第1章_矢量分析与场论

1、电磁场与电磁波电磁场与电磁波鞠秀妍鞠秀妍课程体系课程体系电磁理论电磁理论电磁基本理论电磁基本理论电磁工程电磁工程电磁场源与场电磁场源与场的关系的关系电磁波在空间电磁波在空间传播的基本规律传播的基本规律 产生、辐射、产生、辐射、传播、接收传播、接收电磁干扰电磁干扰电磁兼容电磁兼容各方面的应用各方面的应用l抽象抽象看不见、摸不着看不见、摸不着l复杂复杂时域、频域、空域、极化时域、频域、空域、极化l要求具有较浓厚的数学功底和较强的空间想像要求具有较浓厚的数学功底和较强的空间想像力力l应用广泛应用广泛课程特点课程特点电磁场理论的发展史电磁场理论的发展史l1785年法国年法国库仑库仑(17361806)

2、定律定律l1820年丹麦年丹麦奥斯特奥斯特(17771851)发现电流的磁场发现电流的磁场l1820年法国年法国安培安培(17751836)电流回路间作用力电流回路间作用力l1831年英国年英国法拉第法拉第电磁感应定律电磁感应定律 变化的磁场产生电场变化的磁场产生电场l1873年英国年英国麦克斯韦麦克斯韦(18311879) 位移电流时变电场产生磁场位移电流时变电场产生磁场 麦氏方程组麦氏方程组l1887年德国年德国赫兹赫兹(18571894) 实验证实麦氏方程组实验证实麦氏方程组电磁波的存在电磁波的存在l近代俄国的波波夫和意大利的马可尼近代俄国的波波夫和意大利的马可尼电磁波传消息电磁波传消息

3、l无线电无线电l当今电信时代当今电信时代“电电”、“光光”通信通信电磁应用电磁应用l射线射线l医疗上用医疗上用射线作为射线作为“手术刀手术刀”来切除肿瘤来切除肿瘤 l x 射线射线l医疗、飞机安检，医疗、飞机安检，X射线用于透视检查射线用于透视检查l紫外线紫外线l医学杀菌、防伪技术、日光灯医学杀菌、防伪技术、日光灯l可见光可见光l七色光七色光(红、橙、黄、绿、青、蓝、紫红、橙、黄、绿、青、蓝、紫 ）l红外线红外线l在特定的红外敏感胶片上能形成热成像（热感应）在特定的红外敏感胶片上能形成热成像（热感应）l微波微波l军事雷达、导航、电子对抗军事雷达、导航、电子对抗l微波炉微波炉l无线电波无线电波l

4、通信、遥感技术通信、遥感技术本章主要内容本章主要内容l1、矢量及其代数运算、矢量及其代数运算l2、圆柱坐标系和球坐标系、圆柱坐标系和球坐标系l3、矢量场、矢量场l4、标量场、标量场l5、亥姆霍兹定理、亥姆霍兹定理1.11.1矢量及其代数运算矢量及其代数运算l1.1.1标量和矢量标量和矢量 电磁场中遇到的绝大多数物理量，电磁场中遇到的绝大多数物理量， 能够容易地区分能够容易地区分为标量（为标量（Scalar）和矢量）和矢量(Vector)。 一个仅用大小就能一个仅用大小就能够完整描述的物理量称为标量，够完整描述的物理量称为标量， 例如，例如， 电压、温度、电压、温度、时间、质量、电荷等。时间、质

5、量、电荷等。 实际上，实际上， 所有实数都是标量。所有实数都是标量。 一个有大小和方向的物理量称为矢量，一个有大小和方向的物理量称为矢量， 电场、磁场、电场、磁场、力、速度、力矩等都是矢量。例如，力、速度、力矩等都是矢量。例如， 矢量矢量A可以表示可以表示成成 A=aA 其中，其中， A是矢量是矢量A的大小的大小; a代表矢量代表矢量A的方向，的方向， a=A/A其大小等于其大小等于1。 一个大小为零的矢量称为一个大小为零的矢量称为空矢空矢（Null Vector）或）或零矢零矢（Zero Vector），一个大小为），一个大小为1的矢量称为单位矢量的矢量称为单位矢量（Unit Vector）

