计算教学中,如何处理算理与计算方法的关系

1、1.计算教学中，如何处理算理与计算方法的关系？计算的算理是指计算的理论依据，通俗地讲就是计算的道理。算理一般由数 学概念、定律、性质等构成，用来说明计算过程的合理性和科学性。计算的算法 是计算的基本程序或方法，是算理指导下的一些人为规定，用来说明计算过程中 的规则和逻辑顺序。算理和算法既有联系，又有区别。算理是客观存在的规律，主要回答为什么这样算”的问题；算法是人为规定的操作方法，主要解决 怎样计算”的问题。算理 是计算的依据，是算法的基础，而算法则是依据算理提炼出来的计算方法和规则， 它是算理的具体体现。算理为计算提供了正确的思维方式，保证了计算的合理性 和可行性；算法为计算提供了便捷的操作

2、程序和方法，保证了计算的正确性和快 速性。算理和算法是计算教学中相辅相成、缺一不可的两个方面。处理好算理与算法的关系对于突出计算教学核心，抓住计算教学关键具有重 要的作用。当前，计算教学中 走极端”的现象实质上是没有正确处理好算理与算 法之间关系的结果。一些教师受传统教学思想、教学方法的支配，计算教学只注 重计算结果和计算速度，一味强化算法演练，忽视算理的推导，教学方式以练代想”，学生 知其然，不知其所以然”，导致教学偏向 重算法、轻算理”的极端。 与此相反，一些教师片面理解了新课程理念和新教材， 他们把过多的时间用在形 式化的情境创设、动手操作、自主探索、合作交流上，在理解算理上大做文章，

3、过分强调为什么这样算，还可以怎样算，却缺少对算法的提炼与巩固，造成学生 理解算理过繁，掌握算法过软，形成技能过难，教学走向重算理、轻算法”的另一极端。如何正确处理算理与算法的关系，防止 走极端”的现象，广大数学教师在教 学实践中进行了有益的探索，取得了许多成功经验。比如，计算教学要寻求算理与算法的平衡，使计算教学 既重算理，又重算法”把算理与算法有机融合，避 免算理与算法的 硬性对接引导学生在理解算理的基础上自主地生成算法，在 算法形成与巩固的过程中进一步明晰算理”计算教学要让学生探究并领悟算理， 及时抽象并掌握算法，力求形成技能并学会运用 ”等等，这些观点对于计算教学 少走弯路、提高计算教学

4、质量具有重要作用。处理计算教学中算理与算法的关系还应注意以下五点：一是算理与算法是计 算教学中有机统一的整体，形式上可分，实质上不可分，重算法必须重算理，重 算理也要重算法；二是计算教学的问题情境既为引出新知服务，体现“学以致 用”，也为理解算理、提炼算法服务，教学要注意在“学用结合”的基础上，以 理解算理，掌握算法，形成技能为主；三是算理教学需借助直观，引导学生经历 自主探索、充分感悟的过程，但要把握好算法提炼的时机和教学的“度”，为算法形成与巩固提供必要的练习保证；四是算法形成不能依赖形式上的模仿，而要 依靠算理的透彻理解，只有在真正理解算理的基础上掌握算法、形成计算技能， 才能算是找到了

5、算理与算法的平衡点；五是要防止算理与算法之间出现断痕或硬 性对接，要充分利用例题或“试一试”中的“可以怎样算？” “在小组里说一 说，计算时要注意什么？”等问题，指导学生提炼算法，为算理与算法的有效衔 接服务。2.以往的教材是利用四则运算各部分间的关系来 解方程，新课程标准要求用等式的性质解简单的方 程，你是如何处理的？为什么？如今，新一轮课程改革强调学习过程的经历与体验，这一与时俱进的过程观 已被越来越多的教师所认同。既然如此，方程与实际问题就都只是“例子”，且 都是让学生经历过程、获得体验的“载体”。也就是说，如今我们更为关注的是 知识的“过程”.并由此演绎、推论。既然是“例子”，就不必求

