差分方程的概念性质举例

1、第六节 差分方程一、差分的概念与性质一、差分的概念与性质二二 差分方程的概念差分方程的概念 三三 一阶常系数线性差分方程一阶常系数线性差分方程 一、差分的概念与性质一、差分的概念与性质一般地，在连续变化的时间的范围内，变量 y关于时间 t的变化率是用 dydt来刻画的； 对离散型的变量 , y我们常用在规定时间区间上的差商 yt来刻画变量 y的变化率.如果取 1t ，则 (1)( )yy ty t 可以近似表示变量 y的变化率.由此我们给出差分的定义.定义1 ( )tyy tttyy1tytytytttyyy1)() 1()(tytytyty2.2)()()(1211212tttttttttt

2、tyyyyyyyyyyy设函数，称改变量为函数的差分，也称为函数的一阶差分一阶差分，记为，即 或 一阶差分的差分称为二阶差分二阶差分，即类似地可定义三节差分，四阶差分，等等.ty1nntnyintniinitntntnyCyyy0111) 1(一般地，函数的阶差分的差分称为阶差分，阶差分，记为，即 二阶及二阶以上的差分统称为高阶差分高阶差分.2tyttyty2ty312) 1()(222ttttyt2) 12( 1) 1(2) 12()(222ttttyt022)(23ttyy例1 设，求，解解 . 1),1()2)(1()0()( tntttttn)(nt) 1()2)(1()( ntttt

3、tynt( )( )(1)(1) (1)(11)nntytttt ttn )1()2() 1()1() 1( nntntttntt例2 设求解解 设，则.(1)(2)(1)t ttntn)()(为常数CyCCyttttttzyzy)（ttttttzyyzzy1)（)0()1tttttttttzzzzyyzzy（差分满足以下性质：（2）（3）（4）（1）ttty32)3() 1(3)3(222ttttttty)362(332) 1() 12(322ttttttt例3 求解解 由差分的运算性质，有.的差分.二二 差分方程的概念差分方程的概念ty, 0),(2 tntttyyyytF,.0),(21

4、 nttttyyyytG定义定义2 含有未知函数的差分的方程称为差分方程差分方程. 或 差分方程中所含未知函数差分的最高阶数称为该差分方程的阶阶差分方程的一般形式：定义定义3 满足差分方程的函数称为该差分方程的解差分方程的解.21ttyytyt222) 1(21ttyytttyt2CCtyt 221ttyy例如，对于差分方程，将代入方程有 故是该方程的解，易见对任意的常数都是差分方程的解.如果差分方程的解中含有相互独立的任意常数的个数恰好等于方程的阶数，则称这个解是差分方程的通解.定义4 若差分方程中所含未知函数及未知函数的各阶差分均为一次，则称该差分方程为线性差分方程. 其一般形式为)()(

5、)()(1111tfytaytaytaytntnntnttntntyyy,1 其特点是都是一阶的. 三三 一阶常系数线性差分方程一阶常系数线性差分方程)(1tfPyyttP)(tf0)(tf01ttPyy0)(tf一阶常系数差分方程的一般方程形式为 其中为非零常数，为已知函数.如果则方程变为 称为一阶常系数线性齐次差分方程一阶常系数线性齐次差分方程，相应地，时方程一阶常系数线性非齐次差分方程一阶常系数线性非齐次差分方程.0y , 2 , 1 , 0tttPyy101Pyy 0212yPPyy0323yPPyy.,01yPPyyttt0yPyttAttAPy ttAPy 1一阶常系数线性齐次差分

6、方程的通解已知，将代入方程中，得 则为方程的解.容易验证，对任意常数都是方程的解，故方程的通解为 一阶常系数线性齐次差分方程的通解可用迭代法迭代法求得.设031ttyy.3ttAy 例4 求差分方程的通解.解解 利用公式得，题设方程的通解为ty*ty*tttyyy)(*1tfPyytt01ttyPy)()()(*11tfyyPyytttt*tttyyy2一阶常系数线性非齐次差分方程的通解为齐次方程的通解，为非齐次方程的一个为非齐次方程的通解.，及将这两式相加得，即为非齐次方程的通解.定理定理 设特解，则证明证明 由题设，有Ctf)(C0yCPyytt*1*tyCPyy0*1),1 (021*2

7、PCyPCPyy),1 (2032*3PPCyPCPyy),1 (120* tttPPPCyPy,1)1(CtAPCPPCyt（1）为非零常数，由，可按如下迭代法求得特解给定11PP11PPttPAy11A*tttyyy,1CtAPCAPtA1P,110APCyA1P齐次方程的通解为于是方程通解为 时，当.10AyA其中， 为任意常数，且当时，为任意常数231ttyy2, 3CP. 13 ttAy例5 求差分方程的通解.，故原方程的通解为 解解 由于tCbtf)(bC,1bPb ttkby *ktttCbPkbkb1PbCkttbPbCy*Pb tttbPCAPy1（2）（为非零常数且）.时，设为非齐次方程的特解，其中为待定系数.将其代入方程,得解得，于是，所求特解为所以时，方程的通解为 当Pb ttktby *PCk Pb 1tttCtbAPy当时，设为方程的特解，代入方程得所以，当时，方程的通解为