九 强度理论及组合变形

1、一、强度理论产生的背景一、强度理论产生的背景 轴向拉伸（压缩）强度条件中的轴向拉伸（压缩）强度条件中的许用应力许用应力是由材料的是由材料的屈服极屈服极限限或或强度极限强度极限除以安全系数而得的，材料的屈服极限或强度极除以安全系数而得的，材料的屈服极限或强度极限可直接由限可直接由试验试验测定。杆件受到轴向拉压时，杆内处于单向应测定。杆件受到轴向拉压时，杆内处于单向应力状态，因此单向应力状态下的强度条件只需要做拉伸或压缩力状态，因此单向应力状态下的强度条件只需要做拉伸或压缩试验便可解决。试验便可解决。 但工程上受力构件很多属于复杂应力状态，要通过试验建立但工程上受力构件很多属于复杂应力状态，要通过

2、试验建立强度条件几乎是不可能的，于是人们考虑，能否从简单应力状强度条件几乎是不可能的，于是人们考虑，能否从简单应力状态下的试验结果去建立复杂应力状态的强度条件？为此人们对态下的试验结果去建立复杂应力状态的强度条件？为此人们对材料发生屈服和断裂两种破坏形式进行研究，提出了材料在不材料发生屈服和断裂两种破坏形式进行研究，提出了材料在不同应力状态下产生某种形式破坏的共同原因的各种假设，这些同应力状态下产生某种形式破坏的共同原因的各种假设，这些假设称为假设称为强度理论强度理论。根据这些假设，就有可能。根据这些假设，就有可能利用单向拉压利用单向拉压的试验结果，建立复杂应力状态下的强度条件的试验结果，建立

3、复杂应力状态下的强度条件。二、材料失效的原因分析二、材料失效的原因分析1、 实例实例2、 破坏形式分析破坏形式分析(1)(1)屈服屈服：产生明显的塑性变形，例如剪切产生的滑动。：产生明显的塑性变形，例如剪切产生的滑动。(2)(2)断裂断裂：突然断裂，拉断或剪断：突然断裂，拉断或剪断通常以屈服极限作为失效应力通常以屈服极限作为失效应力 通常以强度极限作为失效应力通常以强度极限作为失效应力二、材料失效的原因分析二、材料失效的原因分析二、材料失效的原因分析二、材料失效的原因分析1、 定义：定义： 材料发生失效时，应力或变形所应满足的条件，材料发生失效时，应力或变形所应满足的条件，该条件就称为该条件就

4、称为失效判据。失效判据。例如，低碳钢在轴向拉伸载荷作用下，例如，低碳钢在轴向拉伸载荷作用下，S 其失效判据：其失效判据：失效判据失效判据材料的工作应力状态，是外因；材料的工作应力状态，是外因；材料本身的特性，是内因；材料本身的特性，是内因；三、失效判据三、失效判据2、建立失效判据的方法、建立失效判据的方法 l 单一应力状态：单一应力状态： 通过实验直接建立通过实验直接建立 除实验以外，还需对失效的原因作一些假设。除实验以外，还需对失效的原因作一些假设。l 复杂应力状态：复杂应力状态： （1）单向应力状态：）单向应力状态： u max（2）纯剪切应力状态：）纯剪切应力状态： u max三、失效判

5、据三、失效判据1、 概念：概念： 强度条件说明在什么条件下构件强度条件说明在什么条件下构件不会失效不会失效。 失效判据是以材料的极限应力为标准失效判据是以材料的极限应力为标准； 强度条件是以材料的许用应力为标准强度条件是以材料的许用应力为标准；强度条件强度条件： 限制构件中危险点的应力（应力的最大值）不限制构件中危险点的应力（应力的最大值）不超过材料的许用应力。超过材料的许用应力。四、强度条件四、强度条件2、 单一应力状态的强度条件单一应力状态的强度条件（1）正应力强度条件正应力强度条件： max（2）剪应力强度条件剪应力强度条件： max例如，轴向拉压变形、平面弯曲变形、斜弯曲变形、拉压与弯

