南邮概率论习题册答案PPT教案

1、南邮概率论习题册答案南邮概率论习题册答案2.设A、B、C 为三个事件试用A、B、C 表示下列事件(2)A，B，C 都不发生(1)A与B 不发生，而C 发生(3)A、B、C 至少有一个发生(4)A、B、C中恰有一个发生(6) A、B、C 中至多有两个发生(5)A、B、C 中恰有两个发生(7) A、B、C 中至少有两个发生2CBACBACBACBACBACBAACBCABCBACBABCACAB第1页/共107页3 3.设A、B、C为三个事件,且 ， 求A，B，C都不发生的概率。 41)()()( CPBPAP81)()( ACPABP0)( BCP)()()()()()()()(ABCPBCPA

2、CPABPCPBPAPCBAP 0)()(0 BCPABCP21008181414141 )(1CBAP )()(CBAPCBAP 0)( BCP由 知 211 21 第2页/共107页481)()1( ABP(2)A、B互不相容21)(,31)( BPAP 4.设A、B是两个事件且 ，试在三种情况下求)(BAP(3)A、B有包含关系 )()()(ABPAPBAP8131 AB)()()()(ABPAPBAPBAP 245 )()()(ABPAPBAP031 31 0)( ABP)()(BPAP BA )()()(ABPAPBAP0)()( APAP第3页/共107页5)()()(BAPAPA

3、BP 5 . 0)(, 3 . 0)(, 7 . 0)( BAPBPAP5.设A、B、C是三个事件 求 ， 。)()(BAPBAP2 . 05 . 07 . 0 )()()()(ABPBPAPBAP )()()()(ABPBPABPBAP 8 . 02 . 03 . 07 . 0 1 . 02 . 03 . 0 第4页/共107页6解：以A表示事件“指定的3本书放在一起”151!10!7! 38)( AP练习二 1.把10本不同的书任意放在书架上，求其中指定的3本书放在一起的概率。10本书任意放置的情况共有!103个作整体放置的情况共3本书的排列共有8! 3第5页/共107页6以A表示事件“指

4、定的3本书放在一起”以事件A表示“指定的3本书放在一起”把事件“指定的3本书放在一起”表示为A把“指定的3本书放在一起”表示为事件A第6页/共107页7121)(31025 CCAP 2.在房间里有10个人，分别佩戴从1号到10号的纪念章，任选3人记录企纪念章的号码。(1)求最小号码为5的概率解：以A表示事件“最小号码为5”(2)求最大号码为5的概率解：以B表示事件“最大号码为5”201)(31024 CCBP第7页/共107页8343817341)(151723341010 CCCCAP3.某油漆公司发出17桶油漆，其中白漆10桶，黑漆4桶，红漆3桶，在搬运中所有标签脱落，交货人随意将这些发

5、给顾客。问一个订货白漆10桶，黑漆3桶，红漆2桶的顾客，能按所订颜色如数得到订货的概率是多少？解：以A表示事件“白漆10桶，黑漆3桶，红漆2桶”第8页/共107页9452871078)( AP4.已知在10只晶体管中有2只是次品，在其中取两次，每次任取一只，作不放回抽样，求下列事件的概率。(1)两只都是正品解：以A表示事件“两只都是正品”4528)(21028 CCAP(4)第二次取出的是次品解：以C表示事件“一只是正品，一只是次品”45191012)( BP451)(21022 CCBP(2)两只都是次品(3)一只是正品，一只是次品；45169108282)( CP解：以B表示事件“两只都是

6、次品”解：以D表示事件“第二次取出的是次品”519101282)( DP第9页/共107页10042 CB 解：以A表示事件“该方程有重根”。5.考虑一元二次方程 ，其中B,C分别是将一枚骰子接连抛掷两次先后出现的点数，求该方程有重根的概率。02 CBxx样本空间S中共有36个元素满足判别式的样本点只有(2,1)和(4,4)181362)( AP第10页/共107页11练习三 )|(BABP)()()()(BAPBPAPABP )()(BAPBABP1. (1)已知 求 。, 5 . 0)(, 4 . 0)(, 3 . 0)( BAPBPAP)|(BABP解：)()()()()(BAPBPAP

7、BAPAP )()(1)(1)()(1BAPBPAPBAPAP 5 . 04 . 013 . 015 . 03 . 01 418 . 02 . 0 (2)已知 求 。,21)|(,31)|(,41)( BAPABPAP)(BAP解： )(BAP)()()(ABPBPAP )|()()|()()(ABPAPBAPABPAP )|()()|()|()()(ABPAPBAPABPAPAP 314121314141 31 第11页/共107页122.假设患肺结核的人通过透视胸部能被确诊的概率为0.95，而未患肺结核的人通过透视胸部被误诊为病人的概率为0.002。根据以往资料表明，某单位职工患肺结核的概

