概率论第六章ppt课件

1、 前面五章我们讲述了概率论的根本内容 ，随后的三章将讲述数理统计数理统计是具有广泛运用的一个数学分支，它以概率论为实际根底，根据实验或察看得到的带有随机性的数据，来研讨随机景象，对研讨对象的客观规律性作出种种合理的估计和判别 数理统计的内容包括：如何搜集、整理数据资料；如何对所得的数据资料进展分析、研讨，从而对所研讨的对象的性质、特点作出推断后者就是我们所说的统计推断问题。本书只讲述统计推断的根本内容。第六章我们引见总体、随机样本及统计量等根本概念，并着重引见几个常用统计量及抽样分布第六章 样本及抽样分布第一节 总体与样本第二节 直方图第三节 抽样分布第一节第一节 总体与样本总体与样本一、总体

2、和表征总体的随机变量一、总体和表征总体的随机变量 例如例如 研讨某企业消费的一批电视机显象管的平研讨某企业消费的一批电视机显象管的平均运用寿命，那么这一批显象管的全体就组成一均运用寿命，那么这一批显象管的全体就组成一个总体，其中每一只显象管就是一个个体。个总体，其中每一只显象管就是一个个体。总体总体研讨对象的全体研讨对象的全体个体个体每一个对象每一个对象例如例如 研讨某大学一年级学生的身高情况，这时一研讨某大学一年级学生的身高情况，这时一年级大学生的全体就是总体；每个大学生就是一年级大学生的全体就是总体；每个大学生就是一个个体。个个体。 某工厂某工厂10月份消费的灯泡寿命所组成的月份消费的灯泡

3、寿命所组成的总体中总体中, 个体的总数就是个体的总数就是10月份消费的灯泡数月份消费的灯泡数, 这是一个有限总体这是一个有限总体; 而该工厂消费的一切灯泡寿而该工厂消费的一切灯泡寿命所组成的总体是一个无限总体命所组成的总体是一个无限总体, 它包括以往消它包括以往消费和今后消费的灯泡寿命费和今后消费的灯泡寿命.有限总体和无限总体有限总体和无限总体例如例如 当有限总体包含的个体的当有限总体包含的个体的总数很大时总数很大时, 可近似地将它看可近似地将它看成是无限总体成是无限总体. 在实践中我们真正所关怀的是总体的某种数在实践中我们真正所关怀的是总体的某种数量目的，例如显象管的寿命目的量目的，例如显象

4、管的寿命目的X，学生的身高，学生的身高目的目的Y，它们都是，它们都是r.v.意思是：从中任取一只显意思是：从中任取一只显象管，其寿命是不能预先确定的，可看作是象管，其寿命是不能预先确定的，可看作是X的的能够取值。称这样的能够取值。称这样的r.v.为表征总体的随机变为表征总体的随机变量。量。 为了方便起见，我们就将表征总体的随机变为了方便起见，我们就将表征总体的随机变量的一切能够取值的全体看作总体。量的一切能够取值的全体看作总体。假设假设X的分布函数为的分布函数为F(x)，那么称总体的分布函数为，那么称总体的分布函数为F(x) 。总体总体 r.v.XY二、样本二、样本 对总体进展研讨时，对总体中

5、每个个体逐一对总体进展研讨时，对总体中每个个体逐一进展调查，这在实践中往往是行不通的，一是实进展调查，这在实践中往往是行不通的，一是实验具有破坏性，二是需破费大量的人力物力；验具有破坏性，二是需破费大量的人力物力； 常用的方法是：从总体中随机地抽取假设干常用的方法是：从总体中随机地抽取假设干个个体，根据对这部分个体的研讨结果推断总体个个体，根据对这部分个体的研讨结果推断总体某方面的特征。某方面的特征。 定义定义 从总体从总体X X中随机地抽取中随机地抽取n n个个体，称之为个个体，称之为总体总体X X的一个样本容量为的一个样本容量为n n的样本。的样本。 假设抽样满足下述两个条件：1随机性 为

