理学8高等数学详解各类知识点

1、会计学1理学理学8高等数学详解各类知识点高等数学详解各类知识点播放播放 求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和分割、求和、取极限、取极限”的方法，如下动画演示的方法，如下动画演示步骤如下：步骤如下：用若干个小平用若干个小平顶柱体体积之顶柱体体积之和近似表示曲和近似表示曲顶柱体的体积，顶柱体的体积，xzyoD),(yxfz i),(ii先分割曲顶柱体的底，先分割曲顶柱体的底，并取典型小区域，并取典型小区域，.),(lim10iiniifV 曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积 设设有有一一平平面面薄薄片片，占占有有xoy面面上上的的闭闭区区域域D，在在点点),(yx处处的的面面密密度度为

2、为),(yx ，假假定定),(yx 在在D上上连连续续，平平面面薄薄片片的的质质量量为为多多少少？求平面薄片的质量求平面薄片的质量i),(ii将薄片分割成若干小块，将薄片分割成若干小块，取典型小块，将其近似取典型小块，将其近似看作均匀薄片，看作均匀薄片， 所有小块质量之和所有小块质量之和近似等于薄片总质量近似等于薄片总质量.),(lim10iiniiM xyo定义定义 设设),(yxf是有界闭区域是有界闭区域D上的有界函上的有界函数，将闭区域数，将闭区域D任意分成任意分成n个小闭区域个小闭区域1 ，,2 ，n ，其中，其中i 表示第表示第i个小闭区域，个小闭区域，也表 示它 的 面积 ， 在每

3、 个也表 示它 的 面积 ， 在每 个i 上 任取 一点上 任取 一点),(ii ，作乘积作乘积 ),(iif i ， ), 2 , 1(ni ，并作和并作和 iiniif ),(1，如果当各小闭区域的直径中的最大值如果当各小闭区域的直径中的最大值 趋近于零趋近于零时，这和式的极限存在，则称此极限为函数时，这和式的极限存在，则称此极限为函数),(yxf在闭区域在闭区域 D D 上的上的二重积分二重积分，记为记为 Ddyxf ),(，即即 Ddyxf ),(iiniif ),(lim10. .(1) 在二重积分的定义中，对闭区域的划分是在二重积分的定义中，对闭区域的划分是任意的任意的.(2)当当

4、),(yxf在闭区域上连续时，定义中和式在闭区域上连续时，定义中和式的极限必存在，即二重积分必存在的极限必存在，即二重积分必存在.对二重积分定义的说明：对二重积分定义的说明：二重积分的几何意义二重积分的几何意义当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值负值 在直角坐标系下用平在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划行于坐标轴的直线网来划分区域分区域D， DDdxdyyxfdyxf),(),(dxdyd 故二重积分可写为故二重积分可写为xyo则面积元素为则面积元素为性质性

5、质当当 为常数时为常数时，k.),(),( DDdyxfkdyxkf 性质性质 Ddyxgyxf ),(),(.),(),( DDdyxgdyxf （二重积分与定积分有类似的性质）（二重积分与定积分有类似的性质）性质性质对区域具有可加性对区域具有可加性.),(),(),(21 DDDdyxfdyxfdyxf 性质性质 若若 为为D的面积，的面积，.1 DDdd 性质性质 若在若在D上上),(),(yxgyxf .),(),( DDdyxgdyxf 特殊地特殊地.),(),( DDdyxfdyxf )(21DDD 则有则有 设设M、m分分别别是是),(yxf在在闭闭区区域域 D 上上的的最最大大

6、值值和和最最小小值值， 为为 D 的的面面积积，则则性质性质 设设函函数数),(yxf在在闭闭区区域域D上上连连续续， 为为D的的面面积积，则则在在 D 上上至至少少存存在在一一点点),( 使使得得性质性质（二重积分中值定理）（二重积分中值定理） DMdyxfm),( ),(),(fdyxfD（二重积分估值不等式）（二重积分估值不等式）例例 1 1 不不作作计计算算，估估计计 deIDyx )(22的的值值， 其其中中D是是椭椭圆圆闭闭区区域域： 12222 byax )0(ab .在在D上上 2220ayx ,12220ayxeee 由由性性质质 6 知知,222)(aDyxede 解解 d

7、eDyx)(22 ab.2aeab 区区域域 D的的面面积积 , ab例例 2 2 估估计计 DxyyxdI16222 的的值值，其其中中 D： 20, 10 yx.区域面积区域面积2 ,16)(1),(2 yxyxf在在D上上),(yxf的的最最大大值值)0(41 yxM),(yxf的的最最小小值值5143122 m)2, 1( yx 故故4252 I. 5 . 04 . 0 I解解例例 3 3 判断判断 122)ln(yxrdxdyyx的符号的符号.当当1 yxr时时, 1)(0222 yxyx故故 0)ln(22 yx;又又当当 1 yx时时, 0)ln(22 yx于是于是0)ln(12

8、2 yxrdxdyyx.解解例例 4 4 比较积分比较积分 Ddyx )ln(与与 Ddyx 2)ln(的大小的大小, 其中其中 D 是三角形闭区域是三角形闭区域, 三顶点各为三顶点各为(1,0),(1,1), (2,0).解解三三角角形形斜斜边边方方程程2 yx在在 D 内内有有 eyx 21,故故 1)ln( yx,于于是是 2)ln()ln(yxyx ,因因此此 Ddyx )ln( Ddyx 2)ln(.oxy121D二重积分的定义二重积分的定义二重积分的性质二重积分的性质二重积分的几何意义二重积分的几何意义（曲顶柱体的体积）（曲顶柱体的体积）（和式的极限）（和式的极限）思考题思考题 将

