拉伸压缩与剪切

1、1第二章第二章拉伸、压缩与剪切拉伸、压缩与剪切（1）2本章内容本章内容:1 轴向拉伸与压缩的概念和实例轴向拉伸与压缩的概念和实例2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力和应力3 直杆轴向拉伸或压缩时斜截面上的直杆轴向拉伸或压缩时斜截面上的应力应力4 材料在拉伸时的力学性能材料在拉伸时的力学性能5 材料在压缩时的力学性能材料在压缩时的力学性能36 温度和时间对材料力学性能的影响温度和时间对材料力学性能的影响7 失效、安全系数和强度计算失效、安全系数和强度计算8 轴向拉伸或压缩时的变形轴向拉伸或压缩时的变形9 轴向拉伸或压缩时的变形能轴向拉伸或压缩时的变形能10 拉伸

2、、压缩静不定问题拉伸、压缩静不定问题11 温度应力和装配应力温度应力和装配应力12 应力集中的概念应力集中的概念13 剪切和挤压的实用计算剪切和挤压的实用计算42. 1 轴向拉伸与压缩的概念和实例轴向拉伸与压缩的概念和实例工程问题中，有很多杆件是受拉或受压的。工程问题中，有很多杆件是受拉或受压的。5直杆直杆受拉或受压时的受拉或受压时的特点特点：l 受力特点：受力特点：FFFFl 变形特点：变形特点：这样的杆件称为拉（压）杆。这样的杆件称为拉（压）杆。这样的力称为这样的力称为轴向拉力轴向拉力或或轴向压力轴向压力。外力合力的作用线与杆轴线重合；外力合力的作用线与杆轴线重合；杆件变形主要是沿轴线方向

3、的伸杆件变形主要是沿轴线方向的伸长或缩短。长或缩短。62. 2 轴向拉伸或压缩时轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力横截面上的内力和应力1. 内力内力求内力的方法：求内力的方法：截面法截面法。例子例子取截面取截面m-m由平衡条件由平衡条件可知：可知：内力的合力内力的合力作用线沿轴线作用线沿轴线拉力为拉力为正正；压力为压力为负负。u 轴力图轴力图 轴力轴力。轴力的轴力的正负号规定正负号规定：7例例 1 已知已知：F1=40kN, F2=30kN, F3=20kN。解：解：0X112233F1F2F3ABCDu 1-1截面，取右边，受力如图。截面，取右边，受力如图。求求：1-1, 2-2和和3-3

4、截面的轴力截面的轴力, 并作杆的轴力图并作杆的轴力图。11F1F2F3BCDFN11123FNFFF(kN)50u 2-2截面截面, 取右边取右边, 受力如图。受力如图。22F2F3CDFN280X112233F1F2F3ABCDFN3223NFFF(kN)10u 2-2截面截面, 取右边取右边, 受力如图。受力如图。22F2F3CDFN2u 3-3截面截面, 取右边取右边, 受力如图。受力如图。33F3D0X33NFF (kN)20u 轴力图轴力图xFN (kN)501020150(kN)NF9例例 2 已知已知：F=10kN, 均布均布轴向载荷轴向载荷q =30kN/m,杆长杆长 l =1

5、m。解：解：建立坐标如图，建立坐标如图，求求：杆的轴力图：杆的轴力图。qFAB取取x处截面处截面, 取左边取左边, 受力如图受力如图xxFFNx0XN xFqxF1030N xFxu 轴力图轴力图xFN (kN)1020102. 横截面上的横截面上的正应力正应力根据轴力还不能确定杆的根据轴力还不能确定杆的强度强度。为了得到为了得到正应力正应力分布规律，先研究杆件变形。分布规律，先研究杆件变形。l 杆的杆的变形变形变形后变形后a b,c dFFFabdFabccd变形前变形前为为平面平面的横截面，变形后仍保持为的横截面，变形后仍保持为平面平面,而且仍垂直于轴线。而且仍垂直于轴线。(1) 仍为直线

6、仍为直线;(2) 仍互相平行且垂直于轴线仍互相平行且垂直于轴线;l 平面平面假设假设11F NFabdFabccd由平面假设由平面假设l 平面平面假设假设各纵向纤维各纵向纤维变形变形相同相同各纵向纤维各纵向纤维受力受力相同相同正应力在横截面上正应力在横截面上均匀分布均匀分布横截面上分布的平行力系的合力应为轴力横截面上分布的平行力系的合力应为轴力N 。NF l 正应力公式正应力公式AdAANFA12l 正应力公式正应力公式NFA说明说明u 此公式对受压的情况也成立；此公式对受压的情况也成立；u 正应力的正负号规定：正应力的正负号规定：横截面上的正应力也近似为均匀横截面上的正应力也近似为均匀分布，