8、率为0.001。现在该单位有一个职工经过透视被诊断为患肺结核，求这个人确实患肺结核的概率。解：以A表示事件“确实患肺结核”，以B表示事件“通过透视被确诊”。95. 0)|( ABP002. 0)|( ABP001. 0)( AP)()()|(BPABPBAP )|()()|()()|()(ABPAPABPAPABPAP 002. 0)001. 01(95. 0001. 095. 0001. 0 3223. 0 第12页/共107页133.已知男子有5%是色盲患者，女子有0.25 %是色盲患者。今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，则(1)此人是色盲患者的概率005. 0)|( BAP0025

9、. 0)|( BAP)|()()|()()(BAPBPBAPBPAP 02625. 0 0025. 05 . 005. 05 . 0 )()|()()|(APBAPBPABP 02625. 00025. 05 . 0 解：以A表示事件“色盲患者”，以B表示事件“所取为男子”。(2)若此人恰好是色盲患者，问此人是女性的概率是多少？解：211 第13页/共107页144.有两箱同类的零件，第一箱装50只，其中10只一等品，第二箱装30只，其中18只一等品，今从两箱中任选一箱，然后从该箱中任取零件两次，每次取一只，作不放回抽样求 (1)第一次取到的零件是一等品的概率(2)在第一次取到的零件是一等品的

10、条件下，第二次取到的零件也是一等品的概率。)2 , 1( iAi解：以 表示事件“第i次从零件中取到一等品”)2 , 1( iBi以 表示事件“取到第i箱”10621501021 1943. 0 )|()()|()()(2121111BAPBPBAPBPAP )()()|(12112APAAPAAP )|()()|()()(2212121121BAAPBPBAAPBPAAP 52 4 . 01943. 0 4856. 0 2930171821495091021 第14页/共107页15解：3198. 0)|( ABP5.设根据以往记录的数据分析，某船只运输的某种物品损坏的情况有三种：损坏2%，

11、(这一事件记为 )，损坏10 %(事件 )，损坏90%（事件 ）。且知 现在从已被运输的物品中随机地取3件，发现这3件都是好的(这一事件记为B)。试求条件概率 （这里设物品数量很多，取出一件后不影响后一件是否为好品的概率。）2A3A05. 0)(,15. 0)(, 8 . 0)(321 APAPAP),|(),|(),|(321BAPBAPBAP1A)|()()|()()|()()|()()|(332211111ABPAPABPAPABPAPABPAPBAP 8731. 0 329 . 0)|( ABP331 . 0)|( ABP33331 . 005. 09 . 015. 098. 08 .

12、 098. 08 . 0 333321 . 005. 09 . 015. 098. 08 . 09 . 015. 0)|( BAP1268. 0 333331 . 005. 09 . 015. 098. 08 . 01 . 005. 0)|( BAP0001. 0 第15页/共107页16练习四)|()()|()()|()()|(BAPBPBAPBPBAPBPABP nbaababbab)21(11 abbnn 221. 口袋里装有a+b枚硬币，其中b枚硬币是废品(两面都是国徽)。从口袋中随机地取出1枚硬币，并把它独立地抛掷n次，结果发现向上的一面全是国徽，试求这枚硬币是废品的概率。babBP

13、 )(解：以A表示事件“n次出现都是国徽”，B表示事件“取到废品”baaBP )(第16页/共107页17)()()()(APBAPAPABP )()()()()()(APAPBAPABPAPABP )|()|(1)|(ABPABPABP 证明：1)|()|( ABPABP2. 设 且 。 证明A与B相互独立。1)(0 , 1)(0 BPAP1)(BP )()()(BPAPABP 第17页/共107页183. 设某工厂生产的每台仪器以概率0.7可以直接出厂；以概率0.3需要进一步调试，经调试后以概率0.8可以出厂，以概率0.2定位不合格品不能出厂。现在该厂生产了n(n2)台仪器，求所有仪器都能

14、出厂的概率。解：以Ai表示事件“第i件仪器能出厂”，以B表示事件“第i件仪器需要进一步调试”，以C表示事件：“所有仪器都能出厂”)|()()|()()(BAPBPBAPBPAPiii 17 . 08 . 03 . 0 94. 0 3 . 0)( BP8 . 0)|( BAPi1)|( BAPi7 . 0)( BP)()(321nAAAAPCP n94. 0 第18页/共107页184. 设有4个独立工作的元件1,2,3,4，它们的可靠性均为p。将它们按下图的方式连接，求这个系统的可靠性。解：以A表示事件“系统的可靠性”22)1(1 )(pAP 22)2(pp 第19页/共107页1第二章 随机

