高中三角函数教学设计及习题及答案

1、. 薆螀节薂蚈羅芇薁袀螈膃薀薀肃聿薀蚂袆莈蕿螄肂芄薈袇袅膀蚇薆肀肆蚆虿袃莅蚅螁肈莁蚄羃袁芇蚄蚃膇膃芀螅罿聿艿袈膅莇芈薇羈芃莈蚀膃腿莇螂羆肅莆袄蝿蒄莅蚄羄莀莄螆袇芆莃衿肃膂莂薈袅肈莂蚀肁莆蒁螃袄节蒀袅聿膈葿薅袂肄蒈螇肇肀蒇衿羀荿蒆蕿膆芅蒆蚁罿膁蒅螄膄肇薄袆羇莆薃薆螀节薂蚈羅芇薁袀螈膃薀薀肃聿薀蚂袆莈蕿螄肂芄薈袇袅膀蚇薆肀肆蚆虿袃莅蚅螁肈莁蚄羃袁芇蚄蚃膇膃芀螅罿聿艿袈膅莇芈薇羈芃莈蚀膃腿莇螂羆肅莆袄蝿蒄莅蚄羄莀莄螆袇芆莃衿肃膂莂薈袅肈莂蚀肁莆蒁螃袄节蒀袅聿膈葿薅袂肄蒈螇肇肀蒇衿羀荿蒆蕿膆芅蒆蚁罿膁蒅螄膄肇薄袆羇莆薃薆螀节薂蚈羅芇薁袀螈膃薀薀肃聿薀蚂袆莈蕿螄肂芄薈袇袅膀蚇薆肀肆蚆虿袃莅蚅螁肈莁蚄羃袁

2、芇蚄蚃膇膃芀螅罿聿艿袈膅莇芈薇羈芃莈蚀膃腿莇螂羆肅莆袄蝿蒄莅蚄羄莀莄螆袇芆莃衿肃膂莂薈袅肈莂蚀肁莆蒁螃袄节蒀袅聿膈葿薅袂肄蒈螇肇肀蒇衿羀荿蒆蕿膆芅蒆蚁罿膁蒅螄膄肇薄袆羇莆薃薆螀节薂蚈羅芇薁袀螈膃薀薀肃聿薀蚂袆莈蕿螄肂芄薈袇袅膀蚇薆肀肆蚆虿袃莅蚅螁肈莁蚄羃袁芇蚄蚃膇膃芀螅罿聿艿袈膅莇芈薇羈芃莈蚀膃腿莇螂 第三章 三角函数章节结构图三角函数是高中数学的一个重要知识板块，也是高考的热点和重点内容在考察中，以容易题和中档题为主在复习本部分内容时，应该充分利用数形结合的思想，把图象和性质有机结合利用图象的直观性得出函数的性质，同时也要学会利用函数的性质来描绘函数的图象而在三角变换中，角的变换，三角函数名

3、称的改变，三角函数次数的变换，三角函数表达形式的变换，频繁出现因此，在训练中，要清楚各种公式，以及它们之间的联系，注意总结规律，并在应用中注意分析比较，提高能力31 三角函数的概念(一)复习指导1了解任意角的概念，了解弧度制概念，能进行弧度与角度的互化2理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义，掌握任意角的三角函数在各个象限的符号3会应用三角函数线解决与三角函数有关的简单问题(二)解题方法指导例1写出与60终边相同的角的集合S，并把S中满足2p 4p 的元素写出来例2已知角终边上有一点P(x，1)，且，求sin，tan例3求函数的定义域例4已知(0，p )，比较的大小(三)体会与感受1重点

4、知识_2问题与困惑_3经验问题梳理_32 同角三角函数关系及诱导公式(一)复习指导1理解同角三角函数的基本关系式：2能利用单位圆中的三角函数线推导出的正弦、余弦、正切的诱导公式3能综合运用诱导公式和同角关系式对代数式进行化简(二)解题方法指导例1已知tanx=2，求sinx，cosx的值例2求的值例3若，求sinxcosx的值例4求证：tan2xsin2x=tan2xsin2x(三)体会与感受1重点知识_2问题与困惑_3经验问题梳理_33 三角函数的图象与性质(一)(一)复习指导1能画出y=sinx，y=cosx，y=tanx的图象，了解三角函数的周期性2理解正弦函数、余弦函数在区间0，2p

5、的性质(如单调性、最大和最小值、图象与x轴交点等)3理解正切函数在区间的单调性(二)解题方法指导函数正弦函数余弦函数正切函数图象定义域值域周期奇偶性单调性增区间减区间增区间减区间增区间减区间对称性对称轴对称中心对称轴对称中心对称轴对称中心例1用五点法画出函数草图，并求出函数的周期，单调区间，对称轴，对称中心例2求函数在区间0，2p 上的值域例3求下列函数的值域(1)ysin2xcosx+2；(2)y2sinxcosx(sinxcosx)例4求函数的值域(三)体会与感受1重点知识_2问题与困惑_3经验问题梳理_34 三角函数的图象与性质(二)(一)复习指导1了解函数y=Asin(x+)的物理意义

