第三章 函数 第四节 二次函数

1、 第三章第三章 函函 数数 第四节第四节 二次函数二次函数 考点精讲二二次次函函数数二次函数的图象及性质二次函数的图象及性质画二次函数图象步骤画二次函数图象步骤二次函数与系数二次函数与系数a、b、c的关系的关系二次函数解析式的确定二次函数解析式的确定二次函数图象的平移二次函数图象的平移二次函数与方程、不等式之间的关系二次函数与方程、不等式之间的关系利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根的一般步骤利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根的一般步骤二次函数的图象及性质二次函数的图象及性质函数函数二次函数二次函数y=ax2+bx+c(a、b、c为常数为常数，a0)aa0 a0图象图象开口开口方向方

2、向抛物线开口向抛物线开口向_，并，并向上无限延伸向上无限延伸抛物线开口向抛物线开口向_，并向下无限延伸并向下无限延伸对称轴对称轴直线直线x= _顶点顶点坐标坐标（ _ ,_ ）ba22baacba244上上下下顶点顶点坐标坐标最低点最低点最高点最高点最值最值抛物线有最低点，当抛物线有最低点，当x= 时时, y有最小值有最小值, y最小值最小值=抛物线有最高点抛物线有最高点，当当x= 时时, y有最大值有最大值, y最大值最大值=增增减减性性在对称轴的左侧，即当在对称轴的左侧，即当x时时，y随随x的增大而的增大而_;在在对称轴的右侧，即当对称轴的右侧，即当x时时，y随随x的增大而的增大而_，简记

3、左减右增简记左减右增. .当当x的值越靠近的值越靠近对称轴对称轴, y值越小值越小在对称轴的左侧在对称轴的左侧，即当即当x 时时，y随随x的增大而的增大而_;在在对称轴的右侧，即当对称轴的右侧，即当x 时时，y随随x的增大而的增大而_，简记左增右减简记左增右减. .当当x的值的值越靠近对称轴越靠近对称轴，y值越大值越大2ba244acba2ba244acba2ba2ba2ba2ba减小减小增大增大增大增大减小减小画二次函数图象的步骤：画二次函数图象的步骤：1.列表列表2.描点描点3.连线连线x-2-1012y=x241014二次函数与系数二次函数与系数a、b、c的关系的关系a决定抛物线开口方向

4、决定抛物线开口方向及大小及大小a0，抛物线开口抛物线开口_ a0，抛物线开口抛物线开口_a越大越大，抛物线开口越小抛物线开口越小a越小越小，抛物线开口越大抛物线开口越大a、b决定抛物线对称轴的决定抛物线对称轴的位置（对称轴位置（对称轴x= ）b=0，对称轴为对称轴为_ 0，对称轴在对称轴在y轴轴_ 0，对称轴在对称轴在y轴轴 _c决定抛物线与决定抛物线与y轴交轴交点的位置点的位置c=0，抛物线过抛物线过_c0，抛物线与抛物线与y轴交于正半轴轴交于正半轴c0，抛物线与抛物线与y轴交于负半轴轴交于负半轴baba2ba向下向下左侧左侧右侧右侧向上向上y轴轴原点原点二二次次函函数数解解析析式式的的确确

5、定定解析式的三种形式解析式的三种形式待定系数法求解析式待定系数法求解析式温馨提示温馨提示：1.与与y轴交点坐标：令轴交点坐标：令x=0，求对应的，求对应的y值，即值，即c值值2.与与x轴交点坐标：令轴交点坐标：令y=0,解一元二次方程求对应的解一元二次方程求对应的x值值3.已知与已知与x轴的两点轴的两点A（x1,0），），B(x2,0)，对称轴为，对称轴为x=4.已知一个交点已知一个交点A(x1,0)，求另一个交点坐标，结合二次，求另一个交点坐标，结合二次 函数对称轴求解函数对称轴求解122xx 解解析析式式的的三三种种形形式式1.一般式：一般式：y=ax2+bx+c(a、b、c为常数，为常数

6、，a0)2.顶点式：顶点式： _（a，h，k为常数为常数,a0， 其中（其中（h，k）是抛物线的顶点坐标）是抛物线的顶点坐标）3.两点式：两点式： _(a0，a为常数为常数, x1，x2是抛物线与是抛物线与x轴的两个交点坐标）轴的两个交点坐标）y=a(x-x1)(x-x2) y=a(x-h)2+k16 16 17 17 待定系数法待定系数法求解析式求解析式1.当已知抛物线上任意三点时，通常设函数的当已知抛物线上任意三点时，通常设函数的 表达式为表达式为y=ax2+bx+c(a0)2.当已知抛物线的顶点坐标或对称轴、最值时，当已知抛物线的顶点坐标或对称轴、最值时， 通常设表达式为通常设表达式为y

