整数的性质课件(9)

1、一、最大公约数的意义和性质一、最大公约数的意义和性质8241、4 92、6 183、12 361、最大公约数的意义、最大公约数的意义24的约数集合的约数集合A1、2、3、4、6、8、12、24；36的约数集合的约数集合B1、2、3、4、6、9、12、18、36，那么，那么，AB1、2、3、4、6、12。 AB 几个自然数公有的约数，叫做这几个几个自然数公有的约数，叫做这几个数的数的公约数公约数。 几个自然数的公约数中最大的一个几个自然数的公约数中最大的一个数，叫做这几个数的数，叫做这几个数的最大公约数最大公约数。用符用符号号（ ）表示。表示。naa,1如：如：（2424，3636）1212，

2、（4 4，6 6，8 8）2 2 （8 8，1515）1 1，就说，就说8 8与与1515互质。互质。 如果两个数的最大公约数是如果两个数的最大公约数是1，那么，那么这两个数叫做这两个数叫做互质数互质数。2、最大公约数的性质、最大公约数的性质性质性质1 两个数分别除以它们的最大公两个数分别除以它们的最大公 约数，所得的商互质。约数，所得的商互质。 如果如果 （a，b）d，那么（，那么（ad，bd）1 性质性质2 两个数的最大公约数的约数，两个数的最大公约数的约数， 都是这两个数的公约数。都是这两个数的公约数。 如果如果 （a，b）d,c|d，那么，那么c|a,c|b.二、最小公倍数的意义和性质

3、二、最小公倍数的意义和性质1、最小公倍数的意义、最小公倍数的意义2448960 3672 108144 180 24的倍数集合的倍数集合M0，24，48，72，96，120，144， 36的倍数集合的倍数集合N0，36，72，108，144，180， 那么那么MN0，72，144， MN 几个自然数公有的倍数，叫做这几几个自然数公有的倍数，叫做这几个自然数的公倍数。个自然数的公倍数。 几个自然数的公倍数集合中除几个自然数的公倍数集合中除0以外最以外最小的一个公倍数叫做这几个数的最小公倍小的一个公倍数叫做这几个数的最小公倍数。有符号数。有符号 表示。表示。naa,1如：如：2424，363672

4、72，44，8 8，141456.56. 2、最小公倍数的性质、最小公倍数的性质性质性质1 两个自然数的任意一个公倍数都两个自然数的任意一个公倍数都是它们的最小公倍数的倍数。是它们的最小公倍数的倍数。如果如果a,b=m，（，（a,b）=d，那么，那么md=ab。推论推论1 如果两个数如果两个数a,b互质，那么互质，那么a,b的最小公的最小公倍数等于倍数等于a与与b积。积。如果（如果（a,b）=1，那么，那么a,b=ab。推论推论2 如果一个数如果一个数d与与ab的一个因数的一个因数a互质，那互质，那么数么数d能整除这个积的充要条件是：数能整除这个积的充要条件是：数d能整除这能整除这个积的另一个

5、因数个积的另一个因数b。推论推论3 如果一个数如果一个数m能被互质的两个数能被互质的两个数a、b整除，整除，那么那么m也能被也能被a、b的积整除。的积整除。如果（如果（a,b）=1，a|m,b|m，ab|m。例：求能被例：求能被6整除的最小的三位数。整除的最小的三位数。解：解： 623，而（，而（2，3）1， 根据最小公倍数推论根据最小公倍数推论3，求被，求被6 整除的数，只要求既能被整除的数，只要求既能被2整除又能整除又能 被被3整除的数。整除的数。 能被能被3整除的最小的三位数是整除的最小的三位数是102， 而而102也能被也能被2整除，整除， 能被能被6整除的最小的三位数是整除的最小的三