6、；能画出y=Asin(x+)的图象，了解参数A，对函数图象变化的影响2了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题(二)解题方法指导例1在同一个坐标系中，用五点法画出下列函数的草图(1)(2)例2已知函数，该函数的图象可以由y=sinx的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到例3若函数y=Asin(x+)(0，0)的图象的一个最高点为，它到其相邻的最低点之间的图象与x轴交于(6，0)，求这个函数的一个解析式例4已知函数f(x)=cos4x2sinxcosxsin4x()求f(x)的最小正周期； ()若求f(x)的最大值、最小值(三)体会与感受1重点知识_2问题与困惑

7、_3经验问题梳理_35 和、差、倍角的三角函数(一)(一)复习指导1掌握两角差的余弦公式，能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式2能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系3能用上述公式解决一些化简和求值问题(二)解题方法指导例1若，则的值为 ( )(A)(B)(C)(D)例2_例3已知求的值例4已知f(cosx)=cos2x.()求的值；()求f(sinx)(三)体会与感受1重点知识_2问题与困惑_3经验问题梳理_36 和、差、倍角的三角函数(二)(一)复习指导1能利用三角函数公式对一些代数式进行化简和求值2掌握As

8、inx+Bcosx型代数式变形方法(二)解题方法指导例1已知，则( )(A)(B)(C)(D)例2的最小值为_例3已知：，且，且，求cosy的值例4已知，求sin(三)体会与感受1重点知识_2问题与困惑_3经验问题梳理_37 正弦定理和余弦定理(一)复习指导1掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题2能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题(二)解题方法指导例1在ABC中，abc357，则其最大角为_例2在ABC中，有acosA=bcosB，判断ABC的形状例3在ABC中，A=60，面积为，周长为20，求三条边的长例4在一条河的对岸有两个目标

9、物A，B，但不能到达在岸边选取相距里的C，D两点，并测得ACB=75，BCD=45，ADC=30，ADB=45，且A，B，C，D在同一个平面内，求A，B之间的距离(三)体会与感受1重点知识_2问题与困惑_3经验问题梳理_#:15第 15 页 共 15 页例 题 解 析第三章 三角函数31 三角函数的概念例1分析：先把角转化成弧度制，然后写出与其终边相同角的集合解：因为，所以S中满足24的元素有例2分析：已知一个角的一个函数值，可以利用三角函数定义求其它三角函数值，也可以利用同角关系直接求得解：因为P(x，1)在角的终边上，所以，解得又因为x0，所以所以小结：知道一个角某个三角函数值，求其它的函

10、数值，是三角函数求值问题中典型问题之一例3解：因为，所以当时，或利用三角形函数线得到，例4分析：比较不同三角函数值的大小，可以充分利用三角函数线解：因为(0，)，所以，如图312，在单位圆中，作出的正弦线MP和正切线AT，因为SOAPSOAT，所以即MPAT，所以小结：例3和例4都是三角形函数线的应用，其中例4还可以利用比较法来解决，实际上有时，sinxxtanx32 同角三角函数关系及诱导公式例1分析：知道一个角某个三角函数值，求其它函数值，方程思想是通法解：因为，又sin2xcos2x=1，联立得解这个方程组得小结：这道题和3.1.1中的例2属于同一类型问题例2分析：这种代数式化简，一般要

11、用到诱导公式和同角函数关系，要注意公式的正确使用，特别是函数名称和符号的变化方法解：原式例3分析：这种代数式求值，可以利用方程组的思想，求出每个函数值，也可以利用sinxcosx与sinxcosx的关系，整体求值解：法一：因为所以sinxcosx=2(sinxcosx)，得到sinx=3cosx，又sin2xcos2x=1，联立方程组，解得所以法二：因为所以sinxcosx=2(sinxcosx)，所以(sinxcosx)2=4(sinxcosx)2，所以12sinxcosx=48sinxcosx，所以有小结：这两种方法中，第一种是通法，第二种利用了整体求值例4分析：这种证明问题，可以从左边开

12、始变形，向右边看齐，也可以反过来，还有的时候是两边同时变形在变形的时候，要注意公式的正确使用，同时要时刻注意目标是什么证明：法一：右边tan2xsin2x=tan2x(tan2xcos2x)=tan2x(1cos2x)=tan2xsin2x，问题得证法二：左边=tan2xsin2x=tan2x(1cos2x)=tan2xtan2xcos2x=tan2xsin2x，问题得证33 三角函数的图象与性质(一)例1解：02xy01010周期为T=2，单调增区间为单调减区间为对称轴为对称中心为小结：画图的时候，要注意五个点的选取例2分析：在求这样函数值域的时候，最好是把括号中与x有关的代数式的取值范围求