7、可有：分布，可有：u 对变截面杆，对变截面杆，xxxx( )( )( )NFxxA x当截面变化缓慢时，当截面变化缓慢时，13l 杆端加载方式对正应力分布的影响杆端加载方式对正应力分布的影响圣维南原理圣维南原理若用与外力系静力等若用与外力系静力等效的合力代替原力系，效的合力代替原力系，则这种代替对构件内应则这种代替对构件内应力与应变的影响只限于力与应变的影响只限于原力系作用区域附近很原力系作用区域附近很小的范围内。小的范围内。对于杆件，此范围相当对于杆件，此范围相当于横向尺寸的于横向尺寸的11.5倍。倍。即：离端面不远处，应力分布就成为均匀的。即：离端面不远处，应力分布就成为均匀的。14例例

8、3 旋转式吊车旋转式吊车已知已知： 角钢截面面为角钢截面面为10.86cm2，P=130kN, = 30 。求求：AB杆横截面上的应力。杆横截面上的应力。解：解：0YNABPNABsin(kN)260ABN(1) 求内力求内力NAC取节点取节点A, 受力如图。受力如图。P AAB杆各截面轴力相同。杆各截面轴力相同。ANAB21086.101026043(Pa)107 .1196(MPa)7 .119(2) 求求AB杆应力杆应力152. 3 直杆直杆轴向拉伸或压缩时轴向拉伸或压缩时斜截面上的应力斜截面上的应力有时拉有时拉(压压)杆件沿斜截面发生破坏。杆件沿斜截面发生破坏。u 横截面上的正应力横截

9、面上的正应力:FFkkNFAFAFF kku 斜截面斜截面k-kH 应力仍为均匀分布应力仍为均匀分布H 内力仍为内力仍为FFFH 斜截面面积斜截面面积:cos/AA 因此，需要确定斜截面上的应力。因此，需要确定斜截面上的应力。16kkFF u 斜截面斜截面k-kH 应力仍为均匀分布应力仍为均匀分布H 内力仍为内力仍为FFFH 斜截面面积斜截面面积:cos/AA H 斜截面上的全应力斜截面上的全应力:FpAFAp t t cosFAcosH 斜截面上的正应力和切应力斜截面上的正应力和切应力cosp2costsinpcossin2sin217p t t H 角斜截面上的正应力和切应力角斜截面上的正

10、应力和切应力2cost2sin2u 正负号规定正负号规定H 的的正负号正负号:H t t 的的正负号正负号:从横截面的法线到斜截面的法从横截面的法线到斜截面的法线，线，逆时针逆时针为为正正，顺时针顺时针为为负负。H 的的正负号正负号:拉应力拉应力为为正正，压应力压应力为为负负。绕所保留的截面，绕所保留的截面， 顺顺时针时针为为正正，逆逆时针时针为为负负。u 讨论讨论18F t t H 角斜截面上的正应力和切应力角斜截面上的正应力和切应力2cost2sin2u 讨论讨论H =0 时时(横截面横截面):max0tH =45 (斜截面斜截面):,2maxtt,2H =90 (纵向截面纵向截面):,

11、00tH 结论结论: max 发生在发生在横截面横截面上上,t tmax发生在发生在 =45 斜截面斜截面上上,max2/maxt192. 4 材料在材料在拉伸时的力学性能拉伸时的力学性能材料在外力作用下表现出的变形、破坏等方面材料在外力作用下表现出的变形、破坏等方面的特性称材料的的特性称材料的力学性能力学性能，也称，也称机械性质机械性质。研究材料的力学性能的目的是确定材料的一些研究材料的力学性能的目的是确定材料的一些重要重要性能指标性能指标，以作为计算材料，以作为计算材料强度强度、 刚度刚度和和选用材料的依据。选用材料的依据。 材料的机械性质通过材料的机械性质通过试验试验测定，通常为测定，通

12、常为常温静常温静载试验载试验。试验方法应按照国家标准进行。试验方法应按照国家标准进行。l 试件和试验设备试件和试验设备u 试件试件l 标距标距d 直径直径20l 试件和试验设备试件和试验设备u 试件试件 l 标距标距d 直径直径l = 10d 长试件；长试件；l = 5d 短试件。短试件。u 试验设备试验设备液压式试验机液压式试验机电子拉力试验机电子拉力试验机21一、一、 低碳钢拉伸时的力学性能低碳钢拉伸时的力学性能工程上常用的材料品种很多，材力中主要讨论工程上常用的材料品种很多，材力中主要讨论塑性材料塑性材料脆性材料脆性材料u 拉伸图拉伸图 典型代表典型代表: 低碳钢低碳钢金属材料金属材料。

13、 典型代表典型代表: 铸铁铸铁22u 拉伸图拉伸图u - 曲线曲线23u - 曲线曲线1 弹性阶段弹性阶段(ob段段)oa段段:为直线为直线直线直线斜率斜率:tanEE这就是著名的这就是著名的胡克定律胡克定律。E 弹性模量弹性模量, 具有应力的量纲具有应力的量纲, 常用单位常用单位: GPaa点的应力点的应力:比例极限比例极限 P 当当 P 时成立。时成立。24ab段段:不再是直线。不再是直线。在在b点以下，点以下，卸载后变形卸载后变形可以完全恢可以完全恢复。复。 弹性变形弹性变形b点的应力点的应力:弹性极限弹性极限 e 当应力超过当应力超过 e 时，将产生时，将产生塑性变形塑性变形。屈服极限