6、位数是102。 1、写出下列各集合里的最小的五个元素：、写出下列各集合里的最小的五个元素： A6的倍数的倍数4的倍数的倍数； B15的倍数的倍数45的倍数的倍数； C8的倍数的倍数9的倍数的倍数； D2的倍数的倍数3的倍数的倍数4的倍数的倍数 2、写出下列各组数的公约数：、写出下列各组数的公约数： 16和和24； 15和和25； 12、15和和18； 16、24和和27 练习练习11 3、判断题：、判断题： 有公约数有公约数1的两个整数，都是互质数。的两个整数，都是互质数。 没有公约数的两个整数叫做互质数。没有公约数的两个整数叫做互质数。 相邻的两个自然数一定是互质数。相邻的两个自然数一定是互

7、质数。 一个自然数的最大约数和最小倍数都是它本身。一个自然数的最大约数和最小倍数都是它本身。 4、选择题：、选择题： 12与与132的最大公约数减去的最大公约数减去8，等于（，等于（ ）。）。 （A）0； （B）6； （C）2； （D）3； （E）4 互质的两个数的公约数的个数是（互质的两个数的公约数的个数是（ ）。）。 （A）0； （B）1； （C）2； （D）3； （E）无限多个。）无限多个。 自然数自然数a除以自然数除以自然数b，商是，商是7，那么，那么a和和b的最小公倍数的最小公倍数是（是（ ）（A）a； （B）b ； （C）7； （D）ab； （E）7a 5、回答下列问题：、回答下列

8、问题： 一个数能被一个数能被2整除，又能被整除，又能被3整除，这个数是不是一整除，这个数是不是一定能被定能被6整除？整除？ 一个数能被一个数能被3整除，又能被整除，又能被6整除，这个数是不是一整除，这个数是不是一定能被定能被18整除？整除？ 不做除法，如何判断一个数能被不做除法，如何判断一个数能被6整除？整除？ 不做除法，如何判断一个数能被不做除法，如何判断一个数能被18整除？整除？ 不做除法，如何判断一个数能被不做除法，如何判断一个数能被12整除？整除？一、质数与合数一、质数与合数 定义定义 一个大于一个大于1的整数，如果只能被的整数，如果只能被1和它本和它本身整除，就叫做质数，也叫做素数。

9、身整除，就叫做质数，也叫做素数。例如：例如：2，3，5，7，11，是质数。是质数。定义定义 一个大于一个大于1的整数，除了能被的整数，除了能被1和它本身整除和它本身整除之外，如果还能被其他自然数整除，就叫做合数。之外，如果还能被其他自然数整除，就叫做合数。自然数自然数1既不是质数，也不是合数。既不是质数，也不是合数。定理定理1 大于大于1的任何整数，至少有一个约数是质数。的任何整数，至少有一个约数是质数。例如，例如，7的约数中，的约数中，7是质数；是质数；15的约数中，的约数中，3和和5是质数；是质数；66的约数中，的约数中，2，3，11是质数。是质数。判断一个数是不是质数的方法有：判断一个数

10、是不是质数的方法有：1、查表法：、查表法：1000以内的质数表是希腊学者埃以内的质数表是希腊学者埃位托斯特尼首先创造的。位托斯特尼首先创造的。例如，判断例如，判断197是不是质数，可以用是不是质数，可以用2、3、5、7、11、等质数去试除。等质数去试除。定理定理2 一个质数如果不能整除一个自然数，一个质数如果不能整除一个自然数，那么就与这个自然数互质。那么就与这个自然数互质。如果如果p是质数，是质数，p a,（a是自然数），那么是自然数），那么(p,a)=1。| 定理定理3 如果几个自然数的积能被一个质数整如果几个自然数的积能被一个质数整 除，那么这几个数里至少有一个数能被这个质除，那么这几个