15、变量及其分布 1. 一个袋内装有6个红球和4个白球，从中任取3个，设X为取到的红球的个数，求X的分布律。解：X的可能取值为：练习一310340CCXP 3 , 2 , 1 , 0 k31016241CCCXP 31026142CCCXP 310363CCXP 030110312XP32161301 103 21 61 第20页/共107页22. 进行重复独立试验，设每次试验成功的概率为 p（0p2Y120 xxdea其它 00, 0),()(yxaxyeyxfyx 10dxdyyeaxeyx解： 020)(),(2xyxDdyyexdxdxdyyxfYXP 0232322dxxeexxexxx

16、2772742781 01dxxex 022dxexx第38页/共107页63.设二维连续型随机变量(X,Y)的概率密度 dyyxfxfX),()(其它 00 xyxdye其它 00),(yxeyxfy求随机变量(X,Y)关于X和Y的边缘概率密度)(),(yfxfYX其它 00 xex dxyxfyfY),()(其它 000yyydxe其它 00yyey第39页/共107页7 1),(yxf(1)确定常数c解：4.设二维随机变量(X,Y)的概率密度 11122xydxdycx(2)求随机变量(X,Y)关于X和Y的边缘概率密度)(),(yfxfYX421 c1214 c其它 01),(22yxy

17、cxyxf dyyxfxfX),()(其它 01182182142114222xxxxydyx dxyxfyfY),()(其它 01027421252yyyyydyxx第40页/共107页6练习二101 p152 q5251151 q1.设二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布律为且随机变量X与Y相互独立，求p与q的值。211151q2051XY1 1p511031151q2051XY1 1p5110353525310351 p第41页/共107页8)()(),(yfxfyxfYX 2.设二维连续型随机变量(X,Y)的概率密度为(2)判断随机变量X和Y是否相互独立。 011),(22yxyxf

18、 其它解： 01|12122112xxxxdy 其它(1)求随机变量(X,Y)关于X和Y的边缘概率密度)(),(yfxfYX dyyxfxfX),()( dxyxfyfY),()( 01|12122112yyyydx 其它显然不独立第42页/共107页83.设随机变量Y 服从参数为1的指数分布，令 2ln02ln11YYX212ln3ln, 2ln0, 021 YPYYPXXP(1)求二维随机变量(X1,X2)的联合概率分布律 3ln03ln12YYX03ln, 2ln1, 021 YYPXXP3ln2ln3ln, 2ln0, 121 YPYYPXXP3ln3ln, 2ln1, 121 YPY

19、YPXXP1216101X2X0103161)2(ln)3(ln FF313ln1 YP(2) 判断随机变量X1与X2是否相互独立31322121显然， 不独立。213221 第43页/共107页94.设X和Y是相互独立的随机变量，X在(0,1)上服从均匀分布，Y服从参数 的指数分布。2 )()(),(yfxfyxfYX (1)求随机变量X 和Y 的联合概率密度f (x, y); 0101)(xxfX其它 0021)(2yeyfyY其它由独立： 00, 1021),(2yxeyxfy其它022 YXaa(2)设含有a的二次方程 试求a有实根的概率。22, 044XYYX dxedxdyedxd

20、yyxfXYPxxyxy 10210022)1(21),(2221445. 0)0()1(1 第44页/共107页17练习三 zxx101. 设X和Y是相互独立的随机变量，且X和Y 的概率密度分别为 dxxzfxfzfYXZ)()()(求随机变量Z=X+Y的概率密度 。)(zfZ 0101)(xxfX其它 00)(yeyfyY其它解： 011010)(0)(zdxezdxexzzxz其它 01)1(101zeezezz其它第45页/共107页17 zxzxxzx1101010 dxxzfxfzfYXZ)()()(2. 设X和Y是相互独立的随机变量，且都在(0,1)上服从均匀分布，求随机变量Z=

21、X+Y的概率密度 。)(zfZ 0101)(xxfX其它 0101)(yyfY其它解：X和Y的概率密度函数分别为 02110110zdxzdxzz其它 021210zzzz其它第46页/共107页3)(, )(21 YX3. 设 是相互独立的随机变量， 证明：YX,)(21 YXZ显然， , 2 , 1 , 0!),(222 kekkXPYk , 2 , 1 , 0!),(111 kekkXPXk 0,1, 1, 0 YkXkYXkYXPkZP kiikYiXP0, kiikYPiXP021)!(!201 eikeiikkii)!(!201)(22ikieikkii !kkikikiikikk

22、e 210)()!( !22 ikikiikCke 210)(!22 )(2122!)( ekkZPk)(21 YXZ所以第47页/共107页17 222),()(22zyxZdxdyyxfzYXPzZPzF2222221)()(),( yxYXeyfxfyxf 2222222221zyxyxdxdye 0 z22YXZ ), 0(2 N4. 设X和Y是两个相互独立的随机变量，它们都服从正态分布 ，试验证随机变量 的概率密度为其它 00, 0)(2222 zezzfzZ)0( 我们称Z服从参数为 的瑞利分布证明：由X和Y独立令 sin,cosryrx 其它 00, 0)(2222 zezzfz

