理论力学C3-1)

1、12第三章第三章 力系的平衡力系的平衡31 力系的平衡条件311 空间力系的平衡条件312 平面任意力系的平衡方程313 力系平衡方程的应用32 物系的平衡条件 桁架33 考虑摩擦的平衡问题331 力系的平衡条件311 空间力系的平衡条件一.空间任意力系平衡条件平衡条件： 力系的主矢以及对任一点的主矩都等于零。平衡方程000zyxFFF0)(0)(0)(FFFzyxmmm4二.空间任意力系平衡条件的简化形式 空间汇交力系 空间汇交力系在主矢为零时，对任一点的主矩均为零，因此其平衡条件为主矢为零。000zyxFFF空间力偶系 空间力偶系的主矢始终为零，其平衡条件为主矩为零。0)(0)(0)(FF

2、Fzyxmmm空间平行力系 设力系平行于z轴，因此力系对z轴之矩恒等于零，平衡条件为主矢为零，主矢对x和y轴的投影也为零。0)(0)(0FFyxzmmF5ABOCDP例31：空间支架固定在相互垂直的墙上。杆AO、BO为二力杆，OC是钢绳，C在两墙交线上。A、B、D、O位于同一水平面，构成一个矩形。已知：=60，=30，P=1.2KN。试求两杆和钢绳所受的力OCDPxyzOANOBNT解：以O点为研究对象，受力图如下0 xF0sincosTNOB0yF0coscosTNOA0zF0sin PTKN81KN041KN42.N.N.TObOA6例32：三圆盘的半径分别为15cm、10cm、5cm。在

3、圆盘的平面上作用着力偶，组成各力偶的力作用在圆盘边缘，大小相应的分别等于100KN、200KN和P。轴OA、OB和OC在同一平面内，且与各圆盘垂直，角AOB是直角。求使此物系平衡的力P和ABCKN100KN200PcmKN400020200cmKN300030100BmmAKN500101022CACmmmP143)arctg(180BAmm解：依据题意，此三力偶的力偶矩矢共面。xyAmBmCm7例33：工件被夹具固定，在B点Px、Py和Pz的作用，其大小分别为750N、1500N和5000N，方向如图。B点位于xy平面内，位置如图，单位mm。试计算夹具给予工件的约束反力。xyzxPyPzPB

4、20075AxyzAAxNAyNAzNAzMAyMAxMzPyPxPBNPNPNFxAxxAxx750, 00NPNPNFyAyyAyy1500, 00NPNPNFzAzzAzz5000, 008xyzxPyPzPB20075AxyzAAxNAyNAzNAzMAyMAxMzPyPxPBmN375, 00.0750AxzAxxMPMmmN100000.20AyzAyyMPMm，mN8 .2430,0.20.0750AzyxAzzMPPMm9312 平面任意力系的平衡方程平面任意力系(System of planar forces)：力系中各力的作用线在同一平面内且任意分布的力系，简称平面力系。一

5、.平面任意力系平衡方程的基本形式 平面任意力系平衡的必要和充分条件是：力系的主矢以及力系对任一点的主矩都等于零。平衡方程基本形式(一矩式)0 xF0yF0)(FOm 各力在两相交轴上的投影的代数和分别等于零，各力对任一点的矩的代数和也等于零。x和y是两个不平行的坐标轴。 一个平面任意力系提供三个独立的平衡方程，能求解不超过三个未知量的问题。10二.平面任意力系平衡方程的等价形式二矩式0 xF0)(FAm0)(FBmA、B为平面内任意两点，且其连线不与x轴垂直证明：若力系不平衡，那么力系的主矢或者主矩不为零。若为主矢不为零的情况，则力系不可能合成力偶0)(FAm0)(FBm合力R必须在A、B的连

6、线上xBAR0 xxFR所以力系平衡11三矩式0)(FAm0)(FBm0)(FCmA、B、C为平面内任意三点，且三点不共线证明：若力系不平衡，则力系不可能合成力偶0)(FAm0)(FBm则合力R必须在A、B的连线上CBAR具有三个方向同理，合力R也必须在A、C的连线上和B、C的连线上。只有零矢量才具有任意多的方向12三.平面任意力系平衡条件的简化形式平面汇交力系 平面汇交力系在主矢为零时，对任一点的主矩均为零，因此其平衡条件为主矢为零。0 xF0yF平面力偶系 平面力偶系的主矢始终为零，其平衡条件为主矩为零。0)(FOm平面平行力系 假设力系平行于y轴，因此在x方向的平衡条件自动满足。0yF一