11、数里至少有一个数能被这个质数整除。数整除。二、分解质因数二、分解质因数定义定义 一个数的因数是质数，一个数的因数是质数， 这个因数就这个因数就叫做这个数的质因数，把一个数表示成质叫做这个数的质因数，把一个数表示成质因数的乘积的形式，叫做分解质因数。因数的乘积的形式，叫做分解质因数。定理定理4 任何大于任何大于1的整数都可以分解质因数的整数都可以分解质因数定理定理5 一个大于一个大于1的整数，如果不管质因数的整数，如果不管质因数的次序，那么分解质因数的结果是唯一的。的次序，那么分解质因数的结果是唯一的。（这个定理也叫做算术基本定理）（这个定理也叫做算术基本定理） 利用数的整除特征，先用它的最小的

12、质因数利用数的整除特征，先用它的最小的质因数p1去除去除N，得到一个商，得到一个商q1；再用；再用q1的最小质因数的最小质因数p2去去除除q1 ，又得到一个商，又得到一个商q2 ；再用；再用q2的最小的质因数的最小的质因数p3去除去除q2 一直除到所得的商一直除到所得的商qn是质数的时候是质数的时候为止，把各次的除数为止，把各次的除数p1 、 p2 、 p3 、 、 pn和最和最后的商后的商qn连乘起来，就是分解质因数的结果。连乘起来，就是分解质因数的结果。把一个合数把一个合数N分解质因数的方法是：分解质因数的方法是：nn2122111qpppqppqpN 例如：例如：把把12705分解质因数

13、：分解质因数： 43423121q11q12111pq7487pq53245p507213p 127053571111例如，例如，21600216100 924100 983100 332223 2255 253352 练习练习2 1、判断题：、判断题： 一个自然数不是质数就是合数。一个自然数不是质数就是合数。 所有的偶数都是合数。所有的偶数都是合数。 互质的两个数一定是质数。互质的两个数一定是质数。 任意两个自然数的乘积一定是合数。任意两个自然数的乘积一定是合数。 一个质数和比它小的每一个自然数都是一个质数和比它小的每一个自然数都是互质数。互质数。 2、选择题：、选择题： 两个质数的和一定是

14、（两个质数的和一定是（ ）。）。 （A）合数；）合数； （B）质数；）质数； （C）偶数）偶数 （D）可能是质数，也可能是合数；）可能是质数，也可能是合数； 几个质数连乘的积一定是（几个质数连乘的积一定是（ ）。）。 （A）质数；（）质数；（B）合数；（）合数；（C）奇数；（）奇数；（D）偶数）偶数 一个数分解质因数后只有一个一个数分解质因数后只有一个2和二个和二个3，这个数全部，这个数全部 约数的个数是（约数的个数是（ ）。）。 （A）3； （B）4； （C）5； （D）6 如果某个自然数有如果某个自然数有4个不同质因数，那么这样的自然数个不同质因数，那么这样的自然数 中最小的一个是（中最小

15、的一个是（ ）。）。 （A）16； （B）24； （C）30； （D）2103 3、写出两个是互质数的合数。写出两个是互质数的合数。 127127个人能不能排成一个长方形的队伍个人能不能排成一个长方形的队伍（行数和列数都大于（行数和列数都大于1 1）？为什么？）？为什么？ 某厂制造零件某厂制造零件863863个，能否把它们平均分个，能否把它们平均分装在几个木箱里（每箱至少装装在几个木箱里（每箱至少装2 2个）？为什么？个）？为什么？ 质数是不是一定为奇数？合数是不是一质数是不是一定为奇数？合数是不是一定为偶数？为什么？定为偶数？为什么？4 4、指出下列各数哪些是质数，哪些是合数？、指出下列各数哪些是质数，哪些是合数？ 4343，4646，5757，8383，121121，147147， 423423， 10011001，10361036，16831683 1、写出下列各集合里的全部元素：、写出下列各集合里的全部元素： A18的约数的约数30的约数的约数； B16的约数的约数48的约数的约数； C8的约数的约数9的约数的约数； D16的约数的约数24的约数的约数28的约数的约数 2、写出下列各个数集里所有的元素：、写出下列各个数集里所有的元素： M420的质因数的质因数； N330的质因数的质因数； P221的质因数的质因数