数学建模评价模型方法学习教案

1、数学建模评价模型数学建模评价模型(mxng)方法方法第一页，共48页。 实际中大量信息或海量信息对应着大量的数实际中大量信息或海量信息对应着大量的数据或海量数据，从这些数据中寻求所需要的问题据或海量数据，从这些数据中寻求所需要的问题答案答案-数据建模问题。数据建模问题。 通过实际对象过去或当前的相关信息，主要通过实际对象过去或当前的相关信息，主要研究两个方面问题：研究两个方面问题： （ 1 1 ） 分 析 研 究 实 际 对 象 所 处 的 状 态） 分 析 研 究 实 际 对 象 所 处 的 状 态(zhungti)(zhungti)和特征等，依此做出评价和决策；和特征等，依此做出评价和决策

2、； （2 2）分析预测实际对象未来的变化状况和趋）分析预测实际对象未来的变化状况和趋势等，为科学决策提供依据。势等，为科学决策提供依据。 数据(shj)处理与数据(shj)建模方法第1页/共48页第二页，共48页。 1. 一般一般(ybn)数据建模问题的提出数据建模问题的提出 2. 数据处理的一般数据处理的一般(ybn)方法方法 3. 数据建模的综合评价方法数据建模的综合评价方法 4. 数据建模的动态加权方法数据建模的动态加权方法 . 数据建模的综合排序方法数据建模的综合排序方法 . 数据建模的预测方法数据建模的预测方法 第2页/共48页第三页，共48页。实际对象实际对象(duxing)(du

3、xing)都客观存在一些相关的数据信息；都客观存在一些相关的数据信息；如何综合利用这些相关信息给出综合评价结果、制定决如何综合利用这些相关信息给出综合评价结果、制定决策方案，或预测未来？策方案，或预测未来？这类问题都归结为信息综合利用与评价问题。这类问题都归结为信息综合利用与评价问题。 一般一般(ybn)问题：问题：什么是综合什么是综合(zngh)评价与综合评价与综合(zngh)评价问题呢？评价问题呢？ 一、一般数据建模问题的提出一、一般数据建模问题的提出第3页/共48页第四页，共48页。 依据相关信息对被评价的对象所依据相关信息对被评价的对象所进行的客观、公正、合理的全面评价。进行的客观、公

4、正、合理的全面评价。 如果把被评价对象视为系统，则综合评价如果把被评价对象视为系统，则综合评价问题：在若干个问题：在若干个(同类同类(tngli)系统中，如何确系统中，如何确定哪个系统的运行定哪个系统的运行(或发展或发展)状况好，哪个状况状况好，哪个状况差？即哪个优，哪个劣？差？即哪个优，哪个劣？ 一类多属性一类多属性(或多指标或多指标)的综合评价问题。的综合评价问题。综合综合(zngh)评价：评价： 一、一般(ybn)数据建模问题的提出第4页/共48页第五页，共48页。综合评价是科学、合理决策的前提。综合评价是科学、合理决策的前提。综合评价的基础是信息的综合利用综合评价的基础是信息的综合利用

5、(znghlyng)(znghlyng)。综合评价的过程是数据建模的过程。综合评价的过程是数据建模的过程。数据建模的基础是数据的标准化处理。数据建模的基础是数据的标准化处理。 一、一般数据(shj)建模问题的提出如何构成一个综合评价如何构成一个综合评价(pngji)问题呢？问题呢？第5页/共48页第六页，共48页。综合评价综合评价(pngji)(pngji)问题的五个要素：问题的五个要素： 一、一般(ybn)数据建模问题的提出第6页/共48页第七页，共48页。 （2）评价指标）评价指标(zhbio) 它是反映被评价对象它是反映被评价对象(系统系统)的运行状况的基本要素。的运行状况的基本要素。