7、=a(x-h)2+k(a0)3.当已知抛物线与当已知抛物线与x轴的交点坐标为（轴的交点坐标为（x1，0），）， （x2，0）时，通常设表达式为）时，通常设表达式为y=a(x-x1)(x-x2)二二次次函函数数图图象象的的平平移移平移平移n个单位个单位简记简记平移后的解析式平移后的解析式向左平移向左平移n个单位个单位 左左“+”ya（x-h +n ）2+k向右平移向右平移n个单位个单位 右右“-”ya（x-h -n ）2+k向上平移向上平移n个单位个单位 上上“+”ya（x-h）2+k +n向下平移向下平移n个单位个单位 下下“-”ya（x-h）2+k -n二次函数与方程、二次函数与方程、不等式

8、之间的关系不等式之间的关系与方程的关系与方程的关系与不等式的关系与不等式的关系与与方方程程的的关关系系b2-4acax2+bx+c0的根的根抛物线抛物线y=ax2+bx+c与与x轴的交点轴的交点b2-4ac0两个两个 _的的实数根实数根两个交点两个交点b2-4ac=0两个两个 _的的实数根实数根一个交点一个交点b2-4ac0无实数根无实数根无交点无交点不相等不相等相等相等18 18 19 19 与与不不等等式式的的关关系系ax2+bx+c0的解集的解集 函数函数y=ax2+bx+c的图象位于的图象位于x轴轴 上方对应的点的横坐标的取值上方对应的点的横坐标的取值 范围范围ax2+bx+c0的解集

9、的解集 函数函数y=ax2+bx+c的图象位于的图象位于x轴轴 下方对应的点的横坐标的取值下方对应的点的横坐标的取值 范围范围 利用二次利用二次函数的图函数的图象求一元象求一元二次方程二次方程的近似根的近似根的一般步的一般步骤骤1.画出二次函数画出二次函数y=ax2+bx+c的图象；的图象；2.确定抛物线与确定抛物线与x轴的交点的横坐标在哪两个数轴的交点的横坐标在哪两个数 之间；之间；3.列表，在步骤列表，在步骤2中的两数之间取值，进行估计，中的两数之间取值，进行估计， 在列表求近似根时，近似根就出现在对应在列表求近似根时，近似根就出现在对应y值值 正负交换的位置，也就是对正负交换的位置，也就

10、是对x取一系列值，看取一系列值，看 y对应于哪两值由负变成正，或由正变成负，对应于哪两值由负变成正，或由正变成负， 此时此时x的两个对应值之间必有一个近似根的两个对应值之间必有一个近似根 重难点突破一二次函数的图象及性质二次函数的图象及性质例例1 问题问题1：下面三个表格分别给出两个变量：下面三个表格分别给出两个变量x、y的对应的对应关系，你认为哪个可能表示关系，你认为哪个可能表示y是是x的二次函数？为什么？的二次函数？为什么？表格一：表格一：x-2-1012y-6-3036表格二：表格二：x-3-2-1123y236-6 -3 -2表格三：表格三：x-10123y0-3-4 -30解解：在图

11、象上描点可知，表格一中：在图象上描点可知，表格一中y值是值是x值的值的3倍，则倍，则y为为正比例函数；表格二中图象关于原点对称，且正比例函数；表格二中图象关于原点对称，且x、y之积为之积为定值，则定值，则y为反比例函数；表格三中图象关于为反比例函数；表格三中图象关于x=1对称，交对称，交x轴于（轴于（-1,0）和（）和（3,0）两点，则）两点，则y为二次函数；为二次函数；问题问题2：用三种不同的方法求出表格中二次函数的函数解析式：用三种不同的方法求出表格中二次函数的函数解析式.解解：解法一：设二次函数解析式为：解法一：设二次函数解析式为y=ax2+bx+c，其中任，其中任取三点坐标：（取三点坐

12、标：（-1，0），（），（1，-4），（），（2，-3），代入），代入得，得， 解得解得二次函数解析式为二次函数解析式为y=x2-2x-3;a-b+c=0a+b+c=-4 ，4a+2b+c=-3a=1b=-2，c=-3解法二解法二：设二次函数解析式为：设二次函数解析式为y=a(x-h)2+k，由表格三中，由表格三中点坐标特征可得点坐标特征可得h1，k=-4，任取一点（，任取一点（-1，0）代入解）代入解析式析式 y=a(x-1)2-4，得，得0a(-1-1)2-4，解得解得a1，二次函数解析式为二次函数解析式为y(x-1)2-4;解法三解法三：由表格三知抛物线与：由表格三知抛物线与x轴交点为（