14、屈服极限 s 2 屈服阶段屈服阶段(bc段段) 强度的重要指标强度的重要指标25恢复抵抗变恢复抵抗变形的能力形的能力 强化。强化。e点的应力点的应力:强度极限强度极限 b 3 强化阶段强化阶段4 局部变形阶段局部变形阶段(ef 段段)(ce段段) 强度的强度的另一重要指标。另一重要指标。颈缩现象。颈缩现象。名义应力名义应力AP下降。下降。265 延伸率和断面收缩率延伸率和断面收缩率为度量材料塑性变形的能力，定义两个指标。为度量材料塑性变形的能力，定义两个指标。u 延伸率延伸率%1001lll这里，这里，l为试件标线间的标距，为试件标线间的标距，l1为试件拉断后为试件拉断后量得的标线间的长度。量

15、得的标线间的长度。u 断面收缩率断面收缩率%1001AAA这里，这里，A为试件原横截面面积，为试件原横截面面积，A1为试件拉断为试件拉断后颈缩处的最小截面面积。后颈缩处的最小截面面积。通常，通常， 5% 的材料，为塑性材料；的材料，为塑性材料； 5% 的材料，为脆性材料。的材料，为脆性材料。276 卸载定律和冷作硬化卸载定律和冷作硬化u 卸载过程卸载过程u 卸载后卸载后再加载再加载dd为直线为直线dd / aogddoogdg 弹性应变；弹性应变；od 塑性应变。塑性应变。先沿先沿dd 直线，直线，然后沿然后沿def曲线。曲线。在在 dd 段满足胡克定律。段满足胡克定律。28u 卸载后卸载后再

16、加载再加载先沿先沿dd 直线，直线， 然后沿然后沿def曲线。曲线。在在 dd 段段满足满足胡克定律胡克定律。u 冷作硬化冷作硬化材料进入强化材料进入强化阶段以后的卸阶段以后的卸载再加载历史载再加载历史,使材料的比例使材料的比例极限提高，而极限提高，而塑性变形能力塑性变形能力降低，这一现降低，这一现象称为象称为冷作硬冷作硬化化。29二、其它塑性材料拉二、其它塑性材料拉伸时的力学性能伸时的力学性能u 名义屈服极限名义屈服极限与低碳钢相比与低碳钢相比共同之处共同之处:断裂破坏前经历较大断裂破坏前经历较大的塑性变形；的塑性变形；不同之处不同之处：有的没有明显的四个有的没有明显的四个阶段。阶段。合金钢

17、20Cr高碳钢T10A螺纹钢16Mn低碳钢A3黄铜H6230对于没有明显的屈服对于没有明显的屈服阶段的塑性材料，工阶段的塑性材料，工程上规定程上规定: 用产生用产生0.2 %塑性应变时的应力塑性应变时的应力作屈服指标，称为作屈服指标，称为名名义屈服极限义屈服极限，用，用P0.2表示。表示。u 名义屈服极限名义屈服极限 P0.231三、铸铁拉伸时的力学性能三、铸铁拉伸时的力学性能32u 抗拉强度很低。抗拉强度很低。l 特点：特点：u 无屈服过程；无屈服过程；u 拉断前，塑性变拉断前，塑性变形很小；形很小； bl 弹性模量弹性模量割线弹性模量割线弹性模量u 强度指标：强度指标：强度极限强度极限 b

18、 - 曲线曲线332. 5 材料在压缩材料在压缩时的力学性能时的力学性能l E, s与拉伸与拉伸时大致相同。时大致相同。l 因越压越扁因越压越扁,得不到得不到 b 。金属的金属的压缩试件压缩试件: 短圆柱，其高度与直径之比为短圆柱，其高度与直径之比为1. 低碳钢压缩低碳钢压缩时的时的 - 曲线曲线 1.53。342. 铸铁压缩时的铸铁压缩时的 - 曲线曲线 l 抗压抗压强度极强度极限限比比抗拉抗拉强度强度极限极限高高45倍。倍。l 破坏断面与破坏断面与轴线大约成轴线大约成45 55 的倾的倾角。角。35l 小结小结比例极限比例极限 P 弹性极限弹性极限 e 屈服极限屈服极限 s 强度极限强度极

19、限 b H 弹性模量弹性模量 E 延伸率延伸率 ,断面收缩率断面收缩率 u 材料的力学性能指标材料的力学性能指标u 塑性材料塑性材料抗拉强度抗拉强度和和抗压强度抗压强度相同。相同。u 脆性材料脆性材料抗压强度抗压强度远大于远大于抗拉强度抗拉强度。H 弹性指标弹性指标H 强度指标强度指标H 塑性指标塑性指标 名义屈服极限名义屈服极限 P0.236几几种种常常用用材材料料的的主主要要力力学学性性能能372. 6 温度和时间对材料温度和时间对材料力学性能的影响力学性能的影响1、高温对材料的力学性能有影响、高温对材料的力学性能有影响;2、长期在高温下工作的构件，会产生、长期在高温下工作的构件，会产生蠕

