1.2求导法则经济数学赵树嫄ppt课件

1、蚌埠学院 高等数学二、反函数的导数二、反函数的导数三、复合函数的导数三、复合函数的导数四、初等函数的求导问题四、初等函数的求导问题 五、小结思考判断题五、小结思考判断题一、四则运算求导法则一、四则运算求导法则 第二章 蚌埠学院 高等数学思路思路: :xxfxxfxfx)()(lim)(0( 构造性定义 )求导法则其它基本初等函数求导公式0 xcosx1 )(C )sin(x )ln(x证明中利用了两个重要极限初等函数求导问题本节内容蚌埠学院 高等数学一、四则运算求导法则一、四则运算求导法则 定理定理1.具有导数都在及函数xxvvxuu)()()()(xvxu及的和、 差、 积、 商 (除分母为

2、 0的点外) 都在点 x 可导, 且)()( )()() 1 (xvxuxvxu)()()()( )()()2(xvxuxvxuxvxu)()()()()()()()3(2xvxvxuxvxuxvxu下面证明,并同时给出相应的推论和例题 .)0)(xv蚌埠学院 高等数学此法则可推广到任意有限项的情形.证证: : 设, 那么vuvu )() 1 ()()()(xvxuxfhxfhxfxfh)()(lim)(0hxvxuhxvhxuh )()( )()(lim0hxuhxuh)()(lim0hxvhxvh)()(lim0)()(xvxu故结论成立.wvuwvu)( ,例如蚌埠学院 高等数学(2)v

3、uvuvu )(证证: :设设, )()()(xvxuxf则有hxfhxfxfh)()(lim)(0hxvxuhxvhxuh)()()()(lim0故结论成立.)()()()(xvxuxvxuhhxuh )(lim0)(xu)(hxvhxv)( )(xu)(hxv推论推论: : )() 1uC )()2wvuuC wvuwvuwvu )log()3xaaxlnlnaxln1( C为常数 )蚌埠学院 高等数学例例1. 解:xsin41(21)1sin, )1sincos4(3xxxy1.xyy求及及 y)(xx)1sincos4(213xxx23( xx)1xy1cos4)1sin43( 1co

4、s21sin2727)1sincos4(3xx)1sincos4(3xx蚌埠学院 高等数学)()( lim0 xvhxvh)()()()()()(xvhxvhxvxuxvhxuh)()(xvxu(3)2vvuvuvu证证: :设设)(xf则有hxfhxfxfh)()(lim)(0hh lim0,)()(xvxu)()(hxvhxu)()(xvxuhhxu )( )(xu)(xvhhxv )( )(xu)(xv故结论成立.)()()()()(2xvxvxuxvxu推论推论: :2vvCvC( C为常数 )蚌埠学院 高等数学 )(cscxxsin1x2sin)(sinxx2sin例例2.2.求证求

5、证,sec)(tan2xx证证: : .cotcsc)(cscxxxxxxcossin)(tan x2cosxx cos)(sin)(cossinxx x2cosx2cosx2sinx2secxcosxxcotcsc类似可证:,csc)(cot2xx.tansec)(secxxx蚌埠学院 高等数学 )( xf二、反函数的求导法则二、反函数的求导法则 定理定理2. y 的某邻域内单调可导, 证证: : 在 x 处给增量由反函数的单调性知且由反函数的连续性知 因而1( )( ),yf xxfy设为数的反函1( )fy在1( )0fy 且d dyx或,0 x)()(xfxxfy,0 xyyx00,x

6、y 时必有xyxfx0lim)( lim0yyxyxdd 1 )(1yf11 )(1yf11蚌埠学院 高等数学1例例3. 求反三角函数及指数函数的导数求反三角函数及指数函数的导数.解解:1):1)设设,arcsin xy 那么,sin yx , )2,2(y)(arcsinx)(sinyycos1y2sin11211x类似可求得?)(arccosx,11)(arctan2xx211)arccot(xx211xxxarcsin2arccos利用0cosy, 那么蚌埠学院 高等数学2) 设, )1,0(aaayx那么),0(,logyyxa)(xa)(log1ya 1ayln1aylnaaxlnx

7、xe)e( )arcsin(x211x )arccos(x211x )arctan(x211x )cotarc(x211xaaaxxln)(xxe)e(特别当ea时,小结小结:蚌埠学院 高等数学在点 x 可导, lim0 xxuxuuf)(xyxyx0limdd三、复合函数求导法则三、复合函数求导法则定理定理3.)(xgu )(ufy 在点)(xgu 可导复合函数 fy )(xg且)()(ddxgufxy在点 x 可导,证证:)(ufy 在点 u 可导, 故)(lim0ufuyuuuufy)(（当 时 )0u0故有)()(xgufuy)(uf)0()(xxuxuufxy蚌埠学院 高等数学 例4

