第5章 刚体的定轴转动2011

1、第第 5 章章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动转轴转轴本章将介绍一种特殊的质点系本章将介绍一种特殊的质点系刚体刚体所遵循的所遵循的力学规律。着重讨论刚体的定轴转动。力学规律。着重讨论刚体的定轴转动。一、一、 概念概念在受外力作用时不改变形状和体积的物体称刚体。在受外力作用时不改变形状和体积的物体称刚体。(2)刚体可以看作是由许多质点组成的质点刚体可以看作是由许多质点组成的质点系，每一个质点叫做刚体的一个系，每一个质点叫做刚体的一个质元质元，刚，刚体这个质点系的特点是，在外力作用下各体这个质点系的特点是，在外力作用下各质元之间的相对位置保持不变。质元之间的相对位置保持不变。1. 刚体刚体:mimi

2、(1)(1)刚体是理想化模型。刚体是理想化模型。质元质元第第5 5章章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动5.1 5.1 刚体转动的描述刚体转动的描述2. 刚体的运动形式刚体的运动形式: 刚体转动时各质元均做圆周运动刚体转动时各质元均做圆周运动, ,而且而且各圆的圆心都在一条固定不动的直线上各圆的圆心都在一条固定不动的直线上, ,这条直线叫转轴。如果转轴方向不随时间这条直线叫转轴。如果转轴方向不随时间变化变化, , 则称则称定轴转动定轴转动。 转动转动: 转动是刚体的基本运动形式之一。转动是刚体的基本运动形式之一。平动：平动：转轴转轴 在描述刚体的平动时在描述刚体的平动时, ,可以用一点的运可以用一

3、点的运动来代表，通常就用刚体的质心的运动来动来代表，通常就用刚体的质心的运动来代表整个刚体的平动。代表整个刚体的平动。 刚体的一般运动都可以认为是刚体的一般运动都可以认为是平动平动和绕某一转轴和绕某一转轴转动转动的的结合结合。如图。如图,车轮的转动。车轮的转动。转动平面转动平面 二二、刚体定轴转动的描述、刚体定轴转动的描述转动平面转动平面: 取垂直于转轴取垂直于转轴 的平面为参考系的平面为参考系, 称转动平面。称转动平面。vimi转轴转轴其上各质元都在垂直于转轴的平面内作圆周运动其上各质元都在垂直于转轴的平面内作圆周运动, ,且所有质元的矢径在相同的时间内转过的角度相同且所有质元的矢径在相同的

4、时间内转过的角度相同. .一般用角量描述。一般用角量描述。1.特点特点:ox转动方向转动方向ZPrpo 2.角位移角位移1.角位置角位置2.定轴转动的角量描述定轴转动的角量描述dtd rv P点线速度点线速度转动平面转动平面vrpo oX转动方向转动方向Z4. 角加速度矢量角加速度矢量)s/rad(dtd2 3.角速度角速度 :方向与转动方向成右手螺旋法则。方向与转动方向成右手螺旋法则。当减速转动时当减速转动时, , 与与 方向相反方向相反; ;当加速转动时当加速转动时, , 与与 方向相同；方向相同； .当角加速度是常量时：当角加速度是常量时：)(02022 t 0 2210 tt)( 单位

5、：单位：rad/s 角速度是矢量角速度是矢量 。P P点线加速度点线加速度 ra ran2 由于在定轴转动中轴的由于在定轴转动中轴的方位不变，故方位不变，故 只只有沿轴的正负两个方向，有沿轴的正负两个方向，可以用标量代替。可以用标量代替。 ,将刚体看成许多质量分别为将刚体看成许多质量分别为m1 ; m2 mimn的质点的质点;各质点距转轴的距离分别为各质点距转轴的距离分别为 r1 、r2、ri 、rn各质点速率分别为各质点速率分别为 v1 、v2 、vi、 vnoi1. 第第 i 个质点对转轴的角动量个质点对转轴的角动量Zmi5.2 5.2 刚体定轴转动定律刚体定轴转动定律一、刚体的角动量一、

6、刚体的角动量iiLL2. 刚体的角动量刚体的角动量iiiivmriiimr2riviiiiivmrL iipr iiimrL 2 iii)mr( 2定义：定义： iiimrJ)(2-刚体对于转轴的转动惯量刚体对于转轴的转动惯量 JL 刚体的角动量刚体的角动量 JL 大小：大小：方向：方向： 的方向。的方向。与线量比较：与线量比较： JLmvp)(转转动动惯惯性性转转动动惯惯量量J)(平平动动惯惯性性惯惯性性质质量量miMM 2. 整个刚体受合外力矩：整个刚体受合外力矩：FiZmioirivi力矩的方向力矩的方向:二、刚体所受力矩二、刚体所受力矩设刚体受外力：设刚体受外力：F1、F2FiFn1.