23、Z第48页/共107页175. 设随机变量(X,Y) 的概率密度为其它 00 , 1011),()(1yxeeyxfyx(1)求随机变量(X,Y)关于X和Y的边缘概率密度)(),(yfxfYX dyyxfxfX),()( dxyxfyfY),()( 01011101)(1xeedyeexyx其它 001110)(1yedxeeyyx其它(2)判断随机变量X和Y是否相互独立？显然， 独立。)()(),(yfxfyxfYX 第49页/共107页17(3)求随机变量U=maxX,Y的分布函数 。)(uFU 111011100011xxeedxeexxxx xXXdxxfxF)()( yYYdyyfy

24、F)()( yyyyedyey00100)()()(uFuFuFYXU 11101)1 (0012ueueeuuu第50页/共107页1第四章 随机变量的数字特征1. 设在某一规定的时间间隔里，某电气设备用于最大负荷的时间X(以分计)是一个随机变量其概率密度为 dxxxfXE)()( 030001500)3000(150011500015001)(22xxxxxf其它试求随机变量X的数学期望E(X)。xdxxdxx)3000(15001150011500030001500222 解第51页/共107页2解：3 . 023 . 004 . 0)2()(2222 XE3

25、. 0)523(3 . 0)503(4 . 0)5)2(3()53(2222 XE8 . 2 2. 设随机变量X的分布律为 试求)53(),(22 XEXE4.02 0XP23.03.04 .13 3.设随机变量X的概率密度为 000)(xxexfx(1)求随机变量X的数学期望 dxxxfXE)()( 0dxxex1 (2)求随机变量Y2X的数学期望 dxxxfXEYE)(2)2()( 02dxxex2 (3)求随机变量Ze5X的数学期望 dxxfeeEZExX)()()(55 06dxex61 第52页/共107页34.设二维连续型随机变量(X,Y)的概率密度为 100212xdxdyxy

26、dxdyyxxyfXYE),()(其它 01012),(2xyyyxf试求)(),(),(22YXEXYEXE dxdyyxxfXE),()(54 1516 解： 1003212xdxdyyx21 dxdyyxfyxYXE),()()(2222 100422)1212(xdxdyyyx第53页/共107页4)()()(2121XEXEXXE 解：5.设随机变量X1，X2的概率密度分别为(1)求)(21XXE 81 0002)(21xxexfx(2)又设X1，X2相互独立，求)(21XXE21)(1 XE)()()(2121XEXEXXE 0004)(42xxexfx41)(2 XE43 解：第

27、54页/共107页5练习二21211)()()(XEXEXD 1.设某台设备由三个元件所组成，在设备运转中各个元件需要调整的概率分布为0.1,0.2,0.3。假设各个元件是否需要调整是相互独立，以X表示同时需要调整的元件数，试求X的数学期望和方差。解：以Xi表示第i个元件的调整情况，i=1,2,316. 0 09. 0 1 . 0)(1 XE321XXXX 01iX第i个元件需要调整第i个元件不需要调整2 . 0)(2 XE3 . 0)(3 XE22222)()()(XEXEXD 23233)()()(XEXEXD 21. 0 6 . 0)()()()(321 XEXEXEXE46. 0)()

28、()()(321 XDXDXDXD第55页/共107页6814835834413)( XE2.设乒乓球队A与B比赛，如果有一个队胜3场，则比赛结束。已知A队在比赛中获胜的概率为0.5，试求比赛场数X的数学期望。解：随机变量X的可能取值为3,4,5。41)211()21(333 XP83)211()21(2124223 CXP83)211()21(21252224 CXP第56页/共107页722)()()(ZEZEZD (1)写出随机变量(X,Y)的概率密度函数。3.设二维连续型随机变量(X,Y)在区域 内服从均匀分布。xyxxD , 10: 2ln0, 100),(Yxyxxyxf其它613

29、 34 解：积分区域的面积为1 dxdyyxfyxYXEZE),()2()2()(2)求随机变量Z2XY的数学期望及方差。 10)2(xxdxdyyx dxdyyxfyxyxYXYXEZE),()44()44()(22222 1022)44(xxdxdyyxyx187916613 第57页/共107页8 3)(3 dxxfXP解：21 )21, 4( bY521)()()(222 YEYDYE1)211(214)( YDdxx 32cos214.设随机变量X的概率密度为 ，对X独立地重复观察4次，用Y表示观察值大于 的次数，求随机变量 的数学期望。 00cos21)( xxxf其它3 2Y22