6、例如，轴向拉压变形、平面弯曲变形、斜弯曲变形、拉压与弯曲组合变形的强度计算均采用这个条件。曲组合变形的强度计算均采用这个条件。例如，圆轴扭转的强度计算采用这个条件。例如，圆轴扭转的强度计算采用这个条件。3、 复杂应力状态的强度条件复杂应力状态的强度条件四、强度条件四、强度条件231max321123Vdvvv强度理论强度理论简单应力状态简单应力状态的强度条件的强度条件 max复杂应力状态复杂应力状态的强度条件的强度条件 r?=r四、强度条件四、强度条件1ub1 bn1u123() bn 123()b 或或maxu13 sn1322s或或222212233111()()()(2)66sEEduv

7、vs213232221)()()(212221223311()()() 2sn rr 11r 2123()r 313r 22241223311()()()2r22241223312221()()()21(4)3 2r例例1 1试写出扭转轴四个强度理论的强度条件。试写出扭转轴四个强度理论的强度条件。mm113 3 解：解：11 r)1 ()(313212 r2313 r例例2 2已知已知 ：铸铁构件上：铸铁构件上 危险危险点的应力状态。铸铁拉点的应力状态。铸铁拉 伸许用应力伸许用应力 =30MPa。试校核该点的强度。试校核该点的强度。解：解：首先根据材料和应力状首先根据材料和应力状态确定失效形式

8、，选择设计态确定失效形式，选择设计准则。准则。脆性断裂，最大拉应力理论脆性断裂，最大拉应力理论 r1= 1 其次确定主应力其次确定主应力2max2min22xyxyxy或，最大伸长线应变理论或，最大伸长线应变理论 r2= 1( 2 3 ) 129.28MPa,23.72MPa, 30 r1= 1 = 30MPa结论：强度是安全的。结论：强度是安全的。 和和 2214212 2234212 02 第三强度理论：第三强度理论：第四强度理论：第四强度理论：22241223311()()()2r 223224313r 和和 第三强度理论第三强度理论第四强度理论第四强度理论 2234r 2243r已知：

9、已知：=140MPa, =90MPa试设计工字梁。试设计工字梁。例例4 4Mx84KN.mAB250cm200KN200KN4242CD（1）求内力，作内力图。）求内力，作内力图。解：解：查表知，可选查表知，可选No.32a工字钢工字钢, Wz=692.2cm3, d=9.5mm（3）用剪应力强度条件校核）用剪应力强度条件校核xFS200KN200KN（2）由正应力条件求）由正应力条件求Wz3maxcm600MWz67.76*max MPabISFzzS（4）再对翼缘和腹板的交界处的）再对翼缘和腹板的交界处的复杂应力状态进行校核。复杂应力状态进行校核。 故应增加钢号，可选故应增加钢号，可选No

10、.32c工字钢工字钢, Wz=761cm3,这时，交界这时，交界处处=100MPa，=37.32MPa，r3=124.8MPa,满足强度。满足强度。MPa11011070145. 084yIMz 56.5MPaSzzF SbI=MPa73.1574223 r已知：已知：=140MPa, =90MPa试设计工字梁。试设计工字梁。例例4 4Mx84KN.mAB250cm200KN200KN4242CD解：解：xFS200KN200KN对称轴轴线纵向对称面轴线FF轴线mm偏心受拉偏心受拉压缩和弯曲压缩和弯曲 即假定各个载荷对构件的效应，彼此独立，任一载荷即假定各个载荷对构件的效应，彼此独立，任一载荷