6、。在直角坐标系中，用单位矢量）。在直角坐标系中，用单位矢量ax、ay、az表征矢量分别沿表征矢量分别沿x、y、 z轴分量的方向。轴分量的方向。 空间的一点空间的一点P(X,Y,Z)能够由它在三个相互垂直的轴线能够由它在三个相互垂直的轴线上的投影唯一地被确定，如图上的投影唯一地被确定，如图1-1所示。从原点指向所示。从原点指向点点P的矢量的矢量r称为位置矢量称为位置矢量(Position Vector)，它在直角，它在直角坐标系中表示为坐标系中表示为 r=axX+ayY+azZP(X, Y, Z)zZyxXYOrazaxay图图1-1 直角坐标系中一点的投影直角坐标系中一点的投影 X、Y、Z是位

7、置矢量是位置矢量r在在x、y、z轴上的投影。轴上的投影。任一矢量任一矢量A在三维正交坐标系中都可以给出其三在三维正交坐标系中都可以给出其三个分量。例如，在直角坐标系中，矢量个分量。例如，在直角坐标系中，矢量A的三个的三个分量分别是分量分别是Ax、Ay、Az，利用三个单位矢量，利用三个单位矢量ax、ay、 az 可以将矢量可以将矢量A表示成：表示成： A=axAx+ayAy+azAz 矢量矢量A的大小为的大小为A： A=(A2x+A2y+A2z)1/2 1.1.21.1.2矢量的加法和减法矢量的加法和减法 矢量相加的平行四边形法则矢量相加的平行四边形法则 ，矢量的加法的坐，矢量的加法的坐标分量是

8、两矢量对应坐标分量之和，矢量加法标分量是两矢量对应坐标分量之和，矢量加法的结果仍是矢量的结果仍是矢量 1.1.3矢量的乘积矢量的乘积矢量的乘积包括标量积和矢量矢量的乘积包括标量积和矢量积。积。 1） 标量积标量积任意两个矢量任意两个矢量A与与B的标量积的标量积(Scalar Product)是一个标量，是一个标量， 它等于两个矢量的大小与它它等于两个矢量的大小与它们夹角的余弦之乘积，如图们夹角的余弦之乘积，如图1-2所示，所示， 记为记为 AB=AB cos BcosAB 图图1-2 标量积标量积例如，直角坐标系中的单位矢量有下列关系例如，直角坐标系中的单位矢量有下列关系式：式： axay=a

9、yaz= axaz=0 axax=ayay=azaz=1 任意两矢量的标量积，用矢量的三个分量表任意两矢量的标量积，用矢量的三个分量表示为示为 AB=AxBx+AyBy+AzBz 标量积服从交换律和分配律，即标量积服从交换律和分配律，即 AB=BA A(B+C)=AB+AC 2） 矢量积矢量积 任意两个矢量任意两个矢量A与与B的矢量积（的矢量积（Vector Product）是一个矢量，矢量积的大小等于两个矢量的大是一个矢量，矢量积的大小等于两个矢量的大小与它们夹角的正弦之乘积，其方向垂直于矢小与它们夹角的正弦之乘积，其方向垂直于矢量量A与与B组成的平面，组成的平面， 如图如图1-3所示，记为

10、所示，记为 C=AB=anAB sin an=aAaB （右手螺旋）（右手螺旋）CBAanaBaAOC ABBA(a)(b) 图图 1 - 3 矢量积的图示及右手螺旋矢量积的图示及右手螺旋 (a) 矢量积矢量积 (b) 右手螺旋右手螺旋 矢量积又称为叉积矢量积又称为叉积(Cross Product)，如果两个不，如果两个不为零的矢量的叉积等于零，则这两个矢量必然为零的矢量的叉积等于零，则这两个矢量必然相互平行，或者说，两个相互平行矢量的叉积相互平行，或者说，两个相互平行矢量的叉积一定等于零。矢量的叉积不服从交换律，但服一定等于零。矢量的叉积不服从交换律，但服从分配律，即从分配律，即 AB= -

