2025届东北师大附属中学高考数学倒计时模拟卷含解析

2025届东北师大附属中学高考数学倒计时模拟卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．抛物线y2=ax(a>0)的准线与双曲线C:x28A．8 B．6 C．4 D．22．已知抛物线的焦点为，对称轴与准线的交点为，为上任意一点，若，则（）A．30° B．45° C．60° D．75°3．甲、乙两名学生的六次数学测验成绩(百分制)的茎叶图如图所示.①甲同学成绩的中位数大于乙同学成绩的中位数；②甲同学的平均分比乙同学的平均分高；③甲同学的平均分比乙同学的平均分低；④甲同学成绩的方差小于乙同学成绩的方差.以上说法正确的是（）A．③④ B．①② C．②④ D．①③④4．已知集合，则的值域为（）A． B． C． D．5．国务院发布《关于进一步调整优化结构、提高教育经费使用效益的意见》中提出，要优先落实教育投入．某研究机构统计了年至年国家财政性教育经费投入情况及其在中的占比数据，并将其绘制成下表，由下表可知下列叙述错误的是（）A．随着文化教育重视程度的不断提高，国在财政性教育经费的支出持续增长B．年以来，国家财政性教育经费的支出占比例持续年保持在以上C．从年至年，中国的总值最少增加万亿D．从年到年，国家财政性教育经费的支出增长最多的年份是年6．下列结论中正确的个数是（）①已知函数是一次函数，若数列通项公式为，则该数列是等差数列；②若直线上有两个不同的点到平面的距离相等，则；③在中，“”是“”的必要不充分条件；④若，则的最大值为2.A．1 B．2 C．3 D．07．过圆外一点引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程是（）．A． B． C． D．8．在平面直角坐标系中，已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边落在直线上，则（）A． B． C． D．9．如图所示，在平面直角坐标系中，是椭圆的右焦点，直线与椭圆交于，两点，且，则该椭圆的离心率是（）A． B． C． D．10．对于函数，定义满足的实数为的不动点，设，其中且，若有且仅有一个不动点，则的取值范围是（）A．或 B．C．或 D．11．设抛物线上一点到轴的距离为，到直线的距离为，则的最小值为（）A．2 B． C． D．312．如图，圆是边长为的等边三角形的内切圆，其与边相切于点，点为圆上任意一点，，则的最大值为（）A． B． C．2 D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若点为点在平面上的正投影，则记.如图，在棱长为1的正方体中，记平面为，平面为，点是线段上一动点，.给出下列四个结论：①为的重心；②；③当时，平面；④当三棱锥的体积最大时，三棱锥外接球的表面积为.其中，所有正确结论的序号是________________.14．若函数（）的图象与直线相切，则______.15．某外商计划在个候选城市中投资个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过个，则该外商不同的投资方案有____种．16．某市公租房源位于、、三个小区，每位申请人只能申请其中一个小区的房子，申请其中任意一个小区的房子是等可能的，则该市的任意位申请人中，恰好有人申请小区房源的概率是______.（用数字作答）三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，在三棱柱中，已知四边形为矩形，，，，的角平分线交于.（1）求证:平面平面；（2）求二面角的余弦值.18．（12分）某省新课改后某校为预测2020届高三毕业班的本科上线情况，从该校上一届高三（1）班到高三（5）班随机抽取50人，得到各班抽取的人数和其中本科上线人数，并将抽取数据制成下面的条形统计图.（1）根据条形统计图，估计本届高三学生本科上线率.（2）已知该省甲市2020届高考考生人数为4万，假设以（1）中的本科上线率作为甲市每个考生本科上线的概率.（i）若从甲市随机抽取10名高三学生，求恰有8名学生达到本科线的概率（结果精确到0.01）；（ii）已知该省乙市2020届高考考生人数为3.6万，假设该市每个考生本科上线率均为，若2020届高考本科上线人数乙市的均值不低于甲市，求p的取值范围.可能用到的参考数据：取，.19．（12分）已知都是大于零的实数．（1）证明；（2）若，证明．20．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC＝90°，AB＝AA1，M，N分别是AC，B1C1的中点．求证：（1）MN∥平面ABB1A1；（2）AN⊥A1B．21．（12分）某中学为研究学生的身体素质与体育锻炼时间的关系，对该校名高三学生平均每天体育锻炼时间进行调查，如表：（平均每天锻炼的时间单位：分钟）将学生日均体育锻炼时间在的学生评价为“锻炼达标”．（1）请根据上述表格中的统计数据填写下面列联表：并通过计算判断，是否能在犯错误的概率不超过的前提下认为“锻炼达标”与性别有关？（2）在“锻炼达标”的学生中，按男女用分层抽样方法抽出人，进行体育锻炼体会交流．（i）求这人中，男生、女生各有多少人？（ii）从参加体会交流的人中，随机选出人发言，记这人中女生的人数为，求的分布列和数学期望．参考公式：，其中．临界值表：0.100.050.0250.01002.7063.8415.0246.63522．（10分）在中，角，，所对的边分别为，，，且．求的值；设的平分线与边交于点，已知，，求的值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】