20、变蠕变和和松弛松弛;3、蠕变蠕变：应力保持不变，应变随时间增加：应力保持不变，应变随时间增加而增加的现象而增加的现象;4、松弛松弛：应变保持不变，应力随时间增加：应变保持不变，应力随时间增加而降低的现象。而降低的现象。几个概念：几个概念：382. 7 失效、安全系数和强度计算失效、安全系数和强度计算1 失效失效失效失效 由于材料的力学行为而使构件丧失正由于材料的力学行为而使构件丧失正常功能的现象。常功能的现象。过量的弹性变形过量的弹性变形突然失去平衡状态突然失去平衡状态u 蠕变失效蠕变失效u 松弛失效松弛失效392 拉压构件材料的强度失效判据拉压构件材料的强度失效判据u 塑性材料塑性材料 以屈

21、服极限以屈服极限 s 为失效判据为失效判据u 脆性材料脆性材料受拉时：以强度极限受拉时：以强度极限 b拉拉 为失效判据为失效判据;受压时：以强度极限受压时：以强度极限 b压压 为失效判据。为失效判据。3 许用应力与安全系数许用应力与安全系数u 塑性材料塑性材料u 脆性材料脆性材料ns 塑性材料的塑性材料的安全系数安全系数ssnbbnnb 脆性材料的脆性材料的安全系数安全系数403 许用应力与安全系数许用应力与安全系数u 塑性材料塑性材料u 脆性材料脆性材料ssnbbnl 安全系数的确定安全系数的确定u材料素质（质量、均匀性、塑性、脆性）；材料素质（质量、均匀性、塑性、脆性）；u载荷情况（峰值载

22、荷、动静、不可预见性载荷情况（峰值载荷、动静、不可预见性)；u构件简化过程和计算方法的精确度；构件简化过程和计算方法的精确度；u零件的重要性、制造维修的难易程度；零件的重要性、制造维修的难易程度；u减轻重量（飞机、手提设备等）。减轻重量（飞机、手提设备等）。塑性材料：塑性材料：ns = 1.2 2.5脆性材料：脆性材料：nb = 2 3.5一般地：一般地：414 拉压构件的强度条件拉压构件的强度条件ANmaxmax注意：对于非等直杆，注意：对于非等直杆，max 还与截面积还与截面积A有关。有关。l 强度问题的三种类型强度问题的三种类型u 强度校核强度校核u 截面设计截面设计u 确定许可载荷确定

23、许可载荷ANmaxmaxmaxNA maxAN42例例 1 (上次课的例上次课的例3)已知已知： 角钢截面面为角钢截面面为10.86cm2，P =130kN, = 30 。角钢的角钢的=150 MPa。求求：校核：校核AB杆的强度。杆的强度。解：解：已求出已求出AB杆的应力杆的应力ANAB(MPa)7 .119显然有：显然有：所以所以AB杆满足强度要求。杆满足强度要求。讨论：讨论：若若 P=150kN，则：，则：MPa3 .16143讨论：讨论：若若 P=150kN，则：，则：MPa3 .161强度不足，应重新设计。强度不足，应重新设计。u 减小减小P的值的值u 增大增大AB杆的面积杆的面积u

24、 工程中允许工作应力工程中允许工作应力 略大于许用应力略大于许用应力， 但不得超过但不得超过的的5% 。44例例 2 气动夹具气动夹具 (书例书例2.4)解：解：取杆取杆, 受力如图。受力如图。24DpPPN kN24. 9轴力轴力已知已知：D140mm, p = 0.6MPa, 20钢钢, = 80MPa。求求：活塞杆直径：活塞杆直径d .PPNA近似地近似地kN24. 9所以所以24m1016. 1PN45)(422dDpPAPPPNA所以所以24m1016. 142dA而而m0122. 0d取取12.1mmd u再校核再校核kN023. 979.72MPaMPa80满足强度条件满足强度条

25、件12.1mmd , 所以就取：所以就取：46例例 3 杆系结构杆系结构解：解：u求轴力求轴力已知已知： 杆杆AB、AC材料相材料相同同, = 160 MPa, A1706.9 mm2, A2314 mm2.求求：许可载荷：许可载荷P。取节点取节点A，受力如图。，受力如图。0X30sin1N0Y30cos1N45sin2N3121PNP732. 045cos2NP470X30sin1N0YPNN45cos30cos2145sin2N3121PN3122PNP732. 0P518. 0u 由强度条件由强度条件11 ANkN1 .113kN1 .113732. 0PkN5 .1541P(1)22

26、ANkN3 .50kN3 .50518. 0PkN1 .972P(2)所以，许可载荷所以，许可载荷P的值应为：的值应为：kN1 .97P48u 由强度条件由强度条件11 ANkN1 .113kN1 .113732. 0PkN5 .1541P(1)22 ANkN3 .50kN3 .50518. 0PkN1 .972P(2)所以，许可载荷所以，许可载荷P的值应为：的值应为：kN1 .97Pl 法二法二u 列出平衡方程同前列出平衡方程同前u 由强度条件由强度条件11 ANkN1 .113(1)kN1 .113max1N22 ANkN3 .50(2)kN3 .50max2N49l 法二法二u 列出平衡