6、全，少了 a-x=b 与a + x=b这两个例子，本应坦然，没什么好大惊小怪的。但是，长期工作在教 学第一线的教师又深知例子"、"知识点”的重要性，不敢掉以轻心，这也 是有道理的。本来嘛，"例子”承载“过程”，知识的"点”与知识的“过程”相 辅相成，很难说孰轻孰重。再者，舍弃了两个“例子”，总感觉不全面、有缺失， 过去教得驾轻就熟，学生掌握也没有困难，为什么就不要了呢？因此.有必要作进一步的分析。在小学，形如a-x=b的方程与形如a+x=b的方程，不论是依据四则运算的关 系解，还是依据等式基本性质解，都是有区别的。但是到了初中，学了有理数的 四则运算之后

7、，它们的区别几乎可以忽略不计，因为a-x=bq以看做a+ (-x) =b。 所以即使小学不出现形如a-x=b的方程，中学也不必补充例子作为新授内容来教。 可见，我们大可不必因为少了这个例子而不放心、放不下。再说，形如a + x=b的方程，它本来就属于分式方程。我们知道。解分式方 程需要去分母，去分母有可能带来“增根”。所以，解分式方程，哪怕你确信整 个求解过程准确无误，也要“验根”.即判断你所得到的是原方程的解还是增根。 这层意思超出了小学数学“验算”的内涵，在小学是不大可能渗透的。因此，把 这个“例子”让给中学，以免生成误解，是合情合理的。这样一来，剩下形如x+a=b, x-a=b, ax=

8、b, x+a=b的方程，求解思路就趋于 统一： ，x+a=b, x-a=b,都是在方程两边加上或减去 a；ax=b, x+ a=b,都是在方程两边乘或除以 a(aw O)。'、因此，过去四种情况，四条依据，需要安排四道例题；现归结为两条依据， 只需两道例题，有利于学生举一反三。而且，回避上述两种形式的方程，并不影 响学生列方程解决实际问题。因为当能列出形如a-x=b与 a+x=b的方程时，总能根据实际问题的数量关系，改写成形如 x+b=a与bx=a的方程。这也体现了列 方程解决问题，常常可以化逆向思维为顺向思维的优势。看来，实施义务教育，贯彻九年制义务教育的数学课程标准，要求我们应当

9、更多地考虑中小学数学教育的衔接， 更加自觉地从中小学数学的全局、 从学生数 学学习的可持续发展着眼，分析教学内容的地位与作用。这在某种意义上，可以 说是“科学发展观"、是“以学生发展为本”理念的实际体现。以上多角度地阐述，意在讲清改革举措的原委、意图及相关的考虑。但对于 教学实践工作者来说，理解、认同其所以然之后，还需面对并妥善解决一系列的 教学实际问题。光知道要过河，如果没有可操作的过河方法，仍然无济于事。从已有教学实践来看，常感为难的问题主要有以下几个。1.教材不出“等式基本性质”的名称，怎么讲 ？为了减少数学的名词术语，降低数学理论的学习要求，减轻学生的记忆负 担，现行教材大多

10、不出现“等式基本性质”之类的名词。这当然是对的，因为在小学确实需要控制出现数学名词术语的数量，况且不出名词，甚至不用文字概括等式基本性质，就让学生用自己的语言陈述所发现的规律，都是可行的。但这并不是说教材回避的语言教师就不能说。因为在实际教学过程中，不少教师常常感到每次提到等式基本性质时，都要把有关的内容说出来，如 “等式两边都加上或减去同一个数等式不变”，很不方便，最好有个名称。于是，有的教师称之为“等式的规律”，也有教师说成“天平保持平衡的道理”或称“天平原理”。这些语言作为小学阶段的通俗说法，并不为错。也有实践表明，给出“等式基本性质” 这一名词，小学生一般不感到生僻，他们完全能够接受。