9、二重积分定义与定积分定义进行比较，将二重积分定义与定积分定义进行比较，找出它们的相同之处与不同之处找出它们的相同之处与不同之处. 定积分与二重积分都表示某个和式的极限定积分与二重积分都表示某个和式的极限值，且此值只与被积函数及积分区域有关不值，且此值只与被积函数及积分区域有关不同的是定积分的积分区域为区间，被积函数为同的是定积分的积分区域为区间，被积函数为定义在区间上的一元函数，而二重积分的积分定义在区间上的一元函数，而二重积分的积分区域为平面区域，被积函数为定义在平面区域区域为平面区域，被积函数为定义在平面区域上的二元函数上的二元函数思考题解答思考题解答一、一、 填空题填空题: :1 1、

10、当函数当函数),(yxf在闭区域在闭区域D上上_时时, ,则其在则其在D上的二重积分必定存在上的二重积分必定存在 . .2 2、 二 重 积 分二 重 积 分 Ddyxf ),(的 几 何 意 义 是的 几 何 意 义 是_._.3 3、 若若),(yxf在 有 界 闭 区 域在 有 界 闭 区 域D上 可 积上 可 积 , , 且且21DDD , ,当当0),( yxf时时, , 则则 1),(Ddyxf _ 2),(Ddyxf ; ; 当当0),( yxf时时, , 则则 1),(Ddyxf _ 2),(Ddyxf . .练练 习习 题题4 4、 Ddyx )sin(22_ , ,其中其中

11、 是圆域是圆域 2224 yx的面积的面积 , , 16. .二、二、 利用二重积分定义证明利用二重积分定义证明: : DDdyxfkdyxkf ),(),(.(.(其中其中k为常数为常数) )三、三、 比较下列积分的大小比较下列积分的大小: : 1 1、 DDdyxdyx 322)()(与与, ,其中其中D是由圆是由圆 2)1()2(22 yx所围成所围成 . . 2 2、 dyxdyxD2)ln()ln(与与, ,其中其中D是矩形是矩形 闭区域闭区域: :10 , 53 yx . .四四、估估计计积积分分 DdyxI )94(22的的值值, ,其其中中D是是圆圆 形形区区域域: :422

12、yx . .一、一、1 1、连续；、连续；2 2、以、以),(yxfz 为曲顶为曲顶, ,以以D为底的曲顶柱体体积为底的曲顶柱体体积 的代数和；的代数和； 3 3、,； 4 4、 . .三、三、1 1、 DDdyxdyx 32)()(； 2 2、 dyxdyxD2)ln()ln(. .四、四、 100)94(3622dyx. .练习题答案练习题答案 求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和分割、求和、取极限、取极限”的方法，如下动画演示的方法，如下动画演示 求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和分割、求和、取极限、取极限”的方法，如下动画演示的方法，如下动画演示

13、求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和分割、求和、取极限、取极限”的方法，如下动画演示的方法，如下动画演示 求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和分割、求和、取极限、取极限”的方法，如下动画演示的方法，如下动画演示 求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和分割、求和、取极限、取极限”的方法，如下动画演示的方法，如下动画演示 求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和分割、求和、取极限、取极限”的方法，如下动画演示的方法，如下动画演示如果积分区域为：如果积分区域为：, bxa ).()(21xyx 其中函数其中函数 、 在区间在区间 上连

14、续上连续.)(1x )(2x ,baX型型)(2xy abD)(1xy Dba)(2xy )(1xy 为曲顶柱体的体积为曲顶柱体的体积为底，以曲面为底，以曲面的值等于以的值等于以),(),(yxfzDdyxfD 应用计算应用计算“平行截平行截面面积为已知的立面面积为已知的立体求体积体求体积”的方法的方法,a0 xbzyx)(0 xA),(yxfz )(1xy)(2xy.),(),()()(21 Dbaxxdyyxfdxdyxf 得得.),(),()()(21 Ddcyydxyxfdydyxf 如果积分区域为：如果积分区域为：,dyc ).()(21yxy Y型型)(2yx )(1yx Dcdc

15、d)(2yx )(1yx D X型区域的特点型区域的特点： 穿过区域且平行于穿过区域且平行于y轴的轴的直线与区域边界相交不多于两个交点直线与区域边界相交不多于两个交点. Y型区域的特点型区域的特点：穿过区域且平行于穿过区域且平行于x轴的直轴的直线与区域边界相交不多于两个交点线与区域边界相交不多于两个交点.若区域如图，若区域如图，3D2D1D在分割后的三个区域上分别在分割后的三个区域上分别使用积分公式使用积分公式.321 DDDD则必须分割则必须分割.xy 1例例 1 1 改改变变积积分分 xdyyxfdx1010),(的的次次序序.原原式式 ydxyxfdy1010),(.解解积分区域如图积分