27、方程同前列出平衡方程同前u 由强度条件由强度条件11 ANkN1 .113(1)kN1 .113max1N22 ANkN3 .50(2)kN3 .50max2N将上两式代入平衡方程，可解出许可载荷将上两式代入平衡方程，可解出许可载荷P :kN5 .133P显然，与前一种方法解出的显然，与前一种方法解出的 P = 97.1 kN 不同。不同。为什么？为什么？ 哪一种方法不正确？哪一种方法不正确？ 错在哪里？错在哪里？两杆中的内力，并两杆中的内力，并不一定不一定第二种方法不正确。第二种方法不正确。同时达到同时达到最大允许轴力。最大允许轴力。502. 8 轴向轴向拉伸或压缩时的变形拉伸或压缩时的变形

28、1. 轴向变形轴向变形l 直杆轴向拉压时变形的特点直杆轴向拉压时变形的特点轴向变形量轴向变形量下面建立下面建立变形变形与与力力之间的关系之间的关系lll1l 应变应变ll511. 轴向轴向变形变形轴向变形量轴向变形量lll1l 应变应变lll 应力应力ANl 应力应力-应变关系应变关系EANEANll llEEAPl 胡克定律的胡克定律的另一种形式另一种形式EA 抗拉抗拉(或抗压或抗压)刚度刚度注意注意：上式只在应力不超过比例极限时成立。：上式只在应力不超过比例极限时成立。522. 横向横向变形变形横向变形量横向变形量bbb1l 横向应变横向应变bbl 试验证明试验证明上式也可写成：上式也可写

29、成： 泊松比泊松比或横向变形系数。或横向变形系数。当应力不超过比例极限时，有：当应力不超过比例极限时，有：53几种常用材料的几种常用材料的E和和的约值的约值(表表2. 2)543. 变截面杆的轴向变形变截面杆的轴向变形取一微段，取一微段， )(dl积分得：积分得：微段的伸长微段的伸长)(d)(xEAxxNlxEAxxNl)(d)(55例例 1 变截面杆变截面杆已知已知： BD段段A1=2cm2, AD段段 A2=4cm2, P1=5kN,P2=10kN, E=120GPa 。图中尺寸为图中尺寸为cm。求求：AB杆的变形。杆的变形。解：解：(kN)51N(1) 求轴力求轴力BD段段N1(kN)5

30、2NCD段段N2(kN)53NAC段段N356(kN)51N(1) 求轴力求轴力BD段段(kN)52NCD段段(kN)53NAC段段(2) 求变形求变形 111EAlNlBD493102101205 . 0105)m(1005. 14222EAlNlCD493104101205 . 0105)m(1052. 04333EAlNlAC493104101205 . 0105)m(1052. 0457(2) 求变形求变形 111EAlNlBD493102101205 . 0105)m(1005. 14222EAlNlCD493104101205 . 0105)m(1052. 04333EAlNlAC

31、493104101205 . 0105)m(1052. 04AB杆的变形杆的变形ACCDBDABllll)m(1005. 1458例例 2 (书例书例2. 7)已知已知： BC杆杆: d=20mm, BD杆杆: 8号槽钢。号槽钢。 = 160MPa, E=200GPa, P=60kN。求求：校核强度及：校核强度及B点位移。点位移。解：解：(kN)451N(1) 求轴力求轴力取取B点点(kN)752N(拉拉)261m10314ABC杆面积杆面积(压压)(2) 计算应力计算应力262m108 .1024ABD杆面积杆面积查型钢表查型钢表(p.414)得得59261m10314ABC杆面积杆面积(2

32、) 计算应力计算应力262m108 .1024ABD杆面积杆面积 查型钢表查型钢表得得(p. 414)应力应力MPa143111ANMPa160MPa2 .73222ANMPa16011BBl BC杆变形杆变形(3) 计算杆的变形计算杆的变形111EAlNm1086. 036011BBl BC杆变形杆变形(3) 计算杆的变形计算杆的变形111EAlNm1086. 03m22 DBlBD杆变形杆变形222EAlNm10732. 03(4) 计算计算B点位移点位移u 确定变形后确定变形后B点的位置点的位置B322BBl u B点水平位移点水平位移11lBBm1086. 0361(4) 计算计算B点

33、位移点位移u 确定变形后确定变形后B点的位置点的位置B3u B点水平位移点水平位移11lBBm1086. 03u B点垂直位移点垂直位移31BB41BB34BBsin2BBcot42BBsin2lcos(2BB)1BBcotsin2lcos(2l)1lcot, 5/4sin4/3cot, 5/3cos 31BBm1056. 133BBm1078. 13622. 9 轴向轴向拉伸或压缩的变形能拉伸或压缩的变形能弹性体在外力作用下，因变形而储存弹性体在外力作用下，因变形而储存的能量称为变形能（或应变能）。的能量称为变形能（或应变能）。1 变形能变形能l 力的功力的功当应力小于当应力小于比例极限时比

