过点，过点P作作x轴轴的垂线段的垂线段PD，D为垂足。当点为垂足。当点P在圆上运动时，在圆上运动时，线段线段PD的中点的中点M的轨迹是什么？为什么？的轨迹是什么？为什么？oyxM 点点P（x0，y0）在圆）在圆x2+ y2=4上上PDx02+ y02=4 把把x0=x，y0= 2y，代入方程，代入方程得得x2+4y2=4所以点所以点M的轨迹是一个椭圆。的轨迹是一个椭圆。解：设点解：设点M的坐标为（的坐标为（x，y）点）点P的坐标的坐标为（为（x0，y0）则）则探究探究2 222 14xy+=即00,2yxxy=解：解：例例5 ：将圆将圆 = 4 = 4上的点的横坐标保持不变，上的点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，求所的曲线的方程，纵坐标变为原来的一半，求所的曲线的方程，并说明它是什么曲线？并说明它是什么曲线？yxo22yx 设所的曲线上任一点的坐标为（x，y）,圆 上的对应点的坐标为（x，y），由题意可得：22yx yy