6、通常问题都有多项指标通常问题都有多项指标(zhbio)构成，每一项指标构成，每一项指标(zhbio)都是从不同的侧面刻画系统所具有某种特征大小的都是从不同的侧面刻画系统所具有某种特征大小的一个度量。一个度量。 所有的评价指标所有的评价指标(zhbio)一起称为综合评价的指标一起称为综合评价的指标(zhbio)体系。体系。 原则原则:系统性、科学性、可比性、可测性和独立性。系统性、科学性、可比性、可测性和独立性。 综合评价综合评价(pngji)(pngji)问题的五个要素问题的五个要素 第7页/共48页第八页，共48页。综合综合(zngh)(zngh)评价问题的五个要素评价问题的五个要素 （3

7、3）权重系数）权重系数 针对每一综合评价问题针对每一综合评价问题(wnt)(wnt)不同的不同的评价目的，各评价指标之间的相对重要性是评价目的，各评价指标之间的相对重要性是不同的。不同的。 权重系数权重系数: :用来刻画评价指标之间相对用来刻画评价指标之间相对重要性的大小。重要性的大小。第8页/共48页第九页，共48页。综合评价综合评价(pngji)(pngji)问题的五个要素问题的五个要素 （4 4）综合评价模型）综合评价模型 通过建立合适的综合评价数学模型将多个评价指标综合通过建立合适的综合评价数学模型将多个评价指标综合成为一个成为一个(y )(y )整体的综合评价指标，即得到相应的综合整

8、体的综合评价指标，即得到相应的综合评价结果。评价结果。第9页/共48页第十页，共48页。综合评价综合评价(pngji)(pngji)问题的五个要素问题的五个要素 （5 5）评价者）评价者 评价者是直接参与评价的人，可以是某一个人，评价者是直接参与评价的人，可以是某一个人，也可以是一个团体。也可以是一个团体。 对于评价目的选择、评价指标体系确定、权重系对于评价目的选择、评价指标体系确定、权重系数的确定和评价模型数的确定和评价模型(mxng)(mxng)的建立都与评价者有关。的建立都与评价者有关。 第10页/共48页第十一页，共48页。 确定指标 初始值 计算综合 评价指标 对nsss,21进行综

9、合评价 排 序 或分类 ? 明 任 确 务 明 目 确 的 确定评价指标 规范化指标mxxx,21 指 预 标 处 的 理 权 重 系 数mwww,21 确 系 定 数 权 综合评价指标),( wxfy 选 价 择 模 评 型 依 指 标nyyy,21对nsss,21排序或分类 综合评价过程综合评价过程(guchng)的流程的流程第11页/共48页第十二页，共48页。 二、数据处理的一般(ybn)方法 1. 数据类型的一致化处理数据类型的一致化处理(chl)方法方法 极大型极大型: :期望取值越大越好；期望取值越大越好； 极小型极小型: :期望取值越小越好；期望取值越小越好； 中间中间(zhn

10、gjin)(zhngjin)型型: :期望取值既不要太大，也不期望取值既不要太大，也不要太小为好，即取适当的中间要太小为好，即取适当的中间(zhngjin)(zhngjin)值为最好值为最好; ; 区间型区间型: :期望取值最好是落在某一个确定的区间内期望取值最好是落在某一个确定的区间内为最好。为最好。 什么是一致什么是一致化处理化处理?为为什么要一什么要一致化致化?第12页/共48页第十三页，共48页。 二、数据处理的一般(ybn)方法 1. 数据类型的一致化处理数据类型的一致化处理(chl)方法方法 第13页/共48页第十四页，共48页。 二、数据处理的一般(ybn)方法 1. 数据类型的

11、一致化处理数据类型的一致化处理(chl)方方法法 第14页/共48页第十五页，共48页。 2. 数据指标的无量纲化处理数据指标的无量纲化处理(chl)方法方法 常用方法常用方法: 标准差法、极值差法和功效标准差法、极值差法和功效(gngxio)系数系数法等。法等。 二、数据处理的一般(ybn)方法第15页/共48页第十六页，共48页。 二、数据处理的一般(ybn)方法 2. 数据数据(shj)指标的无量纲化处理方法指标的无量纲化处理方法 (1) 标准差方法标准差方法(fngf) 第16页/共48页第十七页，共48页。 二、数据处理的一般(ybn)方法 2. 数据指标数据指标(zhbio)的无量

