新湘教版八年级数学上册第三章实数小结与复习

1、小结与复习小结与复习湘教版数学八年级上册湘教版数学八年级上册本课内容本节内容3.41.平方根的定义平方根的定义: 如果有一个数如果有一个数r，使得，使得r2=a，那么我们把，那么我们把r叫作叫作a的一个平方根，也叫作二次方根的一个平方根，也叫作二次方根.符号表示为：若符号表示为：若 r2= a ；r= . a2.平方根的性质平方根的性质:(1)一个正数有一个正数有2个个平方根，它们平方根，它们互为相反数互为相反数；(2)0的平方根与算术平方根都是的平方根与算术平方根都是0；(3)负数负数没有平方根没有平方根。.,aaa读作正、负根号的平方根记作3.算术平方根的定义算术平方根的定义: 如果有一个

2、数如果有一个数r(r0)，使得，使得r2=a，那么我，那么我们把们把r叫作叫作a的算术平方根的算术平方根.4.算术平方根的性质算术平方根的性质:);0(0) 1 (aa且|)3(2aa)0( aa)0( aa)0()2(2aaa一个非负数的算术平方根是非负数。一个非负数的算术平方根是非负数。一个数的算术平方根的平方等于这个数本身。一个数的算术平方根的平方等于这个数本身。一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。a-aa代数式的意义代数式的意义 代数式的表达代数式的表达a a的算术平方根的算术平方根a a的负平方根的负平方根a a的平方根的平方根5.

3、平方根的表示方法平方根的表示方法:（设设a0）求一个非负数的平方根的运算，叫作求一个非负数的平方根的运算，叫作开平方开平方. .6.6.开平方开平方: :开平方开平方平方平方互逆互逆7.7.平方根与算术平方根之间的区别与联系平方根与算术平方根之间的区别与联系区别区别 定义定义 个个数数符符号号表示表示法法等于本身等于本身的数的数 平方根 算术平方根 aaax 2xa如果 那么 叫做 的平方根。ax 2)0(xxa如果 那么 叫做 的算术平方根1 12 2+00、1二者有着包含关系：平方根中包含算术平方根，算术二者有着包含关系：平方根中包含算术平方根，算术平方根是平方根中的非负的那一个；平方根是

4、平方根中的非负的那一个；存在条件相同，非负数才有平方根和算术平方根；存在条件相同，非负数才有平方根和算术平方根；0的平方根和的平方根和0的算术平方根都是的算术平方根都是0。);0(0) 1 (aa且即一个非负数的算术平方根是非负数。即一个非负数的算术平方根是非负数。; 0|(2)a. 0)3(2a即一个数的绝对值是非负数。即一个数的绝对值是非负数。即一个数的平方是非负数。即一个数的平方是非负数。8.非负性：非负性：如果几个非负数相加和为如果几个非负数相加和为0 0，则这几个非负数都等于则这几个非负数都等于0.0.课堂练习课堂练习一一.求下列各式的平方根与算术平方根：求下列各式的平方根与算术平方

5、根：6 . 1 )2(01. 0) 1 (1691 ) 3(2)7)(4(|41| )5(）（ 5-)6(2243)7(81)8(327-)9(一般地，求一个数的平方根的方法有一般地，求一个数的平方根的方法有两种两种：1.根据乘方意义求平方根根据乘方意义求平方根; 2.用计算器求平方根用计算器求平方根. 二二. 用计算器求下列各式的值：用计算器求下列各式的值： 三三. 用计算器求下列各式的近似值用计算器求下列各式的近似值（精确到精确到0.001）解：解：解解3136561.53761.24 1 3136 2 1.5376（ ） （ ） 2110.5821.414113.317 0.580.76

6、21.41.4的的平方根平方根是是 ；算术平方根是；算术平方根是_2 24的平方根是 ，算术平方根是 。222 2四四.填空：填空：2.若若x2=3，则，则 x= ，若，若 =3，则，则 x= ；2x333.若若（x-1）2=4，则则x= ，3或或14.若若一个数的一个平方根为一个数的一个平方根为-7，则另一个平，则另一个平方根为方根为 ，这个数是，这个数是 。7495.若若一个正数的两个平方根为一个正数的两个平方根为2a-6、3a+1，则则a= ，这个正数为，这个正数为 ；116。的算术平方根等于的算术平方根等于）（23. 6 3。），则（，则（若若7 7 25x245x2.256。的算术平

