理论力学 点的合成运动

1、 动坐标系动坐标系：固结于相对于地面运动物体上的坐标系。 简称动系动系（Oxyz） 。 前两章中我们研究点和刚体的运动，都是以地面为参考体。然而在实际问题中，还常常要在相对于地面运动着的参考系运动着的参考系上观察和研究物体的运动。如从行驶的汽车上观看飞机的运动，坐在行驶的火车内看下雨的雨点等。本章研究同一物体同一物体相对于不同参考系不同参考系的运动及其相互关系。8-1 相对运动相对运动牵连运动牵连运动绝对运动绝对运动一一. 坐标系：坐标系：静坐标系静坐标系：固结于地面上的坐标系。简称静系静系（Oxyz）。 例如例如，下雨时，地面上的观察者看雨滴是铅垂向下的，但对正在行进的车上的观察者来说，雨滴

2、则是倾斜向后的。 同一物体的运动对于不同的参考体来说是不同的同一物体的运动对于不同的参考体来说是不同的。 又如，又如，沿直线轨道滚动的车轮，站在地面上的人看轮缘上点M的运动轨迹是一旋轮线，而在行驶着的车中的人看M点，其轨迹则是一个圆。1. 绝对运动绝对运动：动点相对于静系的运动。2. 相对运动相对运动：动点相对于动系的运动。3. 牵连运动牵连运动：动系相对于静系的运动。绝对运动中动点的速度与加速度称绝对速度绝对速度 与绝对加速度绝对加速度相对运动中动点的速度和加速度称相对速度相对速度 与相对加速度相对加速度牵连运动中牵连点牵连点的速度和加速度称牵连速度牵连速度与牵连加速度牵连加速度aaevea

3、rvraav点的运动点的运动刚体的运动刚体的运动二二. . 动点动点：三三. . 三种运动及三种速度与三种加速度三种运动及三种速度与三种加速度在任意瞬时，动坐标系中与动点相重合的点叫牵连点牵连点。所要研究的运动着的点。 选择对动系、静系都为运动的点，例如主动件与从动件的连接点。 动点对动系有相对运动，且相对运动的轨迹是已知的，或者是能直接看出的。四四. . 动点的选择原则：动点的选择原则：五五. 动系的选择原则动系的选择原则：下面举例说明以上概念：下面举例说明以上概念：动点：动点：动系：动系：静系：静系：AB杆上A点固结于凸轮上固结在地面上绝对运动绝对运动：直线运动相对运动相对运动：圆弧运动牵

4、连运动牵连运动：直线平动牵连速度牵连速度 ：ev绝对速度绝对速度 ：avrv相对速度相对速度 ：绝对加速度：绝对加速度：aa相对加速度：相对加速度：ra牵连加速度：牵连加速度：ea动点：摆杆上 A1点动系：圆盘静系：机架动点：圆盘上 A点动系：OA 摆杆静系：机架绝对运动：圆周运动相对运动：直线运动牵连运动：定轴转动绝对运动：圆弧运动相对运动：曲线运动牵连运动：定轴转动注意：要指明动点在哪个注意：要指明动点在哪个物体上，且动点不能选在物体上，且动点不能选在动系上。动系上。动点：A(在AB杆上) 动系：偏心轮静系：地面绝对运动：直线运动相对运动：圆周运动牵连运动：定轴转动若动点若动点A在偏心轮上

5、时在偏心轮上时A（在偏心轮上）AB杆地面圆周运动（红虚线）曲线运动（未知）平动当t t+t 时 ABA B ， MM也可看成M M M8-2 点的速度合成定理点的速度合成定理 点的速度合成定理将建立动点的绝对速度、相对速度和牵连速度之间的关系。1MMMM1MMMM 为绝对位移M1M 为相对位移 设有一动点M按一定规律沿着固连于动系Oxyz 的曲线AB运动, 而曲线AB同时又随同动系Oxyz 相对静系Oxyz运动。 点的速度合成定理是瞬时矢量式，共包括大小、方向 六个元素，已知任意四个元素，就能求出其它两个。 即在任一瞬时动点的绝对速度等于其牵连速度与相对速度即在任一瞬时动点的绝对速度等于其牵连

6、速度与相对速度的矢量和，这就是点的速度合成定理。的矢量和，这就是点的速度合成定理。 aervvv11000limlimlimtttM MM MM Mttt 将上式两边同除以t，取t 0时的极限，得说明说明： 点的速度合成定理适用于牵连运动（动系的运动）为任何运动的情况。 1MMMM1MM应用举例应用举例 例例1 桥式吊车。已知：小车水平运行，速度为v平，物块A相对小车垂直上升的速度为v。求物块A的运行速度。 动点动点：物块A 动系动系：小车 静系静系：地面相对运动相对运动：直线； 相对速度 vr =v 方向牵连运动牵连运动：平动； 牵连速度 ve=v平 方向绝对运动绝对运动：曲线； 绝对速度