11、所引起的应力和变形不受其它载荷的影响。所引起的应力和变形不受其它载荷的影响。 实际表明，在小变形情况下这个原理足够精确。实际表明，在小变形情况下这个原理足够精确。力作用的独立性原理力作用的独立性原理：叠加原理叠加原理： 载荷与应力、变形之间是线性关系。载荷与应力、变形之间是线性关系。 将作用于构件的载荷分解，得到与原载荷静力等效的几将作用于构件的载荷分解，得到与原载荷静力等效的几组载荷，使构件在每一组载荷作用下只产生一种基本变形；组载荷，使构件在每一组载荷作用下只产生一种基本变形； 分别计算构件在每一组基本变形载荷下的内力、应力、分别计算构件在每一组基本变形载荷下的内力、应力、变形；变形； 将

12、各种基本变形载荷下的应力、变形叠加得总的应力、将各种基本变形载荷下的应力、变形叠加得总的应力、变形；变形； 最后作强度和刚度分析计算。最后作强度和刚度分析计算。1.1.拉伸或压缩横截面上的正应力拉伸或压缩横截面上的正应力NFA FN 轴力；轴力；A 横截面的面积横截面的面积 横截面上的正应力，横截面上的正应力，拉正压负。拉正压负。FFFNF2.弯曲变形横截面上的正应力弯曲变形横截面上的正应力zMyIM M 横截面弯矩横截面弯矩y y 所求应力点到中性轴的距离所求应力点到中性轴的距离I Iz z 横截面对中性轴的惯性矩横截面对中性轴的惯性矩 距中性轴为距中性轴为y y的点的正应力的点的正应力z0

13、M 1产生弯曲变形产生弯曲变形xyzlPyPxcosxPPsinyPP将将P分解分解产生轴向拉伸产生轴向拉伸xNxPxMzyPl轴力引起截面上的正应力：轴力引起截面上的正应力： NFA组合变形横截面上的应力：组合变形横截面上的应力：弯矩引起截面上的正应力：弯矩引起截面上的正应力：zzMyI ,maxc,maxt总应力：总应力：zNzMyFAI,maxzNtzMFAW,maxzNczMFAWxP危险截面的应力危险截面的应力max,maxNztzFMAWmax,maxNzczFMAW拉压弯组合变形强度条件：拉压弯组合变形强度条件：max,maxNzttzFMAWmax,maxNzcczFMAWxy

14、zlPyPxxNxPxMzyPl,maxc,maxtxP 偏心压缩与截面核心（偏心压缩与截面核心（矩形截面矩形截面）：）： PbMPaMPFzyN任意横截面上的内力：,NFAyyM zIzzM yIyNzyzM zFM yAII2266PPaPbd ccdcd331212PPa zPb yd ccdcdcd,maxtyNzyzMFMAWW,NyzFPMPaMPb 使截面上使截面上只存在压应力只存在压应力而无拉应力时，而无拉应力时，偏心压力偏心压力P作用作用的区域的区域截面核心截面核心: :NFAyyM zIzzM yIcd 0606dabcba,maxyNztyzMFMAWW2266PPaPb

15、d ccdcd 016abcd 使截面上使截面上只存在压应力只存在压应力而无拉应力时，而无拉应力时，偏心压力偏心压力P作用作用的区域的区域(对砖石制构件来讲，整个截面受压正如所愿对砖石制构件来讲，整个截面受压正如所愿)截面核心截面核心: :cd,NFPMPa ,max230432NtFMPPaddAW 8da 圆截面杆的截面核心圆截面杆的截面核心: 一、应力计算一、应力计算 中性轴的位置中性轴的位置sincosyzPPPPcos ()Plxsin ()Pl x ()zyMP lx()yzMP lxcosMsinM2将引起对称面将引起对称面xzxz面内的弯曲面内的弯曲将引起对称面将引起对称面xy

16、xy面内的弯曲面内的弯曲yzPMzyP MsinzzzM yMyII cosyyyM zMzII cosMsinMsincoszyyzMII sincoszyyzMII 000sincoszyyzMII 确定中性轴的位置：确定中性轴的位置：故中性轴的方程为：故中性轴的方程为：00sincos0zyyzII设中性轴上某一点的坐标为设中性轴上某一点的坐标为 y0 、 z0，则则中性轴是一条通过截面形心的直线中性轴是一条通过截面形心的直线中性轴中性轴00tgtgyzIzyI00tgtgyzIzyI二、位移计算二、位移计算 斜弯曲概念斜弯曲概念为了计算梁在斜弯曲时的挠度，仍应用叠加法为了计算梁在斜弯曲