11、BA A(B+C)=AB+AC 直角坐标系中的单位矢量有下列关系式：直角坐标系中的单位矢量有下列关系式： axay=az, ayaz=ax, azax=ay axax=ayay=azaz= 0 在直角坐标系中，在直角坐标系中， 矢量的矢量的叉积叉积还可以表示为还可以表示为zyxzyxBBBAAAzyxaaaB BA A =ax(AyBz-AzBy)+ay(AzBx-AxBz)+az(AxBy-AyBx)ya结论结论l矢量的加减运算同向量的加减，符合平行四边矢量的加减运算同向量的加减，符合平行四边形法则形法则l任意两个矢量的点积是一个标量，任意两个矢任意两个矢量的点积是一个标量，任意两个矢量的叉

12、积是一个矢量量的叉积是一个矢量l如果两个不为如果两个不为零零的矢量的点积等于的矢量的点积等于零零，则这两，则这两个矢量必然个矢量必然互相垂直互相垂直l如果两个不为如果两个不为零零的矢量的叉积等于的矢量的叉积等于零零，则这两，则这两个矢量必然个矢量必然互相平行互相平行1.2 1.2 圆柱坐标系和球坐标系圆柱坐标系和球坐标系l1.2.1 1.2.1 圆柱坐标系圆柱坐标系l空间任一点空间任一点P P的位置的位置 可以用圆柱坐标系可以用圆柱坐标系 中的三个变量中的三个变量 来表示。来表示。l圆柱坐标系中也有三个相互圆柱坐标系中也有三个相互垂直的坐标面。垂直的坐标面。l平面平面 表示一个以表示一个以z轴

13、为轴线的半径轴为轴线的半径为为 的圆柱面。的圆柱面。 平面平面 表示一个以表示一个以z为界的半平面。为界的半平面。 平面平面z=常数常数 表示一个平行于表示一个平行于xy平面的平面。平面的平面。22xy arctan( )yx 002z l圆柱坐标系中的三个单位矢量为圆柱坐标系中的三个单位矢量为 ,分别指分别指向向 增加的方向。三者始终保持正交关系。增加的方向。三者始终保持正交关系。（课本（课本P4）l圆柱坐标系的位置矢量圆柱坐标系的位置矢量l圆柱坐标系中的单位矢量与直角坐标系的单位矢圆柱坐标系中的单位矢量与直角坐标系的单位矢量之间的关系：量之间的关系： ,zaaazzraacossinxya

14、aa( sin )cos xyaaal矩阵形式：矩阵形式：cossinsincos00 xyzaaazaaal三个坐标面的面元矢量与体积元：三个坐标面的面元矢量与体积元：zzddl dld dzddl dld dzddl dld ddVd d dz zzzSaaSaaSaa1.2.21.2.2球坐标系：球坐标系：l球坐标系中，空间任意一点球坐标系中，空间任意一点P P可用三个可用三个 坐标变量（坐标变量（ ) )来表示。来表示。, r l球坐标系也有三个坐标面：球坐标系也有三个坐标面： 表示一个半径为表示一个半径为r的球面。的球面。 坐标面坐标面 =常数，表示一个以原点为顶点、以常数，表示一个

15、以原点为顶点、以z轴轴为轴线的圆锥面。为轴线的圆锥面。 坐标面坐标面 表示一个以表示一个以z轴为界的半平面。轴为界的半平面。 222rxyzarctan( )yx0002r l球坐标系的位置矢量可表示为：球坐标系的位置矢量可表示为：l球坐标系中的三个单位矢量互相正交，遵守右手球坐标系中的三个单位矢量互相正交，遵守右手螺旋法则。（课本螺旋法则。（课本P6） rrral球坐标系与直角坐标系的单位矢量的转换：球坐标系与直角坐标系的单位矢量的转换：sin coscoscossinsin sincos sincoscossinxyzaaaraaal面元矢量和体积元：面元矢量和体积元：22sinsinsi