7、va 的大小、方向待求。解解：选取22Aaervvvv平vv1tg作出速度平行四边形作出速度平行四边形如图示，则物块A的速度大小和方向为由速度合成定理：由速度合成定理：reavvv22vv平11 evO A则 sineavv相对速度vr = ? 方向/O1B（ ） 例例2 曲柄摆杆机构。已知已知：OA= r 、 、 OO1=l，图示瞬时，OAOO1 。求求：摆杆O1B的角速度1。解解：取OA杆上A点为动点，摆杆O1B为动系，基座为静系。绝对速度va = r ，方向 OA牵连速度ve = ? 方向O1B22rrrl222rrl222221rrlrl222rrl由速度合成定理 作出速度平行四边形

8、如图所示。reavvv23 ( )3ABve（翻页请看动画） 0tan 30aevv 例例3 圆盘凸轮机构已知：已知：OCe , , （匀角速度）图示瞬时, OCCA 且 O、A、B三点共线。求：求：从动杆AB的速度。eR3解：解：动点动点取直杆上A点，动系动系固结于圆盘， 静系静系固结于基座。绝对速度 va = ? 待求，方向/AB相对速度 vr = ? 未知，方向CA牵连速度 ve = OA =2e, 方向 OA323e 由速度合成定理 作出速度平行四边形 如图所示。reavvv动点、动系和静系须分别属于三个不同的物体动点、动系和静系须分别属于三个不同的物体，否则绝对、相对运动中就缺少一种

9、运动，不能成为合成运动。动点相对动系的运动（即相对运动）轨迹易于直观判断动点相对动系的运动（即相对运动）轨迹易于直观判断（除已知绝对运动和牵连运动求解相对运动的问题外）。由上述例题知求解合成运动的速度问题的一般步骤一般步骤为：动点、动系和静系的选择原则：动点、动系和静系的选择原则：恰当地选择动点、动系和静系是求解合成运动问题的关键。选取动点、动系和静系。对三种运动及其速度进行分析。根据速度平行四边形，求出未知量。根据速度合成定理 作出速度平行四边形。reavvv 例例4 已知： 凸轮半径 r , 图示时速度 v ， 300 ；杆OA靠在凸轮上。 求：杆OA的角速度。 分析分析：相接触的两个物体

10、的接触点位置在各自物体上都随时间而变化，因此若选两物体的接触点为动点，则相对运动的分析会较困难。根据上述动点、动系和静系的选择原则，在此情况下，可选择满足上述两条原则的非接触点为动点。解解：取凸轮上C点为动点动点, 动系动系固结于OA杆上, 静系静系固结于基座。绝对运动绝对运动： 直线运动， 绝对速度： va =v ，方向相对运动相对运动： 直线运动， 相对速度： vr 未知，方向 OA牵连运动牵连运动: 定轴转动, 牵连速度：OCOCve方向待求未知 , , 2eevvOCrvvvae33tg（）1323vr36vr根据速度合成定理 作出速度平行四边形如图所示。aervvv8-3牵连运动为平

11、动时点的加速度合成定理牵连运动为平动时点的加速度合成定理reavvvddd dddrxyzvijkttt而d d d dddaOxyzvvijkttt两边对 t 求导：ddaavat 设有一动点M按一定规律沿着固连于动系Oxyz 的曲线AB运动, 而曲线AB同时又随同动系Oxyz 相对静系Oxyz平动。由速度合成定理注意到牵连运动为平动牵连运动为平动，故 , OeOeaavv222222ddddddddOvxyzijktttt222222ddddddddddaOavvxyzaijktttttd ,dOOevaat又其中， 为动系坐标轴的单位矢量，由于动系为平动，故其方向不变是常矢量，所以 。d

12、 d d 0, 0, 0d d d ijktttijk、 、reaaaa 即牵连运动为平动时，动点的绝对加速度等于牵连加速度与相对加速度的矢量和。 牵连运动为平动时点的加速度合成牵连运动为平动时点的加速度合成定理定理 naaanrrneenaaaaaaaa又可写为：222222ddddddrxyzaijkttt 例例5 图示曲柄滑道机构中，曲柄长OA0.1m，绕O轴转动。当 时，其角速度 1 rad/s，角加速度 a 1 rad/s2，求导杆AB的加速度和滑块A在滑道中的相对加速度。o30 取OA上的A点为动点动点，导杆AB为动系动系，定系定系固连在地面上。2）分析三种运动和三种加速度。 绝对