求得抛物线的准线方程和双曲线的渐近线方程，解得两交点，由三角形的面积公式，计算即可得到所求值．【详解】抛物线y2=ax(a>0)的准线为x=-a4，双曲线C:x28-y24【点睛】本题考查三角形的面积的求法，注意运用抛物线的准线方程和双曲线的渐近线方程，考查运算能力，属于基础题．2、C【解析】

如图所示：作垂直于准线交准线于，则，故，得到答案.【详解】如图所示：作垂直于准线交准线于，则，在中，，故，即.故选：.【点睛】本题考查了抛物线中角度的计算，意在考查学生的计算能力和转化能力.3、A【解析】

由茎叶图中数据可求得中位数和平均数,即可判断①②③,再根据数据集中程度判断④.【详解】由茎叶图可得甲同学成绩的中位数为,乙同学成绩的中位数为,故①错误；,,则,故②错误,③正确；显然甲同学的成绩更集中,即波动性更小,所以方差更小,故④正确,故选:A【点睛】本题考查由茎叶图分析数据特征,考查由茎叶图求中位数、平均数.4、A【解析】

先求出集合，化简=，令，得由二次函数的性质即可得值域.【详解】由，得，，令，，，所以得，在上递增，在上递减，，所以，即的值域为故选A【点睛】本题考查了二次不等式的解法、二次函数最值的求法，换元法要注意新变量的范围，属于中档题5、C【解析】

观察图表，判断四个选项是否正确．【详解】由表易知、、项均正确，年中国为万亿元，年中国为万亿元，则从年至年，中国的总值大约增加万亿，故C项错误．【点睛】本题考查统计图表，正确认识图表是解题基础．6、B【解析】

根据等差数列的定义，线面关系，余弦函数以及基本不等式一一判断即可；【详解】解：①已知函数是一次函数，若数列的通项公式为，可得为一次项系数），则该数列是等差数列，故①正确；②若直线上有两个不同的点到平面的距离相等，则与可以相交或平行，故②错误；③在中，，而余弦函数在区间上单调递减，故“”可得“”，由“”可得“”，故“”是“”的充要条件，故③错误；④若，则，所以，当且仅当时取等号，故④正确；综上可得正确的有①④共2个；故选：B【点睛】本题考查命题的真假判断，主要是正弦定理的运用和等比数列的求和公式、等差数列的定义和不等式的性质，考查运算能力和推理能力，属于中档题．7、A【解析】过圆外一点，引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程为，故选．8、C【解析】

利用诱导公式以及二倍角公式，将化简为关于的形式，结合终边所在的直线可知的值，从而可求的值.【详解】因为，且，所以.故选：C.【点睛】本题考查三角函数中的诱导公式以及三角恒等变换中的二倍角公式，属于给角求值类型的问题，难度一般.求解值的两种方法：（1）分别求解出的值，再求出结果；（2）将变形为，利用的值求出结果.9、A【解析】

联立直线方程与椭圆方程，解得和的坐标，然后利用向量垂直的坐标表示可得，由离心率定义可得结果.【详解】由，得，所以，.由题意知，所以，.因为,所以,所以.所以，所以，故选：A.【点睛】本题考查了直线与椭圆的交点，考查了向量垂直的坐标表示，考查了椭圆的离心率公式，属于基础题.10、C【解析】

根据不动点的定义，利用换底公式分离参数可得；构造函数，并讨论的单调性与最值，画出函数图象，即可确定的取值范围.【详解】由得，.令，则，令，解得，所以当时，，则在内单调递增；当时，，则在内单调递减；所以在处取得极大值，即最大值为，则的图象如下图所示：由有且仅有一个不动点，可得得或，解得或.故选：C【点睛】本题考查了函数新定义的应用，由导数确定函数的单调性与最值，分离参数法与构造函数方法的应用，属于中档题.11、A【解析】

分析：题设的直线与抛物线是相离的，可以化成，其中是点到准线的距离，也就是到焦点的距离，这样我们从几何意义得到的最小值，从而得到的最小值.详解：由①得到，，故①无解，所以直线与抛物线是相离的.由，而为到准线的距离，故为到焦点的距离，从而的最小值为到直线的距离，故的最小值为，故选A.点睛：抛物线中与线段的长度相关的最值问题，可利用抛物线的几何性质把动线段的长度转化为到准线或焦点的距离来求解.12、C【解析】

