二元函数的极限与连续ppt课件

1、一、二元函数的极限一、二元函数的极限1.二重极限二重极限 定义定义 设二元函数设二元函数f(P)在区域在区域 有定义，有定义， 是是D的聚点的聚点.假假设设 或或 ，有，有 ，那么称函数那么称函数f(P)关于区域关于区域D在点在点 存在极限，极限是存在极限，极限是A，表表为为 .2RD 0P00:, 0, 0,PPDPRA),(0PP APf)(0PAPfPP)(lim0也表为也表为 ，有，有 且且)(Pf),(),(000yxPyxP),(yxf),(000yxP,:),(, 0, 000yyxxDyx),(),(00yxyx,),( Ayxf.),(lim00Ayxfyyxx假设二元函数假

2、设二元函数用坐标表示，即用坐标表示，即那么二元函数那么二元函数在点在点的极限是的极限是A就是就是用方形去心邻域：用方形去心邻域：这个极限经常叫做二重极限这个极限经常叫做二重极限. 阐明：“ ,且 表示点 的方形去心邻域.普通来说，验证二元函数的极限运用方形的去心邻域比较方便.当然也可以用点的圆形去心邻域： .“去心阐明，函数f(x,y)在点 的极限与函数f(x,y)在点 的情况无关.00,yyxx),(),(00yxyx),(000yxP2020)()(0yyxx),(000yxP),(000yxP例例1.14)23(lim212yxyx证明证明证明证明:12 x限定限定11 y 与与 1取取

3、 ),. 542422xxx有有 12223) 1(2)2)(2(3) 1(2)4(314)23(22yxxyxxyxyx12215yx).12(15yx1,2: ),(, 01 ,30min, 0yxyx)12(1514)23(2yxyx, 0要使不等式要使不等式 成立成立.于是，于是，) 1 , 2(),(yx且且14)23(2yx，有，有 .14)23(lim212yxyx即即 .1 ,30min取取证明：函数证明：函数 在原点在原点0，0的极限是的极限是0.)0 , 0(),(. 0, 0, 0,1sin1sin),(yxxyxyxyyxyxf证明： . 0, 0, 0,1sin1si

4、n0),(xyxyxyyxyxf下面分两种情况讨论：下面分两种情况讨论：, 0)0 , 0(),( , 0yxxy1xyx: ),(, 0.显然，显然，,y与与.00),(yxf 有有 例例2.xyx: ),(,2,y与与有有 20 xyxyyxyxf1sin1sin0),(xyyx1sin1sinyx 于是，于是， 与与 且且 ，有，有, 0 xyx: ),(,2,y)0 , 0(),(yx.0),(yxf即函数即函数f(x,y)在原点在原点(0,0)的极限是的极限是0.2在例在例2中，原点中，原点(0,0)并不属于函数并不属于函数f(x,y)的定义域，但是它在的定义域，但是它在原点原点(0

5、,0)仍存在极限仍存在极限. 在二重极限 的定义中，动点(x,y)在 中趋向于点 与一元函数y=f(x)的自变量x在数轴上的变化不同，它可以在区域 内沿着不同的道路如曲线或直线等和不同的方式延续或离散等，从四面八方趋近于点 ，二元函数f(x,y)在点 的极限都是A.反之，动点P(x,y)沿着某两条不同的曲线或点列无限趋近于点 ，二元函数f(x,y)有不同的“极限，那么二元函数f(x,y)在点 不存在极限.Ayxfyyxx),(lim002R),(000yxP2RD ),(000yxP),(00yx),(000yxP),(000yxP留意：留意： 令动点令动点P(x,y)沿直线沿直线y=kx趋近

6、于点趋近于点 ，假设极限值与，假设极限值与k有关，那么二元函数有关，那么二元函数f(x,y)在点在点 不存在极限不存在极限.),(000yxP),(000yxP找两种不同的趋近方式，使二重极限找两种不同的趋近方式，使二重极限 存在存在,但两者不相等，那么二元函数但两者不相等，那么二元函数f(x,y)在点在点 不存在极不存在极限限.Ayxfyyxx),(lim00),(000yxP确定二重极限确定二重极限 不存在的方法：不存在的方法：Ayxfyyxx),(lim00 证明：函数证明：函数 在原点在原点(0,0)不存在极限不存在极限.)0 , 0(),(),(242yxyxyxyxf证明：证明：

