对数与对数函数经典例题

1、对数函数1对数函数的定义： 函数 叫做对数函数，其中x是自变量（1）研究对数函数的图象与性质： 由于对数函数 与指数函数 互为反函数，所以 的图像和 的图像关于直线 对称。 （2）复习的图象和性质a>10<a<1图象性质 (1)定义域：R（2）值域：（0，+）（3）过点（0，1），即x=0时，y=1（4）在 R上是增函数（4）在R上是减函数2对数函数的图像： 3对数函数的性质：a>10<a<1图象性质定义域：（0，+）值域：R过点（1，0），即当x=1时，y=0时 时 时 时在（0，+）上是增函数在（0，+）上是减函数1对数：(1) 定义：如果，那么称 为

2、，记作 ，其中称为对数的底，N称为真数. 以10为底的对数称为常用对数，记作_ 以无理数为底的对数称为自然对数，记作_(2) 基本性质： 真数N为 (负数和零无对数)； ； ； 对数恒等式： (3) 运算性质： loga(MN)_； loga_； logaMn (nR). 换底公式：logaN (a>0，a1，m>0，m1，N>0) .2对数函数： 定义：函数 称为对数函数，1) 函数的定义域为 ；2) 函数的值域为 ；3) 当_ _时，函数为减函数，当_时为增函数；4) 函数与函数 _ 互为反函数. 1) 图象经过点( )，图象在 ；2) 对数函数以 为渐近线(当时，图象向

3、上无限接近y轴；当时，图象向下无限接近y轴)；4) 函数ylogax与 的图象关于x轴对称 函数值的变化特征： 经典例题透析类型1：（求对数函数定义域与值域）1.N > 0 2. a > 0且 不= 1 例1、求下列函数的定义域：（1） （2） （3）变式练习1.2. 求下列函数的定义域：（1）（2）（3） （4）类型二、指数式与对数式互化及其应用例1： (1) (2) ：举一反三：【变式1】求下列各式中x的值： (3)lg100=x (4)类型二、利用对数恒等式化简求值（恒等式）例2 求值： 【变式1】求的值(a，b，cR+，且不等于1，N>0)类型三、积、商、幂的对数 l

4、oga(MN)_； loga_； logaMn (nR).例3已知lg2=a，lg3=b，用a、b表示下列各式. (1) lg9 (2)lg64 (3)lg6 (4)lg12 (5)lg5 (6) lg15 举一反三：【变式1】求值(1) (2)lg2·lg50+(lg5)2 (3)lg25+lg2·lg50+(lg2)2 【变式2】已知3a=5b=c，求c的值.【变式3】设a、b、c为正数，且满足a2+b2=c2.求证：.【变式4】已知：a2+b2=7ab，a>0，b>0. 求证：.类型四、换底公式的运用例4(1)已知logxy=a， 用a表示； (2)已知l

5、ogax=m， logbx=n， logcx=p， 求logabcx.举一反三：【变式1】求值：(1)；(2)；(3).类型五、对数运算法则的应用例5求值(1) log89·log2732(2)(3)(4)(log2125+log425+log85)(log1258+log254+log52)举一反三：【变式1】求值：【变式2】已知：log23=a， log37=b，求：log4256=?类型6、函数图象问题例7作出下列函数的图象： (1) y=lgx， y=lg(-x)， y=-lgx； (2) y=lg|x|； (3) y=-1+lgx.类型7、对数函数的单调性及其应用利用函数的

6、单调性可以：比较大小；解不等式；判断单调性；求单调区间；求值域和最值.要求同学们：一是牢固掌握对数函数的单调性；二是理解和掌握复合函数的单调性规律；三是树立定义域优先的观念.例8. 比较下列各组数中的两个值大小： (1)log23.4，log28.5(2)log0.31.8，log0.32.7(3)loga5.1，loga5.9(a>0且a1)举一反三：【变式1】（2011 天津理 7）已知则（ ）A B C D解析：另，在同一坐标系下作出三个函数图像，由图像可得 又为单调递增函数， 故选C.9. 证明函数上是增函数. 思路点拨：此题目的在于让学生熟悉函数单调性证明通法，同时熟悉利用对函

7、数单调性比较同底数对数大小的方法.证明：设，且x1<x2 则 又y=log2x在上是增函数 即f(x1)<f(x2)函数f(x)=log2(x2+1)在上是增函数.举一反三：【变式1】已知f(logax)=(a>0且a1)，试判断函数f(x)的单调性.解：设t=logax(xR+， tR).当a>1时，t=logax为增函数，若t1<t2，则0<x1<x2， f(t1)-f(t2)=， 0<x1<x2， a>1， f(t1)<f(t2)， f(t)在R上为增函数，当0<a<1时，同理可得f(t)在R上为增函数. 不论

8、a>1或0<a<1， f(x)在R上总是增函数.10求函数y=(-x2+2x+3)的值域和单调区间. 解：设t=-x2+2x+3，则t=-(x-1)2+4. y=t为减函数，且0<t4， y=-2，即函数的值域为-2，+.再由：函数y=(-x2+2x+3)的定义域为-x2+2x+3>0，即-1<x<3. t=-x2+2x+3在-1，1）上递增而在1，3)上递减，而y=t为减函数. 函数y=(-x2+2x+3)的减区间为(-1，1)，增区间为1，3.类型7、函数的奇偶性11. 判断下列函数的奇偶性. (1) (2).(1)思路点拨：首先要注意定义域的考查

9、，然后严格按照证明奇偶性基本步骤进行. 解：由 所以函数的定义域为：(-1，1)关于原点对称 又 所以函数是奇函数；总结升华：此题确定定义域即解简单分式不等式，函数解析式恒等变形需利用对数的运算性质.说明判断对数形式的复合函数的奇偶性，不能轻易直接下结论，而应注意对数式的恒等变形.(2)解：由所以函数的定义域为R关于原点对称又即f(-x)=-f(x)；所以函数.总结升华：此题定义域的确定可能稍有困难，函数解析式的变形用到了分子有理化的技巧，要求掌握.类型8、对数函数性质的综合应用12已知函数f(x)=lg(ax2+2x+1). (1)若函数f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围；(2)若函数f(x)的值域为R，求实数a的取值范围.思路点拨：与求函数定义域、值域的常规问题相比，本题属非常规问题，关键在于转化成常规问题.f(x)的定义域为R，即关于x的不等式ax2+2x+1>0的解集为R，这是不等式中的常规问题.f(x)的值域为R与ax2+2x+1恒为正值是不等价的，因为这里要求f(x)取遍一切实数，即要求u=ax2+2x+1取遍一切正数，考察此函数的图象的各种情况，如图，我们会发现，使u能取遍一切正数的条件是. 解：(1)