21_充分条件与必要条件_基础

1、1.21充分条件与必要条件【学习目标】1 .理解充分条件、必要条件、充要条件的定义；2 .会求某些简单问题成立的充分条件、必要条件、充要条件；3 .会应用充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件表达命题之间的关系4 .能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要性的证明【要点梳理】要点一、充分条件与必要条件充要条件的概念符号pnq与pnq的含义若p,则q为真命题，记作：p=q;若p,则q”为假命题，记作：pTq.充分条件、必要条件与充要条件若pnq,称p是q的充分条件，q是p的必要条件.如果既有p=q,又有qnp,就记作puq,这时p是q的充分必要条件，称p是q的充要条件

2、要点诠释：对pnq的理解：指当p成立时，q一定成立，即由p通过推理可以得到q.若p,则q为真命题；p是q的充分条件；q是p的必要条件以上三种形式均为“pnq”这一逻辑关系的表达.要点二、充分条件、必要条件与充要条件的判断从逻辑推理关系看命题若p,则q，其条件p与结论q之间的逻辑关系若p=q,但qVp,则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件；若p=q,但q=p,则p是q的必要不充分条件，q是p的充分不必要条件；若p=q,且q=p,即puq,则p、q互为充要条件；若p=fq,且q4p,则p是q的既不充分也不必要条件.从集合与集合间的关系看若p：xCA,q:xCB,若AB,则p是q的充分条

3、件，q是p的必要条件；若A是B的真子集，则p是q的充分不必要条件；若A=B，则p、q互为充要条件；若A不是B的子集且B不是A的子集，则p是q的既不充分也不必要条件.要点诠释：充要条件的判断通常有四种结论：充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件.判断方法通常按以下步骤进行：确定哪是条件，哪是结论；尝试用条件推结论，再尝试用结论推条件，最后判断条件是结论的什么条件.要点三、充要条件的证明要证明命题的条件是结论的充要条件，既要证明条件的充分性(即证原命题成立)，又要证明条件的必要性(即证原命题的逆命题成立)要点诠释：对于命题若p,则q”如果p是q的充分条件，则原命题若p,则q

4、”与其逆否命题若q,则p”为真命题；如果p是q的必要条件，则其逆命题若q,则p”与其否命题若p,则q为真命题；如果p是q的充要条件，则四种命题均为真命题.【典型例题】类型一：充分条件、必要条件、充要条件的判定(1) 指出下列各题中，p是q的什么条件？(2) p：(x2)(x3)=0,q:x=2；2(3) p：c=0,q：抛物线y=ax+bx+c过原点(4) p：一个四边形是矩形，q：四边形的邻边相等【解析】(1) p：x=2或x=3,q：x=2p=fq且q=p,.1-p是q的必要不充分条件；(2) /p=q且q=p,，p是q的充要条件；(3) ;pq且q。p,p是q的既不充分条件也不必要条件.

5、【总结升华】判定充要条件的基本方法是定义法，即定条件一一找推式一一下结论”有时需要将条件等价转化后再判定.举一反三：【变式1】指出下列各题中，p是q的什么条件？(1)p:/A=/B,q:/A和/B是对顶角.2p：x=1,q：x=1；p是q的必要不充分条件，q是p的充分不必要条件(2) .q：x2=1：=x=1或乂-1，x=1=x2=1,但x2=1nx=1,p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件【变式2】判断下列各题中p是q的什么条件.(1) p：a0且b0,q：ab0xp:1,q：xy.y【答案】(2) p是q的充分不必要条件.a0且b0时，ab0成立；反之，当ab0时，只要求a、b同

6、号即可.，必要性不成立.(3) p是q的既不充分也不必要条件x:一:1在y0的条件下才有xy成立.y，充分性不成立，同理必要性也不成立例2.已知p:0x3,q:|x-1|2,贝Up是q的()(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件【解析】q:|x-1|2,解得-1x3,亦即q：-1x2的一个必要不充分条件为()A.x1B.x：二1C.x3D.x：二3【答案】A【变式2】(2015天津文)设xCR,则“1vx2”是“|x2|V1”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】由|x2|v1=1vx21=-1x0【

7、解析】(1)充分性：若xy=0,那么x=0,yWQxWQy=0；x=0,y=0,于是|x+y|=|x|+|y|如果xy0,即x0,y0或x0,y0,y0时，|x+y|=x+y=|x|+|y|.当x0,y0综上可得|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是xyQ【总结升华】充要条件的证明关键是根据定义确定哪是已知条件，哪是结论，然后搞清楚充分性是证明哪一个命题，必要性是证明哪一个命题.判断命题的充要关系有三种方法：(1)定义法；(2)等价法，即利用AnB与一AnB；A-B与一Au-B的等价关系，对于条件或结论是不等关系(否定式)的命题，一般运用等价法(3)利用集合间的包含关系判断，若AGB,则A

8、是B的充分条件或B是A的必要条件；若A=B,则A是B的充要条件.举一反三：【变式1】已知a,b,c都是实数，证明ac0是关于x的方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根的充要条件.【答案】(1)充分性：若ac0,方程ax2+bx+c=0有两个相异实根，设为xi,X2,cac0,.xix2=c0,x20,c贝Uxix2=0,ac0a综上可得ac0是方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根的充要条件.【变式2】求关于x的方程ax2+2x+i=0至少有一个负的实根的充要条件.【答案】(i)a=0时适合.(2)当awo时，显然方程没有零根，若方程有两异号的实根，则必须满足:二0二4一4a0若方