6、了使样本具有充分的代表性，抽样必需是随机的，应使总体中的每一个个体都有同等的时机被抽取到 。2独立性 各次抽样必需是相互独立的，即每次抽样的结果既不影响其它各次抽样的结果，也不受其它各次抽样结果的影响。 这种随机的、独立的抽样方法称为简单随机抽样，由此得到的样本称为简单随机样本今后，凡是提到抽样与样本，都是指简单随机抽样与简单随机样本。从总体中抽取假设干个个体的过程称为抽从总体中抽取假设干个个体的过程称为抽样样例如例如 总体总体X是一批显象管的运用寿命，现从总是一批显象管的运用寿命，现从总体体X中抽取中抽取n个显象管，个显象管， Xi表示抽到的第表示抽到的第i个显象个显象管的运用寿命，管的运用

7、寿命，i=1, 2, ,n ；由于抽取的随机性，；由于抽取的随机性，显然，每一个显然，每一个Xi 都是随机变量，并且有着和总体都是随机变量，并且有着和总体X一样的分布。另外，由于抽取的独立性，一样的分布。另外，由于抽取的独立性， 相互独立。相互独立。nXXX,21记记 为总体为总体X的一个样本容量为的一个样本容量为n的样本。的样本。其中其中Xi表示第表示第i个个体的某个数量目的，是一个个个体的某个数量目的，是一个r.v.。且且 独立同分布与总体独立同分布与总体X同分布。同分布。nXXX,21nXXX,21 从总体从总体X中抽取一个个体，就是对中抽取一个个体，就是对X进展一次实进展一次实验或观测

8、，得到一个实验数据或观测值。验或观测，得到一个实验数据或观测值。因此对于一次详细的抽样观测结果，我们将得到一因此对于一次详细的抽样观测结果，我们将得到一组数据，记作组数据，记作 ，称之为样本的一次观，称之为样本的一次观测值样本值。测值样本值。nxxx,21例如例如 从某厂消费的显象管中随机抽取从某厂消费的显象管中随机抽取10个显象管，个显象管，测得寿命如下单位千小时：测得寿命如下单位千小时：4.8，3.4，5.2，4.7，5.5，4.2，4.5，3.9，5.0， 4.9 这十个数据就是样本容量为这十个数据就是样本容量为10的样本的样本 的一组观测值的一组观测值 。1021,XXX1021,xx

9、x假设将样本假设将样本 , , 看作是一看作是一n维随机维随机变变量量 ,那么那么 (1)当总体当总体 是离散型随机变量是离散型随机变量,假设记其分假设记其分布律为布律为 ,那么样本那么样本的结合分布律为：的结合分布律为： 1X2XnX nXXX,21 )(xfxXP nXXX,21X niinnnnnnxfxfxfxfxXPxXPxXPxxxfxXxXxXP1212211212211)()()()(,),(记记作作(1)(2)当总体当总体 是延续型随机变量是延续型随机变量,且具有概率且具有概率密度函数密度函数 时时 ,那么样本那么样本 的的结合概率密度为结合概率密度为 xf nXXX,21

10、niinnxfxfxfxfxxxf12121)(,X(2).),(,),( ,) 0(2121的的概概率率密密度度求求样样本本是是来来自自总总体体的的样样本本布布的的指指数数分分服服从从参参数数为为设设总总体体nnXXXXXXX 解解的概率密度为的概率密度为总体总体 X , 0, 0, 0,e1)(xxxfx 的概率密度为的概率密度为所以所以),( 21nXXX)(),(121 niinxfxxxf ., 0, 0,e111其其他他ixnxnii 例例1 1 ., 0, 0,111其他其他ixnixei .),(,),(, 10), 1(2121的分布律的分布律求样本求样本是来自总体的样本是来