12、纲化处理的无量纲化处理方法方法 (2) 极值极值(j zh)差方法差方法 第17页/共48页第十八页，共48页。 二、数据处理的一般(ybn)方法 2. 数据指标的无量纲化处理数据指标的无量纲化处理(chl)方法方法 () 功效功效(gngxio)系数方法系数方法 第18页/共48页第十九页，共48页。 二、数据处理的一般(ybn)方法 3. 定性指标的量化处理定性指标的量化处理(chl)方法方法 在社会实践中，很多问题都涉及在社会实践中，很多问题都涉及(shj)(shj)到定性到定性因素因素( (指标指标) )的定量处理问题。的定量处理问题。 诸如诸如: :教学质量、科研水平、工作政绩、人员

13、素质、教学质量、科研水平、工作政绩、人员素质、各种满意度、信誉、态度、意识、观念、能力等因素有各种满意度、信誉、态度、意识、观念、能力等因素有关的政治、社会、人文等领域的问题。关的政治、社会、人文等领域的问题。 如何对有关问题给出定量分析呢？如何对有关问题给出定量分析呢？第19页/共48页第二十页，共48页。按国家的评价标准,评价因素一般分为五个等级(dngj)，如A，B，C，D，E。 如何将其量化？若A-，B+，C-，D+等又如何合理量化？ 简单地对应数字分量化方法是不科学的！ 根据实际问题，构造模糊隶属函数的量化方法是一种可行有效的方法。 二、数据处理的一般(ybn)方法 3. 定性指标定

14、性指标(zhbio)的量化处的量化处理方法理方法 第20页/共48页第二十一页，共48页。假设有多个评价人对某项因素评价为A，B，C，D,E共5个等级: v1 ,v2 ,v3 ,v4,v5。 譬如：评价人对某事件“满意度”的评价可分为很满意，满意，较满意，不太满意，很不满意将其5个等级依次对应为5，4，3，2，1。 为取连续量化，取偏大型(dxng)柯西分布和对数函数作为隶属函数： 二、数据处理的一般(ybn)方法第21页/共48页第二十二页，共48页。 二、数据处理的一般(ybn)方法 3. 定性定性(dng xng)指标的量化处指标的量化处理方法理方法 第22页/共48页第二十三页，共48

15、页。 二、数据处理的一般(ybn)方法 3. 定性指标的量化处理定性指标的量化处理(chl)方法方法 根据这个根据这个规律，对于任规律，对于任何一个评价值，何一个评价值，都可以给出一都可以给出一个合适的量化个合适的量化值。值。 根据实际根据实际情况情况(qngkung)也可构造其他也可构造其他的隶属函数。的隶属函数。第23页/共48页第二十四页，共48页。 三、数据(shj)建模的综合评价方法 适用条件适用条件: :各评价指标之间相互独立。各评价指标之间相互独立。 对不完全独立的情况对不完全独立的情况(qngkung)(qngkung)，其结果将导致各指标间信，其结果将导致各指标间信息的重复，

16、使评价结果不能客观地反映实际。息的重复，使评价结果不能客观地反映实际。 1. 线性加权综合法线性加权综合法 主要特点：主要特点： （1 1）各评价指标间作用）各评价指标间作用(zuyng)(zuyng)得到线性补偿；得到线性补偿； （2 2）权重系数的对评价结果的影响明显。）权重系数的对评价结果的影响明显。第24页/共48页第二十五页，共48页。 2. 非非线性加权综合法线性加权综合法 三、数据建模的综合(zngh)评价方法主要特点：主要特点：（1 1）突出了各指标值的一致性，即平衡评价指标）突出了各指标值的一致性，即平衡评价指标值较小的指标影响的作用；值较小的指标影响的作用；（2 2）权重系

17、数）权重系数(xsh)(xsh)大小的影响不是特别明显，大小的影响不是特别明显，而对指标值的大小差异相对较敏感。而对指标值的大小差异相对较敏感。第25页/共48页第二十六页，共48页。 三、数据建模的综合(zngh)评价方法 3. 逼近理想逼近理想(lxing)点（点（TOPSIS）方法方法 第26页/共48页第二十七页，共48页。l 因子分析l 聚类分析l 模糊评价(pngji)l 层次分析法等第27页/共48页第二十八页，共48页。 四、数据建模的动态(dngti)加权方法 1. 动态加权问题动态加权问题(wnt)的一般的一般提法提法 问题问题(wnt):(wnt):如何对如何对n n个系