7、当动点当动点P(x,y)沿着沿着x轴轴(y=0)和和y轴轴(x=0)无限趋近于原点无限趋近于原点(0,0)时，极限都是时，极限都是0，即即 0), 0(lim0yfy0)0 ,(lim0 xfx 与与 .当动点当动点P)x,y)沿着经过原点沿着经过原点(0,0)的抛物线的抛物线 无限趋近于原无限趋近于原点点(0,0)时，时， 2xy 有将有将y换成换成 2x.21)(lim),(lim22422020 xxxxxxfxx于是，函数于是，函数f(x,y)在原点在原点(0,0)不存在极限不存在极限.例例3.证明证明 不存在不存在 证证26300limyxyxyx 取取,3kxy 26300limy

8、xyxyx 6263303limxkxkxxkxyx ,12kk 其值随其值随k的不同而变化，的不同而变化，故极限不存在故极限不存在例例4: 二元函数f(x,y)在其它情况下的极限的定义： 等等等等.Ayxfyyx),(lim0: ),(, 00, 0yxB与.),( Ayxf有有,0yyBx与),(limyxfyx: ),(, 0, 0yxBC阐明：二元函数极限与一元函数极限类似阐明：二元函数极限与一元函数极限类似,有部分有界性，极限有部分有界性，极限保序性，四那么运算，柯西收敛准那么等性质保序性，四那么运算，柯西收敛准那么等性质.),(Cyxf有,By 与Bx 求极限求极限 .)sin(l

9、im22200yxyxyx 解解22200)sin(limyxyxyx ,)sin(lim2222200yxyxyxyxyx 其中其中yxyxyx2200)sin(limuuusinlim0, 1 222yxyx x21 , 00 x. 0)sin(lim22200 yxyxyxyxu2 例例5:2. 累次极限累次极限定义定义 假设当假设当 时时y 看作常数，函数看作常数，函数f(x,y)存在极限，存在极限，设设 当当 时，时， 也存在极限，设也存在极限，设 那么称那么称B是函数是函数f(x,y)在点在点P(a,b)的累次极限的累次极限.ax ).(),(limyyxfaxby )(y,),(

10、limlim)(limByxfyaxbyby同样可定义另一个不同次序的累次极限，即同样可定义另一个不同次序的累次极限，即 .),(limlimCyxfbyax3. 二重极限与累次极限之间的关系：二重极限与累次极限之间的关系：1两个累次极限都存在，且相等，但是二重极限能够不存在两个累次极限都存在，且相等，但是二重极限能够不存在. , 0limlimlimlim2420024200yxyxyxyxxyyx如上述的例如上述的例3. 24200limyxyxyx而而 不存在不存在.2二重极限存在，但是两个累次极限能够都不存在二重极限存在，但是两个累次极限能够都不存在. 如上述的例如上述的例2., 01

11、sin1sinlim00 xyyxyxxyyxxy1sin1sinlimlim00而而 xyyxyx1sin1sinlimlim00与与 都不存在都不存在. 4. 二重极限可化为累次极限计算的条件二重极限可化为累次极限计算的条件定理定理1. 假设函数假设函数f(x,y)在点在点 的二重极限与累次极限的二重极限与累次极限首首先先 ，其次，其次 都存在，那么都存在，那么 ),(000yxP0yy 0 xx ).,(limlim),(lim0000yxfyxfyyxxyyxxByxfyyxx),(limlim00Ayxfyyxx),(lim00证明：证明： 设设与与只须证明只须证明A=B， . AB

12、, 0即即有有.由二重极限的定义，由二重极限的定义，有，有 0: ),(, 0, 0 xxyx0yy与，且，且),(),(00yxyx.),( Ayxf(1)由累次极限的定义知，由累次极限的定义知， .)(lim),(limlim000Bxyxfxxyyxx).(),(lim0 xyxfyy,0:0 xxx极限极限存在，设存在，设 从而，有从而，有 对不等式对不等式1取极限取极限 ，有，有0yy Ayxfyy),(lim0即即 .)( AxAxxx)(lim0再取极限再取极限. AB，即，即 ),(lim0yxfyy二、二元函数的延续性二、二元函数的延续性1. 延续的定义延续的定义定义点延续定