11、自总体的样本其中其中服从两点分布服从两点分布设总体设总体nnXXXXXXppBX 解解的分布律为的分布律为总体总体 X nixxiipp11)1()1, 0( k的分布律为的分布律为所以所以),( 21nXXX例例2 2)(),(121 niinxfxxxf niiniixnxpp11)1(.1 , 0,21中中取取值值在在集集合合其其中中nxxxkkppkXP 1)1(一、频数与频率分布表一、频数与频率分布表 数据的采集：从总体中随机地抽取一个样本，对样数据的采集：从总体中随机地抽取一个样本，对样本进展一次观测，得到一组数据。本进展一次观测，得到一组数据。例例 从某地一次数学统测的成果中，随

12、机抽从某地一次数学统测的成果中，随机抽取取30个学生的成果如下：个学生的成果如下： 90 77 71 96 68 61 83 74 80 87 88 76 73 83 63 81 94 82 78 88 76 82 77 79 91 72 71 66第二节 直方图v 排序从小到大；排序从小到大；v 63 66 68 71 71 72 73 74 76v 77 77 78 79 80 81 82 82 83 v 83 85 87 88 88 90 91 94 95 96 1找出最大值，最小值，并计算极差找出最大值，最小值，并计算极差R； R=最大值最大值-最小值最小值=96-61=35。 极差极

13、差R反映了数据动摇的幅度。反映了数据动摇的幅度。2对数据进展分组等区间分组，确定分组对数据进展分组等区间分组，确定分组 的个数的个数k；选取适当的区间长度组距；选取适当的区间长度组距d；n=30，取，取k=6，那么，那么 。6635kRd3确定各组的上、下限每组不含上限；确定各组的上、下限每组不含上限；4列表得各组的组频数；列表得各组的组频数； 数出数据落入各个组区间中的个数。数出数据落入各个组区间中的个数。5计算各组的组频率。计算各组的组频率。组频率组频率=组频数组频数数据总数数据总数得到频率分布表得到频率分布表组号组区间组频数组频率60.5-66.5 0.166.572.5 0.13372

14、.578.5 0.23378.584.5 0.23394.590.5 0.16690.596.5 0.133总计301表表1二、频数与频率直方图二、频数与频率直方图 在平面坐标上，在平面坐标上，x x轴表示所调查的变量，轴表示所调查的变量，y y轴表轴表示频数，示频数， 以表以表1 1为例，在横轴上标出为例，在横轴上标出6 6个等长的区个等长的区间，在纵轴上标出频数，以区间组距为底边，各组间，在纵轴上标出频数，以区间组距为底边，各组的组频数为高作矩形，就得到了频数直方图。的组频数为高作矩形，就得到了频数直方图。假设假设y轴取为组频率，按上述方法就得到了频率直方轴取为组频率，按上述方法就得到了频

15、率直方图图v频数直方图与频率直方图外形类似；频数直方图与频率直方图外形类似；v对于延续型对于延续型r.v.r.v.，频率直方图可作为其概率密度，频率直方图可作为其概率密度函函 数曲线的一种近似。数曲线的一种近似。阐明阐明第三节第三节 抽样分布抽样分布一、根本概念一、根本概念二、常见分布二、常见分布一、根本概念一、根本概念1. 统计量的定义统计量的定义.),( ,),(,21212121计计量量是是一一个个统统则则称称不不含含未未知知参参数数中中若若的的函函数数是是的的一一个个样样本本是是来来自自总总体体设设nnnnXXXggXXXXXXgXXXX.),(),(,21212121的观察值的观察值

16、是是则称则称的样本值的样本值是相应于样本是相应于样本设设nnnnXXXgxxxgXXXxxx?,),(,22321哪哪些些不不是是统统计计量量判判断断下下列列各各式式些些是是为为未未知知为为已已知知其其中中样样本本的的一一个个是是来来自自总总体体设设 NXXXX,11XT ,3212XeXXT ),(313213XXXT ),max(3214XXXT ,2215 XXT).(123222126XXXT 是是不是不是例例1.27 XT2. 几个常用统计量的定义几个常用统计量的定义.,2121是是这这一一样样本本的的观观察察值值是是来来自自总总体体的的一一个个样样本本设设nnxxxXXX(1)样本