16、nrrrddl dlrd dddl dlrdrdddl dlrdrddVdl dl dlrdrd d rrrSaaSaaSaa1.3 1.3 矢量场矢量场1.3.1矢量场的矢量线矢量场的矢量线 矢量场空间中任意一点矢量场空间中任意一点P处的矢量可用一处的矢量可用一个矢性函数个矢性函数A=A（P）来表示。直角坐标）来表示。直角坐标中，可以表示成如下形式：中，可以表示成如下形式： ( , , )( , , )( , , )xyzA x y zA x y zA x y zxyzAaaal矢量线：在曲线上的每矢量线：在曲线上的每一点处，场的矢量都位一点处，场的矢量都位于该点处的切线上。如于该点处的切线

17、上。如电力线，磁力线等。电力线，磁力线等。l矢量线方程：矢量线方程：l直角坐标系中，其表达直角坐标系中，其表达式为：式为：l 0A drxyzdxdydzAAA0dAr例例1-2 求矢量场求矢量场A=xy2ax+x2yay+zy2az的矢量线方程。的矢量线方程。解：解： 矢量线应满足的微分方程为矢量线应满足的微分方程为 zydzyxdyxydx222zydzxydxyxdyxydx22222221cyxxcz从而有从而有 解之即得矢量方程解之即得矢量方程 c1和和c2是积分常数。是积分常数。 1.3.2矢量场的通量及散度矢量场的通量及散度将曲面的一个面元用矢量将曲面的一个面元用矢量dS来表示，

18、其方向取为面元的法线方来表示，其方向取为面元的法线方向，向， 其大其大小为小为dS，即，即 ddssnn是面元法线方向的单位矢量。是面元法线方向的单位矢量。A与面元与面元dS的标量积称为矢量场的标量积称为矢量场A穿过穿过dS的通量的通量cosdAdSAS 将曲面将曲面S各面元上的各面元上的AdS相加，它表示矢量场相加，它表示矢量场A穿过整个曲穿过整个曲面面S的通量，也称为矢量的通量，也称为矢量A在曲面在曲面S上的面积分：上的面积分： 如果曲面是一个封闭曲面，则如果曲面是一个封闭曲面，则 cosssdAdS AScosssdAdS ASl2、矢量场的散度、矢量场的散度zayaxazyx哈米尔顿（

19、哈米尔顿（Hamilton）算子）算子 为了方便，引入一个矢性微分算子：为了方便，引入一个矢性微分算子： 在直角坐标系中称之为在直角坐标系中称之为哈米尔顿算子哈米尔顿算子，是一个微，是一个微分符号，同时又要当作矢量看待。算子与矢性函分符号，同时又要当作矢量看待。算子与矢性函数数A的点积为一标量函数。在直角坐标系中，散的点积为一标量函数。在直角坐标系中，散度的表达式可以写为度的表达式可以写为结论结论ldivA是一标量，表示场中一点处的通量对体是一标量，表示场中一点处的通量对体积的变化率，即在该点处对一个单位体积来说积的变化率，即在该点处对一个单位体积来说所穿出的通量，称为该点处源的强度。所穿出的

20、通量，称为该点处源的强度。l它描述的是场分量沿各自方向上的变化规律。它描述的是场分量沿各自方向上的变化规律。l当当divA0，表示矢量场，表示矢量场A在该点处有散发通量在该点处有散发通量的正源，称为源点；的正源，称为源点； divA0,表示矢量场表示矢量场A在在该点处有吸收通量的负源，称为汇点；该点处有吸收通量的负源，称为汇点；divA=0，矢量场，矢量场A在该点处无源。在该点处无源。ldivA0的场是连续的或无散的矢量场。的场是连续的或无散的矢量场。l3、高斯散度定理、高斯散度定理l矢量场散度的体积分等于矢量场在包围该体积矢量场散度的体积分等于矢量场在包围该体积的闭合面上的法向分量沿闭合面的