7、 当质元受合外力当质元受合外力Fi 时该力对转轴的力矩时该力对转轴的力矩 沿转轴方向沿转轴方向,并与矢径并与矢径 及及 成右手螺旋法则成右手螺旋法则 。rF定轴转动定轴转动:iMM M定轴转动中，定轴转动中，M的方向可用正、负区分的方向可用正、负区分如：使刚体逆时针转动，如：使刚体逆时针转动，M 0使刚体顺时针转动，使刚体顺时针转动，M 0（代数和）（代数和）iiiFrM 三、刚体定轴转动定律三、刚体定轴转动定律 iiMMtJdd J 刚体对于某一转轴所受的合外力矩等于刚体对该转轴刚体对于某一转轴所受的合外力矩等于刚体对该转轴的转动惯量与在此合外力矩作用下所获得的角加速度的乘的转动惯量与在此合

8、外力矩作用下所获得的角加速度的乘积。积。-刚体定轴转动定律刚体定轴转动定律特例：特例： 平衡时，平衡时， = 0，M= 0 (合力矩为零）合力矩为零） iitLdd iiLdtddtdL JM 应用时注意：应用时注意：M、 的正负号的正负号.m2m1 r例例1. 如图所示，设两重物的质量分别为如图所示，设两重物的质量分别为m1和和m2，且，且m1m2，定滑轮的半径为定滑轮的半径为r，对转轴的转动惯量为，对转轴的转动惯量为J，轻绳与滑轮间，轻绳与滑轮间无滑动，滑轮轴上摩擦不计设开始时系统静止，试求无滑动，滑轮轴上摩擦不计设开始时系统静止，试求t时时刻滑轮的角速度刻滑轮的角速度 开始时系统静止，故

9、开始时系统静止，故 t 时刻滑轮的角速度：时刻滑轮的角速度： Jrmmgrmm 22121 Jrmmgrtmmt 22121 T1rT2r J 且有：且有：ar T2m2gm2a m1gT1m1a解方程组得：解方程组得：解：解：两重物加速度大小两重物加速度大小a相同，滑轮角加速度为相同，滑轮角加速度为 由牛顿第二定律：由牛顿第二定律：隔离物体分析力方向如图隔离物体分析力方向如图转动定律：转动定律：m1gT1T1T2T2m2gaa 注意：注意：21TT m rmm2m 2r例例2. 质量分别为质量分别为m和和2m、半径分别为、半径分别为r和和2r的两个均匀圆盘，的两个均匀圆盘，同轴地粘在一起，可

10、以绕通过盘心且垂直盘面的水平光滑同轴地粘在一起，可以绕通过盘心且垂直盘面的水平光滑固定轴转动，对转轴的转动惯量为固定轴转动，对转轴的转动惯量为9mr2 / 2，大小圆盘边缘，大小圆盘边缘都绕有绳子，绳子下端都挂一质量为都绕有绳子，绳子下端都挂一质量为m的重物，如图所的重物，如图所示求盘的角加速度的大小示求盘的角加速度的大小 列方程列方程 T2 (2r)T1r = 9mr2 / 2 mgT2 = ma2 T1mg = ma1 2r = a2 r = a1 rg192mgT2T2T1T1mga2a1解：受力分析如图解：受力分析如图解联立方程，得：解联立方程，得：1. 定轴转动惯量定义定轴转动惯量定

11、义:iiirmJ2分立刚体分立刚体:转动惯量等于刚体中每个转动惯量等于刚体中每个质点的质量与这一质点到转轴质点的质量与这一质点到转轴的距离的平方的乘积的总和。的距离的平方的乘积的总和。mioiri5.3 5.3 转动惯量的计算转动惯量的计算连续刚体连续刚体: dmrJ2dmor2. 转动惯量的计算转动惯量的计算 例例 1 .刚性三原子分子其质量分布如图所示，刚性三原子分子其质量分布如图所示，求绕转轴的转动惯量求绕转轴的转动惯量233222211rmrmrmJ r1r2r3m1m2m3转轴转轴ox图图dxdm例例 2 质量为质量为m ，长为，长为 l 的均匀细棒，分别求其绕垂直中心转的均匀细棒，

