非齐次线性方程

1、4.5 4.5 二阶线性非齐次方程二阶线性非齐次方程 yP x yQ x yfx二阶线性二阶线性非齐次非齐次微分方程的一般形式微分方程的一般形式 2D yP x DyQ x yfx 2DP x DfQ xyx ( )( )L yf x 其对应的线性其对应的线性齐次齐次微分方程的形式为微分方程的形式为( )0L y 定理定理1 设设 y1与与y2是二阶非齐次方程是二阶非齐次方程 ( )L yfx 的两个解，则的两个解，则 y1 - y2是对应齐次方程是对应齐次方程 的解的解.( )0L y 一一. .二阶非齐次线性方程的解的性质与结构二阶非齐次线性方程的解的性质与结构: :12()L yy12(

2、)()( )( )0L yL yf xf x12( )0yyL y是是的的解解. . 2.2.二阶非齐次线性方程的解的结构二阶非齐次线性方程的解的结构: : ( )yL yfx 定定理理2是2是非非齐齐次次方方程程的的特特解解, ,( )( ).yYyL yf x 是是非非齐齐次次微微分分方方程程的的通通解解Y 是其对应的齐次方程是其对应的齐次方程L(y)=0的通解，则的通解，则非齐次通解非齐次通解齐次通解齐次通解非齐次特解非齐次特解(*)L Yy( )( *)L YL y( )f x(*)( )( ).YyL yf x是是的的解解上述结论对上述结论对n阶也成立阶也成立解的叠加原理解的叠加原理

3、 12( ),L yfxfx设设二二阶阶线线性性方方程程 12( )( )L yL yfxfx与与 1221( )+.yfyL yfxx是是的的特特解解上述结论对上述结论对n阶也成立阶也成立定理定理3 12yy与与分分别别是是方方程程的特解的特解,则则12(+)L yy12( )+ ( )fxfx 证明证明: 2211( )+.yyL yffxx故故是是的的特特解解12()+ ()L yL y 22123,xxxxxxxyxeeyxeeyxeee已已知知是二阶线形非齐次微分方程的解是二阶线形非齐次微分方程的解, ,求此微分方程求此微分方程13,xyye 是对应齐次方程的解是对应齐次方程的解,

4、,2( )yyyf x故可设此方程为故可设此方程为是非齐次方程的解是非齐次方程的解. .xxe( )2xxxyxef xexe将将代代入入上上式式,得,得22xxyyyexe 也是对应齐次方程的解也是对应齐次方程的解, ,22()xxxxeeee所以方程为所以方程为解解(1)(2)0rr例例1212xxyyee 1.)(xfqyypy ( )xnQx e ( )( )xxnnQx eQxe 二二. .二阶常系数线性非齐次方程的解法二阶常系数线性非齐次方程的解法: :xe 特特解解中中应应含含有有1011( )mmmmmPxa xa xaxa ( )xmePx 解解 设非齐次方程特解为设非齐次方

5、程特解为*( )xyQ x e ,代入原方程得代入原方程得 2( )(2)( )() ( )( )xxmQxp Q xpq Q xePx e)()()()()2()(2xPxQqpxQpxQm （1）(1) 若若 不不是是特特征征方方程程的的根根，, 02 qp ( )( ),mQ xQx 可可令令(2) 若若 是是特特征征方方程程的的单单根根，, 02 qp , 02 p ( )( ),mQ xxQx 可可令令*( );xmyQx e *( );xmQxxey ( )xmypyqyePx 通过（通过（1）用待定系数法可求出）用待定系数法可求出( ),mQx)()()()()2()(2xPxQ

6、qpxQpxQm （1）(3) 若若 是是特特征征方方程程的的重重根根，, 02 qp , 02 p 2( )( ),mQ xx Qx 可可令令2*( ).xmyQx ex 综上讨论综上讨论*( ) ,xkmye Qxx 设设01,2k 不不是是单单根根重重根根根根是是是是( )xmypyqyePx 记住此公式记住此公式上述结论可推广到上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性阶常系数非齐次线性注意注意微分方程（微分方程（k是重根次数是重根次数）. .齐次线性方程的特征根求解法只适用于常系数的线性方程齐次线性方程的特征根求解法只适用于常系数的线性方程例例2. 写出下列微分方程的特解的形式写出下列微分