13、运动：即动点A的圆周运动，绝对加速度可分解为切向加速度和法向加速度 ，大小为解：解： 1）选取动点和动系。20.1 10.1 m/ saaOAa 2220.1 10.1m/ snaaOA方向如图 b）所示。 220.1 m/ s0.1m/ sanaaa 相对运动 即沿滑道的往复直线运动，故相对加速度 的方向为水平，大小为未知。ra 牵连运动 即导杆的直线平动，动点A的牵连加速度 为铅垂方向，大小为待求。 eanaaaeraaaaa作加速度合成图，如图b）。3）根据牵连运动为平动时的加速度合成定理oosin30cos30naaeaaa220.0366m/s () , 0.1366m/s ()re

14、aa 求出的 为正值，说明图示方向即为实际方向，而 即为导杆AB在此瞬时的平动加速度。 reaa、eanaaeraaaa代入oocos30sin30naaraaa将其分别投影到x 和h 轴上,得220.1 m/ s , 0.1m/ snaaaa最后得: 注意：注意：不要将加速度合成定理的投影式写成“投影的代数和为零”的平衡式。解解：取顶杆AB上的A点为动点动点， 动系动系与凸轮固连。 例例6 已知：凸轮半径 求： =60o时, 顶杆AB的加速度。ooRva、请看动画由速度合成定理aervvv做出速度平行四边形,如图示。sinervv相对速度vr = ? , 方向CA； 相对加速度ar = ?

15、方向CA , 方向沿CA指向CRvarnr/2绝对速度va = ? , 方向 AB ；绝对加速度aa= ?, 方向 AB，待求。牵连速度ve=v0 , 方向 ； 牵连加速度 ae=a0 , 方向002sin 603ovv因牵连运动为平动，牵连运动为平动， 故有nrearaaaa2 /nrravR其中作加速度矢量图加速度矢量图如图示，将上式投影到法线 n 上，得nreaaaacossin(cos)/sinnaeraaa整理得)38(33200RvaaaaABn202() /3vR2043vR2004(cos60)/sin603vaR8-4牵连运动为转动时点的加速度合成定理牵连运动为转动时点的加速

16、度合成定理上一节我们证明了牵连运动为平动时点的加速度合成定理，那么当牵连运动为转动时，上述的加速度合成定理是否还适用呢？下面我们来分析一特例。 设如图圆盘以匀角速度 绕定轴顺时针转动，盘上圆槽内一点M以大小不变的相对速度 vr 沿槽作圆周运动，那么M点相对于静系的绝对加速度应是多少呢？Rvavrrr2, 常数有相对运动相对运动为匀速圆周运动，（方向如图）由速度合成定理可得出 aerrvvvRv为常数选点选点M为动点，动系固结与圆盘上为动点，动系固结与圆盘上，则M点的牵连运动牵连运动为匀速转动。2, eevRaR（方向如图）即绝对运动绝对运动也为匀速圆周运动，所以方向指向圆心点。2aavaR2(

17、)rRvR222rrvRvR 可见，当牵连运动为转动时，动点的绝对加速度并不当牵连运动为转动时，动点的绝对加速度并不等于牵连加速度和相对加速度的矢量和。等于牵连加速度和相对加速度的矢量和。那么它们之间的关系是什么呢？ 2 vr 又是怎样出现的呢？它是什么呢？下面我们就来讨论这些问题，推证牵连运动为转动时点的加速度合成定理。earaaa分析上式：22, /erraRavRrrraavRvRRvRRva2)(2222还多出一项 2 vr 。速度分析速度分析牵连速度牵连速度相对速度相对速度绝对速度绝对速度 t 瞬时在位置t+t 瞬时在位置IIevrvreavvvreavvvevrv 可以看出，经过t

18、 时间间隔，牵连速度和相对速度的大小、方向都发生了变化。 设杆OA在图示平面内以匀角速度 绕轴O转动，套筒M（可视为点M）沿直杆作变速运动。取套筒取套筒M为动点，动系固结于杆为动点，动系固结于杆OA上，上，静系固结于机架。静系固结于机架。 相对速度相对速度：由 作速度矢量三角形，在 矢量上截取 长度后， 分解为 和rrrvvv、rvrvrvrv rv rrrvvv 即其中 在t内相对速度大小的改变量，它与牵连转动无关。 在t内由于牵连转动而引起的相对速度方向的改变 量，与牵连转动的 的大小有关 。 rv rv 牵连速度牵连速度： 由 作速度矢量三角形，在 矢量上截取 长度后，将 分解为 和 ，