11、鉴于此， 笔者以为，既然是规范的数学术语，学生又能接受，就不必刻意回避，如果教师觉得需要，教学中引入这一名词也未尝不可。2初学解方程时，学生不习惯运用等式的基本性质，怎么办?首先， 教学等式基本性质时，可以安排一些口答练习，如：a 8=39， a=( )，"+7=85+ 7, =(),以便从一开始就尽可能地帮助学生初步体会等式基本性质的优势，逐步熟悉依据等式基本性质解方程的思路。其次，教学解方程时，可以先通过复习，让学生再现、复述等式基本性质的内容， 为新授作好铺垫；给出例题后，再用天平的教具或者图示表示例题的方程；同时通过明确的指导语予以思维定向如 “从今天起， 我们将学习怎样用天

12、平保持平衡的道理来解方程”。这些都是行之有效的措施，一般来说，会有学生想到运用等式的基本性质来解方程。由于教材在设计例题时，为了直观，选用的数据都比较小学生一眼就能看出方程的解。这时要求学生说出解方程的根据，显得有些“画蛇添足”，而且往往会有学生想到的根据是“求加数，用和减去另一个加数 "。对此，教师可以强调新的思考方法以后到中学解更复杂的方程时一直有用，以提高学生学习掌握根据等式基本性质解方程的积极性。有必要指出：学生自发地想到运用四则运算间的关系解方程，教师应给予肯定， 但以根据教材突出用等式性质解的思考方法为宜。实践表明，教学中两类不同依据、两种不同思路同时并存，由着学生“喜欢

13、什么，选用什么"，则中下水平的学牛容易产生混淆，容易出现两种方法都没掌握好的现象。这里，我们可以通过练习，如 x+3.2=4.6, x-1.8=3, 1.6x=6.4. x+ 7=0.35 等，让学生说说，哪几题是在方程两边加上或减去一个数，哪几题是在方程两边乘或除以一个不等于零的数，从而使学生初步体会用天平保持平衡的道理来解方程思路比较统一的优点。还可以告诉学生，以后进一步学习解更复杂的方程时这一优势会更加明显。3.解决实际问题时，学生列出形如 a-x=b与ax=b的方程，怎么办？。这是列方程解决实际问题时学生经常会出现的现象。对此，常用的对策有两条。其一，引导学生根据题意，将可用

14、加减法表示的等量关系统一成用加法表示的等量关系；将可用乘除法表示的等量关系统一成用乘法表示的等量关系。例如，路程+速度=时间，路程+时间=速度，可以归结为速度x时间= 路程。有些教师顾虑这是不是有违“算法多样化”的精神，其实这种顾虑是对课改理念的误读。首先，同一等量关系的不同表达形式，常常并无本质差异：其次，一题多解与多题一解，算法多样化与算法优化，发散思维与收敛思维，都是相辅相成的，不应偏废。而且，这里的收敛思维、多题一“式”，恰恰体现了列方程解决问题思路统一的特点，是必须让学生初步感悟、有所体会的。其二，如果学生感兴趣，也可引导他们自己尝试解形如 a-x=6与a=6的方程。 试举一例：李老

15、师买了 2支同样的钢笔付50元，找回1 8元.求钢笔的单价。学生设钢笔每支x元，得50 2x=18或者(5018)+x=2。怎么解呢？不妨联 想天平，两边盘子内的物品交换一下，天平仍然平衡.得 18=502x或2=(50 18) + x,等式两边同加 2x或同乘x,得1 8+2x=50或2x=50-1 8。教师把“等式两边交换”比喻为“挑担换肩”，农村的孩子有这样的生活经 验，一听也就明白了。当然还有其他方法，比如根据四则运算关系，直接将原方 程变换成2x=50-18或x=(50 1 8) + 2,也是可以的。应当向学生指出的是，这 些方法暂时可以采用，以后到了中学，解法就会更加统一。两条策略

