第7.4节 区间估计——概率论与数理统计(李长青版)

1、设 ，对任意的0 1，称满足条件(0,1)XNP Xu的点 称为标准正态分布的上 分位点。u6.4 6.4 区间估计区间估计uu 表示 关于y轴的对称点。uu1u 1uu 引例引例 已知已知X N ( ,1), 由前述讨论知由前述讨论知 的无偏、的无偏、 不同样本算得的不同样本算得的 的估计值不同的估计值不同.有效有效点估计为点估计为,X是随机变量是随机变量, 需注意的是此处需注意的是此处 为为常数常数, 因此除了给出因此除了给出 的点估计外的点估计外, 还希望根据还希望根据所给的所给的样本确定一个样本确定一个随机区间随机区间, 使其包含使其包含参数真值的概率达参数真值的概率达到指定的要求到指

2、定的要求.X而而例如例如, 要找一个区间要找一个区间, 使其包含使其包含 的的真值的概率为真值的概率为0.95. ( 设设 n = 5 )1,5XN0, 115XN取取0.05,查表得查表得/21.96,u因为已知因为已知X N ( ,1), 所以所以 这说明这说明1.960.0515XP即即111.961.960.9555P XX称上述随机区间称上述随机区间为未知参数为未知参数 的置信度为的置信度为0.95的的置信区间置信区间.111.96,1.9655XX上式表明参数上式表明参数落在区间落在区间 的概率为的概率为0.95. 一、置信区间一、置信区间 定义定义1 设总体设总体 X 的分布函数

3、的分布函数 ( ; )F x中含有未知参 数,12,nXXX是来自总体的一个样本. 11122212(,) (,)nnXXXXXX和是两个统计量. 1(01), 有121,P 则称随机区间 12 ( ,) 为参数的置信度为的置信度为 1的置信区间. 12 和分别称为置信下限和置信上限. 1称为置信度(或置信水平). 若对给定的概率反复抽取容量为反复抽取容量为5的样本的样本,都可得都可得一个区间一个区间,此区间此区间不一定包含未知参数不一定包含未知参数 的真值的真值, 而包含真值的区间占而包含真值的区间占若测得若测得 一组样本值一组样本值, 它可能包含它可能包含也可能不包含也可能不包含 的真值的

4、真值. 可以肯定的是可以肯定的是, 反复反复 则得一区间则得一区间(1.86 0.877, 1.86 + 0.877)抽样得到的区抽样得到的区间中有间中有95%包含包含 的真值的真值.1.86x ，算得算得置信区间的意义置信区间的意义95%.q 反映了估计的可靠度反映了估计的可靠度, 越小越小, 越可靠越可靠.q 置信区间的长度置信区间的长度 反映了估计精度反映了估计精度 21 越小越小, 1- 越大越大, 估计的可靠度越高估计的可靠度越高,但但q 确定后确定后, 置信区间置信区间 的选取方法不唯一的选取方法不唯一, 几点说明几点说明越小越小, 估计精度越高估计精度越高.21这时这时, 往往增

5、大往往增大, 因而估计精度降低因而估计精度降低.21常选最小的一个常选最小的一个.求置信区间的步骤求置信区间的步骤(1) 设设 12,nXXX是总体是总体 X 的样本的样本, 取一个取一个的较的较优的点估计优的点估计112(,),nXXX最好是无偏的最好是无偏的; (2) 从从 出发出发, 找一个样本函数找一个样本函数 12(,; ),nWW XXX其分布已知其分布已知, 且只含有唯一一个未知参数且只含有唯一一个未知参数, W 的分位的分位点应能从表中查到点应能从表中查到;(3) 查表求得查表求得 W 的的 1 22及分位点分位点 a, b, 使使 1;P aWb (4) 从不等式 aWb中解

