离散数学 1_2(集合)[2014_9_17]

1、n 文氏图文氏图法法 解：解：A B = B A = a，b，c，d，e，fA B = B A = a，dA B = b，c ，B A = e，f A =e，f，g，h，i，j，k，l，m，n，o，p，q，r，s，t，v，w，x，z B =b，c，g，h，i，j，k，l，m，n，o，p，q，r，s，t，v，w，x，y A B = B A = b，c，e，f 对于任意对于任意x A B，根据对称差的定义知：，根据对称差的定义知：x A且且x B，或者，或者x B且且x A；又根据差集的定义知：；又根据差集的定义知：x AB，或者，或者x B A；再根据并集的定义知：；再根据并集的定义知：x (A

2、B) (BA)。由此，。由此，A B (AB) (BA)。对于任意对于任意x (AB) (BA)，根据并集的定义知：，根据并集的定义知：x AB，或者，或者x B A；又根据差集的定义知：；又根据差集的定义知：x A且且x B，或者，或者x B且且x A；再根据对称差的；再根据对称差的定义知：定义知：x (AB) (BA)。由此，。由此， (AB) (BA) A B。综上述，综上述，A B = (AB) (BA)。证毕。证毕。 证明证明 对于任意对于任意x B，分两种情形讨论。，分两种情形讨论。情形一：情形一：x A。由。由x A及交集的定义，及交集的定义，x A B。从而，由对称。从而，由对

3、称差的定义知差的定义知x A B，那么由已知条件得到，那么由已知条件得到x A C。假定。假定x C，那么由差集的定义知：，那么由差集的定义知：x AC；进而，由；进而，由A C = (AC) (CA)知：知：x A C。矛盾。所以有。矛盾。所以有x C。故。故B C情形二：情形二：x A。由。由x B及差集的定义，及差集的定义，x BA。由。由A B = (AB) (BA)知：知：x A B，那么由已知条件得到，那么由已知条件得到x A C。再由。再由A C = (AC) (CA)知：知：x AC或或x CA。由于。由于x A，于是，于是x AC。由此，。由此，x CA。进而。进而x C。故

4、。故B C同理，可证得同理，可证得C B。综上知，如果综上知，如果A B = A C，则，则B = C。证毕。证毕。 证明证明B = B (A B) （吸收律）（吸收律）= B (A C) （已知条件）（已知条件）= (B A) ( B C) （分配律）（分配律）= (A B) ( B C) （交换律）（交换律）= (A C) ( B C) （已知条件）（已知条件）= (A B) C （分配律）（分配律）= (A C) C = C （已知条件、吸收律）（已知条件、吸收律）证毕。证毕。 证明证明 对于任意对于任意x P(AB)，如果，如果x = ，显然，显然x (P(A) P(B) ；如果；如果

5、x ，根据幂集定义，根据幂集定义，x AB。从而，。从而，x A且且x中的任何元素不是中的任何元素不是B的的元素。那么，元素。那么，x不是不是B的子集合。因此，的子集合。因此，x P(A)且且x P(B)。所以，。所以，x (P(A) P(B)。故。故P(AB) (P(A) P(B) 。 证毕。证毕。 （计数问题）（计数问题）设设A，B是有限集合，当是有限集合，当A和和B不相交时，显然有不相交时，显然有|AB| = |A|+|B|由集合运算的文氏图（图由集合运算的文氏图（图1.2）可以看出）可以看出（证明省略）（证明省略） 对于有限集合对于有限集合A、B和和C，A B C的基数为的基数为 解：设解：设1到到500间分别能被间分别能被3，5，7整除的整数集合为整除的整数集合为A，B和和C|A| = 500/3=166 ，|B|=500/5=100|C|=500/7=71|A B|=500/(3 5)=33，|A C|=500/(3 7)=23|B C|=500/(5 7)=14|A B C|=500/(3 5 7)=4根据定理根据定理1.5得到得到|A B C | = (|A|+ |B|+ |C|) (|A B|+|A C|+|B C|)+ |A B C| =166+1