16、区域如图xy 222xxy 例例 2 2 改改变变积积分分 xxxdyyxfdxdyyxfdx20212010),(),(2的的次次序序.原原式式 102112),(yydxyxfdy.解解积分区域如图积分区域如图例例 3 3 改变积分改变积分)0(),(20222 adyyxfdxaaxxax 的次序的次序.axy2 解解= ayaaaydxyxfdy02222),(原式原式 aayaadxyxfdy0222),(.),(2222 aaaaydxyxfdy22xaxy 22yaax a2aa2a例例 4 4 求求 Ddxdyyx)(2，其中，其中D是由抛物线是由抛物线2xy 和和2yx 所围

17、平面闭区域所围平面闭区域.解解两两曲曲线线的的交交点点),1 , 1( ,)0 , 0(22 yxxy Ddxdyyx)(2 1022)(xxdyyxdxdxxxxxx)(21)(42102 .14033 2xy 2yx 2xy 2yx 例例5 5 求求 Dydxdyex22，其其中中 D 是是以以),1 , 1(),0 , 0()1 , 0(为为顶顶点点的的三三角角形形. dyey2无法用初等函数表示无法用初等函数表示解解 积积分分时时必必须须考考虑虑次次序序 Dydxdyex22 yydxexdy02102dyyey 10332210262dyyey ).21(61e 例例 6 6 计计算

18、算积积分分 yxydxedyI212141 yyxydxedy121.解解 dxexy不不能能用用初初等等函函数数表表示示先先改改变变积积分分次次序序.原原式式 xxxydyedxI2211 121)(dxeexx.2183ee 2xy xy 例例 7 7 求由下列曲面所围成的立体体积，求由下列曲面所围成的立体体积，yxz ，xyz ，1 yx，0 x，0 y.解解曲面围成的立体如图曲面围成的立体如图., 10 yx,xyyx 所求体积所求体积 DdxyyxV )( 1010)(xdyxyyxdx 103)1(21)1(dxxxx.247 所所围围立立体体在在xoy面面上上的的投投影影是是二重

19、积分在直角坐标下的计算公式二重积分在直角坐标下的计算公式（在积分中要正确选择（在积分中要正确选择积分次序积分次序）.),(),()()(21 Dbaxxdyyxfdxdyxf .),(),()()(21 Ddcyydxyxfdydyxf Y型型X型型设设)(xf在在1 , 0上上连连续续，并并设设Adxxf 10)(， 求求 110)()(xdyyfxfdx.思考题思考题 1)(xdyyf不能直接积出不能直接积出,改改变变积积分分次次序序. 令令 110)()(xdyyfxfdxI,思考题解答思考题解答则原式则原式 ydxyfxfdy010)()(.,)()(010 xdyyfdxxf故故 1

20、10)()(2xdyyfdxxfI xdyyfdxxf010)()()()()(1010dyyfdxxfxx .)()(21010Adyyfdxxf 一、一、 填空题填空题: : 1 1、 Ddyyxx )3(323_._.其中其中 . 10 , 10: yxD 2 2、 Ddyxx )cos(_._.其中其中D是顶是顶 点分别为点分别为 )0 , 0(，)0 ,( ，),( 的三角形闭区域的三角形闭区域 . . 3 3、将二重积分、将二重积分 Ddyxf ),(, ,其中其中D是由是由x轴及半圆周轴及半圆周)0(222 yryx所围成的闭区域所围成的闭区域, ,化为先对化为先对y后对后对x的

21、二次积分的二次积分, ,应为应为_._.练练 习习 题题 4 4、将二重积分、将二重积分 Ddyxf ),(, ,其中其中D是由直线是由直线 2, xxy及双曲线及双曲线)0(1 xxy所围成的闭区所围成的闭区 域域, ,化为先对化为先对x后对后对y的二次积分的二次积分, ,应为应为 _. _. 5 5、将将二二次次积积分分 22221),(xxxdyyxfdx改改换换积积分分次次序序, , 应应为为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. . 6 6、将将二二次次积积分分 xxdyyxfdxsin2sin0),( 改改换换积积分

22、分次次序序, , 应应为为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. . 7 7、将将二二次次积积分分 2ln1),(2yedxyxfdy 2)1(2112),(ydxyxfdy改改换换积积分分次次序序, , 应应为为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. .二、画出积分区域二、画出积分区域, ,并计算下列二重积分并计算下列二重积分: : 1 1、 Dyxde , ,其中其中D是由是由1 yx所确定的闭区域所确定的闭区域. . 2 2、 Ddxyx )(22其中其

23、中D是由直线是由直线 xyxyy2, 2 及及所围成的闭区域所围成的闭区域. . 3 3、 xDdyyxxydxdyxf020)(2(cos),( 。4 4、,2 Ddxdyxy其中其中D: : 20 , 11 yx. .三、设平面薄片所占的闭区域三、设平面薄片所占的闭区域D由直线由直线, 2 yxxy 和和x轴所围成轴所围成, ,它的面密度它的面密度22),(yxyx , ,求该求该薄片的质量薄片的质量 . .四、四、 求由曲面求由曲面222yxz 及及2226yxz , ,所围成的所围成的立体的体积立体的体积 . .一、一、1 1、1 1； 2 2、23 ；3 3、 220),(xrrrd