13、轴交点为（-1，0），（），（3，0），），可设二次函数解析式为可设二次函数解析式为ya(x+1)(x -3)，任取一点（任取一点（1，-4）代入解析式，得）代入解析式，得-4a(1+1)(1-3)，解得解得a1，二次函数解析式为二次函数解析式为 y(x+1)(x-3).问题问题3：判断下列几个选项的说法是否正确？：判断下列几个选项的说法是否正确？（1）抛物线的开口向下）抛物线的开口向下 ( )（2）当）当x1时，时，y随随x的增大而增大的增大而增大 ( )（3）二次函数的最小值是）二次函数的最小值是-4 ( )（4）抛物线的对称轴是）抛物线的对称轴是x1 ( )（5）抛物线的顶点坐标是（）抛

14、物线的顶点坐标是（1，-4） ( )【解法提示解法提示】（1）a10，抛物线开口向上，不正确，抛物线开口向上，不正确;（2）对称轴为）对称轴为x1，当，当x1时，时，y随随x的增大而增大，正确的增大而增大，正确;（3）由函数解析式）由函数解析式 y(x-1)2-4可知，二次函数的最小值是可知，二次函数的最小值是 -4，正确，正确;（4）抛物线的对称轴是）抛物线的对称轴是x1，正确，正确;（5）已知二次函数解析式）已知二次函数解析式y(x-1)2-4，则抛物线的顶点坐，则抛物线的顶点坐 标是（标是（1，-4），正确），正确.问题问题4：这个二次函数图象是由：这个二次函数图象是由yx2经过怎样的平

15、移得到经过怎样的平移得到的的( )A. 先向右平移先向右平移1个单位，再向上平移个单位，再向上平移4个单位个单位B. 先向右平移先向右平移1个单位，再向下平移个单位，再向下平移4个单位个单位C. 先向左平移先向左平移1个单位，再向上平移个单位，再向上平移4个单位个单位D. 先向左平移先向左平移1个单位，再向下平移个单位，再向下平移4个单位个单位【解析解析】二次函数解析式为二次函数解析式为y=(x-1)2-4，即为，即为yx2先先向右平移向右平移1个单位，再向下平移个单位，再向下平移4个单位，故个单位，故B正确正确.二二次函数综合题二次函数综合题例例2（2016淄博淄博）如图，抛物线）如图，抛物

16、线y=ax2+2ax+1与与x轴仅有一个轴仅有一个公共点公共点A，经过点，经过点A的直线交该抛物线于点的直线交该抛物线于点B，交，交 y轴于点轴于点C，且点且点C是线段是线段AB的中点的中点.（1）求这条抛物线对应的函数解析式；）求这条抛物线对应的函数解析式；（2）求直线）求直线AB对应的函数解析式对应的函数解析式.例例2题图题图【思维教练思维教练】（1）要确定抛物线所对应的函数解析式，只）要确定抛物线所对应的函数解析式，只需确定待定系数需确定待定系数a的值即可，由已知抛物线与的值即可，由已知抛物线与x轴仅有一个轴仅有一个公共点公共点A，借助根的判别式，借助根的判别式b2-4ac=0，列方程求

17、解即可；，列方程求解即可；（2）要确定直线）要确定直线AB对应的函数解析式，只需确定对应的函数解析式，只需确定A，B两两点的坐标，代入求解即可点的坐标，代入求解即可.结合（结合（1）所求的抛物线解析式）所求的抛物线解析式易得易得A点坐标，已知点点坐标，已知点C是是AB的中点，考虑构造中位线，的中点，考虑构造中位线，过点过点B作作BDx轴于点轴于点D，由，由OCBD，C是线段是线段AB的中点，的中点，利用中位线即可确定利用中位线即可确定B点横坐标，代入抛物线解析式中易点横坐标，代入抛物线解析式中易得对应的纵坐标，从而得到得对应的纵坐标，从而得到B点坐标点坐标.解解：（：（1）抛物线抛物线y=ax

18、2+2ax+1与与x轴仅有一个交点，轴仅有一个交点，b2-4ac=(2a)2-4a=0，解得，解得a=1，a=0（舍去），（舍去），这条抛物线对应的函数解析式为这条抛物线对应的函数解析式为y=x2+2x+1;（2）设直线）设直线AB对应的函数解析式为对应的函数解析式为y=kx+b，y=x2+2x+1=(x+1)2，A（-1，0），），如解图，过点如解图，过点B作作BDx轴于点轴于点D，OCx轴，轴，OCBD.点点C是是AB的中点，的中点，例题解图例题解图D点点O是是AD的中点，的中点，AO=OD=1，点点B的横坐标为的横坐标为1.把把x=1代入代入y=(x+1)2，得，得y=(1+1)2=4，点点B的坐标为（的坐标为（1，4），），把把A（-1，0），），B（1，4）代入）代入y=kx+b，得，得 , 解得解得 ,-k+b=0k+b=，k=2b=2例题解图例题解图D直线直线AB对应的函数解析式为对应的函数解析式为 y=2x+2.【拓展拓展】（2016安徽安徽）如图，二次函数）如图，二次函数y=ax2+bx的图象经过点的图象经过点 A（2，4）与）与B（6，0）.（1）求）求a，b的值；的值；（2）点