34、例极限时u 力的元功力的元功Pll)d(dlPW)(d10lPWlu力的总功力的总功lPW21PdP拉伸曲线Pld(l)l1P1l63当应力小于当应力小于比例极限时比例极限时Pll)(d10lPWlu力的总功力的总功lPW21PdP拉伸曲线Pld(l)l1P1ll 变形能变形能WU lP21由能量守恒原理由能量守恒原理64单位体积内的变形能。单位体积内的变形能。2 比能比能(应变能密度应变能密度)zyddd拉伸曲线d11单元体上下单元体上下两面的力为两面的力为:当应力有一个增量当应力有一个增量d 时时,x方向伸长的方向伸长的增量为增量为:取一单元体：取一单元体： dxdydz x方向的伸长方向

35、的伸长为为:xdxdd则元功为则元功为:zydd力所作的功为力所作的功为:xzyWddddd10 xdd65d拉伸曲线d11 dxdydz 则力所作的功为则力所作的功为:xzyWddddd10Vdd10Vd)d(10所以所以:WUddVd)d(10比能比能:VUuddd10当应力小于比例极限时当应力小于比例极限时21u66比能比能:VUuddd10当应力小于比例极限时当应力小于比例极限时21u由胡克定律由胡克定律E221Eu或或:Eu22l 由比能求应变能由比能求应变能u 应力分布应力分布均匀均匀时时uVU u 应力分布应力分布不不均匀均匀时时VVuUd67l 推广到多杆系统推广到多杆系统ni

36、iiiiAElNU1222222222N AlN lUuVVEEAEAu 应力分布应力分布时时WU lP21由能量守恒原理由能量守恒原理有有21122niiiiiN lP lE A 68例例 3 (书例书例2. 9)解：解：已知已知: BD杆外径杆外径90mm，壁，壁厚厚2.5mm，杆长，杆长l=3m。E = 210 GPa。BC是两条钢索，是两条钢索，每根截面积每根截面积172 mm2，E1= 177GPa。P = 30kN , 不考虑不考虑立柱变形。立柱变形。求求: B点垂直位移。点垂直位移。解三角形得解三角形得 BC=l1=2.20m, CD=1.55mBC、BD的的截面积分别为截面积分

37、别为A1344mm2, A=687mm2取取B点，受力如图：点，受力如图：69取取B点，受力如图：点，受力如图：N N1 11.411.41P,N N2 21.931.93PN N1 1PN N2 2外力外力P所作的功等于所作的功等于BC及及BD杆的变形能，所以杆的变形能，所以P PW21111212AElNEAlN222P31093.14m1048. 43702. 10 拉伸、压缩静不定问题拉伸、压缩静不定问题u静定问题静定问题 未知力（内力或外力）个未知力（内力或外力）个数等于独立的平衡方程数数等于独立的平衡方程数; ;u静不定问题静不定问题 未知力个数多于独立未知力个数多于独立的平的平衡

38、方程数衡方程数; ;u静不定次数静不定次数 未知力个数与独立平衡方程未知力个数与独立平衡方程数之差，也称静不定度数数之差，也称静不定度数; ;u多余约束多余约束 保持结构静定保持结构静定多余的约束。多余的约束。l 关于静不定的基本概念关于静不定的基本概念71u静力平衡方程静力平衡方程 力的平衡关系。力的平衡关系。u变形协调方程变形协调方程 变形与约束的协调关系。变形与约束的协调关系。u物理关系物理关系 力与变形的关系。力与变形的关系。l 求解静不定问题的基本方法求解静不定问题的基本方法例例 1 (书书p.50)已知已知：1、2杆相同，抗拉杆相同，抗拉刚度为刚度为E1A1 , 3杆的抗拉杆的抗拉

39、刚度为刚度为E3A3 , 长为长为l , 角。角。求求：各杆的内力。：各杆的内力。P21 13ADCB l静不定的次数？静不定的次数？1次次 静不定。静不定。解解：72例例 1 (书书p.50)已知已知：1、2杆相同，抗拉杆相同，抗拉刚度为刚度为E1A1 , 3杆的抗拉杆的抗拉刚度为刚度为E3A3 , 长为长为l , 角。角。求求：各杆的内力。：各杆的内力。P21 13ADCB l解解：(1) 静平衡方程静平衡方程取取A点，受力如图。点，受力如图。yxPN3N1N20X0sinsin21NN21NN 0Y0cos213PNN静不定次数？静不定次数？1次。次。7321 13ADCB (1) 静平

40、衡方程静平衡方程21NN 0cos213PNNl1l2A(2) 变形协调方程变形协调方程l321ll21 13ADCB l1l2Al3cos3l法二法二(3) 物理关系物理关系1lcos111AElN(1) (2) (3) 74(1) 静平衡方程静平衡方程21NN 0cos213PNN(2) 变形协调方程变形协调方程21llcos3l(3) 物理关系物理关系1lcos111AElN3l333AElN物理关系代入变形协调方程物理关系代入变形协调方程cos111AElNcos333AElN与平衡方程联立，可解出与平衡方程联立，可解出:(1) (2) (3) (4) 75(1) 静平衡方程静平衡方程