24、yyxfdx；4 4、 22121121),(),(yydxyxfdydxyxfdy；5 5、 211210),(yydxyxfdy；6 6、 yyydxyxfdydxyxfdyarcsinarcsin10arcsin201),(),( ； 7 7、 21120),(xexdyyxfdx. .练习题答案练习题答案二、二、1 1、1 ee； 2 2、613； 3 3、 ； 4 4、235 . .三、三、34. .四、四、 6. . .sin,cosryrx间的关系为间的关系为坐标与极坐标之坐标与极坐标之平面上同一个点，直角平面上同一个点，直角的一种变换，的一种变换，坐标平面坐标平面到直角到直角标

25、平面标平面上式可看成是从直角坐上式可看成是从直角坐xoyro 换是一对一的换是一对一的，且这种变，且这种变平面上的一点平面上的一点成成，通过上式变换，变，通过上式变换，变面上的一点面上的一点平平即对于即对于),(),(yxMxoyrMro .),(),(),(),(:)3(; 0),(),(),()2(),(),()1(),(),(:),( DDdudvvuJvuyvuxfdxdyyxfDDTvuyxvuJDDvuyvuxDxoyDuovvuyyvuxxTDxoyyxf是一对一的，则有是一对一的，则有变换变换上雅可比式上雅可比式在在；上具有一阶连续偏导数上具有一阶连续偏导数在在且满足且满足，平

26、面上的平面上的变为变为平面上的闭区域平面上的闭区域将将连续，变换连续，变换上上平面上的闭区域平面上的闭区域在在设设定理定理例例1 1解解所围成的闭区域所围成的闭区域线线轴和直轴和直轴、轴、由由其中其中计算计算2, yxyxDdxdyeDxyxy,xyvxyu 令令.2,2uvyuvx 则则,DD Dxyo2 yxD uvovu vu 2 v. 22;0;0 vyxvuyvux即即),(),(vuyxJ ,2121212121 DvuDxyxydudvedxdye21故故 vvvuduedv2021 201)(21vdvee.1 ee例例2 2解解所围成的闭区域所围成的闭区域椭圆椭圆为为其中其中

27、计算计算1,122222222 byaxDdxdybyaxD.20, 0, 0, 0 rba其中其中 ,sin,cosbryarx作广义极坐标变换作广义极坐标变换,20,10),( rrDD在这变换下在这变换下.),(),(abrryxJ 故换元公式仍成立，故换元公式仍成立，处为零，处为零，内仅当内仅当在在0 rDJ drdabrrdxdybyaxDD 2222211.32ab 的形式的形式同时也兼顾被积函数同时也兼顾被积函数的形状，的形状，于积分区域于积分区域作什么变换主要取决作什么变换主要取决),(1yxfD基本要求基本要求: :变换后定限简便，求积容易变换后定限简便，求积容易.),(),

28、(1),(),(. 2yxvuvuyxJ 计算计算 deyxyyxD2)( ，其中，其中 D：1 yx，0 x和和0 y所围成所围成.思考题思考题令令 yvyxu, vyvux雅可比行列式雅可比行列式1),(),( vuyxJ,变变换换后后区区域域为为思考题解答思考题解答oxy1 yxDouvvu D deyxyyxD2)( DdudvJvuf| ),(dveuvduuu2010 dueuu2102 ).1(41 eD ：1 yx1 u0 x0 vu0 y0 v一、一、 作适当的变换作适当的变换, ,计算下列二重积分计算下列二重积分: :1 1、 Ddxdyyx22, ,其中其中D是由两条双曲

29、线是由两条双曲线1 xy和和2 xy, ,直线直线xy 和和xy4 所围成的在第象限所围成的在第象限的闭区域的闭区域. .2 2、 Ddxdyyx)(22, ,其中其中D是椭圆区域是椭圆区域: : 1422 yx. .二、二、 设设D是由曲线是由曲线333,4,yxxyxy , ,34yx 所围所围成的第象限部分的闭区域成的第象限部分的闭区域, ,求其面积求其面积. .三、试证三、试证: : Ddxdycbyaxf)( 11222)(12ducbaufu, ,其中其中D为为 0, 12222 bayx且且. .练练 习习 题题一、一、1 1、2ln37； 2 2、 325. .二、二、81.

30、.练习题答案练习题答案把定积分的元素法推广到二重积分的应用中把定积分的元素法推广到二重积分的应用中. . d d dyxf),( dyxf),(),(yx 若要计算的某个量若要计算的某个量U对于闭区域对于闭区域D具有可加性具有可加性(即当闭区域即当闭区域D分成许多小闭区域时，所求量分成许多小闭区域时，所求量U相应相应地分成许多部分量，且地分成许多部分量，且U等于部分量之和等于部分量之和)，并且，并且在闭区域在闭区域D内任取一个直径很小的闭区域内任取一个直径很小的闭区域 时，时，相应地部分量可近似地表示为相应地部分量可近似地表示为 的形式，的形式，其中其中 在在 内这个内这个 称为所求称为所求量

31、量U的的元素元素，记为，记为 ，所求量的积分表达式为，所求量的积分表达式为 DdyxfU ),(dU实例实例一颗地球的同步轨道通讯一颗地球的同步轨道通讯卫星的轨道位于地球的赤道平面卫星的轨道位于地球的赤道平面内，且可近似认为是圆轨道通内，且可近似认为是圆轨道通讯卫星运行的角速率与地球自转讯卫星运行的角速率与地球自转的角速率相同，即人们看到它在的角速率相同，即人们看到它在天空不动若地球半径取为天空不动若地球半径取为R，问卫星距地面的高度问卫星距地面的高度h应为多少？应为多少？通讯卫星的覆盖面积是多大？通讯卫星的覆盖面积是多大？卫星卫星hoxz设曲面的方程为：设曲面的方程为：),(yxfz ,Dx

