数学空间向量坐标新人教A版选修学习教案

1、会计学1数学空间向量坐标数学空间向量坐标(zubio)新人教新人教A版选版选修修第一页，共26页。空间空间(kngjin)两向量的夹角的概两向量的夹角的概念：念：, 0 a, 0 bab 向量向量a与向量与向量b的夹角的夹角 ),(ba ),(ab 类似类似(li s)(li s)地，可定义向量与一轴或空间两轴的夹角地，可定义向量与一轴或空间两轴的夹角. .特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定它们的夹角可在它们的夹角可在0 0与与 之间任意取值之间任意取值. . )0( ),(ba ),(ab 或者或者(huzh)(huzh)记作记作第2页/共26页

2、第二页，共26页。空间一点空间一点(y din)在轴在轴上的投影上的投影u AA . 上的投影上的投影在在即为即为平面，交点平面，交点的垂直的垂直作轴作轴过过uAAuA 第3页/共26页第三页，共26页。空间空间(kngjin)一向量在轴一向量在轴上的投影上的投影uAA BB 已知向量的起点已知向量的起点A和终点和终点B在轴在轴 u上的投影分别上的投影分别为为BA , , 那么轴那么轴 u上的有向线段上的有向线段 BA 的值，称的值，称为向量在轴为向量在轴u上的投影上的投影. . 第4页/共26页第四页，共26页。ABjuPr.BA 向量向量AB在在 轴轴u上的投影记为上的投影记为 关于向量关

3、于向量(xingling)(xingling)的投影定理的投影定理（1 1）向量向量AB在轴在轴u上的投影等于向量的模乘以轴与向上的投影等于向量的模乘以轴与向量量 的夹角的余弦：的夹角的余弦： ABjuPr cos| AB 证明证明(zhngm(zhngmng)ng)B BuAA B ABjuPrABju Pr cos| AB u 第5页/共26页第五页，共26页。定理定理(dngl)1(dngl)1的说的说明：明：投影投影(tuyng)(tuyng)为正；为正；投影投影(tuyng)(tuyng)为负为负；投影为零；投影为零；(4)(4) 相等向量在同一轴上投影相等；相等向量在同一轴上投影相

4、等；uabc 0)1(,2 2)2(, )3(,2 第6页/共26页第六页，共26页。关于关于(guny)(guny)向量的投影定理（向量的投影定理（2 2）两个向量的和在轴上的投影等于两个向量两个向量的和在轴上的投影等于两个向量在该轴上的投影之和在该轴上的投影之和. . .PrPr)(Pr2121a ja jaaj AA BB CC （可推广（可推广(tugung)到有到有限多个）限多个）u1a2a第7页/共26页第七页，共26页。AA BB CC u1a2a 如图所示，由向量如图所示，由向量(xingling)(xingling)加加证明证明(zhngmng)(zhngmng)法的三角形法

5、则法的三角形法则(fz)(fz)可知可知. 21aaBCABAC .Pr , Pr , PrCAjACCBjBCBAjAB 由于由于CACBBA 所以所以jACjBCjABPr PrPr 即即).(Pr PrPr2121aajjaja 第8页/共26页第八页，共26页。1M1P2M2P上的投影分别为点上的投影分别为点在轴在轴点点为一条数轴为一条数轴为一向量，为一向量，设设212121,PPuMMuMMa 上上的的坐坐标标依依次次为为在在轴轴又又设设2121,uuuPPuo,Pr21uuaMMj 记记1221 OPOPPP ,12uu .12uuau 第9页/共26页第九页，共26页。如果如果e

6、是与是与u轴正向一致的单位向量，轴正向一致的单位向量， .)(12euu 设设a是以是以),(1111zyxM为起点、为起点、),(2222zyxM 为终点的向量，为终点的向量， 过过21, MM各作垂直于三个坐标轴的平面各作垂直于三个坐标轴的平面 , 这六个平面围成一个以线段这六个平面围成一个以线段21MM为对角线的为对角线的长方体长方体. 由上节课例由上节课例3 3，有，有eaPPu 21以以kji,分别表示沿分别表示沿zyx,轴正向的单位向量轴正向的单位向量. 第10页/共26页第十页，共26页。xyz1R2R1P2P1Q2QORQP1M2MN2111MMRMNM 111NMQMPM .

