余弦定理教学设计

1、1.2余弦定理扬中市第二高级中学高中数学郭婕婷一、教学目标认知目标：通过对余弦定理的探究与证明, 熟悉利用平面几何法、向量法、 坐标法等方法证明余弦定理, 了解余弦定理与勾股定理之间的联系. 知道解三角形的问题的几种情形及其基本解法.能力目标：引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出余弦定理，培养学生的创新意和观察与逻辑思维能力，能体会用向量作为数形结合的工具，将几何问题转化为代数问题；加深对数学思想的认识, 本节的主要数学思想是量化的数学思想、分类讨论思想以及数形结合思想; 这些数学思想是对于数学知识的理性的、本质的、高度抽象的、概括的认识, 具有普遍的指导意义, 它是我们学习数学的

2、重要组成部分, 有利于学生加深对于具体数学知识的理解和掌握情感目标：通过对三角形边角关系的探索, 提高数学语言的表达能力, 并进一步理解三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系, 加深对数学具有广泛应用的认识 ; 同时通过正弦定理、余弦定理数学表达式的变换, 认识数学中的对称美、简洁美、统一美.二、教学重点与难点教学重点是余弦定理的发现过程及定理的应用；教学难点是用向量的数量积推导余弦定理的思路方法及余弦定理在应用求解三角形时的思路。三、学情分析和教学内容分析对余弦定理的探究, 同正弦定理类似. 课本在引入余弦定理内容时, 首先提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其夹角 , 根据三角

3、形全等的判定方法,这个三角形是大小、形状完全确定的三角形. 我们仍然从量化的角度来研究这个问题 , 也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题”.比如对于余弦定理的证明，常用的方法是借助于三角的方法，需要对 三角形进行讨论，方法不够简洁，教材通过向量知识给予证明，引起学生对向量知 识的学习兴趣，同时感受向量法证明余弦定理的简便之处，发挥了向量方法在解 决问题中的威力，另外还有坐标法.在证明了余弦定理以后，还要启发引导学生注 意余弦定理的各种变形式，并总结余弦定理的适用题型的特点，在解题时正确选 用余弦定理达到求解、求证的目的.苏教版普通高中课程标准实验教科书必修（

4、五）（第2版）第一章解 三角形第一单元第二课余弦定理。通过利用向量的数量积方法推导余弦定 理，正确理解其结构特征和表现形式，解决“边、角、边”和“边、边、边”问 题，初步体会余弦定理解决“边、边、角”，体会方程思想，激发学生探究数学， 应用数学的潜能。四、教学过程：环节一【创设情境】复习引入1、一般三角形全等的四种判断方法是什么？a b c2、三角形的正弦定理内容主要解决哪几类问题的三角sin A sin A sin C形？情景引入你能判断下列三角形的类型吗？1、以3, 4, 5为各边长的三角形是:三角形以2, 3, 4为各边长的三角形是 :三角形以4, 5, 6为各边长的三角形是 :三角形2

5、、在4ABC中a= 8, b = 5, / c= 60 ,你能求c边长吗？ 引导学生从平面几何、实践作图方面进行估计判断。（学生可能比较茫然，帮助学生分析相关内容，从多角度看待问题，用实践进行 检验。）环节二【导入新课】问题1:你能够有更好的具体的量化方法吗？教师引导学生从相关知识入手，选择简洁的工具。帮助学生从平面几何、三角函数、向量知识、坐标法等方面进行分析讨论，选择简洁的处理工具，引发学生的 积极讨论。问题2:利用向量法推导余弦定理：如图：设 CB = a,CA = b,AB = C,由三角形法则有c = a - b2 2 -h-hh h h hc = c c = I - b)a - b

6、)p.p.- a a b b - 2a b=a2 b2 - 2abcosc即： ABC中：c2 = a2 b2 - 2abcosc同理，让学生利用相同方法推导,2.22222a =b c - 2bccosA,b =a c - 2acosB教师点拨：学生对向量知识可能遗忘，注意复习；在利用数量积时，角度可能出 现错误，出现不同的表示形式，让学生从错误中发现问题，巩固向量知识，明确 向量工具的作用。同时，让学生明确数学中的转化思想：化未知为已知 .于是，我们得到三角形中边角关系的又一重要定理：（多媒体投影余弦定理的内容）余弦定理三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积