9、程有两个负的实根，则必须满足a2-：0a:=44a_0综上知，若方程至少有一个负的实根，则a|反之，若al,则方程至少有一个负的实根，因此，关于x的方程ax2+2x+i=0至少有一个负的实根的充要条件是al类型三：充要条件的应用例4.已知p：A=xCR|x2+ax+i0,q：B=xCR|x2-3x+20若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围.【解析】B=xCR|x2-3x+20=x|iWW2,p是q的充分不必要条件，pnq,即AB,可知A=0或方程x2+ax+i=0的两根要在区间i,2内正:0a2i一一2A=a240或-2一，得24W2.42ai_0iai_0【总结升华】解决这类参数的取

10、值范围问题，应尽量运用集合法求解，即先化简集合A、B,再由它们的因果关系，得到A与B的包含关系，进而得到相关不等式组，解之即可举一反三：【变式i】已知命题p：icx0),命题q:x7或xi,并且p是q的既不充分又不必要条件，则c的取值范围是.【答案】0c2【解析】命题p对应的集合A=x|icx0,同理，命题q对应的集合B=x|x7或xi.因，一，、，、，,一，一一，i-c-i为p是q的既不充分又不必要条件，所以AcB=0或A不是B的子集且B不是A的子集，所以，ic7,、ic_-i或W，解得c0,综上所述得0cW2.i-c_7x-i22【变式2】已知p：|i-|0),右p是q的充分不必要条件，求

11、m的取值氾围.【答案】m-9【解析】由x2-2x+i-m2E0(m0)解得i一mExEi+m又由|i152解得2xi0p是q的充分不必要条件，所以m0m0imW2,或ii-m4”是a2且b2”的()A.充分非必要条件B,必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件4 .b=c=0是二次函数y=ax2+bx+c的图象经过原点的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5 .(2016四川理)已知直线a,b分别在两个不同的平面”，3内.则直线a和直线b相交”是平面“和平面3相交”的(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条

12、件6 .(2016天津理)设an是首项为正数的等比数列，公比为q,则q0”是对任意的正整数n,a2n-i+a2nb,cd”是看一cbd”的.10 .函数f(x)=ax2+bx+c(aw0的图象关于y轴对称的充要条件是.三、解答题11 .下列各题中，p是q的什么条件？(1)p：x=1;q：x1=Vx-1.(2)p：1x5q：xA1且xw5.(3)p：三角形是等边三角形；q：三角形是等腰三角形.12 .(1)写出|x|-1的一个必要不充分条件；(3)写出-2的一个充要条件x13 .已知p:x2-8x-200,q:x2-2x+1-a20,若p是q的充分而不必要条件，求正实数a的取值范围.14,不等式

13、x2-2mx-10对一切1aW3都成立，求m的取值范围.15 .证明：方程ax2+bx+c=0有一为1的充要条件是a+b+c=0.【答案与解析】1 .【答案】C.【解析】由题意A?C,则？uC?uA,当B?uC,可得AAB=?”；若AAB=?”能推出存在集合C使得A?C,B?uC,，U为全集，A,B是集合，则存在集合C使得A?C,B?uC是“AA养？”的充分必要的条件.故选：C.2 .【答案】A3 解析】a|_b=|a|_|b|cos,由已知得cosa,b*1,即=0,a/b.而当ab时,4 4.*,444-JJ-L.一JA一一4,但a2且b2不成立，即充分性不成立，若a2且b2,则必有a+b

14、4,即必要性成立，故a+b4”是a2且b2”的必要不充分条件，故选：B.4 .【答案】A【解析】若b=c=0,则二次函数y=ax2+bx+c=ax2经过原点，若二次函数y=ax2+bx+c过原点，则c=0,故选A.5 .【答案】A【解析】直线a与直线b相交，则o(,P一定相交，若口，P相交则a,b可能相交，也可能平行，故选A.6 .【答案】C【解析】由题意得，a2ni+a2n0=a1(q2n/+q2n,)0二q2,(q+1)0且b24ac0a0且b24ac08 .【答案】充分不必要【解析】点Pn(n,an)都在直线y=2x+1上，即an=2n+1,an为等差数列，但是an是等差数列却不一定就是

15、an=2n+1.9 .【答案】(1)必要不充分条件(2)充分不必要条件(3)既不充分也不必要条件10 .【答案】b=0【解析】f(x)关于y轴对称？2=0Ub=0.2a11 .【解析】(1)充分不必要条件当x=1时，x-1=Jx-1成立；当x1=Jx1时,x=1或x=2.(2)充要条件1x1且x5.(3)充分不必要条件等边三角形一定是等腰三角形，而等腰三角形不一定都是等边三角形.12.【解析】(1)此题为开放题，只要写出3-2今-1的集合即可，如x|x-2即x-2.1(3)0x0,得p:A=x|x10或x0,得q:B=x|x1+a或x1-a,a0依题意，p=q且q#p,说明AuB,a0于是有彳1+a10且等号不同时成立，解得：0aw3,1-a-2，正实数a的取值范围是00对一切1虫w堵B成立，只需f(x)=x2-2mx-1在1,3上的最小值大于0即可.(1)当mwi时,f(x)在1,3上是增函数,f(x)min=f(1)=-2m0,解得m0,又mWJ,/.m3时，f(x)在1,3上是减函数