7、11121RMQMPMMM 从而从而(cng r)得到得到由于由于(yuy),)(121ixxiaPMx 由图可以由图可以(ky)看出看出,)(121jyyjaQMy .)(121kzzkaRMz 第11页/共26页第十一页，共26页。因此因此(ync)(ync)kajaiaMMzyx 21把上式称为向量把上式称为向量 按基本单位向量的分解式按基本单位向量的分解式 . . 21MM这里这里(zhl)(zhl).,121212zzayyaxxazyx .)()()(121212kzzjyyixx xyz1R2R1P2P1Q2QORQP1M2MN,2第12页/共26页第十二页，共26页。kzzjy

8、yixxMM)()()(12121221 按基本按基本(jbn)单位向量的坐标分解式单位向量的坐标分解式：在三个坐标轴上的分向量在三个坐标轴上的分向量(xingling)：,kajaiazyx向量向量(xingling)的的坐标：坐标：,zyxaaa向量的坐标表达式：向量的坐标表达式：,zyxaaaa ,12121221zzyyxxMM 特殊地：特殊地：,zyxOM 第13页/共26页第十三页，共26页。向量的加减法、向量与数的乘法向量的加减法、向量与数的乘法(chngf)运算的坐运算的坐标表达式标表达式,zyxaaaa ,zyxbbbb ,zzyyxxbabababa ,zzyyxxbaba

9、baba ,zyxaaaa ;)()()(kbajbaibazzyyxx ;)()()(kbajbaibazzyyxx .)()()(kajaiazyx 第14页/共26页第十四页，共26页。解解,111zzyyxxAM ,222zzyyxxMB 设设),(zyxM为直线为直线(zhxin)上的点上的点，例例 2 2 设设),(111zyxA和和),(222zyxB为两已知点，而为两已知点，而在在AB直线上的点直线上的点M分有向线段分有向线段 AB 为两部分为两部分AM、MB，使它们的值的比等于某数，使它们的值的比等于某数)1( ，即，即 MBAM，求分点求分点的坐标的坐标. ABMxyzo第

10、15页/共26页第十五页，共26页。由题意由题意(t y)知：知：MBAM ,111zzyyxx ,222zzyyxx 1xx )(2xx 1yy )(2yy 1zz )(2zz ,121 xxx,121 yyy,121 zzz,221xxx ,221yyy .221zzz . 的的定定比比分分点点为为有有向向线线段段点点ABM为为中中点点时时，当当 M第16页/共26页第十六页，共26页。非零向量非零向量 的方向角：的方向角：a非零向量非零向量(xingling)(xingling)与三条坐标轴的正向的夹角称与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角为方向角. .,0 ,0 .0 xyzo 1M 2

11、M ., 第17页/共26页第十七页，共26页。由投影由投影(tuyng)(tuyng)定定理可知理可知 cos|aax cos|aay cos|aaz 方向方向(fngxing)(fngxing)余弦通常用来表示向量余弦通常用来表示向量的方向的方向(fngxing).(fngxing).222|zyxaaaa 向量向量(xingling)模长模长的坐标表示式的坐标表示式21212121RMQMPMMM pQRxyzo 1M 2M 第18页/共26页第十八页，共26页。，时时当当 0 222 zyxaaa,cos222zyxxaaaa ,cos222zyxyaaaa .cos222zyxzaa

12、aa 向量方向向量方向(fngxing)余弦的坐标表示式余弦的坐标表示式xyzo 1M 2M 第19页/共26页第十九页，共26页。1coscoscos222 方向余弦方向余弦(yxin)的特征的特征oa|aa .cos,cos,cos 特殊特殊(tsh)地，单位向量可表示为地，单位向量可表示为第20页/共26页第二十页，共26页。向量向量 例例3 3 设已知两点设已知两点 和和 . . 计算计算 )2, 2 , 2(1M)0 , 3 , 1(2M21MM的摸的摸 ，方向余弦和方向角，方向余弦和方向角. .解解 21MM2, 1 , 120 , 23 , 21 21MM222)2(1)1( ;

13、 2 ; 22cos , 21cos , 21cos . 43 , 3 , 32 第21页/共26页第二十一页，共26页。例例4 4 设已知两点设已知两点 和和 . . 求方向和求方向和 一致的单位向量一致的单位向量 . .)5 , 0 , 4(A)3 , 1 , 7(BAB解解AB2, 1 , 353 , 01 , 47 因为因为(yn wi)(yn wi)于是于是(ysh)(ysh)AB 设设 为和为和 的方向一致的单位向量，那么由于的方向一致的单位向量，那么由于 o ABo = ABAB即得即得 o . 142,141,143 14 222)2(13 第22页/共26页第二十二页，共26

14、页。解解设向量设向量21PP的方向角为的方向角为 、 、 ,3 ,4 , 1coscoscos222 .21cos ,21cos ,22cos 例例5 5 设有向量设有向量P P1 1P P2 2 ，已知，已知| |P P1 1P P2 2|=2 |=2 ，它与，它与x x 轴和轴和y y 轴的夹角分别为轴的夹角分别为 和和 ，如果的，如果的 P P1 1 的的坐标为坐标为(1,0,3)(1,0,3)，求，求P P2 2的坐标的坐标. .3 4 第23页/共26页第二十三页，共26页。.32,3 1cos x 21PP21 x21 , 2 x0cos y 21PP20 y22 , 2 y3cos z 21PP23 z, 2, 4 zz2P的坐标为的坐标为 ).2 , 2, 2(),4 , 2, 2(21 , ),( 2zyxP 的的坐坐标标为为设设第24页/共26页第二十四页，共26页。