41、21NN 0cos213PNN物理关系代入变形协调方程物理关系代入变形协调方程cos111AElNcos333AElN与平衡方程联立，可解出与平衡方程联立，可解出:,cos2cos11333221AEAEPNN333113cos21AEAEPN(1) (2) (4) 76例例 2已知已知：等直杆：等直杆, EA,P;a,b。求求：两端的约束反力。：两端的约束反力。解解：(1) 静平衡方程静平衡方程取杆，受力如图。取杆，受力如图。0YPRR21ab(2) 变形协调方程变形协调方程ACl而而AB杆总长度不变，杆总长度不变，AC段受拉，拉伸变形为段受拉，拉伸变形为BCACllBClBC段受压，压缩变

42、形为段受压，压缩变形为所以所以静不定次数？静不定次数？1次。次。77(1) 静平衡方程静平衡方程PRR21ab(2) 变形协调方程变形协调方程1RNACAC段轴力段轴力BCACllBC段轴力段轴力所以所以(3) 物理关系物理关系2RNBCAClEAaNACBClEAbNBC,1EAaREAbR2由物理关系和由物理关系和 变形协调方程，得变形协调方程，得bRaR2178(1) 静平衡方程静平衡方程PRR21ab(2) 变形协调方程变形协调方程BCACll(3) 物理关系物理关系AClBCl,1EAaREAbR2由物理关系和变形协调方程，得由物理关系和变形协调方程，得bRaR21与平衡方程联立，解

43、得：与平衡方程联立，解得：,1baPaRbaPbR279例例 3 (书例书例 2. 11)已知已知： AB为刚性梁，为刚性梁，1、2两杆的横截面面积相等两杆的横截面面积相等,材料相同，材料相同，P力已知。力已知。求求：1、2两杆的内力。两杆的内力。解解：静不定次数？静不定次数？(1) 静平衡方程静平衡方程1次。次。取取AB杆，受力如图。杆，受力如图。0)(FAMFAyFAxN1N2032cos21aPaNaN03cos221PNN80FAyFAxN1N2(2) 变形协调方程变形协调方程12 l(1) 静平衡方程静平衡方程l1l2cos2l122cosll03cos221PNN(3) 物理关系物

44、理关系1l,1EAlN2lcos2EAlN81FAyFAxN1N2(2) 变形协调方程变形协调方程(1) 静平衡方程静平衡方程122cosll03cos221PNN(3) 物理关系物理关系1l,1EAlN2lcos2EAlN联立解出联立解出,1cos4331PN1cos4cos6322PN822. 11 温度应力与装配应力温度应力与装配应力 1. 温度应力温度应力由于温度变化引起的应力，称为由于温度变化引起的应力，称为温度应力温度应力或或热应力热应力。温度应力仅存在于静不定结构中。温度应力仅存在于静不定结构中。 化工管道化工管道 桥梁桥梁 裸露的输气管及水管裸露的输气管及水管l 由温度引起的变

45、形由温度引起的变形lTlT其中，其中， 为材料的线膨胀系数；为材料的线膨胀系数； T为温度为温度变化值；变化值；l为杆的长度。为杆的长度。83l 由温度引起的变形由温度引起的变形lTlT碳钢的碳钢的线膨胀系数线膨胀系数: = 12.5 x 10-6 (1/ C)例例 4已知已知： = 12.5 x10-6 (1/ C) ，E=200GPa。求求：温度应力。：温度应力。解解： 取杆，受力如图。取杆，受力如图。(1) 静平衡方程静平衡方程BARR 其中，其中， 为材料的线膨胀系数；为材料的线膨胀系数； T为温度为温度变化值；变化值；l为杆的长度。为杆的长度。84例例 4已知已知： = 12.5 x

46、10-6 (1/ C) ，E=200GPa。求求：温度应力。：温度应力。解解： 取杆，受力如图。取杆，受力如图。(1) 静平衡方程静平衡方程BARR (2) 变形协调方程变形协调方程RTll(3) 物理关系物理关系, lTlTEAlRlBRlT EAlRBTEARB85(1) 静平衡方程静平衡方程BARR (2) 变形协调方程变形协调方程RTll(3) 物理关系物理关系, lTlTEAlRlBRlT EAlRBTEARBARBTTEMPa5 . 2T当当 T =80 C 时，时，MPa200T而低碳钢的而低碳钢的s仅仅235MPa，许用应力，许用应力通常仅通常仅120 MPa 左右。所以温度应

47、力是非常大的。左右。所以温度应力是非常大的。86波纹管伸缩节波纹管伸缩节8788江阴长江大桥的伸缩缝江阴长江大桥的伸缩缝CC时，桥面伸长将达时，桥面伸长将达1.34m89例例 5 (书例书例 2. 12)已知已知： ACB为刚性杆，为刚性杆，钢杆钢杆AD的的A1=100mm2,l1=330mm，E1= 200 GPa, 1=12.5 10-6/ C;铜杆铜杆BE的的A2=200mm2,l2=220mm，E2=100 GPa，2=16.5 10-6/ C,温升温升30 C。求求： 两杆的轴力。两杆的轴力。解解：(1) 静平衡方程静平衡方程取取AB杆，受力如图。杆，受力如图。0)(FCM15024