18、统做出综合评价呢个系统做出综合评价呢? ?第28页/共48页第二十九页，共48页。 四、数据(shj)建模的动态加权方法 2005 2005年中国大学生数学建模竞赛的年中国大学生数学建模竞赛的A A题：题：“长江水质的长江水质的评价和预测评价和预测”问题的第一部份给出了问题的第一部份给出了1717个观测站（城市）的个观测站（城市）的最近最近2828个月的实际检测指标数据，包括反映个月的实际检测指标数据，包括反映(fnyng)(fnyng)水质水质污染程度的最主要的四项指标：溶解氧（污染程度的最主要的四项指标：溶解氧（DODO）、高锰酸盐指）、高锰酸盐指数（数（CODMnCODMn）、氨氮）、氨

19、氮(NH3-N) (NH3-N) 和和PHPH值，要求综合这四种污染值，要求综合这四种污染指标的指标的2828个月的检测数据对个月的检测数据对1717个城市的水质情况做出综合评个城市的水质情况做出综合评价。价。表表（1）: 地地表表水水环环境境质质量量标标准准 （G GB B3 38 83 38 82 20 00 02 2）中中 4个个主主要要项项目目标标准准限限值值 单单位位：mg/L 指指 标标 类类 类类 类类 类类 类类 劣劣类类 溶溶解解氧氧( (DO) 7.5,) 6,7.5) 5,6) 3,5) 2,3) 0,2 高高锰锰酸酸盐盐指指数数( (C CO OD DM Mn n) )

20、 (0,2 (2,4 (4,6 (6,10 (10,15 (15, ) 氨氨氮氮（N NH H3 3- -N N） (0,0.15 (0.15,0.5 (0.5,1 (1,1.5 (1.5,2 (2, ) P PH H 值值（无无量量纲纲） 6 , 9 第29页/共48页第三十页，共48页。 四、数据(shj)建模的动态加权方法 根据国标（根据国标（GB 38382002GB 38382002）的规定，关于地表水的水）的规定，关于地表水的水质可分为质可分为类、类、类、类、类、类、类、类、类、劣类、劣类共六个类共六个类别，每一个类别对每一项指标都有相应的标准值（区类别，每一个类别对每一项指标都有

21、相应的标准值（区间），只要有一项指标达到高类别的标准就算是高类别的间），只要有一项指标达到高类别的标准就算是高类别的水质，所以实际中不同类别的水质有很大的差别，而且同水质，所以实际中不同类别的水质有很大的差别，而且同一类别的水在污染物的含量上也有一定的差别。一类别的水在污染物的含量上也有一定的差别。 在对在对1717个城市的水质做综合评价时，要充分考虑这些个城市的水质做综合评价时，要充分考虑这些(zhxi)(zhxi)指标值不同类别水的指标值不同类别水的“质的差异质的差异”和同类别水的和同类别水的“量的差异量的差异”,”,在此简称为在此简称为“质差质差”和和“量差量差”。因此，这。因此，这是一

22、个较复杂的多因素多属性的综合评价问题。是一个较复杂的多因素多属性的综合评价问题。 第30页/共48页第三十一页，共48页。 四、数据(shj)建模的动态加权方法针针对对长长江江水水质质的的综综合合评评价价这这一一问问题题，采采用用动动态态加加权权综综合合评评价价方方法法来来解解决决。假假设设1 17 7个个城城市市为为被被评评价价对对象象1217,S SS，共共有有四四项项评评价价指指标标（或或属属性性）D DO O、C CO OD DM Mn n、N NH H3 3- -N N 和和P PH H值值，分分别别记记为为321,xxx和和4x，前前三三项项指指标标都都有有 6 6 个个等等级级1