8、. 求 y = sin x2 的导数.2(sin )()uyux解解22 cosxx2cos()ux 222(sin)cos()yxxx设 y = sinu u= x222 cosxx1122222221()()()2yxaxaxa22122xxuxa 例5. 求 的导数.22axy22yuuxa解解 设设22()()uyuxa2221222)(21axxxax蚌埠学院 高等数学例如,)(, )(, )(xvvuufyxydd)()()(xvufyuvxuyddvuddxvdd关键: 搞清复合函数结构, 由外向内逐层求导.推广：此法则可推广到多个中间变量的情形推广：此法则可推广到多个中间变量的

9、情形. .蚌埠学院 高等数学例例6. 求下列导数求下列导数:. )(sh)3(;)()2(;)() 1 (xxxx解解: (1): (1)()(lnxexxeln)ln(xxx1x)()(lnxxxexxxeln)ln(xxxx)1ln(x(2)(3)2)(shxxeex2 xexexch说明说明: : 类似可得类似可得;sh)(chxx axxealn)(thx)(xaxxxchshth2shxxeex;ch12x.lnaax蚌埠学院 高等数学例例7. 设设, )cos(lnxey 求.ddxy解:xydd)cos(1xe)sin(xexe)tan(xxee考虑考虑: :假设假设)(uf 存

10、在,如何求)cos(lnxef的导数?xfdd)cos(ln(xef ) )cos(lnxe)cos(ln)(xeuuf这两个记号含义不同练习练习: :设设,)(xfffy ( ).f xy导其中可,求蚌埠学院 高等数学例例8. 设设, )1(ln2xxy.y求解: y112xx11212xx2112x记, )1(lnarsh2xxx那么 )(arshx112x(反双曲正弦)其它反双曲函数的导数见 P94例16. 2shxxeex的反函数蚌埠学院 高等数学四、初等函数的求导问题四、初等函数的求导问题 1. 常数和基本初等函数的导数 (P94) )(C0 )(x1x )(sin xxcos )(

11、cosxxsin )(tan xx2sec )(cot xx2csc )(secxxxtansec )(cscxxxcotcsc )(xaaaxln )(xexe )(log xaaxln1 )(ln xx1 )(arcsin x211x )(arccosx211x )(arctanx211x )cot(arcx211x蚌埠学院 高等数学2. 有限次四则运算的求导法则 )(vuvu )( uCuC )( vuvuvuvu2vvuvu( C为常数 )0( v3. 复合函数求导法则)(, )(xuufyxydd)()(xuf4. 初等函数在定义区间内可导初等函数在定义区间内可导, )(C0 )(s

12、in xxcos )(ln xx1由定义证 ,说明说明: : 最基本的公式最基本的公式uyddxudd其它公式用求导法则推出.且导数仍为初等函数且导数仍为初等函数蚌埠学院 高等数学例例9. 求解解: :,1111xxxxy.y21222xxy12xx1 y1212x)2( x112xx例例8. 设),0( aaaxyxaaaxa1aaaxayaaaxln1axaaaxaln求.yaaxln蚌埠学院 高等数学例例10. 求解解:,1arctan2sin2xeyx.y1arctan) (2xy) (2sin xe2sin xe2cosxx221x1212xx2x21arctan2x2sin xe2

13、cos x2sin xe112xx关键关键: : 搞清复合函数结构搞清复合函数结构 由外向内逐层求导由外向内逐层求导蚌埠学院 高等数学例例11. 设设求,1111ln411arctan21222xxxy.y y22)1(1121x21xx) 11ln() 11ln(22xx111412x21xx1112x21xx2121xx221x21x231)2(1xxx蚌埠学院 高等数学例例12.12.).(,0,0,sin)(xfxxxxxf 求设分段函数求导时,分界点导数用左右导数求.解解,0时时当当 xxxfcos)( ,1)( xf,0时时当当 x,0时时当当 x10)0sin(lim)0(0 h

14、hfh10lim)0(0 hhfh. 1)0( f.0, 10,cos)( xxxxf蚌埠学院 高等数学例例13.13.)2(21ln32的的导导数数求求函函数数 xxxy练习：练习：.1sin的的导导数数求求函函数数xey 解解)1(sin1sin xeyx)1(1cos1sin xxex.1cos11sin2xexx 211ln(1)ln(2)23yxx2113(2)xyxx 蚌埠学院 高等数学内容小结内容小结求导公式及求导法则 (见 P94)注意注意: 1): 1),)(vuuvvuvu2) 搞清复合函数结构,由外向内逐层求导.41143x1.xx1431x思考与练习思考与练习对吗?21

15、14341xx蚌埠学院 高等数学2. 设设, )()()(xaxxf其中)(x在ax 因)()()()(xaxxxf故)()(aafaxafxfafax)()(lim)(axxaxax)()(lim)(limxax)(a阅读 L.P 51 例1 正确解法:)(af 时, 下列做法是否正确?在求处连续,蚌埠学院 高等数学3. 求下列函数的导数求下列函数的导数解解: (1)1bxaby2xa1bbxba(2) y)(x.)2(,) 1 (xbbayxayxbabalnxabbaln或xabyababxln蚌埠学院 高等数学4. 设设),99()2)(1()(xxxxxf).0(f 求解解: :方法方法1 1 利用导数定义利用导数定义. .0)0()(lim)0(0 xfxf