12、分别求其绕垂直中心转轴和绕一端转轴的转动惯量。轴和绕一端转轴的转动惯量。ox图图(2)dmdx解解:设棒单位长质量设棒单位长质量: =m/l,1. 绕中心轴转动，在图绕中心轴转动，在图中建立一维坐标系中建立一维坐标系,dmxJ 21dxxll 2222121ml 取取 dm=dx2.绕一端的转动惯量，建立一维坐标系如图绕一端的转动惯量，建立一维坐标系如图所示所示dmxJ22dxxl02231mlRoRZ例例 3. 求质量为求质量为 m ，半径为，半径为 R 的均匀薄圆环的转的均匀薄圆环的转动惯量，轴与圆环平面垂直并通过其圆心。动惯量，轴与圆环平面垂直并通过其圆心。dmdmRJ2mdmR22mR

13、解解: 解：解：设面密度为设面密度为 ，取半径为，取半径为 r 宽宽为为 dr 的薄圆环的薄圆环rdrdsdm 2 dmrJ 2例例4: 求质量为求质量为 m、半径为、半径为 R、薄圆盘的转动惯量。轴与盘、薄圆盘的转动惯量。轴与盘平面垂直并通过盘心。平面垂直并通过盘心。rdrO Rrdrr022 242121mRR 记住几个典型的转动惯量：记住几个典型的转动惯量：*圆环（通过中心轴）圆环（通过中心轴）*圆盘、圆柱（通过中心轴）圆盘、圆柱（通过中心轴）*细棒（端点垂直轴）细棒（端点垂直轴）*细棒（质心垂直轴）细棒（质心垂直轴）221mRJ 231mLJA 2121mLJc J = mR2Z3.

14、转动惯量的物理意义及性质转动惯量的物理意义及性质: 转动惯量是刚体转动惯量是刚体转动惯性大小转动惯性大小的量度的量度; 转动惯量不仅转动惯量不仅与刚体质量有关与刚体质量有关,而且与刚体而且与刚体转轴的位置转轴的位置 及刚体的及刚体的质量分布质量分布有关有关;转动惯量具有转动惯量具有迭加性迭加性;J=J1+J2+J3 转动惯量具有相对性转动惯量具有相对性;ZCdZ 刚体对任一转轴的转动惯量等于刚刚体对任一转轴的转动惯量等于刚体对通过质心并与该轴平行的转动惯量体对通过质心并与该轴平行的转动惯量加上刚体质量与两轴间距的二次方的乘加上刚体质量与两轴间距的二次方的乘积。积。 平行轴定理：平行轴定理：J

15、= Jc+ m d 2例例1: 如图一质量为如图一质量为M 长为长为l的匀质细杆，中间和右端各有一质的匀质细杆，中间和右端各有一质量皆为量皆为m的刚性小球，该系统可绕其左端且与杆垂直的水平的刚性小球，该系统可绕其左端且与杆垂直的水平轴转动，若将该杆置于水平位置后由静止释放，轴转动，若将该杆置于水平位置后由静止释放，求求:杆转到与杆转到与水平方向成水平方向成角时角时,杆的角加速度是多少杆的角加速度是多少?解解:设转轴垂直向里为正设转轴垂直向里为正,系统对该转轴的转动惯量为系统对该转轴的转动惯量为 222312MlmllmJ 该系统所受的合力矩为该系统所受的合力矩为 cosmglcoslmgcos

16、lMgM 22 cosgl )Mm()mM(41536 由转动定律由转动定律: M=J 可得可得方向方向:指里。指里。lmgmgMg5.4 5.4 转动定律的应用转动定律的应用 练习练习1：如图所示：如图所示,有两个质量分别为有两个质量分别为 M1 、M2 ，半径分别，半径分别为为 R1 、R2 的匀质定滑轮，轮缘上绕一细绳的匀质定滑轮，轮缘上绕一细绳, 其两端挂着质其两端挂着质量分别为量分别为m1 和和m2 的物体。若的物体。若m1 m2 , 忽略轴承处的摩擦忽略轴承处的摩擦, 且绳子与滑轮间无相对滑轮且绳子与滑轮间无相对滑轮, 求滑轮的角加速度及绳子的张求滑轮的角加速度及绳子的张力力T1