建立坐标系，写出相应的点坐标，得到的表达式，进而得到最大值.【详解】以D点为原点，BC所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立坐标系，设内切圆的半径为1，以（0，1）为圆心，1为半径的圆；根据三角形面积公式得到，可得到内切圆的半径为可得到点的坐标为：故得到故得到，故最大值为：2.故答案为C.【点睛】这个题目考查了向量标化的应用，以及参数方程的应用，以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、①②③【解析】

①点在平面内的正投影为点，而正方体的体对角线与和它不相交的的面对角线垂直，所以直线垂直于平面，而为正三角形，可得为正三角形的重心，所以①是正确的；②取的中点，连接，则点在平面的正投影在上，记为，而平面平面，所以，所以②正确；③若设，则由可得，然后对应边成比例，可解，所以③正确；④由于，而的面积是定值，所以当点到平面的距离最大时，三棱锥的体积最大，而当点与点重合时，点到平面的距离最大，此时为棱长为的正四面体，其外接球半径，则球，所以④错误.【详解】因为，连接，则有平面平面为正三角形，所以为正三角形的中心，也是的重心，所以①正确；由平面，可知平面平面，记，由，可得平面平面，则，所以②正确；若平面，则，设由得，易得，由，则，由得，，解得，所以③正确；当与重合时，最大，为棱长为的正四面体，其外接球半径，则球，所以④错误.故答案为：①②③【点睛】此题考查立体几何中的垂直、平行关系，求几何体的体积，考查空间想象能力和推理能力，属于难题.14、2【解析】

设切点由已知可得,即可解得所求.【详解】设，因为，所以，即，又，.所以，即，.故答案为:.【点睛】本题考查导数的几何意义,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推理能力、运算求解能力,难度较易.15、60【解析】试题分析：每个城市投资1个项目有种，有一个城市投资2个有种，投资方案共种.考点：排列组合.16、【解析】

基本事件总数，恰好有2人申请小区房源包含的基本事件个数，由此能求出该市的任意5位申请人中，恰好有2人申请小区房源的概率．【详解】解：某市公租房源位于、、三个小区，每位申请人只能申请其中一个小区的房子，申请其中任意一个小区的房子是等可能的，该市的任意5位申请人中，基本事件总数，该市的任意5位申请人中，恰好有2人申请小区房源包含的基本事件个数：，该市的任意5位申请人中，恰好有2人申请小区房源的概率是．故答案为：．【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）见解析；（2）【解析】

（1）过点作交于，连接，设，连接，由角平分线的性质，正方形的性质，三角形的全等，证得，，由线面垂直的判断定理证得平面，再由面面垂直的判断得证.（2）平面几何知识和线面的关系可证得平面，建立空间直角坐标系，求得两个平面的法向量，根据二面角的向量计算公式可求得其值.【详解】（1）如图，过点作交于，连接，设，连接，，，又为的角平分线，四边形为正方形，，又，，，，，又为的中点，又平面，，平面，又平面，平面平面，（2）在中，，，，在中，，，又，，，，又，，平面，平面，故建立如图空间直角坐标系，则，，，，，，，设平面的一个法向量为，则，，令，得,设平面的一个法向量为，则，，令，得，由图示可知二面角是锐角，故二面角的余弦值为.【点睛】本题考查空间的面面垂直关系的证明，二面角的计算，在证明垂直关系时，注意运用平面几何中的等腰三角形的“三线合一”，勾股定理、菱形的对角线互相垂直，属于基础题.18、(1)60%；(2)（i）0.12（ii）【解析】

（1）利用上线人数除以总人数求解；（2）（i）利用二项分布求解；（ii）甲、乙两市上线人数分别记为X，Y，得，.，利用期望公式列不等式求解【详解】（1）估计本科上线率为.（2）（i）记“恰有8名学生达到本科线”为事件A，由图可知，甲市每个考生本科上线的概率为0.6，则.（ii）甲、乙两市2020届高考本科上线人数分别记为X，Y，依题意，可得，.因为2020届高考本科上线人数乙市的均值不低于甲市，所以，即，解得，又，故p的取值范围为.【点睛】本题考查二项分布的综合应用，考查计算求解能力，注意二项分布与超几何分布是易混淆的知识点.19、（1）答案见解析．（2）答案见解析【解析】

（1）利用基本不等式可得，两式相加即可求解.（2）由（1）知，代入不等式，利用基本不等式即可求解.【详解】（1）两式相加得（2）由（1）知于是，．【点睛】本题考查了基本不等式的应用，属于基础题.20、（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】

（1）利用平行四边形的方法，证明平面.（2）通过证明平面，由此证得.【详解】（1）设是中点，连接，由于是中点，所以且，而且，所以与平行且相等，所以四边形是平行四边形，所以，由于