7、方根为的算术平方根为时，时，当当8 8a3a9a.20-5._,5. 9的关系为与此时的最大值为baba互为相反数11.11.一个自然数的算术平方根是一个自然数的算术平方根是a，则下一个自然数的算，则下一个自然数的算术平方根是术平方根是_.21610. 10. 的算术平方根的相反数是的算术平方根的相反数是_.12a-1612.一个自然数的平方一个自然数的平方b,那么比这个自然数大那么比这个自然数大1的数是的数是_1b._,2729729. 245. 7.13yy则，若74500001. 的平方根是的平方根是4. ( ) 162. 一定是正数一定是正数. ( )a3.a2的算术平方根是的算术平方

8、根是a. ( )4.若若 ,则则a=-5. ( )5)(2a5. . ( )396.-6是是(-6)2的平方根的平方根. ( )7.若若x2=36,则则x= ( ) 6368.如果两个数的平方相等如果两个数的平方相等,那么这两个数也相等（那么这两个数也相等（ ）五五.判断：判断：9.平平方根是本身的数有方根是本身的数有0 ,1 ( )1.下下列各数中，不一定有平方根的是（列各数中，不一定有平方根的是（ ）（A）x2+1 （B）|x|+2 （C） （D）|a|-11a D2.2.已已知知 有意义有意义, ,则则x一定是一定是( ) ( ) （A A）正数）正数 （B B） 负数负数 （C C）

9、非负数非负数 （D D）非）非正数正数Dx六六.选择选择:(1)x2=25； (2) 9x2=100;(4)2x2-3=13; (5)4(x-1)2=81. 七七.解方程：解方程：6)100()3(2 x 如果一个数如果一个数b，使得，使得b3=a，那么我们把，那么我们把b叫作叫作a的一个立方根，也叫作三次方根的一个立方根，也叫作三次方根. a 的立方根记作的立方根记作 ，读作，读作“立方根号立方根号a”或或“三次根号三次根号a”3a 用符号表示为：若用符号表示为：若b3=a，则，则b= . = . 3a9.9.立方根的定义：立方根的定义：立方根的符号与被开方数的符号相同。立方根的符号与被开方

10、数的符号相同。 (1) (1) 一个正数有一个立方根，是正数；一个正数有一个立方根，是正数；(2) 0(2) 0的立方根是的立方根是0 0；(3) (3) 一个负数有一个立方根，是负数。一个负数有一个立方根，是负数。10.10.立方根的性质（唯一性）：立方根的性质（唯一性）： .33aa.33aa .33aa一个数的立方根的立方等于这个数本身。一个数的立方根的立方等于这个数本身。一个数的立方的立方根等于这个数本身。一个数的立方的立方根等于这个数本身。 若两个数互为相反数，那么这两个若两个数互为相反数，那么这两个数的立方根也互为相反数。数的立方根也互为相反数。代数式的意义代数式的意义 代数式的表

11、达代数式的表达12.12.立方根的表示方法：立方根的表示方法：3a3a3aa的立方根a 的立方根a的立方根的相反数求一个数的立方根的运算，叫作求一个数的立方根的运算，叫作开立方开立方. .11.11.开立方开立方: :开立方开立方立方立方互逆互逆联系：联系：(1)0的平方根、立方根都是的平方根、立方根都是0.(2)平方根、立方根都是开方的结果平方根、立方根都是开方的结果. 定义定义表示法表示法被开方数被开方数a的取值范围的取值范围正数正数 0负数负数 平方根平方根立方根立方根 如果如果b3=a，那么那么b叫作叫作a的一的一个立方根，个立方根， 如果如果r2=a，那，那么么r叫作叫作a的一个的一

12、个平方根，平方根，a3a 非负数非负数 任何实数任何实数 2个个平方根平方根 1个个平方根平方根 无无 1个个立方根立方根 1个个立方根立方根 1个个立方根立方根区别区别13.13.平方根与立方根的区别与联系：平方根与立方根的区别与联系：一一.求下列各式的立方根：求下列各式的立方根：课堂练习课堂练习7)2(001. 0) 1 (833) 3(3)7)(4(|641| )5(）（512-)6(2243)7(81)8(327-)9(一般地，求一个数的立方根的方法有一般地，求一个数的立方根的方法有两种两种：1.根据乘方意义求立方根根据乘方意义求立方根; 2.用计算器求立方根用计算器求立方根. 二二.