7、方程的特解的形式 12;yyyx解解220,rr00,k 不不是是特特征征方方程程的的根根,故,故*yAxB故故121,2.rr ( )( )xmf xePx 是是型型 ，( ),0mpxx 14*yA,B 1 1将将代代入入原原方方程程可可得得 =-=-2 2*()kyxAxB对应齐次方程为对应齐次方程为20yyy其特征方程为其特征方程为220,rr11,k 是是特特征征方方程程的的单单根根,故,故*yx 故故 22;xyyye121,2.rr )(xmf xePx 解解是是型型 ，.xAe13*yA 代代入入原原方方程程可可得得*kxyxAe对应齐次方程为对应齐次方程为20;yyy其特征方

8、程为其特征方程为( )1,1mpx 2210,rr12,k 是是特特征征方方程程的的二二重重根根,故,故*2yx 故故 32.xyyye1,21.r( )1,1mpx 解解.xAe*.kxyx Ae 对应齐次方程为对应齐次方程为20.yyy其特征方程为其特征方程为对应齐次方程对应齐次方程, 0 qyypy通解结构通解结构*,yYy *Yy对对应应齐齐次次方方程程的的通通解解; ;非非齐齐次次方方程程的的特特解解. .ypy二阶常系数非齐次线性方程二阶常系数非齐次线性方程( )f xqy 0322xyyyxe.求求方方程程的的通通解解解解对应齐次方程通解对应齐次方程通解特征方程为特征方程为, 0

9、232 rr特征根为特征根为，2121 rr212,xxYC eC e1 是是单单根根，*xy 设设代入方程代入方程, , 得得222AxABx1,20AAB *(2)xyxxe于于是是原方程通解为原方程通解为212( 12 ).xxxyC eC exx e （2010年）年）(),xAxB e 对应齐次方程为对应齐次方程为320yyy1,2.AB 例例3 3例例4 4 写出微分方程写出微分方程2(12)xyyyxe的待定特解的形式的待定特解的形式. . 设设 的特解为的特解为2yyyx*1y22xyyyxe设设 的特解为的特解为*2y*12yyy则所求特解为则所求特解为2210rr特征根特征

10、根1,21r *1yaxb*22()xyxcxd e*2y *1*yy 2()xaxbxcxd e解解0,2xxxexe同一类型同一类型不同函数需用叠加原理不同函数需用叠加原理2(1)xxyexe是是二二阶阶常常系系数数非非齐齐次次线线性性例例4 4 已知已知xyaybyCe 微微分分方方程程的的一一个个特特解解，试试确确定定, ,a b C常常数数及及该该方方程程的的通通解解. .2(1)xxyexe解解 将将代代入入微微分分方方程程得得，24+2)(32)(1)xxxxab eab eab xeCe（4+2032*10ababCab （ ）24+2)(32)(1)0 xxxab eabC

11、eab xe（ 或或（2,*xxxeexe因因线线性性无无关关，故故得得（ ）式式。）3,2,1.abC 解解得得-32-xyyye 于于是是方方程程为为 )(xfqyypy 利用欧拉公式可将右边转化为指数函数与多项式乘利用欧拉公式可将右边转化为指数函数与多项式乘积类型，从而利用类型积类型，从而利用类型1求解。可得求解。可得cossin ,cossin .iieiei 非齐次微分方程的特解形式为非齐次微分方程的特解形式为(1)(2)( )cos( )si*nxmmeyRxxRxx (1)(2)( ),( )mmRxRxm其其中中是是次次多多项项式式， nlm,max 01iki 不是根,不是根