32、oy 面上的投影区域为面上的投影区域为在在,Dd 设小区域设小区域,),( dyx 点点.),(,(的切平面的切平面上过上过为为yxfyxMS .dsdAdAdsszd 则有则有，为为；截切平面；截切平面为为柱面，截曲面柱面，截曲面轴的小轴的小于于边界为准线，母线平行边界为准线，母线平行以以如图，如图， d),(yxMdAxyzs o ,面上的投影面上的投影在在为为xoydAd ,cos dAd,11cos22yxff dffdAyx221,122 DyxdffA 曲面曲面S的面积元素的面积元素曲面面积公式为：曲面面积公式为：dxdyAxyDyzxz 22)()(1设曲面的方程为：设曲面的方程

33、为：),(xzhy 曲面面积公式为：曲面面积公式为： .122dzdxAzxDxyzy 设曲面的方程为：设曲面的方程为：),(zygx 曲面面积公式为：曲面面积公式为： ;122dydzAyzDzxyx 同理可得同理可得例例 1 1 求球面求球面2222azyx ，含在圆柱体，含在圆柱体axyx 22内部的那部分面积内部的那部分面积.由由对对称称性性知知14AA , 1D：axyx 22 曲面方程曲面方程 222yxaz ,于于是是 221yzxz ,222yxaa 解解)0,( yx面面积积dxdyzzADyx 12214 12224Ddxdyyxaa cos0220142ardrrada.

34、4222aa 例例 2 2 求由曲面求由曲面azyx 22和和222yxaz )0( a所围立体的表面积所围立体的表面积.解解解方程组解方程组,22222 yxazazyx得两曲面的交线为圆周得两曲面的交线为圆周,222 azayx在在 平面上的投影域平面上的投影域为为xy,:222ayxDxy 得得由由)(122yxaz ,2axzx ,2ayzy 221yxzz22221 ayax,441222yxaa 知知由由222yxaz 221yxzz, 2dxdyyxaaSxyD 222441故故dxdyxyD 2rdrraada 022204122 a ).15526(62 a),(yx 设设x

35、oy平面上有平面上有n个质点，它们分别位于个质点，它们分别位于),(11yx，),(22yx，,),(nnyx处，质量分别处，质量分别为为nmmm,21则该质点系的则该质点系的重心重心的坐标为的坐标为 niiniiiymxmMMx11， niiniiixmymMMy11当薄片是均匀的，重心称为当薄片是均匀的，重心称为形心形心.,1 DxdAx .1 DydAy DdA 其中其中,),(),( DDdyxdyxxx .),(),( DDdyxdyxyy 由元素法由元素法 设设有有一一平平面面薄薄片片，占占有有xoy面面上上的的闭闭区区域域D，在在点点),(yx处处的的面面密密度度为为),(yx

36、，假假定定),(yx 在在D上上连连续续，平平面面薄薄片片的的重重心心例例 3 3 设平面薄板由设平面薄板由 )cos1()sin(tayttax，)20( t与与x轴围成，它的面密度轴围成，它的面密度1 ，求形心坐标，求形心坐标解解先求区域先求区域 D的面积的面积 A， 20t， ax 20 adxxyA20)( 20)sin()cos1(ttadta 2022)cos1(dtta.32a Da 2a )(xy 所所以以形形心心在在ax 上上，即即 ax , DydxdyAy1 )(0201xyaydydxA adxxya2022)(61 203cos16dtta.65 所求形心坐标为所求形

37、心坐标为 ),(65 a.由于区域关于直线由于区域关于直线ax 对称对称 ， 设设xoy平平面面上上有有n个个质质点点，它它们们分分别别位位于于),(11yx，),(22yx，,),(nnyx处处，质质量量分分别别为为nmmm,21则则该该质质点点系系对对于于x轴轴和和y轴轴的的转转动动惯惯量量依依次次为为 niiixymI12， niiiyxmI12.,),(2 DxdyxyI .),(2 DydyxxI 设有一平面薄片，占有设有一平面薄片，占有xoy面上的闭区域面上的闭区域D，在点，在点),(yx处的面密度为处的面密度为),(yx ，假定，假定),(yx 在在D上连续，平面薄片对于上连续，

38、平面薄片对于x轴和轴和y轴轴的转动惯量为的转动惯量为薄片对于薄片对于 轴的转动惯量轴的转动惯量x薄片对于薄片对于 轴的转动惯量轴的转动惯量y例例 4 4 设设一一均均匀匀的的直直角角三三角角形形薄薄板板，两两直直角角边边长长分分别别 为为a、b，求求这这三三角角形形对对其其中中任任一一直直角角边边的的转转动动惯惯量量.解解设三角形的两直角边分别在设三角形的两直角边分别在x轴和轴和y轴上，如图轴上，如图aboyx对对y轴的转动惯量为轴的转动惯量为,2dxdyxIDy babydxxdy0)1(02 .1213 ba 同理：对同理：对x轴的转动惯量为轴的转动惯量为dxdyyIDx 2 .1213