30、14)( YE第58页/共107页9)()(2)2()(YEXEYXEZE (1)求随机变量Z=2X+Y的分布；)()(4)2()(YDXDYXDZD )65,2080(2NZ)1525,80( NZ20806407202 80640720)()()()( YEXEYXEZE令15252530)()()()(22 YDXDYXDZD5.设随机变量X,Y相互独立，)25,640(),30,720(22NYNXYXZ 解：42252530422 YXP (2)求概率9798. 0)1525800(10100 ZPZPYXPYXP1400 YXP(3)求概率令YXZ )1525,1360( NZ15

31、39. 0)152513601400(11400114001400 ZPZPYXP第59页/共107页10练习三0)()()(),( YEXEXYEYXCov1. 设二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布律为：083141083)1()( XE试证明：X和Y是不相关的，但X与Y不是相互独立的。81)1(081)1(181)1(081)1()1()( XYE1 8181011 XY010818181818181418383838341083141083)1()( YE08111810181)1(18110000 0 XY 故X,Y不相关，而且不独立。第60页/共107页110)()()(),(

32、YEXEXYEYXCov),(),(YXCovXE2. 设二维连续型随机变量(X,Y)在区域 内服从均匀分布，计算 。xyxxD , 10: dxdyyxxfXE),()( 0, 101),(xyxxyxf其它解：(X,Y)的概率密度函数为3210 xxxdxdy dxdyyxyfYE),()(010 xxydxdy dxdyyxxyfXYE),()(010 xxxydxdy第61页/共107页12解： 1314441 )2 ,2(),(21YXYXCovXXCov ),(4)(4)()2()(1YXCovYDXDYXDXD )()()()()()()(),(212121212121XDXDX

33、EXEXXEXDXDXXCovXX 13254135 41113.设随机变量(X,Y)的协方差矩阵为 ，求 与 的相关系数。YXX21 YXX 22),(2),(4),(),(2YYCovXYCovYXCovXXCov 4214112 5 ),(4)()(4)2()(2YXCovYDXDYXDXD 414414 第62页/共107页131212100 dxexdxexxx dxxfxXE)(|)(|Rxexfx ,21)(|4. 设连续型随即变量X的概率密度为(1)问X与|X|是否相关？为什么？解：0|)(|)()|(|)|,(| XEXEXXEXXCov dxxxfXE)()(0212100

34、 dxexdxexxx dxxfxxXXE)(|)|(|021210202 dxexdxexxx显然不相关。(2)问X与|X|是否独立？为什么？不独立第63页/共107页145. 已知 ，试求17)(, 9)(, 4)( YXDYDXD(1)协方差),(YXCov2179421)()()(21),( YXDYDXDYXCov31322)()(),( YDXDYXCovXY 17),(2)()()( YXCovYDXDYXD(3)互协方差),2(YXYXCov (2)相关系数XY ),(2),(2),(),(),2(YYCovXYCovYXCovXXCovYXYXCov )(2),(2),()(

35、YDXYCovYXCovXD 1292424 第64页/共107页1第五章 大数定理与中心极限定理1. 设 ，则由契比雪夫不等式有 3| XP2)(,)( XDXE解：989122 2.设 相互独立且均服从参数 的泊松分布，试证明：当n趋向于无穷大时， 依概率收敛于12。nXXX,213 niinXnY1211293)()()(222 iiiXEXDXE niiniinXEnXnEYE1212)(1)1()(12121 nn由辛钦大数定律1|12|lim YPn第65页/共107页2221212)()(1)1()(aXEXEnXnEZEiniiniin 证明：当n充分大时， 近似服从正态分布，

36、并指出其分布参数。 niinXnZ121解：22)(aXE )()(11lim)(lim224212xxnaanaXnPzFniinZnn )(1,(2242aanaNZn 3.设 相互独立且同分布，已知nXXX,214 , 3 , 2 , 1,)( kaXEkk44)(aXE 2242)()()(XEXEXD 224aa )(1)(1)(1)1()(224212212aanXDnXDnXnDZDiniiniin 第66页/共107页34.有一批建筑房屋用的木柱，其中80%的长度不小于3m，现从这批木柱中随机地取出100根，问其中至少有30根短于3m的概率是多少。2 . 0)( XE13010

37、01 iiXPVP解：设随机变量0062. 09938. 01)5 . 2(142 . 0100308 . 02 . 01002 . 010011001 iiXP 10X木柱长度不小于3m木柱长度小于3mX服从(0-1)分布且16. 0)( XD 1001iiXV令第67页/共107页4 1515115115150011500115001iiiiiiXPXPXP解：设X表示随机变量，则舍入误差XU(-0.5,0.5)5.计算器在进行加法时，将每个加数取最靠近它的数据。设所有的舍入误差是独立的。且在(-0.5,0.5)上服从均匀分布。(1)若将1500个数相加，问误差总和的绝对值超过15的概率是