21、面积分的闭合面上的法向分量沿闭合面的面积分.VSdVdAAS 例例 :球面球面S上任意点的位置矢量为上任意点的位置矢量为r=xax+yay+zaz，求，求 解：解： 根据散度定理知根据散度定理知 而而r的散度为的散度为 3zzyyxxr所以所以 svdSdVrsdSr33svvddVdVR rSl1.3.2矢量场的环量及旋度矢量场的环量及旋度l1、环量的定义、环量的定义 设有矢量场设有矢量场A，l为场中的一条封闭的有向曲线，为场中的一条封闭的有向曲线，定义矢量场定义矢量场A环绕闭合路径环绕闭合路径l的线的线 积分为该矢量的积分为该矢量的环量环量，记作，记作 矢量的环量和矢量穿过闭合面的通量一样

22、，都是矢量的环量和矢量穿过闭合面的通量一样，都是描绘矢量场描绘矢量场A性质的重要物理量，同样都是积分性质的重要物理量，同样都是积分量。为了知道场中每个点上旋涡源的性质，引入量。为了知道场中每个点上旋涡源的性质，引入矢量场矢量场旋度旋度的概念的概念。若环量不等于若环量不等于0，则在，则在L内必然有产生这种场内必然有产生这种场的旋涡源，若环量等于的旋涡源，若环量等于0，则在，则在L内没有旋涡内没有旋涡源。源。coslldAdl Al矢量场的环量 zxyOldlAPnPlS 闭合曲线方向与面元的方向示意图 2、矢量场的旋度、矢量场的旋度l1）旋度的定义）旋度的定义 设设P为矢量场中的任一点，作一个包

23、含为矢量场中的任一点，作一个包含P点的微点的微小面元小面元S，其周界为，其周界为l，它的正向与面元，它的正向与面元S的的法向矢量法向矢量n成右手螺旋关系。当曲面成右手螺旋关系。当曲面S在在P点点处保持以处保持以n为法矢不变的条件下，以任意方式为法矢不变的条件下，以任意方式缩向缩向P点，取极限点，取极限limlSPdS Al若极限存在，则称矢量场若极限存在，则称矢量场A沿沿L正向的环量与正向的环量与面积面积S S之比为矢量场在之比为矢量场在P P点处沿点处沿n n方向的环量方向的环量面密度，即环量对面积的变化率。面密度，即环量对面积的变化率。l必存在一个固定矢量必存在一个固定矢量R，它在任意面元

24、方向上的投影，它在任意面元方向上的投影就给出该方向上的环量面密度，就给出该方向上的环量面密度，R的方向为环量面密的方向为环量面密度最大的方向，其模即为最大环量面密度的数值。称度最大的方向，其模即为最大环量面密度的数值。称固定矢量固定矢量R为矢量为矢量A的旋度。的旋度。旋度为一矢量旋度为一矢量。l rotA=Rl旋度矢量在旋度矢量在n方向上的投影为：方向上的投影为： l直角坐标系中旋度的表达式为：l一个矢量场的旋度表示该矢量场单位面积上的一个矢量场的旋度表示该矢量场单位面积上的环量，环量，描述的是场分量沿着与它相垂直的方向描述的是场分量沿着与它相垂直的方向上的变化规律上的变化规律。l若旋度不等于

25、若旋度不等于0，则称该矢量场是有旋的，若，则称该矢量场是有旋的，若旋度等于旋度等于0，则称此矢量场是无旋的或保守的，则称此矢量场是无旋的或保守的l旋度的一个重要性质：旋度的一个重要性质： 任意矢量旋度的任意矢量旋度的散度恒等于零散度恒等于零， 即即 ( A)0 如果有一个矢量场如果有一个矢量场B的散度等于零，则的散度等于零，则该矢量该矢量B就可以用另一个矢量就可以用另一个矢量A的旋度来的旋度来表示，即当表示，即当 B=0 则有则有 B= Al3、斯托克斯定理斯托克斯定理矢量分析中另一个重要定理是矢量分析中另一个重要定理是 dSrotAdSllA称之为斯托克斯定理，其中称之为斯托克斯定理，其中S