7、的两倍，即余弦定理：a2 = b2+c2-2bccosAb2 = a2 c2 -2accosBc2 = a2 b2 -2abcosC教师：知识归纳比较，发现特征，加强识记。观察余弦定理，指明了三边长与其 中一角的具体关系，并发现a与A, b与B, C与c之间的对应表述，同时发现 三边长的平方在余弦定理中同时出现使学生明确对应关系，树立方程思想，解决,22 _2“边、角、边”问题；余弦定理的推论：cosA = b-c-2bc2 .2.2a c -bcos B :222c a b -ccosC =2ac2ab解决“边、边、边”问题。问题3:余弦定理在解三角形中的应用教师启发学生：根据余弦定理的两种

8、形式，可以看出它能够解决解三角形的哪些 类型？（学生并不难发现，余弦定理可以用来解决两种解三角形的类型：已知三角形的两边及其夹角，求第三边；已知三角形的三边，求三个内角。 ）下面，请同学们根据余弦定理的这两种应用， 来解决以下三个例题。（用多媒体 展小例题）例1:在4ABC中，已知b = 60cm, c= 34cm, A = 41 ,求解三角形（角度精 确到1 ,边长精确到1cm）例 2:在4ABC 中，已知 a= 134.6cm, b = 87.8cm, c= 161.7cm,解三角形（角 度精确到1 ）双边活动：师生可以共同完成例题，进一步的加深学生对余弦定理的应用。教师设计意图：应用数学

9、知识求解问题加强计算器的运算功能，同时，巩固好 正弦定理，余弦定理知识，发现两种知识方法在解三角形中的综合应用。6 .例3:已知 ABC中a = 3,b =、3,sin A =求c边长3分析：（1）用正弦定理分析引导（2）应用余弦定理a2 =b2+c2 -2bccosA构造关于C的方程求解。（3）比较两种方法的利弊。能用正弦定理解决的问题均可以用余弦定理解 决，更具有优越性。教师设计意图：继续深化正弦、余弦定理，尤其是余弦定理的方程思想求解问题 优越于余弦定理。并让学生初步发现“边、边、角”问题解法，为下节学习辅垫。 环节三【练习与巩固11、在 ABC 中，a=1,b=1,/C=120,则 c

10、=。2、在 ABC 中，若三边 a,b,c满足 a2 =b2+c2+bc,则 A=。3、在 ABC中，已知sin A: sin B : sin C = 3: 4: 5，这个三角形是 （填 锐角、直角、钝角三角形）。4、在4ABC中，BC=3,AC=2,AB上的中线长为2,求AB。双边活动：学生限时训练，让学生回答结果，对于出错题目加以讲解，可以用多媒体展示第4 题的解题过程。环节四 【 课堂反思总结】1、正弦、余弦定理各能解决哪些类型问题？各有什么利与弊？2、从本课中你学到了哪些知识和方法？（先由学生回答总结，教师适时的补充完善）1、余弦定理的发现从直角入手，分别讨论了锐角和钝角的情况，体现了

11、由特殊到一般的认识过程，运用了分类讨论的数学思想；2、用向量证明了余弦定理，体现了数学知识的应用以及数形结合数学思想的应用；3、余弦定理表述了三角形的边与对角的关系，勾股定理是它的一种特例。用这个定理可以解决已知三角形的两边及夹角求第三边和已知三角形的三边求内角的两类问题。（从实际问题出发，通过猜想、实验、归纳等思维方法，最后得到了推导出正弦定理。 我们研究问题的突出特点是从特殊到一般，我们不仅收获着结论，而且整个探索过程我们也掌握了研究问题的一般方法。在强调研究性学习方法，注重学生的主体地位，调动学生积极性，使数学教学成为数学活动的教学。）环节五【 板书设计 】1、推导余弦定理及其推论2、例

12、33、练习指导4、小结投影正弦、余弦定理，比较它们理解知识环节六 【 布置课后作业】1、讨论余弦定理的其它解法设计思路。2、第11 页 A 组 3、 4 题五、教学反思本课的教学应具有承上启下的目的。因此在教学设计时既要兼顾前后知识的联系， 又要使学生明确本课学习的重点，将新旧知识逐渐地融为一体，构建比较完整的知识系统。所以在余弦定理的表现方式、结构特征上重加指导，只有当学生正确地理解了余弦定理的本质，才能更好地应用求解问题。本课教学设计力求 在型（模型、类型），质（实质、本质），思（思维、思想方法）上达到教学效果。 本课之前学生已学习过三角函数，平面几何，平面向量、解析几何、正弦定理等 与本课紧密联系的内容，使本课有了较多的处理工具，也使余弦定理的探讨有了 更加简洁的工具。因此在本课的教学设计中抓住前后知识的联系，