39、ab 例例 5 5 已知均匀矩形板已知均匀矩形板（面密度为常数（面密度为常数）的长）的长和宽分别为和宽分别为b和和h，计算此矩形板对于通过其形，计算此矩形板对于通过其形心且分别与一边平行的两轴的转动惯量心且分别与一边平行的两轴的转动惯量.解解先求形心先求形心,1 DxdxdyAx.1 DydxdyAy 建建立立坐坐标标系系如如图图oyx, hbA 区域面积区域面积 因因为为矩矩形形板板均均匀匀,由由对对称称性性知知形形心心坐坐标标2bx ，2hy .hb将将坐坐标标系系平平移移如如图图oyxhbuvo 对对u轴轴的的转转动动惯惯量量 DududvvI2 22222hhbbdudvv .123

40、bh 对对v轴的转动惯量轴的转动惯量 DvdudvuI2 .123 hb 薄片对薄片对轴上单位质点的引力轴上单位质点的引力z 设有一平面薄片，占有设有一平面薄片，占有xoy面上的闭区域面上的闭区域D，在点在点),(yx处的面密度为处的面密度为),(yx ，假定，假定),(yx 在在D上连续，计算该平面薄片对位于上连续，计算该平面薄片对位于 z轴上的点轴上的点), 0 , 0(0aM处的单位质点的处的单位质点的引力引力)0( a,zyxFFFF ,)(),(23222 dayxxyxfFDx ,)(),(23222 dayxyyxfFDy .)(),(23222 dayxyxafFDz 为引力常

41、数为引力常数f例例6 6 求面密度为常量、半径为求面密度为常量、半径为R的均匀圆形的均匀圆形薄片：薄片：222Ryx ，0 z对位于对位于 z轴上的轴上的点点), 0 , 0(0aM处的单位质点的引力处的单位质点的引力)0( a解解由积分区域的对称性知由积分区域的对称性知, 0 yxFF dayxyxafFDz 23)(),(222 dayxafD 23)(1222oyzxFdrrardafR 0222023)(1.11222 aaRfa所求引力为所求引力为.112, 0, 022 aaRfa几何应用：曲面的面积几何应用：曲面的面积物理应用：重心、转动惯量、物理应用：重心、转动惯量、对质点的引

42、力对质点的引力（注意审题，熟悉相关物理知识）（注意审题，熟悉相关物理知识）思考题思考题.)0(cos,cos之间的均匀薄片的重心之间的均匀薄片的重心求位于两圆求位于两圆babrar ab xyo薄片关于薄片关于 轴对称轴对称x, 0 y则则 DDddxxDrdrrdba 20coscoscos2)()(224338abab .)(222ababab 思考题解答思考题解答一、一、 求锥面求锥面22yxz 被柱面被柱面xz22 所割下部分的所割下部分的曲面面积曲面面积. .二、二、 设 薄 片 所 占 的 闭 区 域设 薄 片 所 占 的 闭 区 域D是 介 于 两 个 圆是 介 于 两 个 圆

43、cos,cosbrar )0(ba 之间的闭区域之间的闭区域, ,求求均匀薄片的重心均匀薄片的重心. .三、三、 设有一等腰直角三角形薄片设有一等腰直角三角形薄片, ,腰长为腰长为a, ,各点处的各点处的面密度等于该点到直角顶点的距离的平方面密度等于该点到直角顶点的距离的平方, ,求薄片求薄片的重心的重心. .四、四、 设均匀薄片设均匀薄片( (面密度为常数面密度为常数 1)1)所占闭区域所占闭区域D由抛物由抛物线线xy292 与直线与直线2 x所围成所围成, ,求求xI和和yI. .练练 习习 题题五、求面密度为常量五、求面密度为常量 的匀质半圆环形薄片的匀质半圆环形薄片: : 0,2222

44、21 zyRxyR对位于对位于z轴上点轴上点 )0)(, 0 , 0(0 aaM处单位质量的质点的引力处单位质量的质点的引力F. .六、 设由六、 设由exoyxy 及及,ln所围的均匀薄板所围的均匀薄板( (密度密度1),1), 求此薄板绕哪一条垂直于求此薄板绕哪一条垂直于x轴的直线旋转时转动惯轴的直线旋转时转动惯 量最小量最小? ?一、一、 2. .二、二、)0 ,)(2(22bababa . .三、三、).52,52(aa四、四、.796,572 yxII五、五、 ),(ln22211222222112222aRRaRRaRRaRRfF )11(, 0221222aRaRfa练习题答案练

45、习题答案设设),(zyxf是空间有界闭区域是空间有界闭区域上的有界上的有界函数，将闭区域函数，将闭区域任意分成任意分成n个小闭区域个小闭区域1v ，2v , ,nv ，其中，其中iv 表示第表示第i个小闭区域，也个小闭区域，也表示它的体积表示它的体积, , 在每个在每个iv上任取一点上任取一点),(iii 作乘积作乘积iiiivf ),( ，), 2 , 1(ni ，并作和，并作和, ,如果当各小闭区域的直径中的最大值如果当各小闭区域的直径中的最大值趋近于零趋近于零时，这和式的极限存在，则称此极限为函数时，这和式的极限存在，则称此极限为函数),(zyxf在闭区域在闭区域上的上的三重积分三重积分