7、矩式0)(FOm0)(FAm二矩式0)(FBmA、B连线不与y轴平行13 独立的平衡方程的数目一般力系汇交力系力偶系平行力系空间6333平面3212 通过平衡方程，可求得与方程同样个数的独立未知约束反力（力或力偶）平衡问题求解的步骤1、确定研究对象和参考系、确定研究对象和参考系2、受力分析、受力分析：画出主动力：画出主动力(简化简化) 画约束反力画约束反力 作用线仅根据约束性质画出作用线仅根据约束性质画出3、通过分析已知与未知量的关联，建立平衡方程求解、通过分析已知与未知量的关联，建立平衡方程求解（尽可能一个方程一个未知量）（尽可能一个方程一个未知量）14313 力系平衡方程的应用例34：画出

8、受力分析图，各构件自重不计，且系统均处于平衡。mABmABANBNBANN15ACDBPPCCDNDCNDADBPPDCNANDCCDANNN16单刚体平面任意力系的平衡问题举例例35：求图示外伸梁的约束反力m80.m61.m80.ABmKN20m8KN20KN17解：受力图如图m80.m61.m80.ABmKN20m8KN20KNAyNAxNBNxy0Am04220614080208.N.BKN21BN0yF0208020.NNBAyKN15AyN0 xF0AxN18例36：求图示刚架的约束反力，A为固定端约束。m52.m52.m3ABCKN4mKN4KN5AMBCKN4mKN4KN5AyN

9、AxNxy解：受力图如图示0 xF04 AxNKN4AxN0yF0543AyNKN17AyN0Am0355134524.MAmKN43AM1940BACN100W例37：均质杆AB，重100N，两端分别与光滑支持面接触，试求杆平衡时的，A、B两端的反力以及40BACN100WOxyDANBN0 xF040sin0BANN解得N5130N983.N.NBAtan DBCDtan50 DBODCDOD250tan5 . 0tan830.0yF040cos0WNBC为为AB杆质心，杆质心，也是也是OD之中之中点。点。2032 物系的平衡条件321 物系的平衡条件刚体系统：由若干个刚体通过约束所组成的

10、系统，简称物系。一.物系的平衡条件物系平衡每一刚体及其任意组合都平衡 在平面问题中，每个刚体有3个独立的平衡方程。因此，由n个刚体组成的物系，在平面问题中，可以提供3n个独立的平衡方程。 如果其中某些刚体受平面汇交力系或平面力偶系或平面平行力系的作用，则独立的平衡方程的数目会相应地减少。21ABCDEq2q1整体平衡整体平衡 局部必然平衡局部必然平衡物系平衡物系平衡FEFAxFAyFBxFByEq1FEFDxFDyDDAFAxFAyq2CFCxFCyFDxFDyBq2FBxFByFCxFCyCADEq2q1FEFAxFAyFCxFCyABCDq2FAxFAyFBxFByFDxFDy22322

11、静定与静不定问题静定与静不定问题 静定问题静定问题：系统中：系统中未知量未知量数目不多于独立平衡方程的数数目不多于独立平衡方程的数目时，则所有未知量都可以由刚体静力学的平衡方程求出。目时，则所有未知量都可以由刚体静力学的平衡方程求出。这样的问题称为静定问题。这样的问题称为静定问题。 静不定问题静不定问题：系统中未知量数目多于独立平衡方程的数：系统中未知量数目多于独立平衡方程的数目时，则未知量不能全部由刚体静力学的平衡方程求出。目时，则未知量不能全部由刚体静力学的平衡方程求出。这样的问题称为静不定问题，也称为超静定问题。这样的问题称为静不定问题，也称为超静定问题。 系统未知量通常为各种约束反力，

12、这些约束反力包括内系统未知量通常为各种约束反力，这些约束反力包括内部约束反力和外部约束反力。部约束反力和外部约束反力。例38：判断下列系统的静定性。简支梁悬臂梁静定静定23静定静定静不定静不定静不定静不定静不定静定24例39：试确定下列结构中各处约束反力的方向，各构件自重不计，且系统均处于平衡。ABCDEFP323 刚体系统平衡条件的应用举例BCDAPBNANBNDNCN25例310：三铰刚架如图所示，在它上面作用一个力偶，其矩为m=50KNm，不计刚架自重，试求铰链A、B的约束反力。m2m2m2ACBmACANCNBmCNBNBCANNNKN6817251222.mNNBA26ABCq=2k