23、26,p pp，相相应应的的分分类类区区间间值值如如表表（1 1）所所示示，而而P PH H值值没没有有等等级级之之分分。 第31页/共48页第三十二页，共48页。 四、数据(shj)建模的动态加权方法 注意注意: 问题对于每一个属性而言，既有不同类别的差异，同类别的又有不同量值的差异。问题对于每一个属性而言，既有不同类别的差异，同类别的又有不同量值的差异。 对于这种既有对于这种既有“质差质差”，又有，又有“量差量差”的问题，合理有效的方法的问题，合理有效的方法(fngf)是动态加权综合评价方法是动态加权综合评价方法(fngf)。 1. 动态动态(dngti)加权问题的一加权问题的一般提法般提

24、法 第32页/共48页第三十三页，共48页。 四、数据(shj)建模的动态加权方法 考虑到评价指标的考虑到评价指标的“质差质差”与与“量差量差”，既要能体现不同类型指标之间的差异，也要能体现同类型指标的数量差异。，既要能体现不同类型指标之间的差异，也要能体现同类型指标的数量差异。 具体取什么样的动态加权函数，主要是从实际问题具体取什么样的动态加权函数，主要是从实际问题(wnt)(wnt)出发分析确定。出发分析确定。 对于不同的指标可以取相同的权函数，也可以取不同的权函数。对于不同的指标可以取相同的权函数，也可以取不同的权函数。 2. 动态动态(dngti)加权函数的设定加权函数的设定 第33页

25、/共48页第三十四页，共48页。 四、数据(shj)建模的动态加权方法2. 动态加权函数动态加权函数(hnsh)的设定的设定 第34页/共48页第三十五页，共48页。 四、数据(shj)建模的动态加权方法2. 动态动态(dngti)加权函数的设定加权函数的设定 第35页/共48页第三十六页，共48页。返回(fnhu) 四、数据建模的动态(dngti)加权方法2. 动态加权函数动态加权函数(hnsh)的设定的设定 第36页/共48页第三十七页，共48页。 四、数据(shj)建模的动态加权方法3. 动态加权的综合动态加权的综合(zngh)评价模型评价模型 第37页/共48页第三十八页，共48页。

26、五、数据建模的综合(zngh)排序方法 1. 综合综合(zngh)排序问题的一般排序问题的一般提法提法 问题问题: :如何给出如何给出n n个系统的最终排序个系统的最终排序(pi x)(pi x)结果呢结果呢? ?第38页/共48页第三十九页，共48页。 五、数据建模的综合排序(pi x)方法 2. 综合排序问题综合排序问题(wnt)的方的方法法 第39页/共48页第四十页，共48页。 1. 指标数据指标数据(shj)的标准化处理的标准化处理（1）溶溶解解氧氧（DO）的的标标准准化化 注注意意到到溶溶解解氧氧（D DO O）为为极极大大型型指指标标，首首先先将将数数据据指指标标作作极极小小化化

27、处处理理，即即令令倒倒数数变变换换111xx ，相相应应的的分分类类标标准准区区间间变变为为 1111 11 11 11(0,(, ,( , ,( , ,( , ,( , )7.57.5 66 55 33 22， 然然后后通通过过极极差差变变换换5 . 011xx 将将其其数数据据标标准准化化，对对应应的的分分类类区区间间随随之之变变为为 (0,0.2667,(0.2667,0.3333,(0.3333,0.4,(0.4,0.6667,(0.6667,1,(1, ) 第40页/共48页第四十一页，共48页。 1. 指标指标(zhbio)数据的标准化处理数据的标准化处理（）高高锰锰酸酸盐盐指指数

28、数（CODMn）的的标标准准化化 高高猛猛酸酸盐盐指指数数本本身身就就是是极极小小型型指指标标，即即由由极极差差变变换换将将其其数数据据标标准准化化， 即即令令1522xx , , 对对应应的的分分类类区区间间随随之之变变为为 (0,0.1333,(0.1333,0.2667,(0.2667,0.4,(0.4,0.6667,(0.6667,1,(1, ) （）氨氨氮氮（NH3-N）的的标标准准化化 氨氨氮氮也也是是极极小小型型指指标标， 对对指指标标数数据据作作极极差差变变换换将将其其数数据据标标准准化化，即即令令233xx ，对对应应的的分分类类区区间间随随之之变变为为 (0,0.075,(