6、出, 得出其等价形式得出其等价形式 112212(,)(,)nnXXXXXX如此得到的区间如此得到的区间 12 ( ,) 就是就是的置信度为的置信度为 1的置的置 信区间信区间(双侧置信区间双侧置信区间).如有需要如有需要, 亦可类似地求出单侧置信区间亦可类似地求出单侧置信区间, 使得使得 211 1.PP 或2( ,) , XN 12,nXXX是它一个样本是它一个样本. 2 XS与与分别是样本均值与样本方差分别是样本均值与样本方差, 则则 (0,1)XUNn(1) (1)XTt nSn(2) 6.2 定理定理6.1和和定理定理6.2二、正态总体未知参数的置信区间二、正态总体未知参数的置信区间

7、 222(1)(1)nSn(3) . 一个正态总体的情形一个正态总体的情形 设总体设总体 2( ,),XN 12,nXXX是来自总体是来自总体 X 的样本的样本, 对给定的置信度对给定的置信度 1,求参数求参数,2的置信区的置信区间间. 1) 已知已知 220,求总体均值求总体均值的置信区间的置信区间. 2200,(1)XuXunn计算公式计算公式 t 分布分布122(1) 2( ; )(1)(2)nnxf x nnnn20( ,),XN 由于由于 所以有所以有 ，nNX20,取样本函数取样本函数 0(0,1),XUNn由由2210XPuun 即即 22001P XuXunn 由此即得公式由此

8、即得公式 公式推导公式推导 2200,(1)XuXunn例例1 从某厂生产的一种钢球中随机抽取从某厂生产的一种钢球中随机抽取7个, 测得 它们的直径(单位: mm)为5.52 5.41 5.18 5.32 5.64 5.22 5.76 若钢球直径服从正态分布 2( ,0.16 ),N求这种钢球平均 直径的置信度为95%的置信区间. 解解 计算样本均值 1(5.525.76)5.44,7x 查表查表, 得得 20.0251.96uu，又已知又已知, 7,n 00.16,0.05,代入公式代入公式(1) 得得 200.165.44 1.965.327xun200.165.44 1.965.567x

9、un200.165.44 1.965.327xun从而直径的置信度为95%的置信区间为 (5.32,5.56).2) 方差方差 2未知未知 , 的置信区间的置信区间 22(1),(1)(2)SSXt nXt nnn注意到注意到方差方差 2未知未知 , 取样本函数为取样本函数为 (1)XTt nSn公式推导公式推导 2(1)1P Ttn 由由从而从而 由此得公式由此得公式 22(1)(1)1SSP XtnXtnnn 22(1),(1)SSXtnXtnnn2(1)1XPtnSn 即即 例例2 为了估计一件物体的质量为了估计一件物体的质量 ，将其称了，将其称了10次，次，得得到质量到质量(单位：单位

10、：kg)为为10.1, 10, 9.8, 10.5, 9.7, 10.1, 9.9, 10.2, 10.3, 9.9 假设所称出的物体的质量都服从假设所称出的物体的质量都服从2( , ),N 求该物体质求该物体质量量的置信度为的置信度为95%的置信区间的置信区间.解解 由题意知，由题意知，20.05, 10, n未知，未知，100.02511(9)2.262, 10.05,10iitxx102211()0.058, 0.24.1iisxxsn由公式（2）得20.24(1)10.052.2629.88,10sxtnn20.24(1)10.052.26210.22.10sxtnn故该物体质量的置信

11、度为95%的置信区间为(9.88, 10.22).3) 当当 未知时未知时, 方差方差 2 的置信区间的置信区间取样本函数 2222(1)(1)nSn22(1)n212(1)n( ,1)f x n则由则由1) 1(2222122SnP得得 2 的置信区间为的置信区间为 2222221(1)(1),(3)(1)(1)nSnSnn例例3 在例在例1中, 若 , 2 均均未知未知,求总体方差求总体方差 2的置的置信度为信度为95%的置信区间的置信区间. 解解 可知, 220.22 ,s 0.05,7,n 查表查表, 得得 12220.975(1)(6)1.24,n2220.025(1)(6)14.4