17、、2 、T 3 。m2m1T2T1T3M1 R1M2 R2解：解：隔离物体分析力隔离物体分析力m1gm2gT1T1T3T3T2T2由牛顿第二定律和转动定由牛顿第二定律和转动定律可列方程如下律可列方程如下2222amTgm 1111amgmT 222223221 RMRTRT 222111 RaRa 121111321 RMRTRT 12121121RgMM)m2(m)m2(m gmMM)m)MM(T122214 11112(mm22122RgMM)m) 1122(mm2(m gmMM)m)MM(T222224 11112(mmgMM)m)MM(T22234 11112212(mmmmm当当 M

18、 1，M2 质量可以忽略时质量可以忽略时 T1= T2= T3rivimiZoi一、冲量矩一、冲量矩-力矩作用于刚体的时间累积效应力矩作用于刚体的时间累积效应21ttMdt定义定义:二、角动量定理二、角动量定理: : JL 1.刚体对转轴的角动量刚体对转轴的角动量:2. 角动量定理角动量定理:122121LLdtdtdLMdttttt dtdLM 转动物体所受合外力矩的冲量矩转动物体所受合外力矩的冲量矩,等于在这段时间内转等于在这段时间内转动物体角动量的增量。动物体角动量的增量。 - 角动量定理角动量定理5.5 5.5 角动量守恒角动量守恒角动量也称动量矩。角动量也称动量矩。例例2 一棒长一棒

19、长l，质量，质量m，其质量分布与，其质量分布与O点距离成正比点距离成正比 将细棒放在粗糙的水平面上，棒可绕将细棒放在粗糙的水平面上，棒可绕 O 点转动，如图。棒与点转动，如图。棒与桌面的摩擦系数为桌面的摩擦系数为 。求：求：(1) 细棒对细棒对 O 点的转动惯量。点的转动惯量。 (2) 细棒绕细棒绕 O 点的摩擦力矩。点的摩擦力矩。 (3) 细棒从以细棒从以0 开始转动到停止所经历的时间。开始转动到停止所经历的时间。解：解：drdm (1)取取微微元元dmrJm 2rdrlm22 drrlml3022 2024212mllmrl O0 Zdm,2 2rlm （2）细棒上距）细棒上距 O 点点

20、r 处长处长 dr 的线元所受的摩擦力：的线元所受的摩擦力：gdmdf rdfdM 对对 O点的摩擦力矩点的摩擦力矩(选选z轴方向为正）轴方向为正）:drg rdrlmg22 drrlgm222 221(1)mlJ （3）由角动量原理）由角动量原理00 JJMdtt glt 430 022132 mlmglt 有：有： MfdMM细棒绕细棒绕 O 点的摩擦力矩点的摩擦力矩:drrlgml2022 mgl 32 rdfdM drrlgm222 O0 Zdm四、角动量守恒定律四、角动量守恒定律:由角动量定理可知：由角动量定理可知：1.1.角动量守恒有两种情况角动量守恒有两种情况: :注意注意: :

21、当刚体所受合力矩为零时即当刚体所受合力矩为零时即M=0时时,其角动量其角动量 L保持守恒。保持守恒。3.3.角动量守恒定律与动量守恒定律、角动量守恒定律与动量守恒定律、 能量守恒定律一样能量守恒定律一样都是自然界的规律。都是自然界的规律。一是转动惯量与角速度都不变一是转动惯量与角速度都不变; ;二是两者都变但二者的乘积不变。二是两者都变但二者的乘积不变。恒量恒量 J（M=0时）时）2.0 iF0 iM 0 iF0 iM0 iF0 iM例：例：(i)1F2F(ii)1F2F1221LLMdttt 例例. 如图所示，在半径为如图所示，在半径为R的具有光滑竖直固定中心轴的水平的具有光滑竖直固定中心轴