38、多少121)(, 0)( XDXE 1211500015001512115000150012115000150015115001iiX1802. 0 )341. 1()341. 1(1 解：设最多可以有n个数相加使得误差总和绝对值小于10(2)最多可以有几个数相加使得误差总和的绝对值小于10的概率不小于0.9？ 10101011niiniiXPXP9 . 012010120120101 nnnnXnnnii解之得：65. 11210 n441 n第68页/共107页1第六章样本及抽样分布解：1.自总体X抽得一个容量为5的样本为8,2,5,3,7，求样本均值 和样本方差 及经验分布函数 。X)(

39、xFs2S5573528 X 222222)57()53()55()52()58(151 S5 . 6)44099(41 81875475535352325120)(xxxxxxxFs练习一第69页/共107页238033|80| XPXP解：8664. 0 2.在总体 中随机地取一容量为100的样本，问样本均值与总体均值差的绝对值小于3的概率是多少？)20,80(2NX1002031002080100203 XP)5 . 1()5 . 1( 19332. 021)5 . 1(2 第70页/共107页31121121|12| XPXPXP2628. 08686. 012)12. 1(12 5X

40、ZzFzF)()( (1)求样本均值与总体均值之差的绝对值大于1的概率。3.在总体XN(12,4)中随机地抽一容量为5的样本nXXX,212923093320121215115F1555X.).()()( )12. 1()12. 1(152152125215212 XPXP),max(521XXXZ 解：令15),max(521 XXXP(2)求概率解：10),min(521 XXXP(3)求概率1511515),max(521 ZPZPXXXP)10(1010),min(521ZFZPXXXP ),min(521XXXZ 解：令5XZzF11zF)()( 5785. 0)8413. 0(1)

41、1(1)21210(1 1)10(1 15555 XF第71页/共107页12.设 是取自具有 分布的总体的样本， 与 分别为样本均值与样本方差求X1621,XXX)(2n 2S)(),(),(2SEXDXE解：设总体为XnXDnXE2)(,)( nXEXE )()(816216)()(nnXDXD nXDSE2)()(2 第72页/共107页1解：1.设 是取自正态总体 的简单随机样本，求概率 。44. 11012 iiXP1021,XXX)3.0,0(2N44. 11012 iiXP 101223 . 044. 13 . 00iiXP1 . 0 )1 , 0(3 . 003NX 练习二)1

42、0(3 . 0010122 iiX 1012163 . 00iiXP解：设总体为X )(,)(XDXE )()(XEXEnnXDXD )()( )()(2XDSE44. 11012 iiXP2.设 是取自参数为 的泊松总体 的一个简单随机样本， 与 分别为样本均值与样本方差求XnXXX,21 2S)(),(),(2SEXDXE)( X第73页/共107页1132 d0)(2)(21 XEXXE4321,XXXX3.(1)设 是来自正态总体XN(0,2)的一个简单随机样本，试给出常数c使得 服从 分布，并指出它的自由度。2 )()(243221XXXXcY解：c = 1/4，自由度为2。 解：2

43、)(2)(21 XDXXD25242321252423213232XXXXXdXXXXXd 26 d自由度为3。 25242321XXXXXd (2设 是来自正态总体XN(0,1)的一个简单随机样本，试给出常数 d 使得 服从 t 分布，并指出它的自由度。54321,XXXXX第74页/共107页130)15(22 SD)1()1(222 nSn (1)求 ，其中 为样本方差。2S04. 222 SP(2)求)(2SD解：由01. 016 .301504. 2151504. 2222222 SPSPSP)1(2)1(22 nSnD 30)(22524 SD 解： 4.设在总体 中抽取一容量为1

44、6的样本，这里 均为未知。),(2 N2, )15(15222 S42152)( SD99. 0第75页/共107页01 1.随机地取8只活塞环，测得它们的直径为(以mm计)2 .746 .748 .730 .741 .743 .745 .741 .74试求总体均值 及方差 的矩估计值，并求样本方差。 2 解： X niiXn11)2 .746 .748 .730 .741 .743 .745 .741 .74(81 2 .74 2 niiXXn12)(1)2 .742 .74()2 .746 .74()2 .748 .73()2 .740 .74()2 .741 .74()2 .743 .7

45、4()2 .745 .74()2 .741 .74(8122222222 48. 081 06. 0 2S niiXXn12)(1148. 0181 06857. 0 第七章 参数估计 练习一 第76页/共107页022.设总体X 的密度函数为(1) 矩估计量 cxcxxcxf0)()1( 1 c1 cxc 11且 是来自总体X的一个简单随机样本， 为相应的样本值，求参数 的矩估计量和最大似然估计量。(其中c已知且 )1 nxxx,21nXXX,21解:)(XE dxxxf)( cdxxcx)1( 解之得：c 11 将 代入11A cXXcAA 11 第77页/共107页03(2) 最大似然估