29、0.075,0.25,(0.25,0.5,(0.5,0.75,(0.75,1,(1,) 第41页/共48页第四十二页，共48页。 1. 指标数据指标数据(shj)的标准化处理的标准化处理（）PH值值的的处处理理 酸酸碱碱度度（P PH H 值值）的的大大小小反反映映出出水水质质呈呈酸酸碱碱性性的的程程度度，通通常常的的水水生生物物都都适适应应于于中中性性水水质质， 即即酸酸碱碱度度的的平平衡衡值值 （P PH H值值略略大大于于） ， 在在这这里里不不妨妨取取正正常常值值的的中中值值7 7. .5 5。 当当P PH H 7 7. .5 5 时时偏偏酸酸性性，而而偏偏离离值值越越大大水水质质就

30、就越越坏坏，P PH H 值值属属于于中中间间型型指指标标。为为此此，对对所所有有的的P PH H 值值指指标标数数据据作作均均值值差差处处理理，即即令令 5 . 7325 . 15 . 7444xxx， 则则将将其其数数据据标标准准化化。 第42页/共48页第四十三页，共48页。 2. 动态动态(dngti)加权函数的确加权函数的确定定 根根据据对对这这一一实实际际问问题题的的分分析析，不不妨妨取取动动态态加加权权函函数数为为偏偏大大型型正正态态分分布布函函数数，即即 20 ,( )1,iiixiixw xex 当时,当时, 其其中中i在在这这里里取取指指标标ix的的类类水水标标准准区区间间

31、的的中中值值，即即( )( )11()/2iiiba，i由由) 3 , 2 , 1( 9 . 0)()(4iawii确确定定。 由由实实际际数数据据经经计计算算可可得得0375. 0,0667. 0,1333. 0321，,2197. 0,1757. 021 3048. 03， 则则代代入入上上式式可可以以得得到到D DO O、 C CO OD DM Mn n和和N NH H3 3- -N N三三项项指指标标的的动动态态加加权权函函数数。 第43页/共48页第四十四页，共48页。 3.综合评价综合评价(pngji)指标函数的确定指标函数的确定 考考虑虑到到对对实实际际评评价价效效果果影影响响差

32、差异异较较大大的的是是前前三三项项指指标标，以以及及指指标标P PH H值值的的特特殊殊性性，这这里里取取前前三三项项指指标标的的综综合合影影响响权权值值为为0 0. .8 8，而而P PH H 值值的的影影响响权权值值取取0 0. .2 2。因因此此，根根据据综综合合评评价价模模型型，某某城城市市某某一一时时间间的的水水质质综综合合评评价价指指标标定定义义为为 4312 . 0)(8 . 0 xxxwXiiii。 根根据据1 17 7 个个城城市市的的2 28 8 组组实实际际检检测测数数据据，经经计计算算可可得得各各城城市市的的水水质质综综合合评评价价指指标标值值，即即可可得得到到一一个个

33、17 28阶阶的的综综合合评评价价矩矩阵阵17 28()ijX。 第44页/共48页第四十五页，共48页。 4.各城市水质的综合各城市水质的综合(zngh)评评价价 由由 1717 个城市个城市 2828 个月的水质综合评价指标个月的水质综合评价指标(1,2,17;ijXi 1,2,28)j ，根据其大小（即污染的程度）进行排序，数值越，根据其大小（即污染的程度）进行排序，数值越大说明水质越差。由此可得反映大说明水质越差。由此可得反映 1717 个城市水质污染程度的个城市水质污染程度的 2828 个排个排序结果， 根据序结果， 根据BordaBorda数的计算方法则得到第数的计算方法则得到第i个城市个城市( (被评价对象被评价对象) )iS的的 BordaBorda 数为数为 281()() (1,2,17)ijijB SB Si。 经计算可得到各城市的经计算可得到各城市的 BordaBorda 数及总排序结果如表数及总排序结果如表(2)(2)所示。所示。 表表( (2 2) )：按按各各城城市市的的水