22、的水平圆盘上，有一人静止站立在距转轴为圆盘上，有一人静止站立在距转轴为 处，人的质量是圆盘处，人的质量是圆盘质量的质量的1/10开始时盘载人对地以角速度开始时盘载人对地以角速度 0匀速转动，现在匀速转动，现在此人垂直圆盘半径相对于地以速率此人垂直圆盘半径相对于地以速率v沿与盘转动相反方向作沿与盘转动相反方向作圆周运动，已知圆盘对中心轴的转动惯量为圆周运动，已知圆盘对中心轴的转动惯量为 。12R212MRRv R/2人与盘视为系统，所受对转轴合外力矩人与盘视为系统，所受对转轴合外力矩为零，系统的角动量守恒（选盘开始为零，系统的角动量守恒（选盘开始转动时的方向为正方向）转动时的方向为正方向） 解：

23、解：021 ）（人人盘盘人人盘盘JJvJJR 求求 ：圆盘对地的角速度圆盘对地的角速度 221MRJ 盘盘2240141MRRmJ 人人解得：解得：Rv1020210 2224874121Ml)l(MMlJ (2) 碰前棒作平动，对碰前棒作平动，对 O 点的角动量按质心处理。故有点的角动量按质心处理。故有MlvlMvL414 解：解：(1) 细棒绕细棒绕 O 点的转动惯量点的转动惯量(3) 设碰后的角速度为设碰后的角速度为。碰撞中外力矩为零，角动量守恒，。碰撞中外力矩为零，角动量守恒， JMlv 41vl712 vlO4l例例2 光滑的水平桌面上有一个长为光滑的水平桌面上有一个长为 l，质量为

24、，质量为 M 的均匀细棒，的均匀细棒，以速度以速度v运动，与一固定于桌面上的钉子运动，与一固定于桌面上的钉子O相碰，碰后细棒绕相碰，碰后细棒绕 O 点转动，点转动，(1) 细棒绕细棒绕 O 点的转动惯量；点的转动惯量；(2) 碰前棒对碰前棒对 O 点的角动量；点的角动量；(3) 碰后棒转动的角速度碰后棒转动的角速度。求：求：所以所以dtdLM 外外复复 习：习：三、三、 角动量角动量 JL iiirmJ2 dmrJ2二、二、 转动惯量转动惯量四四、 转动定律转动定律 JM 外外六六、刚体的角动量守恒定律、刚体的角动量守恒定律常常量量。则则，若若外外 JLLM 0 0,五五、刚体的角动量原理、刚

25、体的角动量原理LdtMtt 21外外一、刚体一、刚体：在运动过程中形变可以忽略的物体。：在运动过程中形变可以忽略的物体。将刚体看成许多质量分别为将刚体看成许多质量分别为m1 、m2 mimn的质点的质点;各质点距转轴的距离分别为各质点距转轴的距离分别为 r1、r2 ri rn221iikivmE整个刚体的动能整个刚体的动能kiikEE一、一、 转动动能转动动能221JEk称刚体的转动动能称刚体的转动动能则第则第 i 个质元的动能个质元的动能 2221iirm221iiivm2221iiirm5.6 5.6 转动中的功和能转动中的功和能cPmgyE 刚体的重力势能可按质心的重力势能计算。刚体的重

26、力势能可按质心的重力势能计算。二、刚体的重力势能二、刚体的重力势能O-力矩作用于刚体的空间累积效应力矩作用于刚体的空间累积效应当力持续作用于刚体使其角位置由当力持续作用于刚体使其角位置由1到到2时时,力矩的功为力矩的功为21MdArdFdA rdF cos rdF sin Md 如图力如图力 F作用于作用于P点使刚体绕转轴转过微小角度点使刚体绕转轴转过微小角度d ,P点对应的线位移为点对应的线位移为dr, 力所作的元功力所作的元功dr三、力矩的功三、力矩的功drpF当力矩为常量时当力矩为常量时,功为功为)(12 MA对于同一转轴对于同一转轴,刚体中所有内力矩功的总和为零。刚体中所有内力矩功的总和为零。四、四、 刚体定轴转动的动能定理刚体定轴转动的动能定理则在该过程中力矩的功为：则在该过程中力矩的功为：21MdA即即,合外力矩对刚体做定轴转动所作的功合外力矩对刚体做定轴转动所作的功,等于刚体等于刚体转动动能的增量转动动能的增量-刚体定轴转动的动能定理刚体定轴转动的动能定理 设刚体初始时的角位置和角速度分别为设刚体初始时的角位置和角速度分别为1和和1，末态的末态的角位置和角速度分别为角位置和角速度分别为2和和2,21dJ2