12、,是根.是根.记住此公式记住此公式kx 2.( )cos( )sinxlneP xxP xx cos,sin22ixixixixeeeexxi例例5 写出下列微分方程的特解形式写出下列微分方程的特解形式( )( )cos( )sinxlnf xeP xxP xx 解解型.型. 0,3,30.yy 21230.0,3rrrr3,ii由由于于不不是是特特征征方方程程的的根根故故原原方方程程的的特特解解形形式式为为: :*()cos3()sin3 .yAxBxCxDx0.k( )2 ,( )0lnP xx P x *()cos3()sin3.kyxAxBxCxDx对应齐次方程为对应齐次方程为特征方程

13、为特征方程为(1)32 cos3yyxx (2)9cos ,yyx 3 .ri= =290,r( )cos( )sin( )xlnf xeP xxP xx 属属型型0,1,( )1,( )0lnp xpxi不不是是特特征征方方程程的的根根. .*cossinyaxbx对应齐次方程的特征方程为对应齐次方程的特征方程为解解( )sincos2yyxx 3 320101,yyrr sincos2xx 因为的 不相等,故非齐次方程的因为的 不相等,故非齐次方程的特解必须分成两个方程来求解.特解必须分成两个方程来求解.(1)sin ,0,1,yyx 方程的根方程的根ii 不是特征不是特征0.k*1cos

14、sin ;yAxBx对应齐次方程为对应齐次方程为(2)cos2 ,0,2,yyx *2cos2sin2 ;yCxDx2ii不是特征方程的根不是特征方程的根0.k解解*12cossincos2sin2 .yyyAxBxCxDx*110,0,25yABCD 将代入原方程将代入原方程故故原原方方程程的的特特解解形形式式为为: :自由项是不同类型函数或自由项是不同类型函数或同一类型同一类型不同函数需用叠加原理不同函数需用叠加原理( , )M x yMTOM 设设过过曲曲线线上上任任一一点点的的切切线线，与与坐坐标标原原点点到到此此点点的的连连线线相相交交成成定定角角 ，求求曲曲线线方方程程. .Oxy

15、MT tan,dydx 解解 如如图图，tan,yx tantan() 则则,2OMMT 若若则则，故故1,dyydx x =ydyxdx 可可得得，22,xyC故故曲曲线线方方程程为为,2 若若tantan1tantan 例例6( , )M x yMTOM 设设过过曲曲线线上上任任一一点点的的切切线线，与与坐坐标标原原点点到到此此点点的的连连线线相相交交成成定定角角 ，求求曲曲线线方方程程. .OxyMT tantan()tantan1tantan tan1tanydyxydxx 222ln()arctan.tanyxyCx 解解方方程程得得( ),f x设设为为一一连连续续函函数数 且且满

16、满足足方方程程0( )sin() ( ),( ).xf xxxt f t dtf x 求求0( )cos( )(2)xfxxf t dt 在上个方程两边关于在上个方程两边关于x求导得求导得, ,00( )sin( )( )(1)xxf xxxf t dttf t dt原方程可化为原方程可化为再次求导得再次求导得, ,( )( )sin(3)fxf xx 方程方程(3)(3)的特征方程为的特征方程为210,r ri (3)(3)对应齐次方程的通解为对应齐次方程的通解为12cossinCxCx 解解例例6 令方程令方程(3)(3)的特解为的特解为(cossin )yx AxBx 代入代入(3)(3

17、)式得式得2sin2cossinAxBxx 1,0.2AB方程方程(3)(3)的通解为的通解为121cossincos2yCxCxxx由由(1),(2)(1),(2)知知(0)0,(0)1ff1210,2CC解得解得所求函数为所求函数为1(sincos )2yxxx322(sin )0,d xdxyxdydy已已知知(1) 若将若将x看成自变量看成自变量,y看成因变量看成因变量,方程将化为方程将化为(2) 求此方程满足求此方程满足3(0)0,(0).2yy的的解解1dxdyy 22d xddxydydy 1ddxdxydy 21yyy 1ddyy 3yy sinyyx解解: (1)(2) 相应