46、计量解:最大似然函数为： cxcxxxxciinnn0)()1(21 求对数 niixfL1);()( niixcnnL1ln)1(lnln)(ln 求导数0lnln)(ln1 niixcnndLd 解之得，最大似然估计值为cnxnniilnln1 最大似然估计量为cnXnniilnln1 第78页/共107页043.已知总体X 的分布律为10, 2 , 1 , 0)1(pmxppCxXPxmxxmmp1 )(1XE 解之得：将 代入得矩估计量11 AmpmAp1 p为未知参数。且 是来自总体X的一个简单随机样本， 为相应的样本值，求参数p的矩估计量和最大似然估计量。nxxx,21nXXX,2

47、1(1) 矩估计量解:mX第79页/共107页05求导数niiniinxnmxxmxmxmppCCC1121)1(求对数最大似然函数 niixXPpL1)(最大似然估计量为)1ln(lnln)(ln111pxnmpxCpLniiniinixmi(2) 最大似然估计量解:01)(ln11pxnmpxdppLdniiniimxp 最大似然估计值为mXp 第80页/共107页064.设总体X具有分布律)(1XE 2, 3, 2, 14321 xxxx(1) 矩估计值 23 解之得:其中 为未知参数，已知取得了样本值)10( 22)1(3)1(221 故矩估计值为试求参数 的矩估计值和最大似然估计值。

48、 12 )1(2 2)1( 23PX231 23231XA 242321 x2122323 x 即矩估计量又矩估计值23x 第81页/共107页07)1ln(4ln44ln)(ln L(1)最大似然估计值)1(2)1()1(222 最大似然函数为最大似然估计值为 41)(iixXPL 0144)(ln dLd23214321 XPXPXPXP44)1(4 21 第82页/共107页08 5.设某种电子器件的寿命(以小时计)T服从双参数的指数分布，其概率密度为 ctctetfct01)( niictfcL1),;(),( (1)求c与 的最大似然估计 最大似然函数为其中， 为未知参数，自一批这种

49、器件中随机地取n件进行寿命试验，设它们的失效时间依次为)0,(, ccnttt 21 ctcteiictnnii011)( 求对数 niictncL1)(ln),(ln第83页/共107页09求导数 0nccL0ct1ncLn1ii2),(ln)(),(ln由最大似然原则知最大似然估计值为最大似然估计量为1tc 1tt 1Tc 1TT 第84页/共107页10)(1TE (2)求c与 的矩估计 解之得 21211 cc dtttf)(dte1tctc c )(22TE dttft)(2dte1tctc2 2222cc 将 代入2211, AA即 niiniiTTnTcTTn1212)(1)(1

50、 第85页/共107页111.验证第六章第二节中定理四中的统计量2)1()1(21212122221122212212112 nnSnSnSnnnSnnnSw解：)2)1()1()(212222112 nnSnSnESEw)(21)(212221221211SEnnnSEnnn 是两总体公共方差 的无偏估计量( 称为 的合并估计)。2 2wS2 221222112121 nnnnnn2 22)( wSE 是两总体公共方差 的无偏估计量。2wS2 练习二第86页/共107页12是 的无偏估计量。 )0(111 niiniiniiiaaXa解： 2.设总体X的数学期望为 是来自总体X的简单随机样本

51、。 是任意常数 ，验证 naaa,21nXXX,21 niiniiiaXaE11 niiniiiaXaE11 niiniiiaXEa11)( niiniiaa11 niiniiiaXaE11无偏估计量得证。第87页/共107页13解之得解： 22cSXE2 )()(22ScEXE 2221 cn 2 22cSX 3. 设 是来自总体 X 的简单随机样本，且设 ，试确定常数c，使 是 的无偏估计量。 是样本均值和样本方差。 2)(,)( XDXEnXXX,212,SX)()()(22ScEXEXD nc1 第88页/共107页143262 )(31)(61)(43211XXXXETE )432(

52、51 (1)指出 中哪几个是 的无偏估计量。 321,TTT )(4)(3)(2)(514321XEXEXEXE )(31)(6143211XXXXT 4. 设 是来自均值为 的指数分布总体X的简单随机样本。其中 为未知参数。设有估计量 4321,XXXX )432(5143212XXXXT )(4143213XXXXT )()(31)()(614321XEXEXEXE )432(51)(43212XXXXETE 2 )(41)(43213XXXXETE )()()()(414321XEXEXEXE )(41 第89页/共107页159236222 )(31)(61)(43211XXXXDTD