13、 用计算器求下列各数的立方根：用计算器求下列各数的立方根： 解：解：三三. 用计算器求下列各数的近似值用计算器求下列各数的近似值（精确到精确到0.001）333 357, , ., , .- -解：解：1010003621635 . 1375. 33442. 133710. 153913. 173-1000-1000， 216216， -3.375 .-3.375 .(1)平方根是它本身的数是平方根是它本身的数是_(2)算术平方根是其本身的数是算术平方根是其本身的数是_(3)立方根是其本身的数是立方根是其本身的数是_(4) 的立方根为的立方根为 . 64 (5) 的平方根为的平方根为 . 32

14、)8( (6) 的立方根的相反数为的立方根的相反数为 . 3512 00，1，-10，1，2 22 2-2-2四四.求下列各式的立方根：求下列各式的立方根：(7)若若x=16，则，则12-x的立方根是的立方根是_. (8)若若4a+1的平方根是的平方根是5，求，求2a-8的立方根。的立方根。 (9)已知已知 (b-2)+|c+5|=0，求，求c-a-b的立方根。的立方根。(10)已知已知y= + -3，求，求xy的立方根。的立方根。1a9xx93162或五五. .判断正误：判断正误：82（7 7）的立方根是的立方根是（9 9）0 0的平方根与立方根都是的平方根与立方根都是0 027832的立方

15、根是的立方根是（10）（5）负数没有立方根）负数没有立方根（6）4的平方根是的平方根是2（8）负数有一个平方根）负数有一个平方根464) 1 (3864)4(464)2(3464)3(3(1)x=125； (2) 8x=-27;(3)x+3=2; (4)（x-1）=8. 六六.运用立方根的定义解方程：运用立方根的定义解方程：按定义分：按定义分：13.实数的分类：实数的分类：实数有理数整数正整数 (自然数)零负整数分数正分数负分数无理数正无理数负无理数(自然数)按定义分：按定义分：圆周率圆周率及一些化简之后含有及一些化简之后含有的数的数开不尽方的数及开不尽方的数及化简之后含根号的数化简之后含根号

16、的数有一定的规律，但不循环的无限小数有一定的规律，但不循环的无限小数.76, 5, 3, 2例如：注意注意:带根号带根号的数不一定是的数不一定是无理数无理数,如如4例如：2+，-3，5例如：0.1010010001，-2.7878878887无限不循环小数叫做无理数无限不循环小数叫做无理数( (强调强调: :无限无限, ,不循环不循环.) .)无理数常见的无理数常见的3 3种典型种典型: :一一. 判断：判断：（1 1）任何一个无理数的绝对值都是正数）任何一个无理数的绝对值都是正数; ;（2 2）带根号的数都是无理数；）带根号的数都是无理数；（3 3）实数可以分为正实数和负实数两类；）实数可以

17、分为正实数和负实数两类；（4）有理数与数轴上的点一一对应）有理数与数轴上的点一一对应; (5)(5)实数不是有理数就是无理数实数不是有理数就是无理数; ; (6)(6)无理数都是无限小数。无理数都是无限小数。（7）有理数与无理数之和一定是无理数；）有理数与无理数之和一定是无理数； （8）有理数与无理数之差一定是无理数；）有理数与无理数之差一定是无理数； （9）有理数与无理数之积一定是无理数；）有理数与无理数之积一定是无理数； （10）有理数与无理数之商一定是无理数；）有理数与无理数之商一定是无理数； （11）无有理数与无理数之和一定是无理数；）无有理数与无理数之和一定是无理数； （12）无理数

18、与无理数之差一定是无理数；）无理数与无理数之差一定是无理数； （13）无理数与无理数之积一定是无理数；）无理数与无理数之积一定是无理数； （14）无理数与无理数之商一定是无理数；）无理数与无理数之商一定是无理数； 2.2.把下列各数填入相应的集合内：把下列各数填入相应的集合内：935646. 03439313. 0有理数集合：有理数集合：无理数集合：无理数集合：整数集合：整数集合：分数集合：分数集合：实数集合：实数集合： 3539 9643 9646 . 043313. 0 6 . 04313. 0 935646. 04339313. 0353312, 1,02p2p 5.5.倒数是它本身的数是倒数是它本身的数是_。1或-17.7.若若3 3，5 5为三