16、，是选用其一，还是综合运用？一句话，“你的课堂你做主”。教师可以根据本班实际情 况，灵活处理。3.如何结合学生的生活背景处理教材中的情境图？一：当教材中的情景图与学生的生活背景是一致时，我们要注意：1、尊重教材的编写意图， 认真分析教材情景图所反映的数学信息、揭示的数学问题、教学的价值，突出本质，淡化其他；2、注意情境图出示的时机；3、是静态出不好、还是动态出不好；4、把握情境图的核心和予本节课有价值的数学信息快速进入主题，不能让学生活动 了很长时间还没有进入主题。二：当教材中的情景图与学生的生活背景不一致时，我们可以：1、借鉴各种版本的教材，择优选取素材；2、创造性根据学生的实际生活背景创设

17、情境，但必须是与教材的编写意图一致的；3、有些只需要进行简单的修改和完善即可；4、创设的问题情境要具有时代性。4.在数学教学中我们常常会创设“问题情景”展开 教学，请结合实例谈谈“问题情景”与“例题”有何区别？问题情境。教师提出具有一定概括性的问题，与学生已有的认知结构之间 产生内部矛盾冲突，学生单凭现有数学知识和技能暂时无法解决， 于是激起学生 的求知欲望，形成一种教学情境。在教师的指导下，学生通过探索和研究解决问 题。问题情境，提出的问题就要紧紧围绕教学目标，而且要非常具体，要有新 意和启发性。这样学生能理解问题的含义，才有可能去探索、思考和解决这些问 题。这就要求老师一方面要从生活情境中

18、及时提炼教学问题，切忌在情境中“流连忘返” ；另一方面要充分发挥情境的作用，不能“浅尝辄止”,把情境的创设作为课堂教学的“摆设”。在新知识的实际应用中，问题情境设计可以出现一些有多余条件或缺少必要条件的情景，让学生收集、整理、分析相关信息，从而解决实际问题。如，教学“ 11 20 各数的认识”一课， “想想做做”中有培养数感的估计练习，如果直接出示17 个草莓，让学生估计有多少个，学生可能并不去估计，而是一个一个地数。所以，有的教师在处理时就设置了一些障碍，让17 个草莓在屏幕上无规则地运动着，有意干扰学生数数，学生只能估计。在实际教学中，我们对“适度”往往把握得不够好。问题过于简单，学生思考

19、空间小，甚至无须思考，结论随口而出；要么问题难度过大，学生摸不首边际，常常在外围兜圈子，因此把握障碍性的适度非常关键。问题难度偏大的，教师可以适当提示或暗示。教学实践中可将例题转变问题情境：学生的积极思维往往是由问题开始，又在解决问题的过程中得到发展。 因此， 教学中教师要创设问题情境，让学生发现问题、探究问题、解决问题。问题情境是指个人所面临的刺激模式与个人的知识结构所形成的差异，也就是呈现在人们眼前的事物所具有的条件超过人们已有知识经验的范围，而构成了问题条件。在问题情境中，学生面临新的未知事实和情节，便在头脑中产生“问题”，引发他们的思维过程。因此，教学时，我们要重视创设问题情境，让学生

20、有疑可问。案例教学“两位数加一位数的进位加法”时。教师可创设这样情境： （多媒体出示）森林公园要举行一次隆重的联欢会，小动物们都忙着做准备工作，小猪也高兴地接受了一个任务，去算一算给客人的矿泉水够不够。可是到哪里，小猪却哇哇大哭起来，这是怎么回事呢？我们一起去看看吧。再出示： “来了 33 个客人， 每人一瓶够吗？图显示：桌上放着9 瓶矿泉水，还有一箱矿泉水。先让学生凭借这个情境，大胆猜想，提出不同的问题，再引导学生进行解答，这样激发学生学习的积极性，也使学生有疑可问。5.在学习分数加减法时，学生举了这样的例子： 篮球比赛甲乙两队上半场2/3,下半场3/4，合计是5/7, 所以2/3+3/4=5/7 ,谈谈你对此的理解和看法。答：我认为这种描述是合理的。首先，从分数的数学含义谈起。就整个中小学数学来说，分数主要有两个作 用：一个是作为有理数出现的一种数， 它能和其他的数一样参与运算；另一个是 以比的形式出现的数。而后者是小学分数教学的重点。因此，最重要的分数应该 是真分数，它代表一个