46、，记为，记为 dvzyxf),(, ,即即 dvzyxf),(iiiniivf ),(lim10 .叫做体积元素叫做体积元素其中其中dv, 的平面来划分的平面来划分用平行于坐标面用平行于坐标面在直角坐标系中，如果在直角坐标系中，如果.lkjizyxv 则则三重积记为三重积记为 dxdydzzyxf),(iiiniivf ),(lim10 .积元素积元素叫做直角坐标系中的体叫做直角坐标系中的体其中其中dxdydz直角坐标系中将三重积分化为三次积分直角坐标系中将三重积分化为三次积分xyzo D1z2z2S1S),(1yxzz ),(2yxzz ab)(1xyy )(2xyy ),(yx如图，如图，

47、,Dxoy面上的投影为闭区域面上的投影为闭区域在在闭区域闭区域 ),(:),(:2211yxzzSyxzzS ,),(作直线作直线过点过点Dyx 穿出穿出穿入，从穿入，从从从21zz函数，则函数，则的的只看作只看作看作定值，将看作定值，将先将先将zzyxfyx),(, ),(),(21),(),(yxzyxzdzzyxfyxF上的二重积分上的二重积分在闭区间在闭区间计算计算DyxF),(.),(),(),(),(21 DyxzyxzDddzzyxfdyxF ,),()(:21bxaxyyxyD 得得 dvzyxf),(.),()()(),(),(2121 baxyxyyxzyxzdzzyxfd

48、ydx注意注意于两点情形于两点情形相交不多相交不多的边界曲面的边界曲面直线与闭区域直线与闭区域内部的内部的轴且穿过闭区域轴且穿过闭区域这是平行于这是平行于Sz 例例 1 1 化三重积分化三重积分 dxdydzzyxfI),(为三为三次积分，其中积分区域次积分，其中积分区域 为由曲面为由曲面 222yxz 及及22xz 所围成的闭区域所围成的闭区域.解解由由 22222xzyxz, 得得交交线线投投影影区区域域, 122 yx故故 ： 22222221111xzyxxyxx,.),(11221122222 xyxxxdzzyxfdydxI例例2 2 化化三三重重积积分分 dxdydzzyxfI)

49、,(为为三三次次积积分分，其其中中 积积分分区区域域 为为由由曲曲面面22yxz ,2xy ,1 y, 0 z所所围围成成的的空空间间闭闭区区域域. 1101222),(yxxdzzyxfdydxI.解解. 11, 1,0:222 xyxyxz如图，如图，xyz例例 3 3 将将 1010022),(yxdzzyxfdydx按按xzy, 的次序积分的次序积分.1D： 1002yxz解解1D 10100),(2dyzyxfdzdxx原式原式 1101222),(xzxxdyzyxfdzdx.2D： 11222yxzxzx2D截面法的一般步骤：截面法的一般步骤：(1) 把积分区域把积分区域 向某轴

50、向某轴（例如（例如z 轴）投影，得投轴）投影，得投影区间影区间,21cc；(2) 对对,21ccz 用过用过z轴且平行轴且平行xoy平面的平面去平面的平面去截截 ，得截面，得截面zD;(3) 计算二重积分计算二重积分 zDdxdyzyxf),( 其结果为其结果为z的函数的函数)(zF；(4)最后计算单积分最后计算单积分 21)(ccdzzF即得三重积分值即得三重积分值.z例例 4 4 计计算算三三重重积积分分 zdxdydz，其其中中 为为三三个个坐坐标标面面及及平平面面1 zyx所所围围成成的的闭闭区区域域.解解（一）（一） zdxdydz,10 zDdxdyzdz1| ),(zyxyxDz

51、 )1)(1(21zzdxdyzD 原式原式 102)1(21dzzz241 .xozy111 zdxdydz解解（二）（二） zzydxdyzdz101010 zdyzyzdz1010)1( 102)1(21dzzz241 .xozy111例例 5 5 计算三重积分计算三重积分dxdydzz 2，其中，其中 是由是由 椭球面椭球面1222222 czbyax所成的空间闭区域所成的空间闭区域.: ,| ),(czczyx 1222222czbyax 原式原式,2 zDccdxdydzzxyzozD解解)1()1(222222czbczadxdyzD ),1(22czab ccdzzczab22

52、2)1(.1543abc | ),(yxDz 1222222czbyax 原式原式例例 6 6 计计算算三三重重积积分分dxdydzxy 21，其其中中 由由曲曲面面221zxy ，122 zx，1 y所所围围成成.将将 投投影影到到zox平平面面得得:xzD 122 zx,先先对对y积积分分，再再求求xzD上上二二重重积积分分,解解如图如图, 112221zxDdydxdzxyxz原式原式dzzxxdxxx21221111222 dxzzxxxx221132112| )3(1 1142)21(31dxxx.4528 三重积分的定义和计算三重积分的定义和计算在直角坐标系下的体积元素在直角坐标系

53、下的体积元素dxdydzdv （计算时将三重积分化为三次积分）（计算时将三重积分化为三次积分）思考题思考题 为为六六个个平平面面0 x，2 x，1 y，42 yx，xz ，2 z围围成成的的区区域域，),(zyxf在在 上上连连续续，则则累累次次积积分分_ dvzyxf),(.选择题选择题:;),()(201222 xxdzzyxfdydxA;),()(202212 xxdzzyxfdydxB;),()(201222 xxdzzyxfdydxC.),()(202212 xxdzzyxfdydxD一、一、 填空题填空题: :1 1、 若若 由曲面由曲面22yxz 及平面及平面1 z所围成所围成,