13、N/mDEaaaaa发现二力杆对减少未知量的重要意义：发现二力杆对减少未知量的重要意义：（a=2ma=2m）寻找未知力（量）3的物体或组合。前提单力约束，二力杆27例311：图示梁，求固定端A、铰链C及中间铰B的约束反力。m3m6m40KNABCm20KN30解：以BC为研究对象，其受力图如下BCm20KN30CNBxNByNxy0Bm03206630cosCN69.28KN340CN060cos, 00CBxxNNFKN64.34BxN060sin62000CByyNNF，KN60ByN28m40KNABBxNByNAyNAxNAM以AB为研究对象0Am0340ByANMmKN220AM0

14、xF0BxAxNN0yF0ByAyNNKN6434.NAxKN60AyNm3m40KNAB29例312：图示多跨梁。求铰链A、B、D以及中间铰C的反力m1m1m2m2m2ABCDKN5mKN52.mKN5解：先分析CD，再分析AC.设设5KN的集中力的集中力全部作用在全部作用在AC杆上。杆上。CDmKN5mKN52.DNCyNCxNxy0Cm0125254.NDKN52.ND0yF0252.NNDCyKN52.NCy0 xF0CxN30ABCKN5mKN52.CyNCxNBNAxNAyN以AC为研究对象0Am04325 . 2452CyBNNKN 22.5BN0yF05252CyBAyN.NN

15、KN10AyN0 xF0AxNm1m1m2m2m2ABCDKN5mKN52.mKN5入手类型I：未知力（量）数目为3的物体或组合。31例313：图示三铰刚架，求铰链A、B处的反力ABm5m5m5CmKN20KN50解：以整体为研究对象ABCmKN20KN50AyNxyoAxNBxNByN0Am01057520550ByN.KN100ByN0yF0520ByAyNN0AyN32ACKN50AyNxyoAxNCxNCyN以AC为研究对象0Cm055AyAxNN0AxN再次以整体为研究对象0 xF050 BxAxNN50BxNABm5m5m5CmKN20KN50类型II：未知力为4，其中三力共点33

16、例314：无底的圆柱形空筒放在光滑的地面上，内放二球，每个球重P，半径为r，圆筒半径为R，2rRr。若不计各处接触的摩擦，不计圆筒厚度，求圆筒不致翻倒的最小重量Qmin。R2ABrrPPHDC解：圆桶将向右边翻倒，在临界状态下，其受力图如下。ABDNCNHNdminQ由小球受力的对称性DCNN0dNRQDminRdNQDmin22222)(2RRrrRrd34ABPDDNFNxy以B球为研究对象0cos0DFxNNF0sin0PNFFydrR)(2tgPdrRPND)(2tg)1 (2)(2RrPPdrRRdNRdQDmin35考题：考题： 已知：力已知：力F作用在作用在CD中点中点E处，处，

17、F=8KN, q=4KN/m, 杆重不计。求：固定端杆重不计。求：固定端A的约束力。（的约束力。（20分）分）解：取解：取BCBC为研究对象。为研究对象。MB=0 FCy.2-4.4/3=0 4/3=0 FCy=8/3D4502mABCq2m1mEF2mBCqFCyFCxFByFBx36FDyFDx450CDEFFCyFCx研究研究CDCD的平衡：的平衡：MD=0 FCx.2+FCy .2+F.1=0 .2+F.1=0 FCx=-20/3FCx=-20/3(kN)2mABCq2m1mMAFAyFAxFCyFCx研究研究ABCABC的平衡，的平衡，MA=0 M MA A- -FCx.2+FCy

18、.3-4.7/3=0 .3-4.7/3=0 Fx=0，FAx+FCx=0 MA=-12(kN.m) FAx=20/3(kN)Fy=0，FAy+FCy -4=0FAy=4/3(kN)37方法方法2：FDyFDx解：先取解：先取CDCD及及BCDBCD为研究对象。为研究对象。对对CDCD，MC=0 FDx.2+FDy .2-F.1=0 .2-F.1=0 对对BCD，MB=0 ,FDx.2+FDy .4-F.3-q.4/3=0 450CDEFFCyFCx4502mBCDqEFFDyFDxD4502mABCq2m1mEFFByFBx38MAFAyFAx4502mABCDq2m1mEF联立求得联立求得: :FDx=-20/3 （KN） FDy =32/3 （KNKN）FDyFDx取整体为研究对象取整体为研究对象: : F Fx=0, =0, F FAxFDx=0, =0, F FAx=20/3(kN)=20/3(kN)FFy=0, F=0