18、齐次方程的特征方程相应齐次方程的特征方程例例7 什么形式什么形式?代入原方程得代入原方程得210,1,rr 齐次通解为齐次通解为 12xxYC eC e 设非齐次特解为设非齐次特解为*cossinyAxBx*110,sin22AByx 即即代入代入(1)得得, ,121sin2xxyC eC ex 所以所以(1)的通解为的通解为12(0)0,(0)01,1yyCC 由由解解得得1sin2xxyeex 故所求特解为故所求特解为三、欧拉方程三、欧拉方程(特殊的变系数方程特殊的变系数方程) )( )1(1)11( )nnnnnnx ya xyaxya yf x 12(,)na aa为为常常数数欧拉方

19、程的形式欧拉方程的形式特点特点：未知函数导数的阶数与自变量的幂指数相同：未知函数导数的阶数与自变量的幂指数相同变量代换可化为常系数微分方程变量代换可化为常系数微分方程. .解法解法: : 作变量变换作变量变换ln ,txetx, ,则则将自变量换为将自变量换为t, ,dydx 1,dyx dt,Dyyx 22d ydx 221d ydtx2221d ydyxdtdt 221D yDyx2x y 2D yDy yDD)1( dy dtdt dx 211dyxdtx f (x)的两种类型：的两种类型：)()(xPexfmx ( )( )cos( )sinxlnf xeP xxP xx L n次多项

20、式次多项式, n次多项式次多项式l)(xfqyypy 2.2.二阶常系数非齐次线性方程的解法二阶常系数非齐次线性方程的解法: :(1)(2)( )cos( )si*nxmmeyRxxRxx kx *( ) ,xkmye Qxx 设设i 或或上述结论可推广到上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性阶常系数非齐次线性注意注意微分方程（微分方程（k是是 的重根次数的重根次数）. . yDDD)23(23 dtdydtyddtydyx2322333 yDDD)2)(1( ( )(1)(1) .kkx yD DDky将上式代入欧拉方程，则化为以将上式代入欧拉方程，则化为以 t 为自变量为自变量的的常系数常系

21、数线性微分方程线性微分方程. .求出这个方程的解后，求出这个方程的解后，把把 t 换为换为 lnx ，即即得到原方程的解得到原方程的解. . 2235lnx yxyyxx解解例例1 1 求方程求方程代入原方程得代入原方程得245tyyyte ,即即(1),txe 令令 2135tD DyDyyte和和(1)对应的齐次方程为对应的齐次方程为450,yyy (2)(2)的特征方程为的特征方程为, 0542 rr特征根为特征根为, 1, 521 rr(2)的通解为的通解为.251tteCeCY 的通解的通解设设(1)的特解为的特解为2*(),tyatb e*, ( *) , ( *)yyy把把代代入

22、入方方程程(1)得(1)得,99tbat , 0,91 ba21*,9tyte 得得(1)的通解为的通解为.912251tttteeCeCy 故原方程的通解为故原方程的通解为.ln912251xxxCxCy 245tyyyte ,例例2 求欧拉方程求欧拉方程22334xyxyxyx 的通解的通解解解作变量变换作变量变换,ln ,txetx则则原方程化为原方程化为,34)1()2)(1(2teDyyDDyDDD 3232D yD yDy 2D yDy 243tDye 特征方程为特征方程为, 03223 rrr根为根为. 3, 1, 0321 rrr方程方程(2)的通解为的通解为3123ttYCC eC e ,332223teDyyDyD 230,yyy (1)的齐次方程为的齐次方程为2233,tyyye (1)设设(1)的特解为的特解为2tybe (2).33222233tedtdydtyddtyd (1)代入方程代入方程(1) ，得，得.21 b所给欧拉方程的通解为所给欧拉方程的通解为.2123321xxCxCCy 3212312tttyCC eC ee . (1)的通解为的通解为特解为特解为212tye 23