19、eeevvv、evevevev ev eeevvv 即 t 时间间隔内的速度变化分析时间间隔内的速度变化分析其中: 表示t内由于牵连转动而引起的牵连速度方向的改 变量，与相对运动无关。 表示t内由于相对运动而引起的牵连速度大小的改 变量，与相对速度 有关。ev evrvtvvvvtvvareretaata)() (limlim00tvtvtvvvvrtetrreet000limlim)()(limtvtvtvtvrtrtetet limlim limlim0000加速度分析加速度分析上式中各项的物理意义各项的物理意义如下：第一项正是 t 瞬时动点的牵连加速度 。ea第三项恰是瞬时动点的相对加速

20、度 。ra第二项大小：tOMOMtvvtvteetetlimlim lim000rrtvvtMM方向 , lim10该项为由于相对运动的存在而引起牵连速度的大小改变的加速度。第四项大小：00limlim , rrrrttvvvvtt 方向。这一项表明由于牵连转动而引起相对速度方向改变的加速度。0000limlimlimlimeerrattttvvvvatttt 最后，有加速度合成定理kreaaaaa 即牵连运动为转动时，动点的绝对加速度等于牵连加速度、牵连运动为转动时，动点的绝对加速度等于牵连加速度、相对加速度和科氏加速度三者的矢量和。相对加速度和科氏加速度三者的矢量和。或写成knrrneen

21、aaaaaaaaa一般情况下，科氏加速度可以表示为rkva2 由于第二项和第四项表示的加速度的大小、方向都相同，可以合并为一项，用 表示，称为科氏加速度科氏加速度。ka: 2sinkrav大小方向：按右手螺旋法则确定。0 180 , / ,rv当或时90 , ,rv当时0ka 2krav（常见）DABCasin211vak)/( 022vak 例例7 矩形板ABCD以匀角速度 绕固定轴 z 转动，点M1和点M2分别沿板的对角线BD和边线CD运动，在图示位置时相对于板的速度分别为 和 ，试计算点M1 、 M2的科氏加速度大小, 并标明方向。1v2v点M2 的科氏加速度:垂直板面向里。 解解：科氏

22、加速度为rkva2点M1的科氏加速度:解：rkva222 rv根据 作出速度平行四边形reavvv coseavva22evO A22krav方向与 相同。ev 例例8 曲柄摆杆机构。已知O1Ar， 1， ；取O1A杆上A点为动点，动系固结在O2A上，试求动点A的科氏加速度。1sin(),rsinarvva1cos()r2 2krav1sinsin()cosrr1sin()sincos21sin 2() sincosr解解: 动点: 顶杆上A点； 动系: 凸轮； 静系: 地面。 例例9 凸轮机构以匀角速度 绕O轴转动，图示瞬时OA= r ，A点处曲率半径为 ， 为已知。求该瞬时顶杆 AB的速度

23、和加速度。绝对运动: 直线运动; 绝对速度: va= ? 待求, 方向/AB;牵连运动: 定轴转动; 牵连速度: ve= r ， 方向OA， 。相对运动: 曲线运动; 相对速度: vr= ? 方向n;2222: /(cos), nrravr n相对加速度方向沿: ? , /aaAB绝对加速度方向nar方向 ?2: 0 , , neeaarO牵连加速度方向指向轴心 。tgABaevvv/cosrevv根据速度合成定理reavvv作速度平行四边形。2: 22/ cos , / / , kravrnn科氏加速度方向指向与相反。 tg ( )r /cosr由牵连运动为转动时的加速度合成定理牵连运动为转

24、动时的加速度合成定理kneaaaaaarr作出加速度矢量图加速度矢量图如图示。22222 (cossec/2sec )/cosABaaarrr 232(1sec/2sec)rr 向 n 轴投影：knreaaaaacoscos22/ cos ,kar222/(cos),nrar 2 ,ear代入：牵连运动为转动时reavvvreaaaa第八章点的合成运动习题课第八章点的合成运动习题课)2( rkkreavaaaaa一概念及公式一概念及公式 点的绝对运动为点的相对运动与牵连运动的合成。2. 速度合成定理速度合成定理3. 加速度合成定理加速度合成定理牵连运动为平动时1. 一点、二系、三运动一点、二系