13、义点延续 设二元函数设二元函数f(P)在区域在区域 有定义，且有定义，且 . 假设假设 即即 或或 有有 那么称二元函数那么称二元函数 f(P)在在 延续延续.2RD DP 0).()(lim00PfPfPP0:, 0, 0PPDP),(0PUP,)()(0PfPf0P假设二元函数假设二元函数f(P)在在 不延续，那么称不延续，那么称 是二元函数是二元函数f(P)的的延续点延续点.0P0P定义定义2区域延续区域延续 假设二元函数假设二元函数f(P)在区域在区域D恣意点都延续，那恣意点都延续，那么称么称二元函数二元函数f(P)在区域在区域D延续延续.假设二元函数假设二元函数f(P)用坐标表示，即

14、用坐标表示，即 ),(),(000yxPyxP那么二元函数那么二元函数 f(x,y)在点在点 延续是延续是 ),(000yxP),(),(lim0000yxfyxfyyxx即即(用用方形邻域方形邻域).),(),(00yxfyxf,:),(, 0, 000yyxxDyx有有 讨论函数讨论函数 0, 00,),(222222yxyxyxxyyxf在在(0,0)的延续性的延续性解解取取kxy 2200limyxxyyx 22220limxkxkxkxyx 21kk 其值随其值随k的不同而变化，的不同而变化，极限不存在极限不存在故函数在故函数在(0,0)处不延续处不延续例例6:2. 二元延续函数的性

15、质二元延续函数的性质. 0)(Pf，有，有DPUP),(, 000)(0Pf，那么，那么20RDP定理定理4.保号性保号性 假设二元函数假设二元函数f(P)在点在点延续延续,且且定理定理2. 假设二元函数假设二元函数f(P)与与g(P)在点在点 延续，那么函数延续，那么函数 在点在点 都延续都延续. 0P)0)()()(),()(),()(0PgPgPfPgPfPgPf0P定理定理3. 假设函数假设函数 在点在点 连连续，并且二元函数续，并且二元函数f(u,v)在点在点 延续，那么复合函数延续，那么复合函数 在点在点 延续延续.),(000yxP),(),(yxyxfy),(),(yxvyxu

16、y),(000yxP),(),(),(000000yxyxvuy注：一元函数注：一元函数 可看作是特殊的二元函数可看作是特殊的二元函数. )(),(yxy).,()(yxFx Ry)(x例如，例如，可看作是可看作是，有，有 ),(0Ry ),(00yx),(yxF0 x)(x从而，一元函数从而，一元函数在在延续，也就是二元函数延续，也就是二元函数在在延续延续即即 ).,()()(lim),(lim000000yxFxxyxFxxyyxx因此，凡是延续的一元函数也是延续的二元函数. )sin(3sin),(223yxexxyxfy例如，二元函数例如，二元函数 ),(yx0)sin(22 yx在使

17、分母在使分母的点的点都延续都延续.例例.11lim00 xyxyyx 求求解解)11(11lim00 xyxyxyyx原原式式111lim00 xyyx.21 ).()(lim)()()()(lim00000PfPfPPfPfPPfPfPPPP 处处连连续续，于于是是点点在在的的定定义义域域的的内内点点，则则是是数数，且且是是初初等等函函时时，如如果果一一般般地地，求求3.有界闭区域上的延续函数的性质有界闭区域上的延续函数的性质定理定理5.有界性有界性 假设函数假设函数f(P)在有界闭区域在有界闭区域 延续，那延续，那么函么函数数f(P)在在D有界，即有界，即 有有2RD , 0DPM.)(MPf定理定理6.最值性最值性 假设函数假设函数f(P)在有界闭区域在有界闭区域D延续，那么函数延续，那么函数f(P)在在 获得最小值获得最小值m与最大值与最大值M，即，即 使使 且且 有有 2RD ,21DPDP,)(,)(21MPfmPf,DP.)(MPfm定理定理7.介值性介值性 假设二元函数假设二元函数f(x,y)在有界闭区域在有界