17、时的挠度，仍应用叠加法33sin33yyZZPlPlfEIEI33cos33zzyyPlPlfEIEI22yzffftgyzff中性轴中性轴总挠度总挠度 f 与中性轴垂直与中性轴垂直tgtgtgyzII载荷平面载荷平面挠曲线平面挠曲线平面梁弯曲后挠曲线所在平面与载荷作用面不重合梁弯曲后挠曲线所在平面与载荷作用面不重合tgtgtgyzII中性轴中性轴 当当 时，时，梁弯曲后挠曲线所在平面与载荷作用面梁弯曲后挠曲线所在平面与载荷作用面重合，此时实际发生的是平面弯曲。如：重合，此时实际发生的是平面弯曲。如：yzII特例：特例：属于平面弯曲中的非对称弯曲属于平面弯曲中的非对称弯曲复习：复习： rr 1

18、1r2123()r 313r22241223311()()()2r一、复杂应力状态的强度问题一、复杂应力状态的强度问题二、组合变形二、组合变形xFNxPxMzyPl,maxc,maxtxyzlPyPxxP内力分量包括轴力和弯矩，它内力分量包括轴力和弯矩，它们均只带来横截面上的正应力，因此们均只带来横截面上的正应力，因此危险点处于单向应力状态危险点处于单向应力状态。max,maxNztzFMAWmax,maxNzczFMAW1、应力、应力-强度计算强度计算xMyzPlMzxyPlyzPMzyP MABmaxmax,maxyztyzMMWWmaxmax,max()yzcyzMMWW 横截面上仅存在

19、正应力，横截面上仅存在正应力， 危险点处于单向应力状态危险点处于单向应力状态。2、位移计算、位移计算中性轴中性轴33sin33yyZZPlPlfEIEI33cos33zzyyPlPlfEIEI22yzffftgtgtgyzII总挠度总挠度 f 与中性轴垂直与中性轴垂直梁弯曲后挠曲线所在平面与载荷梁弯曲后挠曲线所在平面与载荷作用面不重合作用面不重合斜弯曲斜弯曲结论：结论：3 开口薄壁截面的弯曲中心开口薄壁截面的弯曲中心一、非对称截面梁平面弯曲的条件一、非对称截面梁平面弯曲的条件设横截面上有一对形心主惯性轴设横截面上有一对形心主惯性轴 轴轴 zy,纯弯曲：纯弯曲：oyzx形心主惯性轴形心主惯性轴结

20、论：结论：对于非对称截面梁，发生平面弯曲的外力对于非对称截面梁，发生平面弯曲的外力作用条件：作用条件：当外力偶的作用面与梁的形心主惯当外力偶的作用面与梁的形心主惯性平面重合或平行时，梁发生平面纯弯曲变形。性平面重合或平行时，梁发生平面纯弯曲变形。横力弯曲：横力弯曲：当横向外力作用面与梁的形心主惯性平面重合或当横向外力作用面与梁的形心主惯性平面重合或平行，并且通过特定点，梁发生平面弯曲，否则平行，并且通过特定点，梁发生平面弯曲，否则将会伴随扭转变形。将会伴随扭转变形。xozxoy,形心主惯性平面形心主惯性平面 弯曲中心弯曲中心二、开口薄壁截面的弯曲中心二、开口薄壁截面的弯曲中心根据切应力互等定理