26、是闭合路径是闭合路径l所围成的所围成的面积，它的方向与面积，它的方向与l的方向成右手螺旋关系。该式表的方向成右手螺旋关系。该式表明：矢量场明：矢量场A的旋度沿曲面的旋度沿曲面S法向分量的面积分等于法向分量的面积分等于该矢量沿围绕此面积曲线边界的线积分。该矢量沿围绕此面积曲线边界的线积分。 例：已知一矢量场例：已知一矢量场F=axxy-ayzx, 试求：试求：（1） 该矢量场的旋度该矢量场的旋度;（2） 该矢量沿半径为该矢量沿半径为3的的四分之一圆盘的线积分，四分之一圆盘的线积分， 如图所示，如图所示， 验证斯托克验证斯托克斯定理。斯定理。 yBOxr3A四分之一圆盘 例例： 求矢量求矢量A=-

27、yax+xay+caz(c是常数是常数)沿沿曲线曲线(x-2)2+y2=R2, z=0的环量的环量(见图见图 1-6)。 解解： 由于在曲线由于在曲线l上上z=0，所以，所以dz=0。 22202222020222020202)cos2(cos2)cos(sincos)cos2(sin)sin()cos2()cos2(sin)(RdRRdRRdRRdRRdRRdRxdyydxdllA 例例:求矢量场求矢量场A=x(z-y)ax+y(x-z)ay+z(y-x)az在点在点M(1，0，1)处处的旋度以及沿的旋度以及沿n=2ax+6ay+3az方向的环量面密度。方向的环量面密度。 解：解： 矢量场矢

28、量场A的旋度的旋度 ()()()()()()rotAxyzx zyy xzz yxzyxzyx xyzxyzaaaAaaa在点M(1，0，1)处的旋度 2MxyzAaaan方向的单位矢量 2221263(263)777263 xyzxyznaaaaaa在点M(1，0，1)处沿n方向的环量面密度 7177327672nAM1.4 1.4 标量场标量场l一个仅用大小就可以完整表征的场称为标量场一个仅用大小就可以完整表征的场称为标量场l 等值面等值面l 方向导数方向导数l 梯度梯度l 梯度的积分梯度的积分l1、等值面、等值面l为考察标量场的空间分布，引入等值面的概念。一个标量场为考察标量场的空间分布

29、，引入等值面的概念。一个标量场可以用一个标量函数来表示。例如，标量可以用一个标量函数来表示。例如，标量 是场中点是场中点 的单值函数，它可表示为的单值函数，它可表示为l而而 是坐标变量的连续可微函数，令是坐标变量的连续可微函数，令l随着随着C的取值不同，得到一组曲面。在每一个曲的取值不同，得到一组曲面。在每一个曲面上的各点，虽然坐标值不同，但函数值均为面上的各点，虽然坐标值不同，但函数值均为C。这样的曲面称为标量场这样的曲面称为标量场u的等值面。的等值面。= ( , , )u u x y zu( , , )M x y z= ( , , )u u x y z( , , )=u x y zC 例如

30、温度场中的等值面，就是由温度相同的点例如温度场中的等值面，就是由温度相同的点所组成的等温面；电位场中的等值面，就是由所组成的等温面；电位场中的等值面，就是由电位相同的点组成的等位面。电位相同的点组成的等位面。l如果某一标量物理函数如果某一标量物理函数u仅是两个坐标变量的仅是两个坐标变量的函数，这种场称为平面标量场（即二维场），函数，这种场称为平面标量场（即二维场），则则u(x, y)=C （C为任意常数）为任意常数） 称为等值线方程，它在几何上一般表示一组等称为等值线方程，它在几何上一般表示一组等值曲线。场中的等值线互不相交。如地图上的值曲线。场中的等值线互不相交。如地图上的等高线，地面气象图