25、、三运动4. 作加速度分析，画出加速度矢量图，求出有关的加速度、 角加速度未知量。二解题步骤二解题步骤1. 选择动点、动系、静系。2. 分析三种运动：绝对运动、相对运动和牵连运动。3. 作速度分析, 画出速度平行四边形,求出有关未知量 (速度、 角速度）。2. 牵连运动为转动时作加速度分析不要丢掉科氏加速度 。ka三注意问题注意问题1. 牵连速度及加速度是牵连点相对静系的速度及加速度。3. 加速度矢量方程的投影是等式两端的投影，与静力平衡方程 的投影式不同。22/navRR4. 圆周运动时，2/nav非圆周运动时，（ 为曲率半径）牵连运动：平动，牵连运动：平动，)( OAlva方向2 () (

26、)anaalOAalAOO方向沿指向铅直方向 ? ?rrav? ? eeva水平方向，待求量。 例例1 曲柄滑杆机构。已知: OAl ， = 45o 时，、 ;求：小车的速度与加速度。解解：动点：动点：OA杆上杆上 A点点;动系：固结在滑杆上动系：固结在滑杆上;静系：固结在机架上。静系：固结在机架上。绝对运动：圆周运动，绝对运动：圆周运动，相对运动：直线运动，相对运动：直线运动，小车的速度小车的速度：evv 根据速度合成定理 作速度平行四边形, 如图示。reavvvcoseavv向x轴投影：cossinnaaeaaa2 cos45sin45eall方向如图示。22()2l小车的加速度小车的加速

27、度：eaa 根据牵连平动的加速度合成定理renaaaaaa作出加速度矢量图如图示。2cos45 ()2ll牵连运动：定轴转动，牵连运动：定轴转动，, aavvaa?,rrav2? ; ? neeaODOAaODO指向?, evODOA 例例2 摇杆滑道机构。已知 h、 、v、a，求OA杆的、 。解解：动点动点: BC上销子上销子D ; 动系动系: 固结于固结于OA；静系；静系: 固结于机架。固结于机架。绝对运动：直线运动，绝对运动：直线运动，沿OA 线相对运动：直线运动，相对运动：直线运动，2 kravOA，2krav向x 轴投影：keaaaacoscoseakaaaeaOD（）根据牵连转动的

28、加速度合成定理牵连转动的加速度合成定理krneeaaaaaacoscos ,eavvv/evOD（）sinsinravvv2cos/coc s sohvvh2cos2sinvvh222cossincosvah2222coscossin2avhh根据速度合成定理速度合成定理 作速度平行四边形作速度平行四边形，如图所示。reavvv2neaOD23cosvh请看动画请看动画解解：动点动点: O1A上上A点点; 动系动系: 固结于固结于BCD上上, 静系固结于机架上。静系固结于机架上。牵连运动：平动牵连运动：平动;AOrva11 , ? / rvBC?ev绝对运动：圆周运动绝对运动：圆周运动;相对运

29、动：直线运动相对运动：直线运动;方向水平 例例3 曲柄滑块机构曲柄滑块机构。已知：O1A = r ， 1、 、 h；图示瞬时O1A / O2 E，求该瞬时 O2 E 杆的 2 。作出速度平行四边形。作出速度平行四边形。reavvv再选动点：再选动点：BCD上上F点，点，动系：固结于动系：固结于O2E上，上，静系固结于机架上。静系固结于机架上。sineavv根据根据作速度平行四边形。作速度平行四边形。FrFeFavvvsineFaFvv222, /sineFvO FO Fh又 根据根据2? /rFvO E1sin ()aFvr2? eFvO E绝对运动：直线运动，绝对运动：直线运动，相对运动：直

30、线运动，相对运动：直线运动，牵连运动：定轴转动牵连运动：定轴转动，211sinsinsinrr22eFvO F）（21sinsinrh1sinr31sinrh绝对运动绝对运动: 直线运动，直线运动，相对运动相对运动: 直线运动，直线运动，牵连运动牵连运动: 定轴转动，定轴转动，, aavvaa? ? /rrvaOA方向? evOC方向 例例4 凸轮机构。凸轮机构。已知凸轮半径为R，图示瞬时O、C在一条铅直线上， 、v 、a 已知。求该瞬时OA杆的角速度和角加速度。 由于两个物体上的接触点位置均是变化的，故不宜选接触点为动点。; ?2OOCane指向?eaOC方向OC请看动画请看动画解解: 取凸轮上取凸轮上C点为动点，点为动点， 动系固结于动系固结于OA杆上，杆上， 静系固结于地面上。静系固结于地面上。分析分析:0, , sin/sinereavvvvvvvOCRR作出速度平行四边形，知根据reavvv根据krneeaaaaaa作出加速度矢量图。02 ,sin)sin(sin22rknevaRvRvRa向 轴投影：coscossinnaeeaaatgneaeaaa2222tgsin/