17、平均值样本平均值;11 niiXnX(2)样本方差样本方差 niiXXnS122)(11.11122 niiXnXn.11 niixnx其察看值其察看值其察看值其察看值 niixxns122)(11.11122 niixnxn(3)样本规范差样本规范差 ;11122 niiXXnSS其察看值其察看值.)(1112 niixxns例例2 2 从某高校一年级男生中恣意抽取从某高校一年级男生中恣意抽取1212名，测得他们的名，测得他们的身高如下单位：身高如下单位：cmcm：171171，165165，174174，175175，168168，164164，173173，178178，168168，1

18、70170，172172，173173试估计该年级男生的平均身高，并估计其方差和规范差试估计该年级男生的平均身高，并估计其方差和规范差解：解：92.170)173174165171(121xnixnxnsi12221199.1692.17012173165171111222212. 42ss3. 阅历分布函数阅历分布函数. )( 分分布布函函数数相相应应的的统统计计量量称称为为经经验验总总体体分分布布函函数数xF阅历分布函数的做法如下阅历分布函数的做法如下:, 21的的一一个个样样本本是是总总体体设设FXXXn, , )( )( 21的随机变量的个数的随机变量的个数于于中不大中不大表示表示用用

19、xXXXxxSn )( 为为定义经验分布函数定义经验分布函数xFn)( ),(1)( xxSnxFn也称样本分布函数也称样本分布函数 . )( ,的的观观察察值值容容易易求求得得对对于于一一个个样样本本值值xFn ) . )( )(表示表示的观察值仍以的观察值仍以xFxFnn例例3 , 3 , 2 , 1 具具有有一一个个样样本本值值设设总总体体 F )( 3的观察值为的观察值为则经验分布函数则经验分布函数xF . 3, 1, 32,32, 21,31, 1, 0)(3xxxxxF例例4 , 2 , 1 , 1 具具有有一一个个样样本本值值设设总总体体 F )( 3的观察值为的观察值为则经验分

20、布函数则经验分布函数xF . 2, 1, 21,32, 1, 0)(3xxxxF普通地，普通地，,21样样本本值值的的一一个个容容量量为为是是总总体体设设nFxxxn , , 21按自小到大的次序排列按自小到大的次序排列先将先将nxxx,并重新编号并重新编号,)()2()1(nxxx )( 的的观观察察值值为为则则经经验验分分布布函函数数xFn ., 1, 0)()()1()()1(nkknxxxxxnkxxxF样本分布函数样本分布函数 的图形如下图的图形如下图 xFn 可作为总体分布函数的一个近似，可作为总体分布函数的一个近似，n n越越大，近似得越好大，近似得越好 。)(xFn例例二、三个

21、重要分布二、三个重要分布).(,)1, 0(,22222221221nnXXXNXXXnn 记记为为分分布布的的服服从从自自由由度度为为则则称称统统计计量量的的样样本本是是来来自自总总体体设设 .:222212变变量量的的个个数数中中右右端端包包含含独独立立指指自自由由度度nXXX 统计量的分布称为抽样分布统计量的分布称为抽样分布. .分布分布2 1.分布的概率密度为分布的概率密度为)(2n .00,e)2(21)(2122其其他他yynyfynn.)(2图图分布的概率密度曲线如分布的概率密度曲线如n ).(,),(),(2122221222122221221nnnn 则则独独立立并并且且设设

22、分分布布的的性性质质2 性质性质1 1)(2分分布布的的可可加加性性 ( 此性质可以推行到多个随机变量的情形此性质可以推行到多个随机变量的情形. ).(,), 2, 1(),(21212222mmiiiiinnnmin 则则独立独立相互相互并且并且设设性质性质2 2.2)(,)(),(2222nDnEn 则则若若证明证明),1, 0( NXi因为因为, 1)()(2 iiXDXE所所以以2242)()()(iiiXEXEXD , 213 ., 2, 1ni niiXEE122)( 故故 niiXE12)(,n niiXDD122)( niiXD12)(.2n )(2分布的数学期望和方差分布的数