31、上的等温线、等压线等等等高线，地面气象图上的等温线、等压线等等都是平面标量场的等值线的例子。都是平面标量场的等值线的例子。l2、方向导数、方向导数l为了研究标量函数在场中各点的邻域内沿每一为了研究标量函数在场中各点的邻域内沿每一方向的变化情况，引入方向导数。方向的变化情况，引入方向导数。l当上式极限存在，则称它为当上式极限存在，则称它为 函数函数u(P)在点在点P0处沿处沿 方向方向 的方向导数。的方向导数。ll方向导数的计算公式：方向导数的计算公式：l在直角坐标系中，设在直角坐标系中，设 在点在点P0（x0,y0,z0）处）处可微，则有可微，则有l点点P0至至P点的距离矢量为点的距离矢量为若

32、若 与与 轴的夹角分别为轴的夹角分别为 ,则则同理有同理有 ,l 也称为也称为 的方向余弦。的方向余弦。 = ( , , )u u x y z0( )()uuuuu Pu Pxyzxyz coscoscosuuuulxyzxyzlaxayaz , ,x y z, cosxxl al cosyl coszl lcos,coscosll例：例： 求数量场求数量场 =(x+y)2-z通过点通过点M(1, 0, 1)的等值面方程。的等值面方程。 解：点解：点M的坐标是的坐标是x0=1, y0=0, z0=1，则该点的数量场，则该点的数量场值为值为=(x0+y0)2-z0=0。其等值面方程为其等值面方程

33、为 22)(0)(yxzzyx或 例例:求数量场求数量场 在点在点M(1, 1, 2)处沿处沿 l=ax+2ay+2az方向的方向导数。方向的方向导数。 解：解：l方向的方向余弦为方向的方向余弦为 zyxu22322212cos322212cos312211cos222222222而而 222)(,2,2zyxzuztyuzxxu数量场在数量场在l方向的方向导数为方向的方向导数为 22232232231coscoscoszyxzyzxzuyuxulu在点在点M处沿处沿l方向的方向导数方向的方向导数 324232132131Mll3、梯度、梯度l 方向导数解决了函数方向导数解决了函数U(P)在给

34、定点处沿某个方向的变化在给定点处沿某个方向的变化率问题。但是从标量场中的给定点出发，有无穷多个方向，率问题。但是从标量场中的给定点出发，有无穷多个方向，函数沿其中哪个方向其变化率最大呢？最大的变化率又是函数沿其中哪个方向其变化率最大呢？最大的变化率又是多少呢？多少呢？ l对同样的对同样的U的增量的增量du，存在着最大的空间增长率，即最大，存在着最大的空间增长率，即最大的方向导数。很明显，沿等值面的法线方向的方向导数最的方向导数。很明显，沿等值面的法线方向的方向导数最大，其距离最短。大，其距离最短。l因此可定义用来表示一个标量最大因此可定义用来表示一个标量最大 空间的增长率的大小和方向的矢量空间

35、的增长率的大小和方向的矢量G， 就是标量的梯度。就是标量的梯度。 图3-2 梯度 ln l l梯度公式：梯度公式：l梯度又可以表示为算子与标量函数相乘：梯度又可以表示为算子与标量函数相乘：l标量拉普拉斯算子：标量拉普拉斯算子：l直角坐标系中标量函数的拉普拉斯表达式：直角坐标系中标量函数的拉普拉斯表达式：2 l4、梯度的性质：、梯度的性质：l方向导数等于梯度在该方向上的投影：方向导数等于梯度在该方向上的投影：l在标量场中任意一点在标量场中任意一点P处的梯度垂直于过该点的等值处的梯度垂直于过该点的等值面，或说等值面法线方向就是该点的梯度方向面，或说等值面法线方向就是该点的梯度方向 由此，可将等值面由此，可将等值面 上任一点单位法向矢量表上任一点单位法向矢量表示为：示为： 0uu ll ( , , )u x y z0uunl梯度的旋度恒等于零：梯度的旋度恒等于零：0u uufufvuuvvvuuvvuuvvuvuuccuc)( )()(1)(,)()(,)(, 02l5、梯度的积分、梯度的积分l设标量场设标量场 u,标量场梯度标量场梯度F是一个无旋场，则由斯托是一个无旋场，则由斯托克斯定理可知，无旋场沿闭合路径的积分必然为零：克斯定理可知，无旋场沿闭合路径的积分必然为零：()