21、，薄壁杆横截面边缘上根据切应力互等定理，薄壁杆横截面边缘上的弯曲切应力与横截面边界相切。的弯曲切应力与横截面边界相切。又因为壁厚很小，故可认为沿壁厚切应力均又因为壁厚很小，故可认为沿壁厚切应力均匀分布。匀分布。准备知识：准备知识：zyOh二、开口薄壁截面的弯曲中心二、开口薄壁截面的弯曲中心弯曲中心：弯曲中心：对于开口薄壁截面梁，只有横向外力的作用线平行对于开口薄壁截面梁，只有横向外力的作用线平行于形心主惯性平面并通过某个特定点，梁才只产生于形心主惯性平面并通过某个特定点，梁才只产生平面弯曲。这个特定点称为平面弯曲。这个特定点称为横截面的弯曲中心横截面的弯曲中心弯曲中心的特点：弯曲中心的特点：1

22、.弯曲中心实质上是横截面内弯曲剪应力合力的作用点；弯曲中心实质上是横截面内弯曲剪应力合力的作用点；SFeAOyAyA2.弯曲中心仅与横截面的几何性质有关；弯曲中心仅与横截面的几何性质有关；SFHHhHeFSB几种常见的开口薄壁截面的弯曲中心的位置：几种常见的开口薄壁截面的弯曲中心的位置：yAzAAAA例：例：图示图示Z形截面杆，在自由端作用一集中力形截面杆，在自由端作用一集中力P，该杆的变形设有四种答案：该杆的变形设有四种答案：（A）平面弯曲变形；）平面弯曲变形； （B）斜弯曲变形；）斜弯曲变形；（C）弯扭组合变形；）弯扭组合变形； （D）压弯组合变形。）压弯组合变形。例例：图示悬臂梁的横截面

23、为等边三角形，：图示悬臂梁的横截面为等边三角形，C为为形心，梁上作用有均布载荷，其作用方向及形心，梁上作用有均布载荷，其作用方向及位置如图所示，该梁变形有四种答案：位置如图所示，该梁变形有四种答案：（A）平面弯曲；）平面弯曲； （B）斜弯曲；）斜弯曲；（C）纯弯曲；）纯弯曲；（D）弯扭结合。）弯扭结合。4MeMeMeTMeTnnpTImaxmaxPTW回顾：受扭构件截面上的内力和应力回顾：受扭构件截面上的内力和应力1.扭矩：扭矩： T 将扭矩按右手法则表示成矢量将扭矩按右手法则表示成矢量T，若其，若其方向与截面的外法线方向一致，此扭矩为方向与截面的外法线方向一致，此扭矩为正，反之为负。正，反之

24、为负。2.任意点切应力、切应力分布任意点切应力、切应力分布 3.切应力最大值切应力最大值 pPIWR抗扭截面系数抗扭截面系数A截面为危险截面：截面为危险截面：MPlTPa 考虑圆杆考虑圆杆AB的强度问题的强度问题21232220k1k2PMWTWMPlTPa K1点的应力状态：点的应力状态：33,3216PddWW313r224224PMTWW22MTW22241223311()()()2r223220.75MTW,PMTWW21232220对圆截面杆：2232240.75rrMTWMTW圆截面杆弯扭组合变形时的相当应力：圆截面杆弯扭组合变形时的相当应力： 332dW危险截面：危险截面：MPl

25、TPa 例：例：具有切槽的正方形木杆，受力如图。求：具有切槽的正方形木杆，受力如图。求：（1）m-m截面上的最大拉应力截面上的最大拉应力t 和最大压和最大压 应力应力c；（2）此）此t是截面削弱前的是截面削弱前的t值的几倍？值的几倍？tNcFMAW224226PaPaaa2284PaPa解：解：8倍倍 例：例：图示偏心受压杆。试求该杆中不图示偏心受压杆。试求该杆中不出现拉应力时的最大偏心距。出现拉应力时的最大偏心距。解：解：,NFPMPe ,maxNtFMAW26PPehbbh 06be 例：例：一折杆由两根圆杆焊接而成，已知圆杆直径一折杆由两根圆杆焊接而成，已知圆杆直径d=100mm，试，试求圆杆的最大