数学分析课件：第4节 单调有界定理及其应用

1、 1.4单调有界定理单调有界定理 及其应用及其应用 有有界界收收敛敛 收收敛敛有有界界 收收敛敛有有界界 ？定义4.1 (单调数列定义)一、一、 单调有界定理单调有界定理满足：满足：若数列若数列na, 3 , 2 , 1),(11 naaaannnn.列列是单调递增（递减）数是单调递增（递减）数则称则称na满足：满足：若数列若数列na, 3 , 2 , 1),(11 naaaannnnna则称 是严格单调递增（递减）数列.观察下面单调递增的有界数列定理定理4.1 单调有界数列必有极限单调有界数列必有极限.nx 递增且有上界,其极限是最小上界nx 递减且有下界，其极限是最大下界证明：见教材或华东

2、师大教材附录证明：见教材或华东师大教材附录2: 实数理论实数理论推论推论4.1(1)若单调数列的一个子列收敛,则这个数列收敛；(2)若单调数列的一个子列趋向去穷 ,则此数列发散；(3)一个单调数列要么极限存在,要么趋向无穷；(4)单调数列收敛的充分必要条件是数列有界.单调数列收敛的充分必要条件是有一收敛子列单调数列收敛的充分必要条件是有一收敛子列. .na设递增limknkaanaa证明：证明：aaaknkn lim单增，且有单增，且有不妨设不妨设 aaKkKkn有有, 0kKnNnnN 由单调性知，由单调性知，对对取取,1kKnnnaaa 1 aaaaaakKnnn1即即主要证明 (1)若单

3、调数列的一个子列收敛,则这个数列收敛；.| aan例例4-14-1. , 1 , ,1211*收敛收敛求证求证设设nnaNnna , , .nnaa易见严格递增 只须证有上界 即得收敛证明证明: : 由于由于212334111111112322122111 (2)(21)kkka 231123222212(2)22kk k*21,akN考虑子列112112121211 k .1222112111111 k231231222212(2 )22kk kk2121, . nnaaaa表明的子列是有上界的收敛从而收敛例例4-24-2. ,N ,1211*发散发散求证求证设设nnanna 证明证明: :

4、 kkka21121 161918151413121112 kk2121 16116181814141211), 1 , 0( ,212121211 kkk个个*2,kakN考虑子列k2n, .aa可见无界 进而发散因此发散.)(333的极限存在的极限存在式式重根重根证明数列证明数列nxn 例例1 1证证,1nnxx 显然显然 ;是单调递增的是单调递增的nx, 331 x又又, 3 kx假定假定kkxx 3133 , 3 ;是有界的是有界的nx.lim存在存在nnx (舍去舍去),3(limlim21nnnnxx ,321nnxx ,31nnxx ,32AA 2131,2131 AA解得解得.

5、2131lim nnx迭代数列的极限 例例2 2. ,!是是任任意意给给定定的的实实数数此此处处的的极极限限求求数数列列anan .N , !| :* nnaxnn令令解解,|时时则当则当an 1|.1nnnaxxxn0., 且且有有下下界界数数列列是是从从某某一一项项开开始始递递减减的的因因此此nx lim .nnx所以极限存在. 00 ,1| 1 xxnnaxxnn得到得到两边令两边令在在 , 为无穷小为无穷小所以所以nx.! 也也是是无无穷穷小小从从而而 nan例例3 35.2nn证明数列收敛511112nnxxn51lim 11nn511, 12.NnNn对于给定的，当时11,nnxn

6、Nx当时,数列递减0且 为数列的下界 *1 , ,knnakNa（是无穷小）1111(1)23nan ,收敛.)1( ,131211发散发散 nanlim0!nnan*11111.1, N1!2!3!nsnn ， ns? limnns ?e 例题： nsn21143211321211111 32121211112 n limlimnnnnsss存在，设,)11(nnne 2? limnne nnneee 1，有多种证法：有多种证法：)1(0111nknknkneCnn nknkknknnCnkknk1111!1 )!( !11 )21)(11(! 31)11(! 2111nnn)11()21)

7、(11(!1nnnnn n11111.1!2!3!S3n)2(存在，存在， )11(limlimnnnnne lim.nnee设nn.eses根据，可知,mnm，1111111(1)(1)(1)1!2!nmenmnn ，得得令令固固定定 nm,!1! 21! 111me 得得再令再令 m, se se )21)(11(! 31)11(! 2111nnn)11()21)(11(!1nnnnn 1(1)nnen3. 11limlimenennnn n111limslim 1 ;1!2!nnen:总结总结10s =2.7182818e .自自然然对对数数之之底底s .nen取充分大，用 作为 的近似

8、值求证求证设设 ,N* k.1limknnenk 1 例例:证明证明,)1( nnnka 设设.)11( ,mkmkmamkn 时时, mka考虑子列考虑子列.)11(limlimkkmmmkmema .ke有子列有子列)1(5 k 例例如如单调数列有子列收敛则收敛单调数列有子列收敛则收敛 )2()1()1(1nknkan 11)1(1 nnnkn,)11(11 nnank .是单增是单增na.limlimkmknnneaa 求证求证设设 ,N* k.1limknnenk 2 例例.)1(lim ,nnnkk 求求为常数为常数设设nnnnnnknkknnnkn)1(lim1)(1lim)(li