12、n2222(1)(7 1) 0.220.0214.4(1)nsn12222(1)(7 1) 0.220.231.24(1)nsn由此得 2的置信度为的置信度为95%的置信区间为的置信区间为(0.02, 0.23)从而从而 由由 12222222(1)(1)1(1)(1)nSnSPnn1222222(1)(1)(1)(1)nSnSPnn可得总体标准差 的置信度为的置信度为 1的置信区间为 1222222(1)(1), (4)(1)(1)nSnSnn2. 两个正态总体的情形两个正态总体的情形 为两个相互独立正态总体为两个相互独立正态总体. 211(,),XN 222(,)YN 112,nXXX21

13、2,nY YY本本, 其样本均值和样本方差分别为其样本均值和样本方差分别为 为来自总体为来自总体 X 与与 Y 的两个样的两个样 1111,niiXXn2121,njjYYn1221111()1niiSXXn2222121 ()1njjSYYn1) 2212,都已知都已知, 求总体均值差求总体均值差 12的置信区间的置信区间. 取样本函数为取样本函数为 12221122()(0,1)XYUNnn置信度取为置信度取为 1,212221122()1XYPunn 由由 22221122121122221P XYunnXYunn 即即 由此得到由此得到 12的置信区间为的置信区间为 222221122

14、21122, XYunnXYunn)6(2) 未知未知, 12的置信区间的置信区间. 22212求求 121212() (2)11wXYTt nnSnn取样本函数为取样本函数为 222112212(1)(1)2wnSnSSnn其中其中 置信度取为置信度取为 1,由由 221212()111wXYPttSnn 2121221211111wwP XYtSnnXYtSnn 得到得到 12的置信区间为的置信区间为 即即 22121211, 11wwXYt SnnXYt Snn其中其中 2212(2).ttnn(7)例例4 从甲、乙两个生产蓄电池的工厂的产品中从甲、乙两个生产蓄电池的工厂的产品中, 分分

15、 别独立抽取一些样品别独立抽取一些样品. 测得蓄电池的电容量测得蓄电池的电容量(A.h)如下如下: 甲厂甲厂: 144 141 138 142 141 143 138 137 乙厂乙厂: 142 143 139 140 138 141 140 138 142 136 设两个工厂生产的蓄电池电容量分别服从正态分布设两个工厂生产的蓄电池电容量分别服从正态分布 221122(,) (,).NN 和未知未知, 22212求总体均值差求总体均值差 12的置信度为的置信度为95%的置信区间的置信区间. 解解 由样本观察值由样本观察值, 算得算得 140.5x ，216.57,s 18,n 139.9,y

16、224.77,s 210,n 140.5x ，216.57,s 18,n 139.9,y 224.77,s 210,n 22112212(1)(1)76.5794.772.3628 102wnsnssnn 10.95,120.975,由由 得得 查表得查表得 2120.025(2)(16)2.1199,tnnt2121111140.5 139.92.1199 2.361.77810wxyt snn 2121111140.5 139.92.1199 2.362.97810wxyt snn由此得到由此得到 12的置信区间为的置信区间为 2120.025(2)(16)2.1199,tnnt21211

17、11140.5 139.92.1199 2.361.77810wxyt snn 2121111140.5 139.92.1199 2.362.97810wxyt snn1.77, 2.97 (A h)3) 当当 1212, 未知未知, 方差比方差比 2122的置信区间的置信区间. 因为因为 2211121(1)(1),nSn2222222(1)(1),nSn取样本函数为取样本函数为 2211122222(1,1),SFF nnS置信度取为置信度取为 1,令令 从而方差比从而方差比 2122的置信区间为的置信区间为 12222112222, SSS FS F2F12F12( ,1,1)f x nn122221122221SP FFS 2212(1,1),FFnn121212(1,1)FFnn