54、 , 则三重积分则三重积分 dxdydzzyxf),(化为三次积分是化为三次积分是 _. .2 2、 若若 是由曲面是由曲面0( cxycz),),12222 byax, ,0 z所所围成的在第一卦限内的闭区域围成的在第一卦限内的闭区域, ,则三重积分则三重积分 dxdydzzyxf),(可化为三次积分为可化为三次积分为_._.3 3、 若若10 , 10 , 10: zyx, ,则则 dxdydzzyx)(可化为三次积分可化为三次积分_,_,其值为其值为_._.练练 习习 题题 4 4、若、若 : :是由是由),0(, 0, 0 hhzzx )0(2222 aayxayx及及所围成所围成,

55、,则三重积则三重积 分分 dvzyxf),(可化为：可化为：(1)(1) 次序为次序为xyz的三次积分的三次积分_._.(2)(2)次序为次序为zxy的三次积分的三次积分_._. (3) (3)次序为次序为yzx的三次积分的三次积分_._.二、计算二、计算 dxdydzzxy32, ,其中其中 是由曲面是由曲面xyz , ,与平与平 面面01, zxxy和和所围成的闭区域所围成的闭区域 . .三、计算三、计算 xzdxdydz, ,其中其中 是曲面是曲面1, 0 yyzz, ,以及抛物柱面以及抛物柱面2xy 所围成的闭区域所围成的闭区域. .四、计算四、计算 dvyx221, ,其中其中 是由

56、六个顶点是由六个顶点 ),0 , 0 , 2(),2 . 1 . 1(),0 , 1 , 1(),0 , 0 , 1(DCBA )4 , 2 , 2(),0 , 2 , 2(FE组成的三棱锥台组成的三棱锥台. .一、一、1 1、 111112222),(yxxxdzzyxfdydx； 2 2、 cxyaxbadzzyxfdydx0100),(22； 3 3、 101010)(dzzyxdydx，23； 4 4、 hxaxaadzzyxfdydx020),(22， 22200),(xaxaahdyzyxfdxdz； 22220022020),(),(yahaayayahadxzyxfdzdydx

57、zyxfdzdy练习题答案练习题答案二二、 3641. .三三、 0 0. .四四、 2ln. .,0 r,20 . z的柱面坐标的柱面坐标就叫点就叫点个数个数，则这样的三，则这样的三的极坐标为的极坐标为面上的投影面上的投影在在为空间内一点，并设点为空间内一点，并设点设设MzrrPxoyMzyxM,),( 规定：规定：xyzo),(zyxM),(rPr .,sin,coszzryrx 柱面坐标与直角坐柱面坐标与直角坐标的关系为标的关系为为常数为常数r为常数为常数z为常数为常数 如图，三坐标面分别为如图，三坐标面分别为圆柱面；圆柱面；半平面；半平面；平平 面面),(zyxM),(rPrzxyzo

58、 dxdydzzyxf),(.),sin,cos( dzrdrdzrrf drxyzodzdr rd如图，柱面坐标系如图，柱面坐标系中的体积元素为中的体积元素为,dzrdrddv 例例1 1 计算计算 zdxdydzI，其中，其中 是球面是球面 4222 zyx与抛物面与抛物面zyx322 所围的立体所围的立体.解解由由 zzryrx sincos, zrzr34222, 3, 1 rz知交线为知交线为 23242030rrzdzrdrdI.413 面上，如图，面上，如图，投影到投影到把闭区域把闭区域xoy .20, 3043:22 rrzr，例例计算计算 dxdydzyxI)(22， 其中其

59、中 是是曲线曲线 zy22 ，0 x 绕绕oz轴旋转一周而成轴旋转一周而成的曲的曲面面与两平面与两平面, 2 z8 z所围的立体所围的立体.解解由由 022xzy 绕绕 oz 轴旋转得，轴旋转得，旋旋转转面面方方程程为为,222zyx 所围成的立体如图，所围成的立体如图， :2D, 422 yx.222020:22 zrr:1D,1622 yx,824020:21 zrr所围成立体的投影区域如图，所围成立体的投影区域如图， 2D1D,)()(21222221 dxdydzyxdxdydzyxIII 12821DrfdzrdrdI,345 22222DrfdzrdrdI,625 原式原式 I 3

60、45 625 336. 82402022rdzrrdrd 22202022rdzrrdrd的球面坐标的球面坐标就叫做点就叫做点，个数个数面上的投影，这样的三面上的投影，这样的三在在点点为为的角，这里的角，这里段段逆时针方向转到有向线逆时针方向转到有向线轴按轴按轴来看自轴来看自为从正为从正轴正向所夹的角，轴正向所夹的角，与与为有向线段为有向线段间的距离，间的距离，与点与点点点为原为原来确定，其中来确定，其中，三个有次序的数三个有次序的数可用可用为空间内一点，则点为空间内一点，则点设设MrxoyMPOPxzzOMMOrrMzyxM ),(,r 0.20 ,0 规定：规定：为常数为常数r为常数为常数