9、m 解：解：nlim(1)lim(1) nn k knkknknknnlim(1)lim(1)n kkkknknk.)1(lim knnenk ke, lim(1)nknkken设 为常数推广：推广：.)11(lim视视为为整整体体， en凑凑求证求证设设 ,N* k.1limknnenk 1 例例 nnnk)1(limke1lim1knknnk1lim 1knknnk2 例例.)1(lim ,nnnkk 求求为常数为常数设设解：解：.)1()1()1(limlimlimkkknnkknnnnenknknk 3 例例)1()2(522)21(lim nnn.)21(lim)21(lim2222

10、522ennnnn 1232()limnnnn12132.eee122233 2111122331122()()()()limlimlimnnnnnnnnnnn122()(1)3223limlimnnnnnnn22323122123()lim()limnnnnnen或或2232322123()()limnnnnn111ln 11nnnln 1kkknknn例：利用不等式例：利用不等式（）存存在在。证证明明：)1ln(131211limnnn （）证明证明1111111123123ln()nnn （3）111ln 11nnn11ln1ln1因 此nnnn（）因为11ln1ln111ln2ln12

11、111ln3ln232.11lnln11固 有nnnnnnnnnnnnnknknknklnlnkknknnkn将上面的式子相加得到结论：将上面的式子相加得到结论：111ln 11nnn11ln1ln,11ln2 ln1 1211ln3 ln232.11ln1ln1nnnnnnnn（）由于（）由于因此因此11111.ln11.2312 nnn(2)根据的结果知，. 1111 )113121(1211 nnnan有界有界111ln 1011nnxxnn（3）单增单增说明：说明：1111ln23nnn), 0(无穷小无穷小n .称为欧拉常数0 5772156649.闭闭区间套定理区间套定理 ,N,*

12、 nbaInnn设设1231.nnIIIII并且并且如如果果这这一一列列区区间间的的长长度度 ),( 0| nabInnn.1含有唯一的一点含有唯一的一点那么交集那么交集 nnI即：即：，唯一唯一Rx 0位位于于所所有有闭闭区区间间之之中中，使使0 x此时此时.limlim0 xbannnn :证明证明 ,由由区区间间的的包包含含关关系系可可知知左左端端点点组组成成的的 ,递增递增数列数列na.递减递减右端点组成的数列右端点组成的数列nb. , 11abbann有下界有下界有上界有上界并且并且lim, limnnnnab存存在在0|0 (), lim=lim nnnnnInabx 由可知*0N

13、, nnaxbn此时对成立01 : .nnxI由此得到0.x 的唯一性易知1 ,1,2,3,1nnnnnIa bnnn例如 设, 1321 nnIIIII2n1|0 (),(n1)nInn 左左端端点点组组成成的的 ,递增递增数列数列na.递减递减右端点组成的数列右端点组成的数列nb. , 11abbann有下界有下界有上界有上界并且并且limlim1.nnnnab1 0,1,2,3,nInn例如 设区间111 1, 1,1,2,3,nnnInnn例如 设区间注意注意: :.不可去不可去闭闭, 3 , 2 , 1,1, 0 nnIn设区间设区间例如例如, 1321 nnIIIII),( 01|

14、 nnIn. 1 nnI但是交集但是交集*1111,20nnnnnnxyxx yynNxy例例5 5证明证明nnnnyxlimlim 证明证明: :11 nnyx首先：首先： nnnnnnnnxxxxyxxx, 021 10,2nnnnnnxyyyyy11120nnnnnnyxyyxx112nyx, 0)(11lim nnnxy.limlimnnnnyx 即构成闭区间套即构成闭区间套111222nnnnyxyx, 有有上上界界递递增增不不妨妨设设na用十进制数表示：用十进制数表示：将各项将各项na. ,.,.,.321333212232111rrrAaqqqAapppAa , 3 , 2 ,

15、1,9 , 2 , 1 , 0, , irqpZAiiii,iA考察考察. 0并不随行的增加而改变并不随行的增加而改变，达到最大值达到最大值在某一行在某一行可知可知有界、递增，有界、递增，由于由于ANAann. , , , 01101111NNNNxrqp 易见易见行行设出现在第设出现在第出现的最大的数出现的最大的数行后本列行后本列是在第是在第设设，再考察第二列再考察第二列证明 ,第五列第五列第四列第四列对第三列对第三列.321 NNN和相应的正整数和相应的正整数.4321的极限的极限就是数列就是数列下证下证naxxxxAa : . , ,10 . , , 0*因此因此是一样的是一样的位上的数码与位上的数码与的整数部分和前的整数部分和前那么对所有的那么对所有的取取对对amaNntsNmnmm .10| mnaa.lim