53、(2) 在上述 的无偏估计量中指出哪一个更有效。 )(31)(6143211XXXXT 4. 设 是来自均值为 的指数分布总体X的简单随机样本。其中 为未知参数。设有估计量 4321,XXXX )432(5143212XXXXT )(4143213XXXXT )()(91)()(3614321XDXDXDXD 2185 )(41)(43213XXXXDTD )()()()(1614321XDXDXDXD )(1612222 241 显然，)()(31TDTD 则 更有效。3T第90页/共107页17 0002),(2xxxexfx 是来自总体X的简单随机样本。nXXX,21 5. 设总体X的密

54、度函数为 01)(ln122 niixndLd (1)求参数 的最大似然估计。 niiniixxnnL121lnln2ln)(ln 0002);()(22221211iixxxnnnniixxexxxxfLn 最大似然函数为设 是来自总体X的简单随机样本值。nxxx,21最大似然估计值为nxnii 12 最大似然估计量为nXnii 12 第91页/共107页17(2)问最大似然估计量是否是无偏的。最大似然估计量为nXnii 12 nXEEnii12)( niiXEn121)(112 niiXEn)(12XnEn )(2XE dxxfxXE)()(22 0222dxxexx )(E最大似然估计量

55、是无偏的。(3)问最大似然估计量是否是 的相合的估计量。 由辛钦大数定律知是相合的。第92页/共107页011.设某种清漆的9个样品，其干燥时间(以小时计)为0 . 51 . 66 . 53 . 60 . 75 . 68 . 57 . 50 . 6设干燥时间总体服从正态分布 。),(2 N(1)若已知 (小时)。6 . 0 练习三 求 的置信水平为0.95的置信区间。求 的置信水平为0.95的单侧置信上限。 置信区间为 22znxznx,这里9 n6 . 0 05. 095. 01 6 x96. 1025. 0 z 96. 196 . 06 ,96. 196 . 06 392. 6 ,608.

56、 5 这里9 n6 . 0 05. 095. 01 645. 105. 0 z6 x单侧置信上限为 znx645. 196 . 06 329.6 第93页/共107页021.设某种清漆的9个样品，其干燥时间(以小时计)为0 . 51 . 66 . 53 . 60 . 75 . 68 . 57 . 50 . 6设干燥时间总体服从正态分布 。),(2 N(2)若 未知。 求 的置信水平为0.95的置信区间。求 的置信水平为0.95的单侧置信上限。 置信区间为 )(),(1ntnsX1ntnsx22这里9 n05. 095. 01 6 x360. 2)8(025. 0 t 3060. 295744.

57、 06 ,3060. 295744. 06 442. 6 ,558. 5 这里9 n05. 095. 01 8595. 1)8(05. 0 t6 x单侧置信上限为)(1ntnsx 8595. 195744. 06 356.6 5744. 0 s第94页/共107页02672. 6679. 6678. 6676. 6681. 6683. 6置信区间为 145. 1000015. 0)16(,070.11000015. 0)16(这里6 n000015. 02 s1 . 090. 01 678. 6 x070.11)16(05. 02 56105 . 6 ,108 . 6 )()(,)()(1ns

58、1n1ns1n22122222.使用金球测定引力常数(单位： )的观察值为21311kgm10 s设测定值总体为 均为未知。求 的置信水平为0.90的置信区间。22,),( N2 145. 1)16(95. 02 第95页/共107页02置信区间为解：这里2021 nn01. 099. 01 24,1821 xx576. 2005. 0 z 96. 5,04. 6 22221212222121, znnYXznnYX2222105. 0 576. 22005. 02005. 0)2418( ,576. 22005. 02005. 0)2418(2222cm/s242 x3.研究两种固体燃料火箭

59、推进器的燃烧率。设两者都服从正态分布，并且已知燃烧率的标准差为 ，取样本容量为 。得燃烧率的样本均值分别为和 ，设两样本独立，求两燃烧率总体均值差 的置信水平为0.99的置信区间。cm/s05. 02021 nncm/s,181 x21 第96页/共107页02单侧置信上限为置信区间为 )1, 1(1,)1, 1(1212122212122221nnFSSnnFSS 18. 36065. 05419. 0)1, 1(12112221 nnFSS 05. 095. 01 03. 4)9 , 9(025. 0 F03. 41)9 , 9(1)9 , 9(025. 0975. 0 FF 601. 3

60、 ,222. 0 03. 46065. 05419. 0,03. 416065. 05419. 0 4.设两位化验员 A, B 独立地对某种聚合物含氯量用相同的方法各作10次测定，其测定值的样本方差依次为 。设 分别为A,B所测定的测定值总体的方差。设总体均为正态分布，且两样本独立。6065. 0,5419. 022 BAss22,BA (1)求方差比 的置信水平为0.95的置信区间。22BA (2)求方差比 的置信水平为0.95的单侧置信上限。22BA 18. 31)9 , 9(1)9 , 9(05. 095. 0 FF84. 2 第97页/共107页02单侧置信下限为)2(112121 n