48、021NN90(1) 静平衡方程静平衡方程15024021NN(2) 变形协调方程变形协调方程11llAATABTllBB22150240BBAA1502402211TTllll(3) 物理关系物理关系111lTlTm10124691(1) 静平衡方程静平衡方程15024021NN(2) 变形协调方程变形协调方程1502402211TTllll(3) 物理关系物理关系111lTlTm101246222lTlTm10109611111AElNl 16100165. 0N22222AElNl 2610011. 0N联立解得联立解得:kN,68. 61NkN7 .6102N922. 装配应力装配应力

49、由于加工时的尺寸误差，造成装配后的结构由于加工时的尺寸误差，造成装配后的结构存在应力，称存在应力，称装配应力装配应力。装配应力仅存在于静不定结构中。装配应力仅存在于静不定结构中。已知已知： 三杆长为三杆长为 l ,截面积、材料均相截面积、材料均相同，中间杆短于名同，中间杆短于名义长度，义长度， 加工误差加工误差为为 = l / 2000。求求：装配装配应力。应力。例例 6 (书例书例 2. 13)93已知已知： 三杆长为三杆长为 l ,截面积、材料均相截面积、材料均相同，中间杆短于名同，中间杆短于名义长度，义长度， 加工误差加工误差为为 = l / 2000。求求：装配装配应力。应力。解解：

50、分析变形。分析变形。(1) 静平衡方程静平衡方程212NN 例例 6 (书例书例 2. 13)取螺栓，受力如图。取螺栓，受力如图。(2) 变形协调方程变形协调方程21ll2000l94(1) 静平衡方程静平衡方程212NN (2) 变形协调方程变形协调方程21ll2000l(3) 物理关系物理关系,11EAlNl EAlNl22联立解得联立解得:,60001EAN 30002EAN MPa,3 .331MPa7 .662952. 12 应力集中的概念应力集中的概念由于截面尺寸的突然变化，使截面上的应由于截面尺寸的突然变化，使截面上的应力分布不再均匀，在某些部位出现远大于平力分布不再均匀，在某些

51、部位出现远大于平均值的应力，这种现象称为均值的应力，这种现象称为应力集中应力集中。96l 应力集中与圣维南原理应力集中与圣维南原理l 理论应力集中系数理论应力集中系数maxk这里，这里，为截面上的平均应力。为截面上的平均应力。 k 的值可以查手册。的值可以查手册。当宽度远大于圆孔直径时，当宽度远大于圆孔直径时，k = 3。97l 应力集中的影响应力集中的影响n 静载荷时静载荷时u 塑性材料塑性材料 产生屈服后，应力重新分配。产生屈服后，应力重新分配。应力趋于平均。应力趋于平均。这种情况下，可不考这种情况下，可不考虑应力集中的影响。虑应力集中的影响。98n 静载荷时静载荷时u 塑性材料塑性材料

52、产生屈服后，应力重新分配产生屈服后，应力重新分配,应力趋于平均。应力趋于平均。这种情况下，可这种情况下，可不考虑不考虑应力集中的影响。应力集中的影响。u 脆性材料脆性材料 应力集中部位的应力首先达应力集中部位的应力首先达到强度极限而破坏。到强度极限而破坏。应力集中的应力集中的危害严重危害严重。u 灰口铸铁灰口铸铁 内部缺陷是产生应内部缺陷是产生应力集中的力集中的主要因素主要因素，外形变化是，外形变化是次要因素次要因素。n 动载荷时动载荷时99n 动载荷时动载荷时在交变应力或冲击载荷作用下，应力集中对在交变应力或冲击载荷作用下，应力集中对塑性材料和脆性材料的强度都有严重影响。塑性材料和脆性材料的

53、强度都有严重影响。u 塑性材料塑性材料在交变应力作用下，应力集中部在交变应力作用下，应力集中部位首先产生疲劳裂纹而产生疲劳破坏。位首先产生疲劳裂纹而产生疲劳破坏。1002. 13 剪切与挤压的实用计算剪切与挤压的实用计算1. 剪切的实用计算剪切的实用计算l 钢杆的受剪钢杆的受剪101l 键的受剪键的受剪102l 剪切件的特点剪切件的特点u 受力的特点受力的特点杆件两侧作用有两个大杆件两侧作用有两个大小相等，方向相反，作小相等，方向相反，作用线相距很近的外力。用线相距很近的外力。u 变形的特点变形的特点两外力作用线间的截面两外力作用线间的截面发生错动。发生错动。u 剪力剪力受剪面受剪面上的剪力上的剪力PQ 103u 剪力剪力简化假设简化假设：切应力在切应力在受剪面受剪面上上均匀均匀分布。分布。受剪面受剪面上的剪力上的剪力PQ u 切应力计算切应力计算AQt名义切应力名义切应力：受剪面的面积。受剪面的面积。u 强度条件强度条件AQtt104例例 1 (书例书例2. 14)已知已知： 插销材插销材料为料为20钢，钢，t =30MPa，直径，直径d=20mm, t = 8mm, 1.5t =12 mm, P =15kN。求求：校核插销的剪切强度校核插