13、出来，然后利用三角函数图象求其值域解：因为0x2，所以由正弦函数的图象，得到所以y1，2例3解：(1)y=sin2xcosx21cos2xcosx2=(cos2xcosx)3，令t=cosx，则利用二次函数的图象得到(2)y2sinxcosx(sinxcosx)=(sinxcosx)21(sinxcosx)，令t=sinxcosx，则则，利用二次函数的图象得到小结：利用三角函数关系把代数式转化成一个二次函数形式，利用图象，求其值域，要注意转化后自变量的取值范围例4解：设A(3，1)，P(cosx，sinx)，把y看成定点A与动点P所在直线的斜率，因为动点P(cosx，sinx)在单位圆上，所以

14、只要求经过点A(3，1)与单位圆相切的两条直线的斜率，两条切线的斜率分别为0和所以小结：这是数形结合解题的一个典型问题34 三角函数的图象与性质(二)例1解：(1)x02y0101002xy01010(2)2x02x0y0101002xy01010例2分析：这种问题的难点在于确定变换的先后顺序解：法一：将函数y=sinx依次作如下变换：(1)把函数y=sinx的图象向左平移个单位，得到函数的图象；(2)把函数图象上各点的横坐标缩小到原来的，纵坐标保持不变，得到函数的图象法二：将函数y=sinx依次作如下变换：(1)把函数y=sinx的图象上各点的横坐标缩小到原来的，纵坐标保持不变，得到函数y=

15、sin2x的图象(2)把函数y=sin2x向左平移个单位，得到函数，即的图象小结：在进行图象变换的时候，应注意平移变换和压缩变换的顺序，顺序不一样，则平移的单位不一样如y=sin2x的图象向左平移个单位，得到函数，即的图象例3分析：这样的问题，首先要清楚几个参数A，对函数图象的影响，可以画出一个草图来分析问题解：由最高点为，得到，最高点和最低点间隔是半个周期，从而与x轴交点的间隔是个周期，这样求得，T=16，所以又由，得到可以取例4分析：这个函数的解析式比较复杂，我们先对其进行化简，这包括减少函数名称，降低次数，然后再求相应的问题解：()因为f(x)=cos4x2sinxcosxsin4x(c

16、os2xsin2x)(cos2xsin2x)sin2x所以最小正周期为()若，则，所以当x=0时，f(x)取最大值为当时，f(x)取最小值为35 和、差、倍角的三角函数(一)例1解：，所以选C小结：本题还可以tanx把的值求出来，然后使用两角和的正切公式求值例2解：例3解：因为，所以小结：在求值问题中，应该先对代数式进行化简，在化简的过程中分析如何利用条件推导出结果例4解：()因为而且，所以()因为36 和、差、倍角的三角函数(二)例1解：因为，所以又，代入求得结果为所以选B例2解：因为，所以其最小值为2例3分析：在知值求值问题中，要注意角之间的关系解：因为则因为，所以所以所以cosy=cos

17、(xy)x=cos(xy)cosxsin(xy)sinx例4解：因为所以又，所以，或若,则由，得到=，矛盾，所以所以37 正弦定理和余弦定理例1解：因为三条边中c边最大，则角C最大，根据余弦定理，所以例2解：由正弦定理，a=2RsinA，b2RsinB，代入有2RsinAcosA=2RsinBcosB，即sin2A=sin2B，所以2A=2B或2A=2B即A=B或，所以ABC为等腰三角形或直角三角形例3解：因为，所以bc=40，又abc=20，a2=b2c22bccosA，解得三条边为5，7，8例4分析：在很多实际测量问题中，都离不开解三角形，根据相关条件画一张比较清晰的直观图，可以帮我们找到

18、解题的思路要求AB，可以把AB放到一个三角形中，看看这个三角形中还有哪些条件，然后可以根据正余弦定理求值解：中ACD中，ACD=120，ADC=30所以DAC=30，所以AC=CD=2，在BCD中，BCD=45，CDB75，所以CBD=60，由正弦定理所以在ABC中，BCA=75，根据余弦定理，AB2=AC2BC22ACBCcos75，求得AB2=20， 肃膂莂羁袅蒀蒂蚀肁莆蒁螃袄节蒀袅聿芈葿蚅袂膄蒈螇膇蒃蒇衿羀荿蒆羂膆芅蒆蚁罿膁薅螄膄肇薄袆羇莅薃薆膂莁薂螈羅芇薁袀芁膃薀羃肃蒂薀蚂袆莈蕿螄肂芄蚈袇袅膀蚇薆肀肆蚆虿袃蒅蚅袁肈莁蚄羃羁芇蚄蚃膇膃蚃螅罿蒁蚂袈膅莇螁羀羈芃螀蚀膃腿莇螂羆肅莆羄芁蒄莅蚄肄莀莄螆芀芆莃袈肃膂莂羁袅蒀蒂蚀肁莆蒁螃袄节蒀袅聿芈葿蚅袂膄蒈螇膇蒃蒇衿羀荿蒆羂膆芅蒆