23、学期望和方差 分布的分位点分布的分位点 2 .)()(d)()(, 10,22)(222分位点分位点分布的上分布的上为为的点的点称满足条件称满足条件对于给定的正数对于给定的正数 nnyyfnPn .,分位点的值分位点的值得上得上可以通过查表求可以通过查表求对于不同的对于不同的 n)8(205. 01 )10(2975. 0 ,507.15 ,247. 3 例例1例例2 设设)8(22 ，试确定，试确定 的值，使之满足：的值，使之满足：21, 2212()0.05,()0.05.PP解解)8(295. 02 ,733. 2 20.1(25)34.381).(,/,),(),1, 0(2ntttn

24、nYXtYXnYNX记为记为分布分布的的服从自由度为服从自由度为则称随机变量则称随机变量独立独立且且设设 t 分布又称学生氏分布又称学生氏(Student)分布分布. tntnnnthn,1221)(212 分分布布的的概概率率密密度度函函数数为为)(nt分布分布t2.图图分分布布的的概概率率密密度度曲曲线线如如t.0对称的对称的显然图形是关于显然图形是关于 t当当 n 充分大时充分大时, 其其图形类似于规范正图形类似于规范正态变量概率密度的态变量概率密度的图形图形.,e21)(lim22tnth 因为因为,)1 , 0(分布分布分布近似于分布近似于足够大时足够大时所以当所以当Ntn.)1 ,

25、 0(,分分布布相相差差很很大大分分布布与与但但对对于于较较小小的的Ntn.)()(d)()(, 10,)(分位点分位点分布的上分布的上为为的点的点称满足条件称满足条件对于给定的对于给定的 ntnttthnttPnt .分位点的值分位点的值得上得上可以通过查表求可以通过查表求 由分布的对称性知由分布的对称性知).()(1ntnt .)(,45 zntn 时时当当分布的分位点分布的分位点 t)10(05. 0t,8125. 1 )15(975.0t.1315. 2 例例3例例4 设设)14( tT，试确定，试确定 的值，使之满足：的值，使之满足：21, .95. 0)|(|,05. 0)(21

26、TPTP)14(05. 01t ,7613. 1 解解,1448. 2 025. 0205. 0)(2 TP)14(025. 02t ).,(,),(/,),(),(2121212212nnFFFnnnVnUFVUnVnU记记为为布布分分的的服服从从自自由由度度为为随随机机变变量量则则称称独独立立且且设设 分布分布F3.根据定义可知根据定义可知,).,(1),(1221nnFFnnFF则则若若分分布布的的概概率率密密度度为为),(21nnF ., 0, 0,1222)(2212112221212111其他其他ynynnnynnnnynnnn 曲线如图曲线如图分布的概率密度分布的概率密度F分布的

27、分位点分布的分位点F.),(),(d)(),(, 10,2121),(2121分位点分位点分布的上分布的上为为的点的点称满足条件称满足条件对于给定的对于给定的 nnFnnFyynnFFPnnF )8 , 7(025. 0F)30,15(05. 0F,53. 4 .01. 2 例例5:分分位位点点具具有有如如下下性性质质分分布布的的上上 F.),(1),(12211nnFnnF )9 , 21(59 . 0F)12, 9(105. 0F 80. 21 .357. 0 例例6 设总体设总体X不论服从什么分布，只需均值和方不论服从什么分布，只需均值和方差存在的均值为差存在的均值为 ，方差为，方差为 ， 是来自总体是来自总体X的样本，的样本， 分别是样本均值和样分别是样本均值和样本方差，那么有本方差，那么有nXXX,21 niiniiXEnXnEXE1111nnnXDnXnDXDniinii2221211)(1)1()( 2 2, SX22)( SE结论结论22221111()() 11nniiiiE SEXXEXnXnn2211()()1niiE XnE Xn222221 ()()1nnnn定理一定理一21222222222122221,( ,),(1)X(,) ,(0,1);(1)